华东师大版八年级数学下册第19章同步测试题及答案

华东师大版八年级数学下册第 19 章同步测试题及答案 19.1 矩形 矩形的性质 1．如图，不含阴影部分的矩形的个数是( ) （第 1 题图） A．15 B．16 C．17 D．18 2．已知矩形两邻边之比为 3∶4，若矩形的周长为 70 cm，则矩形的面积为________． 3．若矩形 ABCD 的邻边长分别是 1，2，则 BD 的长是( ) A. 3 B．3 C. 5 D．2 5 4．如图，在矩形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，求证：∠EBC＝∠ECB. （第 4 题图） 5．下列说法不正确的是( ) A．矩形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线相等且互相平分 C．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．矩形的对角线互相垂直 6．在下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是( ) A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对边平行 7．如图所示，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，若 OA＝2，则 BD 的长为( ) （第 7 题图） A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图所示，已知矩形 ABCD 的周长为 56，O 为对角线的交点，△BOC 与△AOB 的周长之差为 4，则 AB＝________，BC＝________. （第 8 题图） 9．为了庆祝国庆节，八年级三班的同学们准备在广场上布置一个矩形的花坛(如图所示)，计划用“串红”摆 成两条对角线，如果一条对角线用了 38 盆“串红”，还需要从花房运来多少盆“串红”？(对角线的交点不放 花盆) （第 9 题图） 10．如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，∠AOD＝60°，AD＝2，则 AC 的长是 ( ) （第 10 题图） A．2 B．4 C．2 3 D．4 3 11．如图，矩形纸片 ABCD 中，已知 AD＝8，折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重合，点 B 落在点 F 处， 折痕为 AE，且 EF＝3，则 AB 的长为( ) （第 11 题图） A．3 B．4 C．5 D．6 12．如图，矩形 ABCD 的面积为 20cm2，对角线相交于点 O，以 AB，AO 为邻边作平行四边形 AOC1B， 对角线相交于点 O1；以 AB，AO1 为邻边作平行四边形 AO1C2B……依此类推，则平行四边形 AO4C5B 的 面积为( ) （第 12 题图） A.5 4 cm2 B.5 8 cm2 C. 5 16 cm2 D. 5 32 cm2 13．矩形 ABCD 中，DE 平分∠ADC 交 BC 于点 E，若 AB＝3，AE＝5，则 AD＝________. 14．从矩形的一个顶点向对角线引垂线，分对角线所成两部分的比为 1∶3，若对角线的交点到矩形长边的 距离为 4cm，则矩形的对角线长为______cm. 15．矩形 ABCD 的长 BC＝4，宽 AB＝3，P 是 AD 上任一点，过点 P 作 PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为 E， F，则 PE＋PF 的长为________． 16．已知如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AB，CD 上，BE＝DF，连结 CE，AF，求证：AF＝CE. （第 16 题图） 参考答案 1. C 2. 300 cm2 3. C 4. 证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD.∵E 是 AD 的中点，∴AE＝DE，∴△ABE≌△ DCE，∴BE＝CE.∴∠EBC＝∠ECB. 5. D 6. C 7. A 8. 12 16 9. 38 盆 10. B 11. D 12. B 13. 7 14. 16 15. 12 5 16. ∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠B＝90°.又∵BE＝DF，∴△ADF≌ △CBE(SAS)，∴AF＝CE. 19．1.2 矩形的判定 1．如图，要使▱ABCD 成为矩形，需添加的条件是( ) （第 1 题图） A．AB＝BC B．∠ABC＝90° C．∠1＝∠2 D．AC⊥BD 2．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，DE∥AC 交 AB 于点 E，DF∥AB 交 AC 于点 F，连结 DE，FD，当△ ABC 满足条件 时，四边形 AEDF 是矩形． （第 2 题图） 3．如图，在▱ABCD 中，点 M 为 CD 边的中点，且 AM＝BM.求证：四边形 ABCD 是矩形． （第 3 题图） 4．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的 4 位同学 拟定的方案，其中正确的是( ) A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量四边形其中的三个角是否都为直角 5．平行四边形各内角的角平分线围成的四边形为( ) A．任意四边形 B．平行四边形 C．矩形 D．以上都不对 6．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD，AE 分别是∠BAC 和∠BAC 外角的平分线，BE⊥AE，垂足为 E. （第 6 题图） (1)求证：DA⊥AE； (2)试判断 AB 与 DE 是否相等？并证明你的结论． 7．四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是( ) A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AC⊥BD 8．如图，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE.求证：四边形 BCDE 是矩形． （第 8 题图） 9．如图，四边形 ABCD 为平行四边形，延长 AD 到点 E，使 DE＝AD，连结 EB，EC，DB，添加一个条件， 不能使四边形 DBCE 成为矩形的是( ) （第 9 题图） A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE 10．在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，从 ①AB＝CD；②AB∥CD；③OA＝OC；④OB＝OD； ⑤AC＝BD；⑥∠ABC＝90°，这六个条件中，可选取三个推出四边形 ABCD 是矩形，如①②⑤→四边形 ABCD 是矩形．请再写出符合要求的两个组合： ； ． 11．如图，在矩形 ABCD 中，M 为 AD 边的中点，P 为 BC 上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当 AB，BC 满 足条件 时，四边形 PEMF 为矩形． （第 11 题图） 12．如图，平行四边形 ABCD 中，点 E，F，G，H 分别在 AB，BC，CD，AD 边上，且 AE＝CG，AH＝CF. (1)求证：四边形 EFGH 是平行四边形； (2)如果 AB＝AD，且 AH＝AE，求证：四边形 EFGH 是矩形． （第 12 题图） 13．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点 P 是 AB 上的任意一点，作 PD⊥AC 于点 D，PE ⊥CB 于点 E，连结 DE，则 DE 的最小值为____. （第 13 题图） 14．如图，在△ABC 中，点 O 是边 AC 上一个动点，过点 O 作直线 MN∥BC.设 MN 交∠ACB 的平分线于点 E，交∠ACB 的外角平分线于点 F. (1)求证：OE＝OF； (2)若 CE＝12，CF＝5，求 OC 的长； (3)当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时，四边形 AECF 是矩形？并说明理由． （第 14 题图） 参考答案 1. B 2. ∠BAC＝90° 3. 易证△AMD≌△BMC(SSS)，∴∠C＝∠D.又∠C＋∠D＝180°， ∴∠C＝∠D＝90°，∴平行四边形 ABCD 是矩形 4. D 5. C 6. (1)∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝1 2 ∠BAC，又∵AE 平分∠BAF，∴∠BAE＝1 2 ∠BAF，∵∠BAC＋∠ BAF＝180°，∴∠BAD＋∠BAE＝1 2(∠BAC＋∠BAF)＝1 2×180°＝90°，即∠DAE＝90°，故 DA⊥AE (2)AB ＝DE.理由：∵AB＝AC，AD 平分∠BAC，∴AD⊥BC，故∠ADB＝90°，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝90°， ∵∠DAE＝90°，故四边形 AEBD 是矩形．∴AB＝DE 7. B 8. 连结 BD，EC，∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD－∠BAC＝∠CAE－∠BAC，∴∠BAE＝∠CAD，又∵AB＝AC， AE＝AD，∴△BAE≌△CAD(SAS)，BE＝CD，∵DE＝CB，∴四边形 BCDE 是平行四边形，易证△ABD≌△ACE(SAS)， ∴EC＝BD，∴四边形 BCDE 是矩形 9. B 10. ①②⑥ ③④⑥ 11. AB＝1 2 BC 12. (1)在平行四边形 ABCD 中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，又∵AE＝CG，AH＝CF，∴△AEH≌△CGF(SAS)，∴ EH＝GF，在平行四边形 ABCD 中，AB＝CD，AD＝BC，∴AB－AE＝CD－CG，AD－AH＝BC－CF，即 BE＝DG， DH＝BF，∴△BEF≌△DGH(SAS)，∴GH＝EF，∴四边形 EFGH 是平行四边形. (2)在平行四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝CD.设∠A＝α，则∠D＝180°－α，∵AE＝AH， ∴∠AHE＝∠AEH＝180°－α 2 ＝90°－α 2 ，∵AD＝AB＝CD，AH＝AE＝CG，∴AD－AH＝CD－CG，即 DH ＝DG，∴∠DHG＝∠DGH＝180°－（180°－α） 2 ＝α 2 ，∴∠EHG＝180°－∠DHG－∠AHE＝90°.又∵四边 形 EFGH 是平行四边形，∴四边形 EFGH 是矩形. 13. 4.8 14. (1)∵CF 平分∠ACD，且 MN∥BD，∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO，∴OF＝OC.同理可证：OC＝OE， ∴OE＝OF. (2)由(1)知：OF＝OC＝OE，∴∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC，∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC， 而∠OCF＋∠OCE＋∠OFC＋∠OEC＝180°，∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90°，∴EF＝ CE2＋CF2＝ 122＋52＝13，∴OC＝1 2EF＝13 2 (3)当点 O 移动到 AC 中点时，四边形 AECF 为矩形.理由：连结 AE，AF，由(1)知 OE＝OF，当点 O 移动 到 AC 中点时有 OA＝OC，∴四边形 AECF 为平行四边形.又∵∠ECF＝90°，∴四边形 AECF 为矩形. 19.2.1 菱形的性质 1．如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝120°.若△ABC 的周长是 15，则菱形 ABCD 的周长是( ) （第 1 题图） A．25 B．20 C．15 D．10 2．如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点 C 的坐标是(3，4)，则顶点 A，B 的坐标分别是( ) （第 2 题图） A．(4，0)，(7，4) B．(4，0)，(8，4) C．(5，0)，(7，4) D．(5，0)，(8，4) 3．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( ) A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 4．如图，在菱形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，AC＝8，BD＝6，则菱形的边长 AB 等于( ) （第 4 题图） A．10 B. 7 C．6 D．5 5．菱形 OACB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 C 的坐标是(6，0)，点 A 的纵坐标是 1，则点 B 的 坐标是( ) （第 5 题图） A．(3，1) B．(3，－1) C．(1，－3) D．(1，3) 6．如图，在菱形 ABCD 中，BE⊥AD，BF⊥CD，E，F 为垂足，AE＝ED，则∠EBF 等于( ) （第 6 题图） A．75° B．60° C．50° D．45° 7．如图，在周长为 12 的菱形 ABCD 中，AE＝1，AF＝2，若 P 为对角线 BD 上一动点，则 EP＋FP 的最小值 为( ) （第 7 题图） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知菱形的周长为 20 cm，两个邻角的比是 1∶2，这个菱形较短的对角线的长是____cm. 9．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点 E，则 OE＝____． （第 9 题图） 10．菱形既是 图形，又是 图形． 11．如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的面积为 12，点 B 在 y 轴上，点 C 在反比例函数 y＝k x 的图 象上，则 k 的值为____． （第 11 题图） 12．已知四边形 ABCD 是菱形，DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F.求证：△ADE≌△CDF. （第 12 题图） 13．如图，菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，延长 AB 至点 E，使 BE＝AB，连结 CE. (1)求证：BD＝EC； (2)若∠E＝50°，求∠BAO 的大小． （第 13 题图） 14．如图，点 O 是菱形 ABCD 对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连结 OE. 求证：OE＝BC. （第 14 题图） 15．如图，在菱形 ABCD 中，过 AD 的中点 E 作 AC 的垂线 EF，交 AB 于点 M，交 CB 的延长线于点 F.如果 FB 的长是 2，求菱形 ABCD 的周长． （第 15 题图） 16．在菱形 ABCD 中，∠B＝60°，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 CD 上． (1)如图 1，若 E 是 BC 的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF； (2)如图 2，若∠EAF＝60°，求证：△AEF 是等边三角形． （第 16 题图） 参考答案 1. B 2. D 3. D 4. D 5. B 6. B 7. C 8. 5 9. 12 5 10. 轴对称 中心对称 11. －6 12. 由 AAS 可证△ADE≌△CDF. 13. （1）∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB 綊 CD.又∵BE＝AB，∴BE 綊 CD，∴四边形 BECD 是平行四边形， ∴BD＝EC. (2)∵四边形 BECD 是平行四边形，∴BD∥CE，∴∠ABO＝∠E＝50°.又∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AC⊥BD，∴∠BAO＝90°－∠ABO＝40°. 14. ∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形 OCED 是平行四边形. ∵四边形 ABCD 是菱形，∴∠COD＝90°，DC＝BC. ∴四边形 OCED 是矩形，∴DC＝OE，∴OE＝BC. 15. 连结 BD，∵在菱形 ABCD 中，∴AD∥BC，AC⊥BD.又∵EF⊥AC，∴BD∥EF，∴四边形 EFBD 为平行四 边形，∴FB＝ED＝2.∵E 是 AD 的中点，∴AD＝2ED＝4，∴菱形 ABCD 的周长为 4×4＝16. 16. (1)连结 AC，∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB＝BC＝CD， ∵∠B＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∵E 是 BC 的中点， ∴AE⊥BC，∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－60°＝30°. ∵∠C＝180°－∠B＝120°，∴∠EFC＝30°， ∴∠FEC＝∠EFC，∴CE＝CF，∵BC＝CD， ∴BC－CE＝CD－CF，即 BE＝DF (2)连结 AC，由(1)，得△ABC 是等边三角形，∴AB＝AC. ∵∠BAE＋∠EAC＝60°，∠EAF＝∠CAF＋∠EAC＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF.∵四边形 ABCD 是菱形，∠B＝60°， ∴∠ACF＝1 2 ∠BCD＝∠B＝60°，∴△ABE≌△ACF(ASA)， ∴AE＝AF，∴△AEF 是等边三角形. 19.2.2 菱形的判定 一、选择题 1、下列说法，错误的是（ ）. A、平行四边形的对角线互相平分 B、对角线互相平分的四边形是平行四边形 C、菱形的对角线互相垂直 D、对角线互相垂直的四边形是菱形 2、如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 互相垂直，则下列条件能判定四边形 ABCD 为菱形的条件是( ) A.BA=BC B.AC，BD 互相平分 C.AC=BD D.AB∥CD （第 2 题图） 3、如图，菱形 ABCD 的对角线的长分别为 2 和 5，P 是对角线 AC 上任一点（点 P 不与点 A、C 重合）且 PE∥BC 交 AB 于 E ，PF∥CD 交 AD 于点 F ， 则阴影部分的面积是（ ）. （第 3 题图） A、2 B、 C、3 D、 ​ 4、如图，四边形 ABCD 内有一点 E，AE=BE=DE=BC=DC，AB=AD，若∠C=100°，则∠AED 的大小是( ) A.120° B.130° C.140° D.150° （第 4 题图） 5、如图△ABC 中，AD 是角平分线，DE∥AC 交 AB 于 E，DF∥AB 交 AC 于 F，若 AE＝4cm，那么四边形 AEDF 周长为（ ）. （第 5 题图） A、12cm B、16cm C、20cm D、22cm 6、如图，O 是菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 的交点，E、F 分别是 OA、OC 的中点．下列结论：①S△ADE＝ S△EOD；②四边形 BFDE 也是菱形；③四边形 ABCD 的面积为 EF×BD；④∠ADE＝∠EDO；⑤△DEF 是轴对 称图形；其中正确的结论有（ ）. （第 6 题图） A、5 个 B、4 个 C、3 个 D、2 个 7、平面直角坐标系中，四边形 ABCD 的顶点坐标分别是 A（－3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，－2）， 四边形 ABCD 是（ ）. A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、梯形 8、如图，在平行四边形 ABCD 中，添加下列条件不能判定平行四边形 ABCD 是菱形的是（ ）. （第 8 题图） A、AB＝BC B、AC⊥BD C、BD 平分∠ABC D、AC=BD​ 9、如图，在给定的一张平行四边形纸片上做一个菱形，甲、乙两人的作法如下：甲：连接 AC，做 AC 的 垂直平分线 MN 分别交 AD，AC，BC 于 M，O，N，连接 AN，CM，则四边形 ANCM 是菱形.乙：分别作∠A， ∠B 的平分线 AE，BF，分别交 BC，AD 于 E，F，连接 EF，则四边形 ABEF 是菱形.根据两人的作法可判断( ) （第 9 题图） A.甲正确，乙错误 B.乙正确，甲错误 C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误 10、如图，在△ABC 中，点 D、E、F 分别在边 AB、BC、CA 上，且 DE∥CA ，DF∥BA．下列四种说法：① 四边形 AEDF 是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形 AEDF 是矩形；③如果 AD 平分∠BAC ，那 么四边形 AEDF 是菱形；④如果 AD⊥BC 且 AB=AC，那么四边形 AEDF 是菱形.其中，正确的有（ ）. （第 10 题图） A、①②③④ B、②③④ C、③④ D、④ 二、填空题 11、如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，BD 为 AC 的中线，过点 C 作 CE⊥BD 于点 E，过点 A 作 BD 的平行线， 交 CE 的延长线于点 F，在 AF 的延长线上截取 FG＝BD，连接 BG、DF.若 AG＝13，CF＝6，则 BG＝_______． （第 11 题图） 12、如图，已知菱形 ABCD 的一个内角∠BAD=80°，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 在 AB 上，且 BE=BO， 则∠EOA=______. （第 12 题图） 13、如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 的中点，点 E，F 分别在线段 AD 及其延长线上，且 DE=DF，给出下列 条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC，从中选择一个条件使四边形 BECF 是菱形，你认为这个条件是 __________(填序号). （第 13 题图） 14、如图，两张宽为 1cm 的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分是四边形 ABCD，已知∠BAD＝60 ゜，则重 叠部分的面积是________cm2 ． （第 14 题图） 15、如图在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D 为斜边 AB 上一点，以 CD、CB 为边作平行四边 形 CDEB，当 AD＝________，平行四边形 CDEB 为菱形． （第 15 题图） 三、综合题 16、如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D、E 分别为 AB，AC 边上的中点，连接 DE，将△ADE 绕点 E 旋 转 180°得到△CFE，连接 AF，AC．求证：四边形 ADCF 是菱形. （第 16 题图） 17、如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，点 E 是 CD 上一点，BE 交 AC 于点 F，连接 DF. (1)证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE； (2)若 AB∥CD，试证明四边形 ABCD 是菱形； (3)在(2)的条件下，试确定 E 点的位置，使∠EFD=∠BCD，并说明理由. （第 17 题图） 18、如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE＝2DE，过点 C 作 CF∥BE 交 DE 的延长线于 F.求 证：四边形 BCFE 是菱形. 19、如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，CB＝CD，E 是 CD 上一点，BE 交 AC 于点 F，连接 DF． (1)证明：∠BAC＝∠DAC， ∠AFD＝∠CFE． (2)若 AB∥CD， 试证明四边形 ABCD 是菱形． （第 19 题图） 20、已知矩形 BEDG 和矩形 BNDQ 中，BE＝BN， DE＝DN． (1)将两个矩形叠合成如上图，求证：四边形 ABCD 是菱形； (2)若菱形 ABCD 的周长为 20，BE＝3，求矩形 BEDG 的面积． （第 20 题图） 参考答案 一、 1、D 2、B 3、B 4、B 5、B 6、C 7、B 8、D 9、C 10、 A 二、 11、5 12、25° 13、③ 14、 15、 ​ 三、 16、证明：∵将△ADE 绕点 E 旋转 180°得到△CFE ， ∴AE＝CE，DE＝EF， ∴四边形 ADCF 是平行四边形. ∵D、E 分别为 AB，AC 边上的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE∥BC . ∵∠ACB＝90°， ∴∠AED＝90°， ∴DF⊥AC， ∴四边形 ADCF 是菱形． 17、(1)证明：∵AB=AD，CB=CD，AC=AC， ∴△ABC≌△ADC(SSS). ∴∠BAC=∠DAC. ∵AB=AD，∠BAF=∠DAF，AF=AF， ∴△ABF≌△ADF(SAS). ∴∠AFB=∠AFD. 又∵∠CFE=∠AFB， ∴∠AFD=∠CFE. ∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE. (2)∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD. 又∵∠BAC=∠DAC，∴∠DAC=∠ACD. ∴AD=CD. ∵AB=AD，CB=CD， ∴AB=CB=CD=AD. ∴四边形 ABCD 是菱形. (3)当 BE⊥CD 时，∠EFD=∠BCD. 理由：∵四边形 ABCD 为菱形， ∴BC=CD，∠BCF=∠DCF. 又∵CF 为公共边， ∴△BCF≌△DCF(SAS). ∴∠CBF=∠CDF. ∵BE⊥CD， ∴∠BEC=∠DEF=90°. ∴∠ECB+∠CBF=∠EFD+∠EDF=90°. ∴∠EFD=∠BCD. 18、证明：∵D、E 分别是 AB、AC 的中点， ∴DE∥BC ，BC＝2DE ． ∵CF∥BE， ∴四边形 BCFE 是平行四边形. ∵BE＝2DE， BC＝2DE， ∴BE＝BC， ∴平行四边形 BCFE 是菱形． 9、证明：在△ABC 和△ADC 中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC＝∠DAC，在△ABF 和△ADF 中， ， ∴△ABF≌△ADF（SAS）， ∴∠AFD＝∠AFB. ∵∠AFB＝∠CFE， ∴∠AFD＝∠CFE． （2）证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD. 又∵∠BAC＝∠DAC， ∴∠CAD＝∠ACD， ∴AD＝CD ∵AB＝AD， CB＝CD， ∴AB＝CB＝CD＝AD， ∴四边形 ABCD 是菱形． 20、证明：作 AR⊥BC 于点 R AS⊥CD 于点 S. 由题意知 AD∥BC，AB∥CD，∴四边形 ABCD 是平行四边形.∵ 矩形 BEDG 和矩形 BNDQ 中，BE＝BN， DE＝DN，∴AR＝AS. ∵AR•BC＝AS•CD，∴BC＝CD，∴平行四边形 ABCD 是菱形． （第 20 题答图） （2）解：∵菱形 ABCD 的周长为 20，∴AD＝AB＝BC=CD＝5.∵BE＝3，∴AE＝4，∴DE＝5＋4＝9，∴矩形 BEDG 的面积为 3×9＝27． 19.3 正方形 一、选择题（12 个题，共 48 分） 1、正方形具有而矩形不具有的性质是（ ） A、四个角相等 B、对角线相等 C、对角线垂直 D、对角线互相平分 2、正方形具有而菱形不具有的性质是（ ） A、四条边相等 B、是轴对称图形 C、是中心对称图形 D、对角线相等 3、下列叙述中，错误的是（ ） A、有一组邻边相等的矩形是正方形 B、有一个角是直角的菱形是正方形 C、对角线垂直平分且相等的四边形是正方形 D、是轴对称也是中心对称是四边形是正方形 4、正方形的周长为１２cm,则对角线的长为（ ） A、3 cm B、3 2 cm C、6 cm D、6 2 cm 5、将五个边长都为 2cm 的正方形按如图所示摆放，点 A、B、C、D 分别是四个正方形的中心，则图中四 块阴影面积的和为（ ） （第 5 题图） A．2 cm2 B．4 cm2 C．6 cm2 D．8 cm2 6、如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，∠EAF=45°，△ECF 的周长为 4，则正方 形 ABCD 的边长为（ ） （第 6 题图） A．2 B．3 C．4 D．5 7、正方形 ABCD、正方形 BEFG 和正方形 RKPF 的位置如图所示，点 G 在线段 DK 上，正方形 BEFG 的 边长为 4，则△DEK 的面积为（ ） （第 7 题图） A．10 B．12 C．14 D．16 8、如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，PE⊥BC 于点 E；PF⊥CD 于点 F，连接 EF，给出下 列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，正确的有（ ） 个． （第 8 题图） A．5 B．4 C．3 D．2 9、如图，E 是边长为 4 的正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，且 BE=BC，P 为 CE 上任意一点，PQ⊥BC 于点 Q，PR⊥BR 于点 R，则 PQ+PR 的值是（ ） （第 9 题图） A．2 B．2 C．2 D． 10、如图，正方形 ABCD 中，AE=AB，直线 DE 交 BC 于点 F，则∠BEF=（ ） （第 10 题图） A．35° B．45° C．55° D．60° 11、如图，边长为 2 的正方形 ABCD 的顶点 A 在 y 轴上，顶点 D 在反比例函数 y= （x＞0）的图象上， 已知点 B 的坐标是（ ， ），则 k 的值为（ ） （第 11 题图） A．4 B．6 C．8 D．10 12、（2014 宜兴市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，3），以 AB 为边在第一 象限作正方形 ABCD，点 D 在双曲线 y= （k≠0）上，将正方形沿 x 轴负方向平移 m 个单位长度后，点 C 恰好落在双曲线上，则 m 的值是（ ） （第 12 题图） A．2 B．3 C． D． 二、填空题（6 个题，共 24 分） 13、正方形的对角线长为 10cm，则正方形的面积为 ； 14、如图，直角坐标系中，点 P（t，0）是 x 轴正半轴上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线，分别与直 线 ，直线 y=﹣x 交于 A，B 两点，以 AB 为边向右侧作正方形 ABCD．当点（3，0）在正方形 ABCD 内部时，t 的取值范围是 ． （第 14 题图） 15、正方形 A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…，按如图所示的方式放置．点 A1、A2、A3、…和点 C1、 C2、C3、…分别在直线 y=x+1 和 x 轴上，则第 2015 个正方形 A2015B2015C2015C2014 的边长 为 ． （第 15 题图） 16、如图，E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点，AE 的垂直平分线分别交 AE、BC 于 H、G，若 CG=7，则 正方形 ABCD 的面积等于 ． （第 16 题图） 17、如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 是菱形 AEFC 的一边，则∠FAB 的度数 为 ． （第 17 题图） 18、如图，在正方形 ABCD 中，△AEF 的顶点 E，F 分别在 BC、CD 边上，高 AG 与正方形的边长相等， 连 BD 分别交 AE、AF 于点 M、N，若 EG=4，GF=6，BM= ，则 MN 的长 为 ． （第 18 题图） 三、解答题（5 个题，共 57 分） 19、如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 上一点，直线 AE 交 BD 于点 M，交 DC 的延长线于点 F，G 是 EF 的中点，连结 CG．求证： ①△ABM≌△CBM； ②CG⊥CM． （第 19 题图） 20、如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E 在边 AB 上，连接 ED，过点 D 作 FD⊥DE 与 BC 的延长线相 交于点 F，连接 EF 与边 CD 相交于点 G、与对角线 BD 相交于点 H． （1）若 BD=BF，求 BE 的长； （2）若∠2=2∠1，求证：HF=HE+HD． （第 20 题图） 参考答案 一、1.C 2.D 3.D 4.B 5.B 6.A 7.D 8.B 9.A 10.B 11.C 12.A 二、13. 50cm2 14. ＜t＜3 15.22014 16. 64 17.22.5° 18. 三、19. 证明：①∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=CB，∠ABM=∠CBM. 在△ABM 和△CBM 中， ， ∴△ABM≌△CBM（SAS）. ②∵△ABM≌△CBM， ∴∠BAM=∠BCM. ∵∠ECF=90°，G 是 EF 的中点， ∴GC=GF， ∴∠GCF=∠F. 又∵AB∥DF， ∴∠BAM=∠F， ∴∠BCM=∠GCF， ∴∠BCM+∠GCE=∠GCF+∠GCE=90°， ∴GC⊥CM． （第 19 题答图） 20. （1）解：∵四边形 ABCD 是正方形，且 FD⊥DE， ∴∠ADE=90°﹣∠EDC=∠CDF，AD=DC，∠A=∠DCF=90°， 在△DAE 和△DCF 中， ， ∴Rt△DAE≌Rt△DCF（AAS）， ∴AE=CF， ∵CF=BF﹣BC=BD﹣BC=6 ﹣6， ∴BE=AB﹣AE=AB﹣CF=6﹣（6 ﹣6）=12﹣6 ； （2）证明：在 HF 上取一点 P，使 FP=EH，连接 DP. 由（1）Rt△DAE≌Rt△DCF 得△EDF 是等腰直角三角形， ∴DE=DF，∠DEF=∠DFE=45°， ∴△DEH≌△DFP（SAS）， ∴DH=DP，∠EDH=∠FDP. 在△DHE 和△FHB 中， ∵∠DEF=∠HBF=45°，∠EHD=∠BHF（对顶角）， ∴∠EDH=∠1= ∠2= （45°﹣∠EDH）， ∴∠EDH=15°，∠FDP=15°， ∴∠HDP=90°﹣15°﹣15°=60°， ∴△DHP 是等边三角形， ∴HD=HP，HF=HE+HD． （第 20 题图）