第16章 分式
16.1 分式及其基本性质
16.1.1 分式
1、分数 2
3 表示____÷____的商，
那么（2a+b）÷（m+n）可以表示为_________.
代数式
这些代数式有什么共同特征?
分母中含有字母.
a
s
m－n
p,x
6 30－6
2
x
,,
整式和分式统称有理式，即
分式与整式有什么不同?
形如 (A、B是整式,且B中含有字母,B≠0)
的式子，叫做分式.
A
B
有理式 整式
分式
其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.
(分母不含字母)
(分母含字母)
下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？例1
为什么其他的不是分
式？判断的关键是什
么？
解: 属于分式的有（2）、（3）、（6）
分母含有字母是分式，分母不含字母是整式。
6)8(,2
1
3
2)7(,3
2)6(,13)5(
7
2)4(,5
4)3(,12)2(,2
31
2
2
ba
a
ax
cbx
xb
）（
2
3
x
2
a
ab
5
23 yx
ab
ba )43(7
1 yx
整式 分式
练习1：判断下列代数式，哪些是整式？哪些是分式？
１.把式子a÷(b＋c)写成分式是______
×
×
２.判断题
(1)式子 中因含有分母,所以是分式.( )
(2)式子 叫分式. ( )
b＋c
a
x－5
3
A
B
探索与发现（求代数式的值）
x … -2 -1 0 1 2 …
… …
… …
… …
x
x-2
x-1
4x+1
x
x+1
-1
0 -1
0
0-1 -1
-1
思考：
1、第2个分式在什么情况下无意义？
2、 这三个分式在什么情况下有意义？
3、这三个分式在什么情况下值为0？
无意义
无意义
1、分式 无意义的条件是 . B
A B=0
B≠0
A=0且 B≠0
2、分式 有意义的条件是 . B
A
3、分式 值为零的条件是 .B
A
（1）当x取何值时，分式 有意义？2
4
x
（2）当x取何值时，分式 的值为零？32
4
x
x
思考: 分式中的分母应满足什么条件？
例2 当x取什么值时，分式 有意义？
由分母 x－2=0，得 x=2。
所以当 x≠2时，分式 有意义。2x
x
变式训练：
（1）当x取什么值时，分式 没有意义?14
1
x
x
（2）当x取什么值时，分式 有意义?14
1
2
x
x
2x
x
例3、当 x 取什么值时，下列分式的值为零 :
,52
2
x
x .42
2||
x
x
解： ⑴由分子x+2=0，得 x=-2。
而当 x=-2时，分母 2x－5=-4－５≠0。
(1) (2)
所以当x=-2时，分式 的值是零。52
2
x
x
⑵ 由分子|x|－2=0，得 x=±2。
当x=2时，分母 2x+4=4+4≠0。
当x=-2时，分母 2x+4=-4+4=0。
所以当x=2时，分式 的值是零。42
2||
x
x
对于分式
9
3
2
x
x
①当x取什么数时,分式没有意义?
②当x取什么数时,分式有意义?
③当x取什么数时,分式的值为0?
④当x取什么数时,分式的值为负数?
例3.当x是什么数时，分式
的值是零？
解：由 12 x =0，得x=±1.
2
1
2
2
xx
x
∵x=1时，分母
∴当x=-1时，分式 的值是零。
，022 xx
2
1
2
2
xx
x
有理式是分式还是整式的关键是观察分母是否含有
字母.如果分母不含字母,就是整式;如果分母含有字
母,就是分式,与分子是否含字母无关.
课堂小结：
1.分式、有理式的概念。
2.分式有意义，无意义，分式的值是零的条件
归纳：对于分式
（1） 分式无意义的条件是 。
（2）分式有意义的条件是 。
（3）分式的值为零的条件是 。
A
B
B=0
B≠0
B≠0且A=0
1
1
x 21
2
x
x
学以致用
求： 1.当分式的值为正时，x的取值范围;
2.当分式的值为负时，x的取值范围.
当 _____________ 时，分式
的值为正. 2
1
x
xx 1 2x 或
１.把式子a÷(b＋c)写成分式是______
×
２.是非判断
x－5
3
(1)式子 中因含有分母,所以是分式.( )
(2)对于任意有理数 ，分式 有意义 .( )
b＋c
a练习：
xy
x
(4)式子 不是分式.( )×
（3）若分式 无意义，则 m 的
值
一定是 -3 . （ ）
)1)(3(
1
2
mm
m
×
23
2
xx √
(1)当 a_____ 时 ,分式 无意义；
(2)当a ____ 时 ,分式 有意义.
(5)当x______时，分式 无意
义.
(4)当x _____ 时，分式 的值为零.
3. 填空
＝-4
＝±3
(3)当a_____ 时，分式 的值为零.
＝0
＝-1
≠0 a＋1
2
a
a＋1
2
a
a＋1
2a
1
x²－9
(6)当x____时,分式 有意义.x－1
|x|－x
4
4
x
x x
例 2
当x取什么值时，下列分式有意义？
分析 要使分式有意义，必须且只须分母不等于零.
26;2)5(;9
1)4(
)5)(3(
5)3(;23
12)2(;21
2
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
）（
；）（
第16章 分式
16.1 .2 分式的基本性质
这是根据分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘（或都除以）同一个不等于零
的整式，分式的值不变．
那么分式有没有类似分数的性质呢？
1 、 与 相等吗？为什么？9
6
6
4
2、 与 相等吗？为什么？
26
9
xy
xy 2
3
6
4
xy
xy
mn
n 2
m
n
a
a
2 2
1
分式 （a≠0)与 相等吗？
分式 （n≠0)与 相等吗？
说说你的理由。
:
, .
( )
A A M A A M
B B M B B M
M
用公式表示为
其中 是不等于零的整式
y3
x
)1(3
)1(
2
2
xy
xx
ba
a
ba
baa
)(
反思:运用分式的基本性质应注意什么?
(1)“都”； (2)“同一个”； (3)“不为0”.
y
x
ya
xa
2x
xy
x
y
0)(y xy2
by
x2
b
反思：为什么(1)中有附加条件y≠0,
而(2)中没有附加条件x≠0?
b
a
bx
ax =
y)4y(x
) (
y4
3
) (
1
4y
2y
2
y3x3
2y （其中 x+y ≠0 ）.
练习1 填空:
2
3
2
2
2
9(1) 36 ( )
(2) ( )
( )(3)
mn m
n
x xy x y
x
a b
ab a b
例 3 不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“－”.
⑴ ； ⑵ ； ⑶y5
x2
b
a
7
3
n3
m10
练习3.不改变分式的值,使下列各式的分子与分母都不
含“－”.
3
2
x
y
abc
d
2q
p
3
2
m
n
(1) ；
(3) ；
(2) ；
(4) ；
不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项
系数都化为整数.
（1） ； （2） ；
04.0x3.0
5x01.0
b5
2a7.0
b3
5a6.0
5 1
6 5
5 1
6 5
x y
x y
（3） ；
巩固练习
1.若把分式
A.扩大2倍 B.不变 C.缩小2倍 D.缩小4倍
y
x y 的 和 的值都扩大2倍,则分式的值( )x y
2.若把分式 中的 和 都扩大3倍,那么分式的值( ).
xy
x y x y
A.扩大3倍 B.扩大9倍 C.扩大4倍 D.不变
B
A
3．下列各式成立的是（ ）
c c
b a a b
c c
a b a b
c c
b a a b
c c
b a a b
（A） (B)
(C) (D)
巩固练习
4.不改变分式的值，使下列各式的分子与分母的最高次
项系数是正数.
⑴ ； ⑵ ；
⑶ .
2
2 3
1
1
a a
a a
2
1
1
x
x
2
2
1
3
a
a a
32
1,23
12,1
3
222
xx
x
xx
x
x
x
例5.不改变分式的值，使下列各式的分子与分母中的
多项式按 的降幂排列,且首项的系数是正数.x
解： 2 22
3 3 3
1 11
x x x
x xx
2 2 2
2 12 1 2 1
3 2 3 2 3 2
xx x
x x x x x x
2 22
11 1
2 3 2 32 3
xx x
x x x xx x
5.下列各组分式，能否由第一式变形为第二式？
(1) 与
(2) 与 y3
x
)1x(y3
)1x(x
2
2
ba
a
22 ba
)ba(a
yx
yx
1.0
03.01.0
6.不改变分式的值将下列各式中的系数都化成整数.
yx
yx
4
3
3
1
22
1
ba
ba
8.04
3
2
12.0
填空：
1
2
2(1) ,2
y
xy xy
2 1(2) ( 0)a a a ac
ac
2
(3) ,
(4) ( 0)2 2 2
m
mn n
x y x yx y
m
1m
2 2x y
2
2
2(5) ,(6)1 2 2 2
y xx x y
x x x a
22x
2 ( )a x y
第16章 分式
16.2 分式的运算
16.2.1 分式的乘除
等于多少？
等于多少？2 4
3 9
2 4 2 9 2 3 3 3
3 9 3 4 3 2 2 2
2.
2 91 . 3 10
2 9 2 9 2 3 3 3
3 10 3 10 3 2 5 5
分式的乘法法则：
f u fu
g v g v
f u f v fv
g v g u gu
(如果 u≠0，那么规定)除法法则
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被
除式相乘．
分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母，分别作为积的
分子、分母，然后约去分子与分母的公因式．
计算：
2 2
3
2(1) ;5
x y
y x
23 2(2) 1 1
x x
x x
2 2
3
2
5
x y
y x
23 2
1 1
x x
x x
23 1
1 2
x x
x x
23 ( 1)
( 1) 2
x x
x x
3 3
2 2
x x
2 2
3
2
5
x y
y x
2
5
y
x
解：（1）
（2）
在分式的乘法中，一定要把积的分子与分母的公因式
约去，这称为约分,分子与分母没有公因式的分式，叫作
最简分式
计算
2 2
2 2
1 4 8 6(1) ; (2)2 1 2 1 1
x x x x
x x x x x
( 1) 2
( 1)( 1)
x x
x x
g
4
3( 1)
x
x
2
2
1 4(1) 2 1
x x
x x
g
2
2
( 1) 4
2 ( 1)
x x
x x
g
g
2
1
x
x
2
2
8 6(2) 2 1 1
x x
x x x
2
2
8 1
2 1 6
x x
x x x
g
2
2
8 ( 1)
( 2 1) 6
x x
x x x
g
g
2
4 ( 1)
3( 1)
x x
x
g 4
3 3
x
x
从例2看到，有时需要把分子或分母中的某些多项
式因式分解，然后约分，化成最简分式
2 2
2 2
9 4 4(1) ; (2)6 9 2
x x x
x x x x
把一个分式化成最简分式的好处之一，是可以使
求分式的值比较简便．
2( 2)
( 2)
x
x x
2
9
6 9
x
x x
2
解：(1) 2
( 3)( 3)
( 3)
x x
x
3
3
x
x
2
x x
x x
2
2
-4 +4(2) 2x
x
2 1
8 4
5-3
5+3
因此当 x = 5时，这个分式的值为
2
2
9 3
6 9 3
x x
x x x
解：由于
求例3第（1）题的分式当 x=5时的值.
2
2
2 61 3
x y
y x
2
382 632
x y xy
2 4 13 1 2
x
x x
24 2 4 4x x x
2
2
2 6
3
x y
y x
4 y
x
2
3
8 1
3 2 6
x y
xy
224
x
y
( 2)( 2) 1
1 2
x x
x x
2
1
x
x
2
1( 2) ( 2)x x
1
2x
2.化简：
2
51 10 25
xy x
y y
2 222 x xy y
y x
2
( 5)
( 5)
x y
y
5
x
y
2( )x y
y x
y x
3.求例3第（2）题的分式当x = 5时的值.
3
5
5-2
5
因此当 x = 5时，这个分式的值为
解：由于
2( 2)
( 2)
x
x x
2
x x
x x
2
2
-4 +4(2) 2x
x
本课小
结
• 本课我们学习了分式的乘除法及会对分式约分化
为最简分式
• 注意：分式乘除运算时，有时要把分子或分母中
的某些多项式因式分解，然后约去，化成最简分
式.
第16章 分式
16.2.2 分式的加减
三、例题讲解与练习
xy
yx
xy
yx 22 )( ）（
xy
yx
xy
yx 22 )( ）（
xy
yxyx 22 )()(
xy
yxyxyxyx 2222 22
.)(2 22
xy
yx
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ；
（6） ；（7） ；
（8） ；（9） 。
aaa
15123
mm
31
xy
a
yx
a
yx
x
yx
y
xx
13 a
c
a
b
1
2
1
3
xx
3
2 2
x x y
x y x y
2 1 3
1 1 1
x x x
x x x
同分母分式加减的基本步骤：
1、分母不变，把分子相加减。
（1）如果分式的分子是多项式，一定要加上括号；
（2）如果分子是单项式，可以不加括号。
2、分子相加减时，应先去括号，再合并同类项；
3、最后的结果，应化为最简分式或者整式。
练习：求下列各组分式的最简公分母：
1 1(1) , ;a b 2
4 1(2) , ;a a 2
4 1(3) , ;2a a
2 2 3
4 1 2(4) , , ;3 2 5a b ab b c
1 1(5) , ;3 3x x
2 1(6) , ;( 2)( 2) 2
a
a a a 2 2
1 2(7) , , .9 3 9 6 9
a
a a a a
通分时，
最简公分母由下面的方法确定：
①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；
②最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积；
③分母是多项式时一般需先因式分解。
问题2：想一想，异分母的分式如何加减？
【异分母分数加减法的法则】
通分，把异分母分式化为同分母分式。
如 应该怎样计算？12
7
3
1
问题3：想一想，异分母的分式如何进行加减？
aa 4
13 如 应该怎样计算？
探 索
探索异分母分式的加减法的法则想一想
2、与异分母分式的加减法类似，异分母分式相加
减，需要先通分，变为同分母的分式，再加减 。
1、计算：
异分母分式
的加减法
同分母分式
的加减法
分母不变分
子相加减
通
分
法
则
aaa 4
3
3
2
2
1
三、例题讲解与练习
例2：计算 ：
2a a ba b
baba
a
2
解：
1
2 ba
ba
a
ba
baba
ba
a
))((2
ba
baa
)( 222
.
2
ba
b
想一想：还有
没有其他的解
法？
2、计算：
2
1 1
aa a
4 22 aa
2
1 11 11 x x
1 1 1
( )( ) ( )( ) ( )( )a b a c b c b a c a c b
（2）
（3）
（1）
（4）
异分母分式的加减法步骤：
1. 正确地找出各分式的最简公分母。
求最简公分母概括为：（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡出现字母为底的幂的因式都要取；（3）相同字母
的幂的因式取指数最大的。取这些因式的积就是最简公分母。
2.用公分母通分后，进行同分母分式的加减运算。
3.准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式。
4. 公分母保持积的形式，将各分子展开。
5. 将得到的结果化成最简分式。
链接一：甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地到乙地按v千
米/时的速度行驶，若按(v+a)千米/时的速度行驶，可提前
多少小时到达？
链接二：若 ，则 的值等于（ ）4
3
n
nm
m
n
4
7.A 3
4.B
7
4.C 4
3.D
（1）分式加减运算的方法思路：
通分
转化为
异分母
相加减
同分母
相加减
分子（整式）
相加减
分母不变
转化为
（2）分子相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看
成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错
误。
（3）分式加减运算的结果要约分，化为最简分式（或整式）。
课堂小结
4、对于混合运算，一般应按运算顺序，有括号先做括
号中的运算，若利用乘法对加法的分配律，有时可简
化运算，而合理简捷的运算途径是我们始终提倡和追
求的。
5、对每一步的变形，均应为后边运算打好基础，并为
后边运算的简捷合理提供条件．可以说，这是运算能
力的一种体现．
6、注意约分时的符号问题。
小测验： 1、填空：
= ； = ；
（3） 的最简公分母是 。
2、计算 的结果是（ ）
Ａ、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、
mn
nm
nm
m
22
2
mn
nm
2
mn
nm
2
mn
nm
2
3
mn
nm
2
3
3 5(1) xy xy
4 4(2) x y
x y y x
3 1 5
4 2 6x x x
、 、
3、计算：
b(3) ;3 2
a
a b
2
1 2(4) ;1 1a a
22(5) ;x xy
x y y x
(2) ;y x
x y x y
2 2 2
2 2 2
5 3 3 5 8(1) ;a b a b a b
ab ab ab
4(6) .xyx y x y
mm 3
2
9
12)1( 2 1)2(
22
ab
b
ba
aba
xx
x
xx
x
xx
x
2
4)44
1
2
2)(3( 222
))((
2))(4( 22
22
baba
ab
ba
ba
ba
ba
跟进练习
))(())((6
1
2)2
1
2(5
2
zyxy
zx
yzyx
yx
x
x
xx
x
）（
）（
第16章 分式
16.3 可化为一元一次方程的分式方程
(第1课时)
知道分式方程的概念，会判断一个方程是不是
分式方程,并会解分式方程.
1、下列关于 x 的式子是分式方程的有（ ）
A．1个 B. 2个 C.3个 D.4个
C
x
x
x
4
5
1)2(;21
11
）（
.24)5(;31
24
),(1)3(
xx
x
x
x
bab
x
a
x
）（
为已知数
分式方程：
方程中含有分式，并且分母中含有未知数，这样的方
程叫做分式方程。
分式方程的特点：
1、方程；
2、含有分式；
3、分母中含有未知数.
2、解方程： 21)2)(2(
6)1( x
x
xx
解：方程两边同时乘(x+2)(x-2)，约去分母，得
6=(x+2)(x-2)-x(x-2)
解这个整式方程，得 x=5.
检验：把x=5代入(x+2)(x-2),得
(x+2)(x-2)=(5+2)(5-2)≠0
所以x=5是原方程的解.
11
4
1
12 2
xx
x）（
解：方程两边同时乘(x+1)(x-1)，约去分母，得
(x+1)(x+1)-4=(x+1)(x-1).
解这个整式方程，得x=1.
检验：把x=1代入(x+1)(x-1),得
(x+1)(x-1)=0.
所以原方程无解.
在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含
未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原
分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.
因此，在解分式方程时必须进行检验.
解可化为一元一次方程的分式方程的一般步骤：
1、去分母，即在方程的两边都乘最简公分母，把原方程化
为整式方程。
2、解整式方程。
3、检验。即把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分
母的值不等于零的解是原方程的解，否则就不是原方程的解，
此时方程无解。
2、解方程：
3
2
65
1
2)3(
4
1
4
51)2(
3
423
1)1(
2
2
x
x
xx
x
x
x
xx
x
x
x
x
1、方程 有增根，则增根是（ ）01
)1(1
2
x
x A
A、1 B、-1 C、+1 D、0
3、当m为何值时，关于 x 的方程
会产生增根？
2
3
42
2
2 xx
mx
x
解：两边同时乘(x+2)(x-2),得2(x+2)+mx=3(x+2)，
整理,得(m-1)x=2.
∵原方程有增根,∴(x+2)(x-2)=0,
即x=2 或 x=-2.
把x=2代入(m-1)x=2,解得m=2.
把x=-2代入(m-1)x=2,解得m=0.
所以当m=0或m=2时方程会产生增根.
4、解关于x的方程 2( ).x m x n m nx n x m
解：去分母，得
x²-m²+x²-n²=2x²-2(m+n)x+2mn.
整理，得2(m+n)x=m²+n²+2mn，
即2(m+n)x=(m+n)².
∵m ≠ n，∴m+n ≠0 ，∴
经检验 是原方程的解.
所以原方程的解为 .
2
nmx
2
nmx
2
nmx
分式方程 整式方程去分母
2. 解分式方程的基本思想：
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
3. 解可化为一元一次方程的分式方程的步骤：
（1）去分母，把分式方程转化为整式方程；
（2）解整式方程；
（3）检验.
第16章 分式
16.3 可化为一元一次方程的分式方程
（第2课时）
自学检测
• 1、某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000 m的管道，决定由
甲、乙两个工程队来完成这一任务。已知甲工程队比乙工程队每天能多铺
设20m，且甲工程队铺设350m所用的天数与乙工程队铺设250m所用的天
数相同。问：甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
分析：此题的主要等量关系，甲工程队比乙工程队每
天多铺设20m，甲工程队铺设350m所用的天数等于乙
工程队铺设250m所用的天数.
解答：设甲工程队每天能铺设x m,则乙工程队每天
能铺设(x-20)m.
由题意得， .20x
250
x
350
2.农机厂职工到距工厂15千米的某地检修农机.一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余的人乘汽车出
发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度。
分析：（1）此题的相等关系是什么？
汽车所用时间=自行车所用时间-2/3小时.
（2）设自行车的速度是x千米/时，汽车的速度是3x千米/时.速度、时间、路程之间的关系如下表：
速度 路程（千米） 时间
自行车 x 15 15/x
汽车 3x 15 15/3x
解：设自行车的速度为x千米/时，那么汽车的速度为3x千米
/时，它们行驶15千米所用的时间分别是 时，和
时.根据题意，得
解得x=15.
经检验，15是原方程的根.
由x=15，得3x=45.
答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时.
3
215
3
15
xx
x
15
x3
15
方法归纳
与一元一次方程解应用题类似，列分式方程解应用题的步骤
归纳为：审、设、列、解、检、答。
1、审清题意，了解已知量和未知量是什么，找到关键语句，
用语言表述出等量关系.
2、设出未知数，有直接和间接两种设法，因题而异，用数量
关系式表示出已知量、未知量.
3、根据 等量关系表示出题目中的已知量、未知量，列出分
式方程：
4、解分式方程.
5、检验方程的解是否正确，是否符合题意.
6、写出答案.
当堂训练
1、一个分数的分母比分子大7，如果此分数的分子加17，分
母减4，所得新分数是原分数的倒数，则原分数为多少？
解：设原分数的分子为x，则分母为 x+7.
根据题意,得 3
7 17
x x
x x
解得x=3.
经检验,x=3是所列方程的根。
10
3
∴当x=3时，x+7=10，
2、甲、乙两人做某种机器零件。已知甲每小时比乙多做6个
甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等。求甲、乙每
小时各做多少个？
解：设乙每小时做x个机器零件，则甲每小时做(x+6)个机器
零件.
根据题意，得 ，解得x=12.
经检验x=12是所列方程的根。
∴当x=12时，x+6=18.
答：甲、乙两人每分钟分别做18个机器零件和12个机器零件。
9 0 6 0
6x x
3、 我部队由驻地到距30千米的地方去执行任务，由于情
况发生了变化，急行军速度必须是原计划的1.5倍，才能
按要求提前2小时到达，求急行军的速度？
解：设原计划的速度是x千米/时，则急行军的速度是
1.5x千米/时。根据题意， 得
解得x=5.
经检验，x=5是所列方程的根.
当x=5时，1.5x=7.5.
30 30 21.5x x
1、A，B两地相距135千米，两辆汽车从A开往B，大
汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分
钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5：2，求两车
的速度。
补救训练
解：设大车的速度为2x千米/时，小车的速度为5x千米/时，
根据题意得
解得 x=9
x2
135
x5
135
2
1
=5--
经检验x=9是原方程的解
当x=9时，2x=18，5x=45,符合题意.
答：大车的速度为18千米/时，小车的速度为45千米/时.
2、甲、乙两人分别从相距36km的A,B两地出发,相向而
行.甲从A地出发至1km时,发现遗忘物品在A地,便立即返
回,取了物品又立即从A地向B地行走,这样甲,乙两人恰在
AB中点处相遇.又知甲比乙每小时多走0.5km.求甲、乙
两人的速度。
解:设乙的速度为 km/h,则甲的速度为 km/h,则
由题意，得
x )5.0( x
5.0
22
1362
136
xx
解得 54.x
经检验，x=4.5是原方程的解.
当x=4.5时,x+0.5=5,符合题意.
答：甲的速度是5km/h,乙的速度是4.5km/h.
你能总结一下列分式方程解应用题的步骤吗？
课堂小结
第16章 分式
16.4 零指数幂与负整数指数幂
1. 掌握不等于零的零次幂的意义。
2. 掌握 （a≠0，n是正整数）并会运用它进行
计算。
3. 通过探索，体会到从特殊到一般的方法是研究数学
的一个重要方法。
n
n
aa 1
幂的运算性质:
0,4
3
2
1
anmaa
ab
a
aa
nm
n
nm
nm
且
m na
mna
n na b
m na
讲解零指数幂的有关知识
先考察被除数的指数等于除数的指数的情况.例如考
察下列算式：
52÷52，103÷103，a5÷a5(a≠0).
一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得
52÷52＝52-2＝50， 103÷103＝103-3＝100，
a5÷a5＝a5-5＝a0(a≠0).
另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除
法的意义可知，所得的商都等于1.
概 括
我们规定：50=1，100=1，a0=1（a≠0）.
任何不等于零的数的零次幂都等于1.
这就是说：
.12006.0.2 x，x 则若
03. 5 1 ;x x 当 时， 成立
02
0
0
0022
000
138
5210736
14.354
103102101
.1
qp
ba
：
计算
我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情
况，例如考察下列算式：
52÷55 103÷107
一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得
52÷55＝52-5＝5-3， 103÷107＝103-7＝10-4.
另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结
果为 3
7
10=10
3
3 4
10=10 10 4
1=10103÷107
2
5
5= 5
2
2 3
5= 5 5 3
1= 552÷55
概 括
由此启发，我们规定： 410
1
10-4＝
一般地，我们规定： n
n
aa 1
(a≠0，n是正整数)
任何不等于零的数的－n （n为正整数）次幂，等于
这个数的n 次幂的倒数.
这就是说：
35
1
5-3＝
.13.1 3 的取值范围求有意义若代数式 x，x
.01.010
;,3
1
4
12.2 1
x，
xx；x，
x
x
则若
则若则若
例1 计算：
（1）810÷810 ； （2）3-2 ； （3） 1
0
103
1
10 10 10-10 0(1) 8 8 8 8 1. 解：
2
2
1 1(2)3 .3 9
)3( .10
1
10
11103
1
1
1
0
例2 用小数表示下列各数：
（1）10-4 ； （2）2.1×10-5
＝2.1×0.00 001＝0.000 021.
410
1解: （1）10-4＝ ＝0.0001.
（2）2.1×10-5＝2.1× 510
1
例3 计算：
2 0 2 010 10 10 10 ；⑴
100 1 100 1
解： ⑴ 2 0 2 010 10 10 10
200
44 0 6 22 4 2 2 2 2 4 10 ⑵
44 0 6 22 4 2 2 2 2 4 10
4
4 6 2
2
1 12 2 2 22 10
4 1 4 6 2 22 2 10
5 22 10 3200
探索运用
现在，我们已经引进了零指数幂和负整数指数幂，
指数的范围已经扩大到了全体整数。那么，所学的幂
的性质是否还成立呢？与同学们讨论并交流一下，判
断下列式子是否成立。
（1）a2· a-3=a2+(-3)
（2）(a· b)-3=a-3b-3
（3）(a-3)2=a(-3)×2
（4）a2÷a-3=a2－ (-3)
做一做
计算：
0
2012
1
（1）（-0.1）0；（2） ；
2)12()12( 01 （5）
220 )2()2
1()2( （6）
2
2
1
（3）2-2；（4）
111. 3 2 .27
2. 1 , 1 ,
2 1 2. . . .1 1 1 1
n n
b bx a y a y
x x x xA B C Dx x x x
如果 ，求 的值
如果 则 等于
计算(2mn2)-3(mn-2)5并且把结果化为只含有正整数指数
幂的形式。
5
3 22
1
2
m
nmn
5
3 6 10
1
8
m
m n n
2
168
m
n
)0(10 aa
任何不等于零的数的零次幂都等于１．
任何不等于零的数的负整数次幂等于它的正整数次幂
的倒数．
)0(1 aaa n
n ( 0)
n nb a aba b
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