华东师大版八年级数学下册第18章平行四边形

第18章 平行四边形 18.1 平行四边形的性质 这些图片中，有你熟悉的图形吗？ 1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边 形．如图：四边形ABCD是平行四边形, 记作： ABCD 读作：平行四边形ABCD 2．平行四边形相对的边称为 对边, 相邻的边称为邻边； 相对的角称为对角.相邻的角称为邻角. 3.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫平行四边形 的对角线． 平行四边形的相关概念 A D CB 平行四边形的性 质 性质１ A D CB 在平行四边形ABCD中， AB∥CD，AD∥BC。 性质２ A D CB 已知：平行四边形ABCD. 求证：AB＝CD，AD＝BC。 证明：如图，连接AC。 ∵四边形ABCD是平行四边形（已知）， ∴AB∥CD，AD∥BC（性质１）, ∴∠BAC＝∠DCA，∠ACB＝∠CAD（两直线平行，内错 角相等）. 在△ABC和△ADC中 ∵ ∠BAC＝∠DAC，AC＝CA，∠ACB＝∠CAD, ∴ △ABC≌ △ADC（ASA） ∴AB＝CD，AD＝BC（全等三角形的对应边相等）. 性质３ A D CB 已知：平行四边形ABCD。 求证： ∠A＝ ∠C， ∠B＝ ∠D。 证明：∵四边形ABCD是平行四边形（已知）, ∴AB∥CD，AD∥BC（性质１）, ∴∠A+∠D＝180°， ∠A+∠B＝180°（两直线平行，同 旁内角互补）, ∴ ∠B＝∠D（同角的补角相等）, 同理可证∠A＝ ∠C. 性质４ 已知：平行四边形ABCD，对角 线AC和BD交于点Ｅ. 求证：AE＝EC，BE＝ED。 证明：∵四边形ABCD是平行四边形（已知）, ∴AD＝BC（性质２），AD∥BC（性质１）, ∴∠ADB＝∠CBD，∠ACB＝∠CAD（两直线平行，内错角 相等）. 在△ADE和△CBE中， ∵ ∠ADB＝∠CBD，AD＝CB，∠CAD＝∠ACB， ∴ △ADE≌ △CBE（ASA）, ∴AE＝EC，BE＝ED（全等三角形的对应边相等）. 性质５ 已知：平行四边形ABCD， 求证：平行四边形ABCD是中 心对称图形。 证明：∵四边形ABCD是平行四边形（已知）, ∴AE＝EC，BE＝ED（性质４）, ∴点Ａ与Ｃ关于点Ｅ成中心对称，点Ｂ与Ｄ关于点Ｅ成 中心对称（中心对称的性质）, ∴平行四边形ABCD关于点Ｅ成中心对称。 几何语言： 两组对边分别平行且相等 ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD，AD∥BC．（平行四边形的对边平行） AB=CD, AD=BC. （平行四边形的对边相等） ∠A= ∠C, ∠B= ∠D（平行四边形的对角相等） AＥ= ＥC, BＥ= ＥD（平行四边形的对角线互相平分） 两组对角分别相等 A E D B F C 例1、在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂 足分别是E和F，求证：AE=CF. 证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,∠A= ∠C. ∵ DE⊥AB，BF⊥CD, ∴∠AED= ∠CFB. 在△ADE和△CBF中 ∠A＝∠C, ∠AED=∠CFB, AD=BC, ∴ △ADE≌ △CBF（AAS）, ∴ AE=CF. １、如图，在 ABCD中 A 基础知识： (1)若AB=1㎝，BC=2 ㎝, 则 ABCD的周长=______. (2)若AB=4㎝， BC=______.ABCD的周长为 18， B变式训练： (2)若AB：BC=3：4，周长为14㎝，则CD=——， DA=——. (1)若AB：BC=3：4，AB=6 ㎝，则BC=____，周长 =_____. C DA B 6cm 5cm 3cm 4cm 8cm 28cm A.6cm B.12cm C.4cm D.8cm A B D C ２.如图, □ABCD的周长是28cm,△ABC的周长是22cm, 则AC的长为( )D 3.已知□ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（ ） A. 4 B. 12 C. 24 D. 28 【解析】选B.根据平行四边形的性质可以得出AB=CD， BC=AD.又因为AB+CD+BC+AD=32，所以BC=12. 4.如图，在□ ABCD中，AC平分∠DAB，AB=3，则□ ABCD的周长为（ ） A.6 B.9 C.12 D.15 【解析】选C.∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠DAB= ∠DCB，AB∥CD，AB=CD,AD∥BC，AD=BC. 又∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC. ∴∠DAC=∠DCA,∴AD=DC.又∵AB=3, ∴□ABCD的周长为AB+BC+CD+DA=4AB=12. ５.如图,在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点.若 ∠ABE=∠EBC，AB=2，则平行四边形ABCD的周长是 ______. 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD BC，AB DC. ∵∠ABE=∠EBC,∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE. 又∵E是AD边上的中点, ∴AD=2AE=4， ∴平行四边形ABCD的周长为 AB+BC+CD+AD=2+4+2+4=12. 答案：12 ∥ ＝ ∥＝ ６.如图，在平面直角坐标系中，□ OBCD的顶点O,B,D 的坐标如图所示，则顶点C的坐标为（ ） x y C O (0,0) B(5,0) D(2,3) A. (3,7) B. (5,3) C. (7,3) D. (8,2) C 1、如图，在 若∠A=130°，则∠B=______ 、∠C=______ 、 ∠D=______. ABCD中， A:基础知识： B:变式训练： 若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=______ 、∠B=______. C DA B 50° 130° 50° 100° 80° ２.如图，在□ ABCD中， ∠B=110°，延长AD至点F， 延长CD至点E，连结EF，则∠E+∠F的值为（ ） A.110° B.30° C.50° D.70° 【解析】选D.在□ABCD中，∠B=110°， ∴∠ADC=∠B=110°，∴∠CDF=70°,由三角形外角的 性质得，∠E+∠F=70°. ３.已知□ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是 (  ) A.100°   B.160°   C.80°   D.60° 【解析】选C.∵∠A+∠C=200°，∠A=∠C， ∴∠A=100°.又∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°， ∴∠B=80°. ４.如图，将□ABCD的一边BC延长至点E，若∠A=110°， 则∠1=    . 【解析】在□ABCD中，∠BCD=∠A=110°， ∴∠1=180°-∠BCD=70°. 答案：70° １、如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8， AC⊥BC，求BC，CD，AC，OA的长以及□ ABCD的面 积. 8 10 B C DA ●O 解： ∴△ABC是直角三角形， 又∵AC⊥BC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=8，CD=AB=10. 2 2AC= AB -BC   2 210 8 6. 又∵OA=OC ,∴  1 3,2OA AC ∴ ∴S□ABCD= BC×AC=8×6=48。 与对角线相关的运算 2.若平行四边形的一边长为５,则它的两条对角线的长可 以是( ) Ａ. 12和2  Ｂ. 3和4 Ｃ. 4和6  Ｄ. 4和8 D O D B A C ３.如图,在□ABCD中, 对角线AC,BD相交于点O,且 AC+BD=20, △AOB的周长等于15,则CD=______.5 ４.如图，在□ ABCD中，对角线AC,BD交于点O，AC＝10， BD=8,则AD的取值范围是 . O D BA C ● 1＜AD＜9 ５.如图，在□ ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°， AE=2 cm，AC+BD=14 cm，则△OBC的周长是____cm. 【解析】在□ABCD中，BC=AD,OA=OC,OB=OD. ∵AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2 cm，∴AD=4 cm， BC=4cm. ∵AC+BD=14 cm， ∴OB+OC=7 （cm）， ∴△OBC的周长为OB+OC+BC=11（cm）. 答案：11 ６.平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，OA，OB， AB的长度分别为3 cm,4 cm,5 cm，求其他各边以及两条对角 线的长度. 【解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD. 又∵OA=3 cm，OB=4 cm，AB=5 cm， ∴AC=6 cm，BD=8 cm，CD=5 cm. ∵△AOB中，32+42=52，即AO2+BO2=AB2， ∴∠AOB=90°,∴AC⊥BD， ∴在Rt△AOD中，OA2+OD2=AD2， ∴AD=5 cm，BC=5 cm. 答：这个平行四边形的其他各边长都是5 cm，两条对角线 长分别为6 cm和8 cm. １.如图，在□ ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6， BC边上的高为4，则阴影部分的面积为( ) A.3 B.6 C.12 D.24 【解析】选C.观察图形会发现，每一小块阴影三角形都 与它相对的三角形全等，则阴影部分的面积等于平行四 边形面积的一半.故S阴影= = ×6×4=12.ABCD 1 S2  1 2 第18章 平行四边形 18.2 平行四边形的判定 第1课时 定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 性质： 边 对边平行 对边相等 角 对角相等 邻角互补 对角线互相平分对角线： 通过前面的学习，我们知道，平行四边 形对边相等、对角相等、对角线互相平分。 那么反过来，对边相等或对角相等或对角线 互相平分的四边形是不是平行四边形呢？ 创设情境，引入新课 探究1： 已知：如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，试问：四 边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由。 解：是平行四边形。理由如下： 如图，连结AC. AB=CD (已知)， AC=CA (公共边)， BC=DA(已知)， ∴△ABC≌ △CDA(SSS). 在△ABC和△CDA中, ∴ ∠1=∠3 , ∠ 2=∠4， ∴AB∥ CD , AD∥ BC ∴四边形ABCD是平行四边形。 A B C D12 3 4 由上述证明可以得到平行四边形的判定定理： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 几何语言描述判定： AB∥DC AD∥BC ABCD A B C D 探究2 已知：如图，四边形ABCD中，AB=CD， AB∥CD， 试问：四边 形ABCD是平行四边形吗？请说明理由。 B 解： 如图，连接AC. A C D 1 2 是平行四边形。理由如下： ∵AB∥CD, ∴ ∠BAC=∠ACD. 在△ABC和△CDA中, AB=CD (已知）， ∠BAC=∠ACD （已证）， AC=CA （公共边）， ∴△ABC≌ △CDA (SAS). ∴ ∠1=∠2， ∴ AD∥ BC. 又∵ AB∥ CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 由上述证明可以得到平行四边形的判定定理： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 几何语言描述判定： A B C D ABCDAD BC “ ”读作“平行且相等”. 探究3 已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，试问：四边 形ABCD是平行四边形吗？请说明理由。 A B C D O 解：是平行四边形。理由如下： 在△ABO和△CDO中, AO=CO（已知）， ∠AOB=∠COD （对顶角相等）， BO=DO（已知）， ∴△ABO≌ △CDO (SAS)， ∴ ∠ABO=∠ODC, ∠ BAO=∠OCD， ∴AB∥ CD , AD∥ BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 几何语言描述判定： AO=CO BO=DO ABCD 由上述证明可以得到平行四边形的判定定理： A B C D O 探究4 已知：四边形ABCD中, ∠A=∠C ，∠B=∠D. 试问：四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由。 A B C D 解：是平行四边形。理由如下： ∵∠A+∠C+∠B+∠D=3600， ∴2∠A+2∠B=3600， 即∠A+∠B=1800， ∴ AD∥ BC. 同理，得 AB∥ CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∠A=∠C，∠B=∠D， 由上述证明可以得到平行四边形的判定定理： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 几何语言描述判定： A B C D ∠A=∠C ∠B=∠D ABCD 三、应用练习 1、下面给出了四边形ABCD中 ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ，∠Ｄ 的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的 是（ ） Ａ．１：２：３：４  Ｃ．２：３：２：３    Ｂ．２：２：３：３ 需要两组对 角分别相等. Ｄ．２：３：３：２ C 2、在下列条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的 是（  ） Ａ．AB＝AD，CB＝CD  Ｂ．AB∥CD，AD＝BC Ｄ．∠A＝∠B，∠C＝∠D Ｃ．AB∥CD，AB＝CD A B C D 若一组对边平行,另一组对边 相等，这个四边形是平行四边 形吗？ C 3、填空题： 如图，在四边形ABCD中， A B C D ①如果AD=8cm，AB=4cm，且BC=____cm， CD=____cm，那么四边形ABCD是平行四边形。 ②若∠A=1200,则∠B=____0,∠C=____0，∠D=____0，则 四边形ABCD是平行四边形。 ③如果AD//BC，AD=6cm，且BC=___cm，那么四边形 ABCD是平行四边形。 8 4 点评：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 60 120 60 点评：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 6 点评：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4、已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点， 并且AE=CF。求证：四边形BFDE是平行四边形. O B A C E F D 证明：连接BD. 在平行四边形ABCD中，AO=CO，BO=DO， ∵AE=CF， ∴AO-AE=CO-CF， ∴EO=FO. 又 ∵BO=DO， ∴ 四边形BFDE是平行四边形. (对角线互相平分的四边形是平行四边形） 归纳小结 判定 1 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 判定2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 判定3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 判定4 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 判定5 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 本节 课主要学习了平行四边形的判定定理： 第18章 平行四边形 18.2 平行四边形的判定 第2课时 1．回忆平行四边形的判定定理： 平 形 四 边 形 的 判 定 两组对边分别平行的四边形是平行四边形    边 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 角 对角线 温故知新 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要 使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了. 你能说出其中的道理吗？ 贴上图片 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB =CD,EB //FD． 又∵EB = AB ,FD = CD， ∴EB =FD ． ∴四边形EBFD是平行四边形． 1 2 1 2 例1 如图 ，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD 的中点. 求证：四边形EBFD是平行四边形. 1. 已知：如图，在四边形 ABCD中，对角线AC和BD 相交于点O，AO=OC，BA⊥AC，DC⊥AC. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 练习 例2、已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两 点，并且AE=CF。 求证：四边形BFDE是平行四边形. O B A C E F D 证明：连接BD. 在平行四边形ABCD中，AO=CO，BO=DO， ∵AE=CF， ∴AO-AE=CO-CF， ∴EO=FO. 又 ∵BO=DO， ∴ 四边形BFDE是平行四边形. (对角线互相平分的四边形是平行四边形） 大 显 身 手 练习2 已知：E、F是平行四边形ABCD对角线 AC上的两点，并且 求证：四边形BFDE是平行四边形. DA B C E F BE∥DF. 练习3：已知：如图，在四边形ABCD中， ∠BAD=∠BCD， ∠B=∠D。求证：四边形ABCD 是平行四边形.     两组对边分别平行的四边形是平行四边形平 形 四 边 形 的 判 定 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 边 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线 判定一个四边形是平行四边形的方法：