华东师大版八年级数学下册第19章矩形、菱形与正方形

第19章 矩形、菱形与正方形 19.1 矩 形 第1课时 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 A B C D 四边形 ABCD 如果 AB∥CD AD∥BC B D ABCD A C 平行四 边形的 性质： 边 平行四边形的对边平行； 平行四边形的对边相等. 角 平行四边形的对角相等； 平行四边形的邻角互补. 对角线 平行四边形的对角线互相平分. 平行四 边形的 判定 边 两组对边分别平行的四边形 两组对边分别相等的四边形 角 两组对角分别相等的四边形 对角线 对角线互相平分的四边形 一组对边平行且相等的四边形 平行四边形的判定定理： 一个角是 直角 两组对边 分别平行 平行 四边形 矩形 我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行 四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质， 同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平行四 边形，也就是这堂课我们就来研究一种特殊的平行四 边形—— .矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形 平行四边形 矩形有一个角 是直角 矩形是特殊的平行四边形 探究点一 矩形的定义   具备平行四边形所有的性质 A B C D O 角 边 对角线 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 矩形的一般性质： 探究点二 矩形的性质 矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形 的所有性质外，还有哪些特殊的性质呢？ 猜想1：矩形的四个角都是直角． 猜想2：矩形的对角线相等． A B C D 求证：矩形的四个角都是直角． 已知：如图，四边形ABCD是矩形. 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°. A B C D 证明： ∵四边形ABCD是矩形， ∴ ∠A=90°. 又∵ 矩形ABCD是平行四边形， ∴ ∠A=∠C ，∠B = ∠D ∠A +∠B = 180°. ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90° 即矩形的四个角都是直角 已知：如图,四边形ABCD是矩形， 求证：AC = BD. A B C D 证明：在矩形ABCD中 ∵∠ABC = ∠DCB = 90°， AB = DC ， BC = CB， ∴△ABC≌ △DCB. ∴AC = BD，即矩形的对角线相等. 求证:矩形的对角线相等 矩形特殊的性质 矩形的四个角都是直角． 矩形的两条对角线相等． 从角上看： 从对角线上看： 矩形的 两条对角线互 相平分 矩形的两组对边分别相等 矩形的两组对边分别平行 矩形的四个角都是直角 矩形 的两条对角线相等 边 对角线 角 数学语言 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD = BC ，CD = AB， AD ∥BC ，CD ∥AB. AC= BD， A B C D O ∴ AO= CO ，OD = OB， ，090 DCBA 观察并思考 下面这些物体是什么形状,它们是轴对称图形吗?是中心 对称图形吗？有几条对称轴? 边 角 对角线 对称性 平行四 边形 矩形 对边平行 且相等 对角相等， 邻角互补 对角线互 相平分 中心对 称图形 对边平行 且相等 四个角 为直角 对角线互 相平分且 相等 中心对称图 形，轴对称 图形 这是矩形所特有 的性质 O D CB A相等的线段： AB=CD，AD=BC，AC=BD， OA=OC=OB=OD= AC= BD.2 1 2 1 相等的角： ∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90° ∠AOB=∠DOC，∠AOD=∠BOC， ∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD ， ∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB. 已知四边形ABCD是矩形 O D CB A 等腰三角形有： △OAB △ OBC △OCD △OAD 直角三角形有： Rt△ABC Rt△BCD Rt△CDA Rt△DAB 全等三角形有： Rt△ABC ≌ Rt△BCD ≌ Rt△CDA ≌ Rt△DAB △OAB≌ △OCD △OAD≌ △OCB 已知四边形ABCD是矩形 例1: 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O， ∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线的长？ ∴AC与BD相等且互相平分， ∴ OA=OB. ∵ ∠AOB=60°， ∴ △AOB是等边三角形， ∴ OA=AB=4(㎝)， ∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝). 解：∵ 四边形ABCD是矩形， D CB A o 已知：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BO是AC上的中线. 求证: BO = AC. O CB A D证明: 延长BO至点D,使OD=BO, 连结AD、DC. ∵AO=OC, BO=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠ABC=900， ∴ ABCD是矩形， ∴AC=BD， 1 2 1 2∴BO= BD= AC. 2 1 探究点三 直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的 一半.     直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．   矩形是轴对称图形，连接对边中点的直线是它的两条对 称轴． 矩形  矩形的对边平行且相等； 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等且互相平分． 矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) B.对边相等 A.对角相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分 C • 已知:四边形ABCD是矩形 1.若已知AB=8㎝，AD=6㎝， 则AC＝____㎝ ， OB=____ ㎝. 2.若已知 ∠DOC=120°，AC＝8㎝，则AD= _____cm, AB= _____cm. O D C BA510 4 34 D CB A ┓ 3.已知△ABC是直角三角形，∠ABC=900，BD是斜边 AC上的中线. (1)若BD=3㎝ ,则AC＝ ㎝. (2) 若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝ ㎝， BD＝ ㎝. 6 5 10 四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个矩形的 四个顶点处，目标物放在对角线的交点处,这样的队形对 每个人公平吗?为什么？ O A B C D 公平,因为OA=OC=OB=OD 第19章 矩形、菱形与正方形 19.1 矩形 第2课时 小明利用周末的时间，为自己做了一个相框．   问题1 请你利用直尺和三角板帮他检验一下，相框 是矩形吗？   除了矩形的定义外，有没有其他判定矩形的方法呢？ 证明 逆命题 （修正）   问题2 你还记得学习平行四边形的判定时，我们 是如何猜想并进行证明的吗？ 性质  猜想  判定定理   1．掌握矩形的两个判定定理，能根据不同的条件，选  取适当的定理进行推理计算； 2．经历矩形判定定理的猜想与证明过程，渗透类比 思想，体会类比学习和图形判定探究的一般思路．   同样，我们能否通过研究矩形性质的逆命题，得到 判定矩形的方法呢？   猜想1 对角线相等的平行四边形是矩形．   猜想2 三个角是直角的四边形是矩形．   问题3 如何证明这两个猜想？ 证明猜想  猜想1 对角线相等的平行四边形是矩形．   在 ABCD中，AC=BD．求证：四边形ABCD是矩形．   B  C  D A  证明猜想  猜想2 有三个角是直角的四边形是矩形．   在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．   求证：四边形ABCD是矩形．   B  C  D A  方法1：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形； 方法2：对角线相等的平行四边形是矩形； 方法3：有三个角是直角的四边形是矩形． 理一理 你能归纳矩形的判定方法吗？ × √ × √ √ 练习1 现在你能帮小明解决问题了吗？小明判定相框为 矩形的下列方法中哪些正确？为什么？ （1）有一个角是直角的四边形是矩形；（ ） （2）四个角都相等的四边形是矩形；（ ） （3）对角线相等的四边形是矩形；（ ） （4）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ ） （5）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩 形．（ ） 探究点二 矩形判定的运用   例 如图，在  ABCD中，对角线AC，BD相交于点  O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．   A  B  C D  O  在“？”号处填上恰当的条件： 四边形 平行四边形 矩形 ？ ？ ？ 一种学习方法 两个猜想证明 三种判定方法 1.如图，口ABCD的对角线AC、BD相交于点O， △OAB是等边三角形，且AB=4.求口ABCD的面积. 解：∵△OAB是等边三角形且四边形ABCD的对角线 AC、BD互相平分 ， ∴AO=OB=OC=OD=AB=DC=4. ∵∠AOB= ，∴∠AOD= 又∵AO=DO ，∴∠ADC= ， ∴四边形ABCD是矩形，AC=8 ，DC=4， AD= ， ∴平行四边形ABCD面积为 . 60 120 90 34 316 2、如图AC，BD是矩形ABCD的两条对角线， AE=CG=BF=DH.求证：四边形EFGH是矩形. H E G F C O B A D 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC， OB=OD ，OE=OA-AE，OG=OC-CG. ∵AE=CG ，∴OE=OG， OF=OB-BF，OH=OD-DH. ∵BF=DH ， ∴OF=OH ， ∴四边形EFGH是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD， EG=AC-AE-CG， FH=BD-BF-DH， ∴EG=FH ， ∴平行四边形EFGH是矩形. 第19章 矩形、菱形与正方形 19.2 菱形 第1课时 1．理解菱形的概念，会用菱形的性质解决简单的问题； 2．经历类比矩形探究菱形性质的过程，通过观察、类比、 猜想、证明等活动，体会几何图形研究的一般步骤 和 方法． 四条相等的木条 ∵AB＝CD，AD＝BC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. （两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 探究点一 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形； AB=BC 四边形ABCD是菱形 平行四边形ABCD A B C D 请同学们拿出准备好的矩形纸片按照下图对折、 再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可得到一个 菱形。 已知四边形ABCD是菱形 A B C D O1 2 3 45 6 7 81、图中有哪些相等的线段？ 2、图中有哪些相等的角？ 3、图中有哪些等腰三角形？ 4、图中有哪些直角三角形？ 5、菱形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？ 分别是什么？对称轴间有什么关系？ 探究点二 菱形的性质 已知四边形ABCD是菱形 A B C D O1 2 3 45 6 7 8 1、相等的线段： AB=CD=AD=BC OA=OC，OB=OD 已知四边形ABCD是菱形 A B C D O1 2 3 45 6 7 8 2、相等的角： ∠DAB=∠BCD ， ∠ABC =∠CDA ∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90° ∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8 已知四边形ABCD是菱形 A B C D O1 2 3 45 6 7 8 3、等腰三角形有： △ABC △ DBC △ACD △ABD 已知四边形ABCD是菱形 A B C D O1 2 3 45 6 7 8 4、直角三角形有： Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA 已知四边形ABCD是菱形 A B C D O1 2 3 45 6 7 8 5、菱形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别 是什么？对称轴之间有什么位置关系？ 是 两条 AC、BD所在的直线 互相垂直 命题： 菱形的四条边都相等。 A B C D 命题：菱形的对角线互相垂直平分， 并 且每一条对角线平分一组对角. A B C D O 命题： 菱形的四条边都相等。 已知：如图,四边ABCD是菱形. 求证：AB=BC=CD=AD. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴ AB=CD，AD=BC (平行四边形的两组对边 分别相等）， AB=AD (菱形的定义）， ∴ AB=BC=CD=AD. A B C D 已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如下图， 证明：∵四边形ABCD是菱形， A B C D O在△ABD中，又∵BO=DO， ∴AB=AD（菱形的四条边都相等）. ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD， 同理 AC平分∠BCD， BD平分∠ABC和∠ADC. 求证：AC⊥BD ； AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分 ∠ABC和∠ADC. 命题：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平 分一组对角. 【菱形的面积公式】  菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形的 面积公式计算菱形的面积吗? S菱形=BC× AE 想一想:已知菱形的两条对角线的长，能求出它的面积吗? 2 1= + = AC×BD 菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半 菱形 A B C D O E ABCDS菱形 ABDSV BCDSV 1、菱形的四条边相等 2、菱形的两条对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角。 3、菱形是轴对称图形，对角线所在的直线是对称轴。 菱形 A B C D E O 4、菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半 菱形的性质： 如图，菱形花坛ABCD的周长为80m， ∠ABC＝60°， 沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条 小路的长和花坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m2 ） 解：∵ 花坛ABCD是菱形,∴AC⊥BD, ∠ABO = ∠ABC = ×60°=30°，2 1 2 1 AB = BC = CD = AD = ×80 = 20 (m).4 1 在Rt△OAB中，AO= AB= ×20=10(m)， 2 1 2 1 BO= ≈17.32（m），2222 1020  AOAB ∴ 花坛的两条小路长 AC = 2AO = 20 (m)， BD = 2BO ≈34.64(m). 花坛的面积S菱形ABCD = AC·BD≈346.4 ( m2 )， （1）什么样的图形叫做菱形？菱形与平行四边形有 什么关系？ （2）菱形具有哪些性质？哪些是一般平行四边形所 具有的？哪些是一般平行四边形不具有的？菱 形的性质与矩形的性质有什么相同点和不同点？ （3）结合本节课的学习，谈谈研究几何图形性质的 体会．   变式 若E是BD上任意一点，那么AE与CE 有怎样 的数量关系？ A  B  C  D    1. 如图，在菱形ABCD中，若∠ABC=2∠BAD， 则∠BAD=    ，△ABD为   三角形． 2、已知 四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交 点，AB=5cm,AO=4cm,求两条对角线AC和BD 的长。 3、菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm，求菱 形的周长和面积。 4、把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断 重叠部分ABCD的形状吗？ A C D B D CB A E F 第19章 矩形、菱形与正方形 19.2 菱形 第2课时   我们学习了矩形的定义、性质和判定，如下表 ．你 能发现矩形的三条判定定理分别是从哪个角度得到的吗？ 矩形的 定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩 形 矩形的 性质 具有平行四边形的所有性质 对角线相等 四个角都是直角 有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 C  D A  B  O  矩形的 判定   菱形的定义与性质如下表．你认为可以从哪些角度 思考菱形的判定条件？ 菱形的 定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形  菱形的 性质 具有平行四边形的所有性质 对角线互相垂直且平分每一组对角  菱形的四条边都相等  菱形的 判定 C  D  A  B  O  ？ 1．掌握菱形的三种判定方法，能根据不同的已知 条   件，选择适当的判定定理进行推理和计算； 2．经历菱形判定定理的探究过程，渗透类比思想， 体会研究图形判定的一般思路． 定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 探究点一 菱形的判定  求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．    如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且    AC⊥BD．求证： ABCD是菱形． B  C  A   D  O  求证：四边都相等的四边形是菱 形．    如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA． 求证：四边形ABCD是菱形． D  C  A   B    定理2：四边都相等的四边形是菱形． 菱形的 定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形  菱形的 性质 具有平行四边形的所有性质 对角线互相垂直且平分每一组对角  菱形的四条边都相等  菱形的 判定 C  D  A  B  O  一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四条边都相等的四边形是菱形 A B C DO菱形 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO= . 又∵AC⊥BD, ∴AB=BC，(线段垂直平分线上的点_________ ______________) ∴ ABCD是菱形.（菱形的定义） ⊥ CO 到线段两个端 点的距离相等 已知：如图，在 ABCD中，AC BD, 求证： ABCD是 . 探究点二 菱形的判定的运用    如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于点E，DF∥ AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形． A  B  C D  E  F  三个角是直角  四条边都相等   一个角是直角  对角线相等  一组邻边相等   对角线互相垂直    两组对边分别平行  一组对边平行且相等 两组对边分别相等  两组对角分别相等 对角线互相平分  四边形   平行四边形   矩形   菱形   1、一边长为5cm的平行四边形，两条对角线的长分别 为6cm和8cm，那么平行四边形的面积是 . 2、菱形的两条对角线的长分别是3和4，则周长和面积 分别是 ， . 3、已知菱形的周长为80，其中一条对角线的长为20， 则较小的角的度数为____ ,面积为_____ ． 24 10cm 6 60° 3200 c㎡ c㎡   4、如图，用一长一短两根木条，在它们的中点处固 定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡 皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候 变成菱形？请说明理由． A  B  C D    5、如图，先画两条等长的线段AB，AD，然后分别 以B，D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交点为C，连接 BC，CD．得到的四边形ABCD是菱形吗？请说明理由． F  A  B  C  D E  O     6. 如图， ABCD的对角线AC的垂直平分线与 AD，BC分别交于点E，F．求证：四边形AFCE是菱形．  第19章 矩形、菱形与正方形 19.3 正方形 矩形的对角线相等。 矩形的性质 矩形的四个角都是直角。 矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质 菱形的四条边都相等。 菱形的对角线互相垂直。 你能从这个变化过程中给正方形下定义吗? 有一个角是直角的菱形叫做正方形。 有一组邻边相等的矩形叫做正方形。 有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。 是直角 有一个角 边相等 有一组邻 边相等 有一组邻 是直角 有一个角 (1)正方形是菱形吗？正方形具有哪些性质? 正方形是特殊的菱形，它具有平行四边形、矩形、菱 形的一切性质。 边：对边平行，四边都相等。 角：四个角都是直角 对角线：对角线相等且互相垂直平分 A B C D O 想一想 (2)正方形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴? 正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.即两条对角线， 两组对边的中垂线. A B C D O 本题还有其他解法吗? 解: ∵正方形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴ ∠AOB=90°. 又 ∵正方形ABCD既是矩形又是菱形， ∴ ∠BAD=90°, 且AC平分∠BAD， ∴ ∠OAB=45° 例1：如图，四边形ABCD是正方形，两条对角线相 交于点O，求∠AOB，∠OAB的度数。 例2：已知如图,在正方形ABCD中,点 E在AC上. 求证:BE=DE. 证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=AD, ∠BAC=∠DAC. 在△ABC和△ADC中 AB=AD， ∠BAC=∠DAC， AE=AE， ∴△ABC≌ △ADC (SAS)， ∴BE=DE (全等三角形的对应边相等）. A B C D E 例3 在正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，且 CE=AC, AE交DC于点F,试求∠E, ∠AFC的度数. 解：∵四边形ABCD为正方形， 0 01 1 90 452 2ACB BCD      ∵CE=AC， ∴∠E=∠CAE. ∵∠ACB是△ACE的一个外角， ∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E， 0 01 1 45 22.52 2E ACB      ∵∠AFC是△CEF的一个外角， ∴∠AFC=∠E+∠FCE=22.5°+90°=112.5° ∴∠E=22.5°, ∠AFC=112.5° 1.（1）边长为2cm 的正方形，对角线的长是______cm. （2）正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，则 有____个等腰直角三角形. 解:以正方形的四个顶点为直角顶点,共有4个等腰直角 三角形,以正方形两条对角线的交点为顶点的等腰直角 三角形也有4个,因而共有8个等腰直角三角形. 8 22 3.如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个 角，打开，怎样才能剪出一个正方形？ 只要保证剪口线与折痕成45°即可 正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间有什 么关系？ 正方形 矩形 有一组邻边相等 菱形 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一个角是直角平行四边形 有一个角是直角有一组邻边相等 边 角 对角线 平行四边形 对边平行且相等. 对角相等 对角线互相平分 矩形 对边平行且相等 四个角都 是直角 对角线互相平分且 相等 菱形 对边平行, 四条边相等 对角相等 对角线互相垂直、 平分 正方形 对边平行, 四条边相等 四个角都 是直角 对角线互相垂直、 平分且相等