冀教版八年级数学下册第22章测试题及答案

冀教版八年级数学下册第 22 章测试题及答案 22.1 平行四边形的性质 一、选择题 1．平行四边形不一定具有的性质是（ ） A．对角线互相平分 B．对边平行 C．对角线互相垂直 D．对边相等 2．如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，图中全等三角形有（ ） A．5 对 B．4 对 C．3 对 D．2 对 （第 2 题图） （第 3 题图） 3．如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BC 相交于点 O，已知△BOC 与△AOB 的周长之差为 3，平 行四边形 ABCD 的周长为 26，则 BC 的长度为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．已知平行四边形 ABCD 的一条边长是 5，则两条对角线的长可能是（ ） A．6 和 16 B．6 和 6 C．5 和 5 D．8 和 18 5．将一张平行四边形纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法有（ ） A．1 种 B．2 种 C．3 种 D．无数种 6．在平行四边形 ABCD 中，若∠A=30°，AB 边上的高为 8，则 BC=（ ） A．8 3 B．8 2 C．8 D．16 7．在平行四边形 ABCD 中，∠A 的平分线交 BC 于点 E，若 CD=10，AD=16，则 EC 为（ ） A．10 B．16 C．6 D．13 8．如图，在平行四边形 ABCD 中，若∠A=45°，AD= 6 ，则 AB 与 CD 之间的距离为（ ） A． 6 B． 3 C． 2 D．3 （第 8 题图） （第 9 题图） （第 10 题图） 9．如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AC=3cm，若△ABC 的周长为 8cm，则平行四边形的周长为（ ） A．5cm B．10cm C．16cm D． 11cm 10．如图，已知在平行四边形 ABCD 中，AB=6，BC=4，若∠B=45°，则平行四边形 ABCD 的面积为（ ） A．8 B．12 2 C．16 2 D．24 二、填空题 11．平行四边形的对角线_________． 12．如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，若 AO=4，BO=3，则 CO=______，BD=________． （第 12 题图） （第 13 题图） （第 14 题图） 13．如图，在平行四边形 ABCD 中，两条对角线交于点 O，有△AOB≌△_______，△AOD≌△_______． 14．如图，在平行四边形 ABCD 中，两条对角线交于点 O，若 AO=2cm，△ABC 的周长为 13cm，则平行四 边形 ABCD 的周长为______cm． 15．在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，若△AOB 的面积为 3，则平行四边形 ABCD 的面积 为______． 16．平行四边形的两组对边分别_________． 17．夹在两平行线的平行线段_______，夹在两平行线间_______相等． 18．在 ABCD 中，若 AB=3cm，AD=4cm，则它的周长为________cm． 19．已知平行四边形 ABCD 的周长为 26，若 AB=5，则 BC=________． 20．在平行四边形 ABCD 中，若 AB：BC=2：3，周长为 30cm，则 AB=______cm，BC=______cm． 三、解答题 21．如图，在平行四边形 ABCD 中，AD⊥BD，AD=4，DO=3．（1）求△COD 的周长；（2）直接写出YABCD 的面积． （第 21 题图） 22．如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，M，N 在对角线 AC 上，且 AM=CN，求 证：BM∥DN． （第 22 题图） 参考答案 一、1.C 2.B 3.D 4.B 5.D 6.D 7.C 8.B 9.B 10.B 二、11．互相平分 12．4，8 13．COD，COB 14．18 15．12 16．相等 17．相等，的垂线段 18．14 19．8 20．6，9 三、21．（1）8+2 13 ；（2）24 22．提示：证△ABM≌△CDN，得∠BMA=∠DNC，于是∠BMN=∠DNM，所以 BM∥DN. 22.2 平行四边形的判定 一．选择题（共 6 小题） 1．如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10， 则四边形 ABCD 的面积为（ ） （第 1 题图） A．6 B．12 C．20 D．24 2．如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F 是对角线 AC 上的两点，给出下列 四个条件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF．其中不能判定四边形 DEBF 是平行四边形的有（ ） （第 2 题图） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 3．下列说法中错误的是（ ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．有两对邻角互补的四边形为平行四边形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 4．如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，下列条件不能判定四边形 ABCD 为平行四边 形的是（ ） （第 4 题图） A．AB∥CD，AD∥BC B．OA=OC，OB=OD C．AD=BC，AB∥CD D．AB=CD，AD=BC 5．下列不能判定一个四边形是平行四边形的是（ ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 6．在下列条件中，不能确定四边形 ABCD 为平行四边形的是（ ） A．∠A=∠C，∠B=∠D B．∠A=∠B=∠C=90° C．∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180° D．∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180° 二．填空题（共 6 小题） 7．如图，四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，AO=CO，请添加一个条件 （只添一个即可），使四 边形 ABCD 是平行四边形． （第 7 题图） 8．如图，已知四边形 ABCD，对角线 AC，BD 交于点 O，AB=CD，请添加一个条件 （只添一个 即可），使四边形 ABCD 是平行四边形． （第 8 题图） 9．将两块相同的含有 30°角的三角尺按如图所示的方式摆放在一起，则四边形 ABCD 为平行四边形，请 你写出判断的依据 ． （第 9 题图） 10．如图，四边形 ABCD 中，AB=CD，对角线 AC，BD 相交于点 O，AE⊥BD 于点 E，CF ⊥BD 于点 F，连接 AF，CE，若 DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③四边形 ABCD 是平行四 边形：④图中共有四对全等三角形．其中正确结论是 （填序号） （第 10 题图） 11．如图，AD∥BC，要使四边形 ABCD 成为平行四边形还需要添加的条件是 （只需写出一个即 可） （第 11 题图） 12．如图，在▱ABCD 中，E，F 是对角线 BD 上的两点，要使四边形 AFCE 是平行四边形，则需添加的一 个条件可以是 ．（只添加一个条件） （第 12 题图） 三．解答题（共 12 小题） 13．如图，点 E 是平行四边形 ABCD 边 CD 上的中点，AE、BC 的延长线交于点 F，连接 DF．求证：四 边形 ACFD 为平行四边形． （第 13 题图） 14．在▱ABCD 中，∠DAB 与∠DCB 的角平分线 AE，CF 分别与对角线 BD 交于点 E 与点 F，连接 AF， CE． 求证：四边形 AECF 是平行四边形． （第 14 题图） 15．如图，在四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，O 是 AC 的中点，AB∥DC，AC=10，BD=8． （1）求证：四边形 ABCD 是平行四边形； （2）若 AC⊥BD，求平行四边形 ABCD 的面积． （第 15 题图） 参考答案 一．1．D 2．B 3．B 4．C 5．C 6．D 二．7． BO=DO．（答案不唯一） 8． AB∥CD 或 AD=BC（答案不唯一） 9．两组对边分別平行的四边形是平行四边形；两组对边分別相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（写出一种即可） 10．①②③ 11． AD=BC 或 AB∥CD 12． BF=DE 三．13．证明：∵在▱ABCD 中，AD∥BF． ∴∠ADC=∠FCD． ∵E 为 CD 的中点， ∴DE=CE． 在△ADE 和△FCE 中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA） ∴AD=FC． 又∵AD∥FC， ∴四边形 ACFD 是平行四边形． 14．证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC，∠DAB=∠DCB， ∴∠ADB=∠DBC. ∵AE 平分∠DAB，CF 平分∠DCB， ∴∠DAE= ∠DAB，∠BCF= ∠DCB， ∴∠DAE=∠BCF， ∵∠DAE=∠DCF，∠ADB=∠DBC，AD=BC. ∴△DEB≌△BFC， ∴AE=CF，∠DEA=∠CFB， ∴∠AEF=∠CFE， ∴AE∥CF. 又∵AE=CF， ∴四边形 AECF 是平行四边形. 15．证明：（1）∵AB∥DC， ∴∠OAB=∠OCD，∠AOB=∠COD， 又∵AO=CO， ∴△AOB≌△COD， ∴OD=OB， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． （2）∵AC⊥BD， ∴平行四边形 ABCD 是菱形， ∴平行四边形 ABCD 的面积为 S= AC×BD=40． 22.3 三角形的中位线 一．选择题 1．如图，△ABC 的周长为 19，点 D，E 在边 BC 上，∠ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为 N，∠ACB 的 平分线垂直于 AD，垂足为 M，若 BC=7，则 MN 的长度为（ ） （第 1 题图） A． B．2 C． D．3 2．如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°， 则下列结论不正确的是（ ） （第 2 题图） A．∠ECD=112.5° B．DE 平分∠FDC C．∠DEC=30° D．AB= CD 3．如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 上的中点，如果△ADE 的周长是 6，则△ABC 的周长是（ ） （第 3 题图） A．6 B．12 C．18 D．24 4．在△ABC 中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F 分别为 AB、BC、AC 中点，连接 DF、FE，则四边形 DBEF 的周长是（ ） （第 4 题图） A．5 B．7 C．9 D．11 二．填空题 5．如图，已知在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BC=6cm，则 DE 的长度是 cm． （第 5 题图） 6．如图：在△ABC 中，AB=13，BC=12，点 D，E 分别是 AB，BC 的中点，连接 DE，CD，如果 DE=2.5， 那么△ACD 的周长是 ． （第 6 题图） 7．如图，在△ABC 中，∠ACB=60°，AC=1，D 是边 AB 的中点，E 是边 BC 上一点．若 DE 平分△ABC 的周长，则 DE 的长是 ． （第 7 题图） 8．在△ABC 中，点 E，F 分别是边 AB，AC 的中点，点 D 在 BC 边上，连接 DE，DF，EF，请你添加一 个条件 ，使△BED 与△FDE 全等． （第 8 题图） 9．如图，在四边形 ABCD 中，P 是对角线 BD 的中点，E、F 分别是 AB、CD 的中点，AD=BC，∠FPE=100°， 则∠PFE 的度数是 ． （第 9 题图） 10．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E 分别为 AC、AB 的中点，连接 DE，则△ADE 的面积是 ． （第 10 题图） 三．解答题（共 12 小题） 11．如图，已知△ABC 中，D 为 AB 的中点． （1）请用尺规作图法作边 AC 的中点 E，并连接 DE（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，若 DE=4，求 BC 的长． （第 11 题图） 12．如图，已知△ABC，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，BC 的中点为 M，ME∥AD，交 BA 的延长线于 点 E，交 AC 于点 F． （1）求证：AE=AF； （2）求证：BE= （AB+AC）． （第 12 题图） 13．如图，M 是△ABC 的边 BC 的中点，AN 平分∠BAC，BN⊥AN 于点 N，延长 BN 交 AC 于点 D，已 知 AB=10，BC=15，MN=3 （1）求证：BN=DN； （2）求△ABC 的周长． （第 13 题图） 14．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90° （1）求作：△ABC 的一条中位线，与 AB 交于 D 点，与 BC 交于 E 点，（保留作图痕迹，不写作法） （2）若 AC=6，AB=10，连接 CD，则 DE= ，CD= ． （第 14 题图） 15．观察探究，完成证明和填空． 如图，四边形 ABCD 中，点 E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点，顺次连接 E、F、G、H， 得到的四边形 EFGH 叫中点四边形． （1）求证：四边形 EFGH 是平行四边形； （2）如图，当四边形 ABCD 变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空： （第 15 题图） 当四边形 ABCD 变成平行四边形时，它的中点四边形是 ； 当四边形 ABCD 变成矩形时，它的中点四边形是 ； 当四边形 ABCD 变成菱形时，它的中点四边形是 ； 当四边形 ABCD 变成正方形时，它的中点四边形是 ； （3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？ 16．在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，点 D 为 AC 的中点． （1）如图 1，E 为线段 DC 上任意一点，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90°得到线段 DF，连接 CF，过点 F 作 FH⊥FC，交直线 AB 于点 H．判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明； （2）如图 2，若 E 为线段 DC 的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是 否发生改变，直接写出你的结论，不必证明． （第 16 题图） 参考答案 一．1． C 2． C 3．B 4．B 二．5． 3 6．18 7． 8．D 是 BC 的中点 9．40° 10．6 三．11．解：（1）作线段 AC 的垂直平分线 MN 交 AC 于 E，点 E 就是所求的点． （第 11 题答图） （2）∵AD=DB，AE=EC， ∴DE∥BC，DE= BC， ∵DE=4， ∴BC=8． 12．证明：（1）∵DA 平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∵AD∥EM， ∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE， ∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF． （2）作 CG∥EM，交 BA 的延长线于 G． ∵EF∥CG， ∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE， ∵∠AEF=∠AFE， ∴∠G=∠ACG， ∴AG=AC， ∵EM∥CG， ∴ = ，∵BM=CM， ∴BE=EG， ∴BE= BG= （BA+AG）= （AB+AC）． （第 12 题答图） 13．（1）证明：∵AN 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∵BN⊥AN ∴∠ANB=∠AND=90° 在△ABN 和△ADN 中， ∵ ， ∴△ABN≌△ADN（ASA）， ∴BN=DN． （2）解：∵△ABN≌△ADN， ∴AD=AB=10， 又∵点 M 是 BC 中点， ∴MN 是△BDC 的中位线， ∴CD=2MN=6， 故△ABC 的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41． 14．解：（1）如答图． （第 14 题答图） （2）∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE= AC， ∵AC=6， ∴DE=3， ∵AB=10，CD 是 Rt△斜边上的中线等于斜边的一半， ∴CD=5. 15．（1）证明：连接 BD，如答图. ∵E、H 分别是 AB、AD 的中点， ∴EH 是△ABD 的中位线． ∴EH= BD，EH∥BD． 同理得 FG= BD，FG∥BD． ∴EH=FG，EH∥FG． ∴四边形 EFGH 是平行四边形． （2）填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形； （3）中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的． （第 15 题答图） 16．解：（1）FH 与 FC 的数量关系是 FH=FC． 证明如下：延长 DF 交 AB 于点 G. 由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF， ∴DG∥CB， ∵点 D 为 AC 的中点， ∴点 G 为 AB 的中点，且 ， ∴DG 为△ABC 的中位线， ∴ ． ∵AC=BC， ∴DC=DG， ∴DC﹣DE=DG﹣DF， 即 EC=FG． ∵∠EDF=90°，FH⊥FC， ∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°， ∴∠1=∠2． ∵△DEF 与△ADG 都是等腰直角三角形， ∴∠DEF=∠DGA=45°， ∴∠CEF=∠FGH=135°， ∴△CEF≌△FGH， ∴CF=FH． （2）FH 与 FC 仍然相等． 理由：由题意可得出：DF=DE， ∴∠DFE=∠DEF=45°， ∵AC=BC， ∴∠A=∠CBA=45°， ∵DF∥BC， ∴∠CBA=∠FGB=45°， ∴∠FGH=∠CEF=45°， ∵点 D 为 AC 的中点，DF∥BC， ∴DG= BC，DC= AC， ∴DG=DC， ∴EC=GF， ∵∠DFC=∠FCB， ∴∠GFH=∠FCE， 在△FCE 和△HFG 中 ， ∴△FCE≌△HFG（ASA）， ∴HF=FC． （第 16 题答图） 22.4 矩形 一．选择题 1．如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使顶点 B 落在边 AD 的 E 点上，折痕 FG 交 BC 于 G．交 AB 于 F，若 ∠AEF=30°，则∠FGB 的度数为（ ） （第 1 题图） A．25° B．30° C．35° D．40° 2．如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，∠BOC=120°，BO=4，则矩形的边 BC 的长是（ ） （第 2 题图） A．6 B．8 C．6 D．4 3．下列说法正确的是（ ） A．平行四边形对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的四个角都相等 D．菱形的对角线互相垂直平分且平分一组对角 4．如图，在矩形 ABCD 中，M 是 BC 边上一点，连接 AM，DM．过点 D 作 DE⊥AM，垂足为 E．若 DE=DC=1， AE=2EM，则 BM 的长为（ ） （第 4 题图） A．1 B． C． D． 5．关于特殊四边形对角线的性质，矩形具备而平行四边形不一定具备的是（ ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 6．矩形具有下列性质（ ） A．对角线相互垂直 B．对角线相等 C．一条对角线平分一组对角 D．面积等于两条对角线乘积的一半 7．如图，点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一个动点，矩形的两条边 AB、BC 的长分别为 6 和 8，那么点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是（ ） （第 7 题图） A． B． C． D．不确定 8．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 E，DF⊥AC 于 F 点，若∠ADF=3∠FDC，则∠DEC 的度数是（ ） （第 8 题图） A．30° B．45° C．50° D．55° 9．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，可用的方法是（ ） A．测量两条对角线是否相等 B．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直 C．测量两条对角线是否互相平分 D．用曲尺测量两条对角线是否互相垂直 10．如图，D，E 是△ABC 中 AB，BC 边上的点，且 DE∥AC，∠ACB 角平分线和它的外角的平分线分别 交 DE 于点 G 和 H．则下列结论错误的是（ ） （第 10 题图） A．若 BG∥CH，则四边形 BHCG 为矩形 B．若 BE=CE 时，四边形 BHCG 为矩形 C．若 HE=CE，则四边形 BHCG 为平行四边形 D．若 CH=3，CG=4，则 CE=2.5 11．如图，在矩形 COED 中，点 D 的坐标是（1，3），则 CE 的长是（ ） （第 11 题图） A．3 B． C． D．4 二．解答题 12．如图，DB∥AC，DE∥BC，DE 与 AB 交于点 F，E 是 AC 的中点． （1）求证：F 是 AB 的中点； （2）若要使 DBEA 是矩形，则需给△ABC 添加什么条件？并说明理由． （第 12 题图） 13．如图，在▱ABCD 中，AC=8，BD=12，点 E、F 在对角线 BD 上，点 E 从点 B 出发以 1 个单位每秒的 速度向点 D 运动，同时点 F 从点 D 出发以相同速度向点 B 运动，到端点时运动停止，运动时间为 t 秒． （1）求证：四边形 AECF 为平行四边形． （2）求 t 为何值时，四边形 AECF 为矩形． （第 13 题图） 14．如图，平行四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，EF⊥BD 于点 O，EF 分别交 AD，BC 于点 E，F．且 AE=EO= DE，那么平行四边形 ABCD 是否是矩形，为什么？ （第 14 题图） 参考答案 一．1． B 2． D 3．D 4．D 5．C 6．B 7．C 8．B 9．B 10．C 11．C 二．12．证明：（1）∵DE∥BC，BD∥AC ∴四边形 DBCE 是平行四边形 ∴DB=EC， ∵E 是 AC 中点 ∴AE=EC ∵AE=EC，AC∥DB ∴四边形 ADBE 是平行四边形 ∴AF=BF，即 F 是 AB 中点． （2）添加 AB=BC ∵AB=BC，AE=EC ∴BE⊥AC ∴平行四边形 DBEA 是矩形． 13．证明：在▱ABCD 中， ∵AD∥BC，AD=BC， ∴∠EBC=∠ADF， 由题意知，BE=DF， 在△BEC 与△DFC 中， ， ∴△BEC≌△DFC（SAS）， ∴CE=AF， 同理可得 AE=CF， ∴四边形 AECF 为平行四边形； （2）当 t=2 或 t=10 时以点 A，C，E，F 为顶点的四边形为矩形； （第 13 题答图） 理由：由矩形的性质知 OE=OF、OA=OC，要使∠EAF 是直角，只需 OE=OF=OA= AC=4cm． 则∠1=∠2，∠3=∠4， ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°， ∴2∠2+2∠3=180°， ∴∠2+∠3=90° 即∠EDF=90°． 此时 BE=DF= （BD﹣EF）= （12﹣8）=2cm 或 BE=DF=12﹣2=10cm 14．解：平行四边形 ABCD 是矩形． 如图所示，取 DE 的中点 G，连接 OG， ∵EF⊥BD， ∴Rt△DOE 中，OG= DE=EG=DG， ∵AE=EO= DE， ∴EO=OG=EG， ∴△OEG 是等边三角形， ∴∠AEO=∠DGO=120°， 又∵AE=DG，OE=OG， ∴△AOE≌△DOG， ∴AO=DO， 又∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AC=2AO=2DO=BD， ∴平行四边形 ABCD 是矩形． （第 14 题答图） 22.5 菱形 一．选择题（共 6 小题） 1．如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，若 AB=5，AC=6，则 BD 的长是（ ） （第 1 题图） A．8 B．7 C．4 D．3 2．如图，在菱形 ABCD 中，E 是 AC 的中点，EF∥CB，交 AB 于点 F，如果 EF=3，那么菱形 ABCD 的 周长为（ ） （第 2 题图） A．24 B．18 C．12 D．9 3．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 的长分别为 6 和 8，则这个菱形的周长是（ ） （第 3 题图） A．20 B．24 C．40 D．48 4．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AC=10，BD=24，则菱形 ABCD 的周长为（ ） （第 4 题图） A．52 B．48 C．40 D．20 5．菱形不具备的性质是（ ） A．四条边都相等 B．对角线一定相等 C．是轴对称图形 D．是中心对称图形 二．填空题 6．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC=8，BD=6，OE⊥AD 于点 E，交 BC 于点 F，则 EF 的长为 ． （第 6 题图） 7．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，连接 OH，若 OB=4， S 菱形 ABCD=24，则 OH 的长为 ． （第 7 题图） 8．如图，点 E、F、G 分别在菱形 ABCD 的边 AB，BC，AD 上，AE= AB，CF= CB，AG= AD．已 知△EFG 的面积等于 6，则菱形 ABCD 的面积等于 ． （第 8 题图） 9．如图，在菱形 OABC 中，点 B 在 x 轴上，点 A 的标为（2，3），则点 C 的坐标为 ． （第 9 题图） 10．已知一个菱形的边长为 2，较长的对角线长为 2 ，则这个菱形的面积是 ． 三．解答题（共 11 小题） 11．如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AB=2． （1）求菱形 ABCD 的周长； （2）若 AC=2，求 BD 的长． （第 11 题图） 12．如图，在平行四边形 ABCD 中，P 是对角线 BD 上的一点，过点 C 作 CQ∥DB，且 CQ=DP，连接 AP、 BQ、PQ． （1）求证：△APD≌△BQC； （2）若∠ABP+∠BQC=180°，求证：四边形 ABQP 为菱形． （第 12 题图） 13．如图，在▱ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 上的点，且 DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形 AECF 是菱 形． （第 13 题图） 14．如图，已知 A、F、C、D 四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且 AB=DE． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若 EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形 EFBC 为菱形时 AF 的长度． （第 14 题图） 15．如图，在▱ABCD 中，作对角线 BD 的垂直平分线 EF，垂足为 O，分别交 AD，BC 于 E，F，连接 BE， DF．求证：四边形 BFDE 是菱形． （第 15 题图） 参考答案 一．1． A 2．A 3．A 4．A 5．B 二．6． 7．3 8．27 9．（2，﹣3）10． 2 ． 三．11．解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形，AB=2， ∴菱形 ABCD 的周长为：8； （2）∵四边形 ABCD 是菱形，AC=2，AB=2 ∴AC⊥BD，AO=1， ∴BO= ， ∴BD=2 12．（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， ∵CQ∥DB， ∴∠BCQ=∠DBC， ∴∠ADB=∠BCQ ∵DP=CQ， ∴△ADP≌△BCQ． （2）证明：∵CQ∥DB，且 CQ=DP， ∴四边形 CQPD 是平行四边形， ∴CD=PQ，CD∥PQ， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴AB=PQ，AB∥PQ， ∴四边形 ABQP 是平行四边形， ∵△ADP≌△BCQ， ∴∠APD=∠BQC， ∵∠APD+∠APB=180°， ∴∠ABP=∠APB， ∴AB=AP， ∴四边形 ABQP 是菱形． 13．证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵DE=BF， ∴AE=CF，∵AE∥CF， ∴四边形 AECF 是平行四边形， ∵AC⊥EF， ∴四边形 AECF 是菱形． 14．（1）证明：∵AB∥DE， ∴∠A=∠D， ∵AF=CD， ∴AF+FC=CD+FC， 即 AC=DF， ∵AB=DE， ∴△ABC≌△DEF． （2）如图，连接 EB 交 AD 于 O． 在 Rt△EFD 中，∵∠DEF=90°，EF=3，DE=4， ∴DF= =5， ∵四边形 EFBC 是菱形， ∴BE⊥CF，∴EO= = ， ∴OF=OC= = ， ∴CF= ， ∴AF=CD=DF﹣FC=5﹣ = ． 15．证明：∵在▱ABCD 中，O 为对角线 BD 的中点， ∴BO=DO，∠EDB=∠FBO， 在△EOD 和△FOB 中， ， ∴△DOE≌△BOF（ASA）； ∴OE=OF， 又∵OB=OD， ∴四边形 EBFD 是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形 BFDE 为菱形． 22.6 正方形 一．选择题（共 5 小题） 1．如图，在正方形 ABCD 中，A、B、C 三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣1，0）、（﹣3，0），将正方形 ABCD 向右平移 3 个单位，则平移后点 D 的坐标是（ ） （第 1 题图） A．（﹣6，2） B．（0，2） C．（2，0） D．（2，2） 2．关于▱ABCD 的叙述，正确的是（ ） A．若 AB⊥BC，则▱ABCD 是菱形 B．若 AC⊥BD，则▱ABCD 是正方形 C．若 AC=BD，则▱ABCD 是矩形 D．若 AB=AD，则▱ABCD 是正方形 3．下列说法中，正确的是（ ） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．对角线相等的平行四边形是正方形 C．相等的角是对顶角 D．角平分线上的点到角两边的距离相等 4．如图，边长分别为 4 和 8 的两个正方形 ABCD 和 CEFG 并排放在一起，连结 BD 并延长交 EG 于点 T， 交 FG 于点 P，则 GT=（ ） （第 4 题图） A． B．2 C．2 D．1 5．如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 S1，S2，则 S1+S2 的值为 （ ） （第 5 题图） A．16 B．17 C．18 D．19 二．填空题（共 3 小题） 6．如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 A 与原点重合，点 B 在 y 轴的正半轴上，点 D 在 x 轴的负半轴上， 将正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30°至正方形 AB'C′D′的位置，B'C′与 CD 相交于点 M，则点 M 的坐 标为 ． （第 6 题图） 7．在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，要使四边形 ABCD 是正方形，还需添加一组 条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且 AB=AD；②AB=BD，且 AB⊥BD；③OB=OC，且 OB⊥OC； ④AB=AD，且 AC=BD．其中正确的序号是 ． 8．如图，在正方形 ABCD 中，边长为 2 的等边三角形 AEF 的顶点 E、F 分别在 BC 和 CD 上，下列结论： ①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S 正方形 ABCD=2+ ． 其中正确的序号是 （把你认为正确的都填上）． （第 8 题图） 三．解答题（共 4 小题） 9．已知点 E 为正方形 ABCD 的边 AD 上一点，连接 BE，过点 C 作 CN⊥BE，垂足为 M，交 AB 于点 N． （1）求证：△ABE≌△BCN； （2）若 N 为 AB 的中点，求 tan∠ABE． （第 9 题图） 10．如图，在正方形 ABCD 中，AF=BE，AE 与 DF 相交于点 O． （1）求证：△DAF≌△ABE； （2）求∠AOD 的度数． （第 10 题图） 11．如图，等边△AEF 的顶点 E，F 在矩形 ABCD 的边 BC，CD 上，且∠CEF=45°．求证：矩形 ABCD 是 正方形． （第 11 题图） 12．如图，E 是正方形 ABCD 对角线 BD 上的一点，求证：AE=CE． （第 12 题图） 参考答案 一．1． B 2．C 3．D 4．B 5．B 二．6．（﹣1， ） 7．①③④ 8．①②④ 三．9．（1）证明：∵四边形 ABCD 为正方形 ∴AB=BC，∠A=∠CBN=90°，∠1+∠2=90° ∵CM⊥BE， ∴∠2+∠3=90° ∴∠1=∠3 在△ABE 和△BCN 中 ∴△ABE≌△BCN（ASA）； （2）∵N 为 AB 中点， ∴BN= AB 又∵△ABE≌△BCN， ∴AE=BN= AB 在 Rt△ABE 中，tan∠ABE═ ． 10．（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB， 在△DAF 和△ABE 中， ， ∴△DAF≌△ABE（SAS）， （2）由（1）知，△DAF≌△ABE， ∴∠ADF=∠BAE， ∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°， ∴∠AOD=180°﹣（∠ADF+DAO）=90°． 11．解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B=∠D=∠C=90°， ∵△AEF 是等边三角形， ∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60°， ∵∠CEF=45°， ∴∠CFE=∠CEF=45°， ∴∠AFD=∠AEB=180°﹣45°﹣60°=75°， ∴△AEB≌△AFD（AAS）， ∴AB=AD， ∴矩形 ABCD 是正方形． 12．证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=CB，∠ABE=∠CBE， 在△ABE 和△CBE 中， ， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴AE=CE． 22.7 多边形的内角和与外角和 一．选择题 1．一个正多边形的每一个外角都等于 30°，则这个多边形的边数是（ ） A．6 B．8 C．9 D．12 2．如图，小林从 P 点向西直走 12 米后，向左转，转动的角度为α，再走 12 米，如此重复，小林共走了 108 米回到点 P，则α﹣5 的值是（ ） （第 2 题图） A．35° B．40° C．50° D．不存在 3．如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC 与∠BCD 的平分线的交点 E 恰好在 AD 边上，则∠BEC=（ ） （第 3 题图） A．∠A+∠D﹣45° B． （∠A+∠D）+45° C．180°﹣（∠A+∠D） D． ∠A+ ∠D 4．如图，五边形 ABCDE 中，AE∥BC，则∠C+∠D+∠E 的度数为（ ） （第 4 题图） A．180° B．270° C．360° D．450° 5．一个多边形的内角和等于 360°，它是（ ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 6．如果某多边形的每个内角的大小都是其相邻外角的 3 倍，那么这个多边形是（ ） A．六边形 B．八边形 C．正六边形 D．正八边形 7．下列角度中，不能成为多边形内角和的是（ ） A．460° B．540° C．900° D．1260° 8．一个正多边形的内角和为 540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ） A．108° B．90° C．72° D．60° 9．若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ）边形． A．三 B．四 C．五 D．六 10．四边形的四个内角可以都是（ ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．以上答案都不对 二．11．如图，小明从点 O 出发，前进 5m 后向右转 15°，再前进 5m 后又向右转 15°，…这样一直下去， 直到他第一次回到出发点 O 为止，他所走的路径构成了一个多边形．小明一共走了 米？这个多 边形的内角和是 度？ （第 11 题图） 12．一个正多边形的每个内角等于 108°，则它的边数是 ． 13．在图中，x 的值为 ． （第 13 题图） 14．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= ． （第 14 题图 15．如图所示是三个边长相等的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，正多边形①和②的内角 都是 108°，则正多边形③的边数是 ． （第 15 题图） 三．解答题（共 3 小题） 16．如图，五角星的顶点为 A、B、C、D、E，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数？ （第 16 题图） 17．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，连接 BD，点 E 在 BC 边上，点 F 在 DC 边上，且∠1=∠2． （1）求证：EF∥BD； （2）若 DB 平分∠ABC，∠A=130°，∠C=70°，求∠CFE 的度数． （第 17 题图） 18．解答题： （第 18 题图） （1）如图①，△ABC 的内角∠ABC 的平分线与外角∠ACD 的平分线相交于 P 点，请探究∠P 与∠A 的关 系，并说明理由． （2）如图②③，四边形 ABCD 中，设∠A=α，∠D=β，∠P 为四边形 ABCD 的内角∠ABC 与外角∠DCE 的平分线所在直线相交而形成的锐角．请利用（1）中的结论完成下列问题： ①如图②，若α+β＞180°，求∠P 的度数．（用α，β的代数式表示） ②如图③，若α+β＜180°，请在图③中画出∠P，并直接写出∠P= ．（用α，β的代数式表示）（作图 2 分，写出结果） 参考答案 一．1．D 2．A 3．D 4．C 5．A 6．B 7．A 8．C 9．B 10．B 二．11． 120；3960 12．五 13． 135 14．360° 15．10 三．16．解：如答图. 由三角形的外角性质，得∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D， ∵∠1+∠2+∠E=180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°． （第 16 题答图） 17．解：（1）如答图. （第 17 题答图） ∵AD∥BC（已知）， ∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）． ∵∠1=∠2， ∴∠3=∠2（等量代换）． ∴EF∥BD（同位角相等，两直线平行）． （2）解：∵AD∥BC（已知）， ∴∠ABC+∠A=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵∠A=130°（已知）， ∴∠ABC=50°． ∵DB 平分∠ABC（已知）， ∴∠3= ∠ABC=25°． ∴∠2=∠3=25°． ∵在△CFE 中，∠CFE+∠2+∠C=180°（三角形内角和定理），∠C=70°， ∴∠CFE=85°． 18．解：（1）如答图 1 中，结论：2∠P=∠A． （第 18 题答图） 理由：∵∠PCD=∠P+∠PBC，∠ACD=∠A+∠ABC， ∵P 点是∠ABC 和外角∠ACD 的角平分线的交点， ∴2∠PCD=∠ACD，2∠PBC=∠ABC， ∴2（∠P+∠PBC）=∠A+∠ABC， 2∠P+2∠PBC=∠A+∠ABC， 2∠P+∠ABC=∠A+∠ABC， ∴2∠P=∠A； （2）①如答图 2 中， 解法一：由四边形内角和定理得，∠BCD=360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC， ∴∠DCE=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）=∠A+∠D+∠ABC﹣180°， 由三角形的外角性质得，∠DCE=∠A+∠D+∠ABC，∠PCE=∠P+∠PBC， ∵BP、CP 分别是∠ABC 和∠DCE 的平分线， ∴∠PBC= ∠ABC，∠PCE= ∠DCE， ∴∠P+∠PBC= （∠A+∠D+∠ABC﹣180°）= （∠A+∠D）+ ∠ABC﹣90°， ∴∠P= （∠A+∠D）﹣90°， ∵∠A=α，∠D=β， ∴∠P= （α+β）﹣90°； 解法二：延长 BA 交 CD 的延长线于点 F． ∵∠F=180°﹣∠FAD﹣∠FDA=180°﹣（180°﹣α）﹣（180°﹣β）=α+β﹣180°， 由（1）可知，∠P= ∠F， ∴∠P= （α+β）﹣90°； ②如图 3，延长 AB 交 DC 的延长线于 F． ∵∠F=180°﹣α﹣β，∠P= ∠F， ∴∠P= （180°﹣α﹣β）=90°﹣ α﹣ β