人教版八年级数学下册第17章同步测试题及答案

最新人教版八年级数学下册第 17 章同步测试题及答案 第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理同步练习 一、选择题 1. 在 △ ABC 中，AB = 10，AC = 2 10，BC 边上的高 AD = 6，则另一边 BC 等于 ( ) A. 10 B. 8 C. 6 或 10 D. 8 或 10 2. 如图，已知 Rt △ ABC 中， ∠ ACB = 90 ∘ ，CD 是高， ∠ A = 30 ∘ ，BD = 2cm，求 AB 的长( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 如图，以 Rt △ ABC 为直径分别向外作半圆，若S1 = 10，S3 = 8，则S2 = ( ) A. 2 B. 6 C. 2 D. 6 4. 直角三角形的斜边为 20cm，两直角边之比为 3：4，那么这个直角三角形的周长为( ) A. 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm 5. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所 示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形， 设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为 b，若(a + b)2 = 21，大正方形的 面积为 13，则小正方形的面积为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 1，BC = 2，将其折叠使 AB 落在对角线 AC 上， 得到折痕 AE，那么 BE 的长度为( ) A. 2−1 2 B. 3−1 2 C. 5−1 2 D. 6−1 2 7. 如图，正方形 ABCD 的边长为 10，AG = CH = 8，BG = DH = 6，连接 GH，则线段 GH 的长为( ) A. 8 3 5 B. 2 2 C. 14 5 D. 10 − 5 2 8. 如图是一块长，宽，高分别是 6cm，4cm 和 3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从 长方体木块的一个顶点 A 处，沿着长方体的表面到长方体上和 A 相对的顶点 B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是( ) A. (3 + 2 13) cm B. 97 cm C. 85 cm D. 109 cm 9. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的 距离为 0.7 米，顶端距离地面 2.4 米.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在 右墙时，顶端距离地面 2 米，则小巷的宽度为( ) A. 0.7 米 B. 1.5 米 C. 2.2 米 D. 2.4 米 10. 如图，梯子 AB 靠在墙上，梯子的底端 A 到墙根 O 的距离为 2m，梯子的顶端 B 到地面的距离为 7m，现将梯子的底端 A 向外移动到 A'，使梯子的底端 A'到墙根 O 的距离等于 3m，同时梯子的顶端 B 下降至 B'，那么 BB'( ) A. 小于 1m B. 大于 1m C. 等于 1m D. 小于或等于 1m 二、填空题 11. 在 Rt △ ABC 中，已知两边长为 5、12，则第三边的长为______ ． 12. 如图，已知 △ ABC 中，AB = AC， ∠ C = 30 ∘ ，AB ⊥ AD，AD = 4，则 BC =______ ． 13. 如图，在 △ ABC 中， ∠ C = 90 ∘ ， ∠ BAC = 60 ∘ ，D 为 BC 上一点，过点 D 作 DE ⊥ AB，垂足为 E，连接 AD， 若 CD = DE = 1，则 AB 的长为______ ． 14. 如图，某会展中心在会展期间准备将高 5m，长 13m，宽 2m 的楼道上铺地毯， 已知地毯每平方米 18 元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要______ 元钱． 15. 如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 4，面积是 12，腰 AB 的垂直平分线 EF 分别交 AB，AC 于点 E、F，若点 D 为底边 BC 的中点，点 M 为线段 EF 上一 动点，则 △ BDM 的周长的最小值为______． 三、计算题 16. 如图，在 △ ABC 中，AD ⊥ BC，垂足为 D， ∠ B = 60 ∘ ， ∠ C = 45 ∘ ． (1)求 ∠ BAC 的度数． (2)若 AC = 2，求 AB 的长． 17. 已知：如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ C = 90 ∘ ，D 是 AC 上一点，DE ⊥ AB 于 E，且 DE = DC． (1)求证：BD 平分 ∠ ABC； (2)若 ∠ A = 36 ∘ ，求 ∠ DBC 的度数． 18. 如图，一架长为 5 米的梯子 AB 斜靠在与地面 OM 垂直的墙 ON 上，梯子底端距离墙 ON 有 3 米． (1)求梯子顶端与地面的距离 OA 的长． (2)若梯子顶点 A 下滑 1 米到 C 点，求梯子的底端向右滑到 D 的距离． 【答案】 1. C 2. C 3. A 4. D 5. C 6. C 7. B 8. C 9. C 10. A 11. 13 或 119 12. 12 13. 2 3 14. 612 15. 8 16. 解：(1) ∠ BAC = 180 ∘ − 60 ∘ − 45 ∘ = 75 ∘ ． (2) ∵ AC = 2， ∴ AD = AC ⋅ sin ∠ C = 2 × sin45 ∘ = 2； ∴ AB = AD sin ∠ B = 2 sin60 ∘ = 2 6 3 ． 17. (1)证明： ∵ DC ⊥ BC，DE ⊥ AB，DE = DC， ∴ 点 D 在 ∠ ABC 的平分线上， ∴ BD 平分 ∠ ABC． (2)解： ∵ ∠ C = 90 ∘ ， ∠ A = 36 ∘ ， ∴ ∠ ABC = 54 ∘ ， ∵ BD 平分 ∠ ABC， ∴ ∠ DBC = ∠ ABD = 27 ∘ ． 18. 解：(1)AO = 52 − 32 = 4 米； (2)OD = 52 − (4 − 1)2 = 4 米，BD = OD − OB = 4 − 3 = 1 米． 17.2 勾股定理的逆定理同步练习 一、选择题 19. 适合下列条件的 △ ABC 中，直角三角形的个数为( ) ① a = 3，b = 4，c = 5； ② a = 6， ∠ A = 45 ∘ ； ③ a = 2，b = 2，c = 2 2； ④∠ A = 38 ∘ ， ∠ B = 52 ∘ ． A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 20. 一个三角形的三边长为 15，20，25，则此三角形最大边上的高为( ) A. 10 B. 12 C. 24 D. 48 21. 在 △ ABC 中，AB = 2，BC = 5，AC = 3，则( ) A. ∠ A = 90 ∘ B. ∠ B = 90 ∘ C. ∠ C = 90 ∘ D. ∠ A = ∠ B 22. 在 △ ABC 中，AC = 9，BC = 12，AB = 15，则点 C 到 AB 的距离是( ) A. 36 5 B. 12 25 C. 9 4 D. 15 2 23. 三角形两边长分别是 8 和 6，第三边长是一元二次方程x2 − 16x + 60 = 0 一个实数根，则该三角形的面 积是( ) A. 24 B. 48 C. 24 或 8 5 D. 8 5 24. △ ABC 中， ∠ A， ∠ B， ∠ C 的对边分别为 a、b、c，下列说法中错误的( ) A. 如果 ∠ C − ∠ B = ∠ A，则 △ ABC 是直角三角形，且 ∠ C = 90 ∘ B. 如果c2 = a2 − b2，则 △ ABC 是直角三角形，且 ∠ C = 90 ∘ C. 如果(c + a)(c − a) = b2，则 △ ABC 是直角三角形，且 ∠ C = 90 ∘ D. 如果 ∠ A： ∠ B： ∠ C = 3：2：5，则 △ ABC 是直角三角形，且 ∠ C = 90 ∘ 25. 如图，已知点 A( − 8,0)，B(2,0)，点 C 在直线 y =− 3 4 x + 4 上，则使 △ ABC 是直角三角形的点 C 的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 26. △ ABC 中，AB = 13，BC = 10，BC 边上中线 AP = 12，则 AB，AC 关系为( ) A. AB > AC B. AB = AC C. AB < AC D. 无法确定 27. 长度分别为 9cm、12cm、15cm、36cm、39cm 五根木棍首尾连接，最多可搭成直角三角形的个数为( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 28. 如图，在 △ ABC 中，AB = 5，AC = 4，BC = 3，经过点 C 且与边 AB 相切的动 圆与 CA、CB 分别相交于点 P、Q，则线段 PQ 长度的最小值是( ) A. 4.75 B. 4.8 C. 5 D. 4 2 二、填空题 29. 如果三角形的三边分别为 2， 6，2，那么这个三角形的最大角的度数为______ ． 30. 若一三角形的三边长分别为 5、12、13，则此三角形的内切圆半径为______ ． 31. 如图，已知 △ ABC 三条边 AC = 20cm，BC = 15cm，AB = 25cm，CD ⊥ AB， 则 CD =______ cm 32. 如图所示，在 △ ABC 中，AB：BC：CA = 3：4：5，且周长为 36cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 点以每秒 1cm 的速度移动；点 Q 从点 B 沿 BC 边向点 C 以 每秒 2cm 的速度移动，如果同时出发，则过 3 秒时， △ BPQ 的面积为______ cm2 33. 在 △ ABC 中 BC = 2，AB = 2 3，AC = b，且关于 x 的方程x2 − 4x + b = 0 有两个相等的实数根，则 AC 边 上的中线长为______． 三、计算题 34. 已知如图，四边形 ABCD 中， ∠ B = 90 ∘ ，AB = 4，BC = 3，CD = 12，AD = 13， 求这个四边形的面积． 35. 如图，P 为等边 △ ABC 内一点，PA、PB、PC 的长为正整数，且 PA2 + PB2 = PC2， 设 PA = m，n 为大于 5 的实数，且满足m2n + 30m + 9n ≤ 5m2 + 6mn + 45，求 △ ABC 的面积． 36. 在直角三角形 ABC 中， ∠ ACB = 90 ∘ ，CD 是 AB 边上的高，AB = 10cm，BC = 8cm，AC = 6cm (1)求 △ ABC 的面积； (2)求 CD 的长； (3)若 △ ABC 的边 AC 上的中线是 BE，求出 △ ABE 的面积． 【答案】 1. C 2. B 3. A 4. A 5. C 6. B 7. C 8. B 9. B 10. B 11. 90 ∘ 12. 2 13. 12 14. 18 15. 2 16. 解：连接 AC，如图所示： ∵ ∠ B = 90 ∘ ， ∴△ ABC 为直角三角形， 又 AB = 4，BC = 3， ∴ 根据勾股定理得：AC = AB2 + BC2 = 5， 又 AD = 13，CD = 12， ∴ AD2 = 132 = 169，CD2 + AC2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169， ∴ CD2 + AC2 = AD2， ∴△ ACD 为直角三角形， ∠ ACD = 90 ∘ ， 则S四边形 ABCD = S △ ABC + S △ ACD = 1 2 AB ⋅ BC + 1 2 AC ⋅ CD = 1 2 × 3 × 4 + 1 2 × 12 × 5 = 36． 17. 解：m2n + 30m + 9n ≤ 5m2 + 6mn + 45， ∴ 分解因式得：(n − 5)(m − 3)2 ≤ 0， ∵ n 为大于 5 的实数， ∴ m − 3 = 0，即：PA = m = 3， ∵ PA2 + PB2 = PC2，PA、PB、PC 的长为正整数， ∴ PB = 4，PC = 5， 设 ∠ PAB = Q，等边三角形的边长是 a， 则 ∠ PAC = 60 ∘ − Q， 由余弦定理得：cosQ = AB2+PA2−BP2 2AB ⋅ PA = a2−7 6a ，(1) cos(60 ∘ − Q) = PA2+AC2−PC2 2PA ⋅ AC = a2−16 6a ，(2) 而 cos(60 ∘ − Q) = cos60 ∘ cosQ − sin60 ∘ sinQ， = cosQ 2 − 3sinQ 2 = a2−16 6a ，(3) 将(1)代入(3)得： 1 2(a2−7) 6a − 3sinQ 2 = a2−16 6a ， 解得：sinQ = 25−a2 6 3a ， ∵ (sinQ)2 + (cosQ)2 = 1， ∴ ( 25−a2 6 3a )2 + ( a2−7 6a )2 = 1， 令a2 = t， ∴ (25−t)2 108t + (t−7)2 36t = 1， 解得：t1 = 25 + 12 3，t2 = 25 − 12 3， 由(1)知 a > 0，cosQ > 0， 即a2−7 6a > 0，a2 > 7， ∴ t2 = 25 − 12 3 < 7，不合题意舍去， ∴ t = 25 + 12 3， 即a2 = 25 − 12 3， 过 A 作 AD ⊥ BC 于 D， ∵ 等边 △ ABC， ∴ BD = CD = 1 2 a， 由勾股定理得：AD = 3 2 a， ∴ S △ ABC = 1 2 ⋅ a ⋅ 3 2 a = 3 4 a2 = 9 + 25 4 3． 答： △ ABC 的面积是 9 + 25 4 3． 18. 解：(1) ∵ ∠ ACB = 90 ∘ ，BC = 8cm，AC = 6cm， ∴ S △ ABC = 1 2 AC ⋅ BC = 1 2 × 6 × 8 = 24； (2) ∵ S △ ABC = 1 2 × AB × CD = 24， ∴ CD = 4.8cm； (3) ∵ AE = CE， ∴ S △ ABE = S △ BCE = 1 2 S △ ABC = 12， ∴△ ABE 的面积为 12cm2．