湘教版八年级数学下册第4章一次函数

第 4 章 一次函数 4.1 函数和它的表示法 4.1.1 变量 与函数 看图回答： （ 1 ）这天的 6 时、 10 时和 14 时的气温分别为多少 ？ 任意 给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温． （ 2 ）这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？ （ 3 ）这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？ 从图中我们可以看到 ： 随着时间 t （时）的变化， 相应地气温 T （℃）也随之变化． 自主预习 2 、银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是 2002 年 7 月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的利率： 观察上表，说说随着存期 x 的增长，相应的利率 y 是如何变化的． 随着存期 x 的增长，相应的利率 y 增大 . 3 、收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用米（ m ）和千赫兹（ kHz ）为单位标刻的．下面是一些对应的数： 细心的同学可能会发现： l 与 f 的乘积是一个定值， 即 lf ＝ 300 000 ， 或者说： f = ． 说明波长 l 越大，频率 f 就 ____________ ． 越小 我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些 变化规律 ． 这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些 数值会发生变化的量． 例如 , 在 问题 1 中，刻画气温变化规律的量是时间 t 和气温 T ，气温 T 随着时间 t 的变化而变化，它们都会取不同的数值． 像这样在某一变化过程中，取值会发生变化的量叫作 变量． 在其他三个问题中，有哪些变量？ 议一议 上述几个例子中我们都是研究了两个变量之间的关系． 你能概括出上面各问题中两个变量之间的关系的共同点吗？ 在上面问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关． 一般地， 如果变量 y 随着变量 x 而变化，并且对于 x 取的 每一个值， y 都有唯一的一个值与它对应，那么称 y 是 x 的函数（ function ） , 记作 y = f ( x ). 这时 把 x 叫作 自变量 ，把 y 叫作 因变量 . 对于 自变量 x 取的 每一个值 a ，因变量 y 的对应值称为 函数 值 . 对于自变量 x 取 的 每一个值， y 都有唯一的值与之对应 ， 我们就说 x 是自变量 （ independent variable ）， y 是因变量 （ dependent variable ），此时也称 y 是 x 的 函数 （ function ）． 新知探究 例 1 已知圆柱的高是 4cm ，底面半径是 r （ cm ） , 当圆柱的底面半径 r 由小变大时，圆柱的 体积 V (cm 3 ) 是 r 的函数。 （ 1 ）用含 r 的代数式来表示圆柱的 体积 V ， 指出自变量 r 的取值 范围 . （ 2 ）当 r =5 ， 10 时， V 是多少？（结果 保留 ） （ 2 ） 函数的概念 （ 3 ）函数的判断 ( 1 ) 变量、常量的 概念 知识梳理 一、 写出下列各问题中的关系式，并指出其中的自变量与函数。 （ 1 ）正方形的面积 S 随边长 x 的变化； （ 2 ）某村的耕地面积是 10 6 m 2 ，这个村的人均耕地面积 y 随着人数的变化而变化； （ 3 ）正多边形的内角和度数 y 随边数 n 的变化 情况 . S = x 2 y = ( n -2) ×180° 随 堂 练 习 二、 1. 下列 关系， y 不是 x 的函数的是（ ） D 2 . 在 a =180 （ n － 2 ）中的常量是 , 变量是 ____. 3. 在 5 x +2 y =3 中，把 y 表示成 x 的函数为 ，其中常量是 ，变量 是 ；当 x =5 时，函数 值为 ；当 x 为 时，函数值 y 为 30. 5 ． 一蓄满水的水池正在放水，剩余水量 y 与时间 t 的关系式为 y =600-50 t ，其中自变量是 . 给定了 t ，请你完成下表： 时间 t 0 1 2 3 4 … 剩余水量 y … 综上所述，我们说 是 的函数。 4 ．一个长方体 的底面积为 4 cm² ，高为 x cm ，则其体积 V 关于 x 的函数表达式是＿＿＿，当 x =2cm 时，函数值是＿＿＿＿． 4.1.2 函数 的表示法 下列各式， x 是 自变量，请 判断 y 是不是 x 的 函数？若是，求出自变量的取值范围。 3. y ＝ - 4. y = 1. y ＝ 2 x 2. y ＝ 知识回顾 表示方法 定义 特点 通过列表给出自变量与函数的对应值 能直接显示自变量的值 和与之对应的函数值 用图象表示两个变量之间的关系 形象 、 直观地显示数据的 变化规律 用 式子表示函数关系的方法 简单明了，能准确地反映 整个变化过程中自变量 与函数的对应关系 函数的三种表示方法 列表法 图象法 公式法 函数的三种表示方法：图象法、列表法 、公式 法。 函数的图象及画法 ( 重点 ) 例 1 图 1 中的折线 ABCD 描述了一辆汽车在某一直线 上的 行驶过程中，汽车离出发地的距离 s (km) 和行驶时间 t (h) 之间的 函数关系，根据图中提供的信息，回答下列问题： 图 1 图 2 A ．最高气温 是 10 ℃ ，最低气温 是 2 ℃ B ．最高 气温是 6 ℃ ，最低 气温是 2 ℃ C ．最高 气温是 6 ℃ ，最低 气温是－ 2 ℃ D ．最高 气温是 10 ℃ ，最低 气温是－ 2 ℃ 随 堂 练 习 1 . 图 2 是 某 市 201 8 年 某日的气温随时间变化的图象，那么 这一天 （ D ） 2. 如果 A ， B 两人在一次百米赛跑中，路程 s （米）与赛跑的时间 t （秒）的关系如图 ，那么下列 说法正确的是（ ） A. A 比 B 先 出发 B. A ， B 两 人的速度相同 C. A 先 到达终点 D. B 比 A 跑 的路程多 3. 某人早上进行登山活动，从山脚到山顶休息一会儿又沿原路返回，若用横轴表示时间 t ，纵轴表示与 山脚的距离 h ，则下列 四个图反映 全程 h 与 t 的关系图是（ ） C D 4 ．孙小明骑车去学校，路上车子出了故障，修了一会，如果用横坐标表示时间 t ，纵坐标表示路程 s ，下列各图能较好地反映 s 与 t 之间函数关系的是（ C ） t (h) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … s (km) 0 30 60 90 120 150 180 … 5 ．一辆汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，试用不同方式表示 汽车行程 s (km) 与行驶时间 t (h) 的函数关系． 解： (1) 列表法： (2)公 式法： s ＝ 60 t ( t ≥0) ． ( 3) 图象法：如图 4. 图 4 6 、 王 芳 今天到学校参加初中毕业会考，从家里出发走 10 分钟到离家 500 米的地方吃早餐，吃早餐用了 20 分钟 ；再用 10 分钟 赶到离家 1000 米的学校参加考试．下列图象，能反映这一过程的是（ ） ． D   A x / 分 y / 米 O 1500 1000 500 10 20 30 40 50 B x / 分 y / 米 O 1500 1000 500 10 20 30 40 50 1500 1000 500 C x / 分 y / 米 O 10 20 30 40 50 D x / 分 y / 米 O 10 20 30 40 50 1500 1000 500 7 、 甲、乙两名同学骑自行车从Ａ地沿同一条路到Ｂ地，已知乙比甲先出发．他们离出发地的 距离 s /km 和骑行时间 t /h 之间的函数关系如图，给出下列说法： a. 他们都骑 了 20 km ； b . 乙在途中停留 了 0.5h ； c. 甲和乙两人同时到达目的地 ； d . 甲、乙 两人途中没有相遇过． 根据图象信息，以上说法 正确 的有（   ） Ｂ s /km t /h B . ２ 个 D . ４ 个 C.3 个 甲 乙 A.1 个 7 时和 12 时 7—12 时 0 —7 时和 12—24 时 （ 1 ）这一天内，上海和北京何时气温相同？ （ 3 ）这一天内，上海在哪段时间比北京的气温低？ （ 2 ）这一天内，上海在哪段时间比北京的气温高？ 8 、看图回答问题： 知识梳理 函数有哪些表示法？ 第 4 章 一次函数 4.2 一次函数 1. 某地电费的单价为 0.8 元 / （ kW · h ），请用表达式表示 电费 y （元）与所用电量 x （ kW · h ）之间的函数关系 . 2. 某弹簧秤最大能称不超过 10kg 的物体，秤的原长为 10cm ，每挂 1kg 的物体，弹簧伸长 0.5cm. 挂上重物后弹簧的长度为 y （ cm ），所挂物体的质量为 x （ kg ） . 请用表达式表示弹簧的长度 y 与所挂物体质量 x 之间的函数关系 . 思考 在问题 1 中，用电量 x （ kW · h ）是自变量，电费 y （元）是 x 的函数 ，它们之间的数量关系 为电费 = 单价× 用电量，即 y =0.8 x . ① ② 在问题 2 中，所挂物体质量 x （ kg ）是自变量，弹簧的长度 y （ cm ）是 x 的函数，它们之间的数量关系为 弹簧长度 = 原长 + 弹簧伸长量， 即 y =10+0.5 x . 讨论 函数①、②式有什么共同的特征？ 一次函数 像 y =0.8 x ， y =10+0.5 x 一样，它们都是关于自变量的一次式， 像这样 的函数称为 一次函数 . 它的一般形式是： y = kx + b （ k ， b 为常数， k ≠0 ） . 特别地，当 b =0 时，一次函数 y = kx （ k 为常数， k ≠0 ）也叫作 正比例函数 ，其中 k 叫作比例系数 . 上述问题中，分别有：每使用 1kW · h 电，需付费 0.8 元；每 挂上 1kg 物体，弹簧伸长 0.5cm. 可以看出，一次函数的特征是： 因变量随自变量的变化是均匀的 （即自变量每增加 1 个最小单位，因变量都增加（或减少）相同的数量） . 一次函数 y = kx + b （ k ， b 为常数， k ≠0 ）的自变量取值范围是 实数 . 但在实际问题中，要根据具体情况来确定它的自变量的 取值 范围 . 例如，在第 1 个问题中，自变量的取值范围是 x ≥0 ；在第 2 个问题中，自变量 x 的取值范围是 0≤ x ≤10. 【例】科学研究发现，海平面以上 10km 以内，海拔每 升高 1km ，气温下降 6 ° C . 某时刻，若甲地地面气温为 20 ° C ，设 高出地面 x （ km ）处的气温为 y （° C ） . （ 1 ）求 y （° C ）随 x （ km ）而变化的函数表达式 . （ 2 ）若有一架飞机飞过甲地上空，机舱内仪表 显示飞机外面的 温度 为 - 34 ° C ，求飞机离地面的高度 . 解：（ 1 ）高出地面的高度 x （ km ）是自变量，高出地面 x km 处 的气温 y （° C ）是 x 的函数，它们之间 的数量关系为甲 地高出地面 x km 处的气温 = 地面温度 - 下降的气温 ，即 y =20-6 x . （ 2 ）当 y =-34 时， 20-6 x =-34 ，解得 x =9. 答：此时飞机离地面的高度为 9km. 1. 下列函数，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？ ， ， ， ， . 解：一次函数： ， ， ； 正比例 函数： . 练习 2. 某租车公司提供的汽车，每辆车日租金为 350 元，每 行驶 1km 的附加费用为 0.7 元 . 求租一辆汽车一天的费用 y （元）随行驶路程 x （ km ）而变化的函数表达式，并求当 y =455 时， x 的值 . 解： y =350+0.7 x . 当 y =455 时， x =150. 通过本节 课 ，你有 什么 收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流 . 我思 我 进步 第 4 章 一次函数 4.3 一次函数的图象 新知探究 1 画出正比例函数 y =2 x 的图象 . 绘制函数图象的一般方法为描点法，描点法的步骤为：列表、描点、连线 . 列表 ：先取自变量 x 的一些值，计算出相应的函数值，列成表格如下： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … -6 -4 -2 0 2 4 6 … 描点 ：建立平面直角坐标系，以自变量值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出这些点，如图 . y x 1 1 2 2 3 4 5 O -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -5 3 6 -6 连线 ：观察描出的这些点的分布，我们可以猜测 y =2 x 的图象是经过原点的一条直线，数学上可以证明这个猜测是正确的 . 因此，用一条直线将平面直角坐标系中的各点连接，即可得到 y =2 x 的图象，如图 . y =2 x 类似地，数学上已经证明： 正比例函数 y = kx （ k 为常数， k ≠0 ）的 图象是一条直线 . 由于两点确定一条直线，因此画正比例 函数 的图象，只要描出图象上的两个点，然后过这两点作一条直线即可 . 我们常常把这条直线叫作“直线 y = kx ”. 【例 1 】 画出正比例函数 y =-2 x 的图象 . 解：当 x =0 时， y =0 ；当 x =1 时， y =-2. 在平面直角坐标系中描出两点 O （ 0 ， 0 ）， A （ 1 ， -2 ），过这两点作直线，则这条直线 是 y =-2 x 的图象，如图 . 从图中可以看出， y =-2 x 的图象是一条经过原点的直线 . y x 1 1 2 2 3 4 5 O -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -5 3 6 -6 y =-2 x A 在平面直角坐标系中（如图），任意画一个正比例函数 y = kx （ k 为常数， k ≠0 ）的图象，它是一条经过原点的直线吗？ y x 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 O -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 -5 -5 思考 （ 1 ）当 k ＞ 0 时，作 y = kx 的图象 . y x 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 O -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 -5 -5 观察可知 y = kx （ k 为常数且 k ＞ 0 ）的图象是一条经过原点的直线 . 直线 y = kx （ k ＞ 0 ）经过第一、三象限且从左到右上升， y 随 x 的增大而增大 . （ 2 ）当 k ＜ 0 时，作 y = kx 的图象 . y x 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 O -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 -5 -5 观察可知 y = kx （ k 为常数且 k ＜ 0 ）的图象是一条经过原点的直线 . 直线 y = kx （ k ＜ 0 ）经过第二、四象限且从左到右下降， y 随 x 的增大而减小 . 一般地，直线 y = kx （ k 为常数， k ≠0 ）是一条经过原点的直线 . 当 k >0 时，直线 y = kx 经过第三、一象限从左向右上升， y 随 x 的增大而增大； 当 k 0 时，向上平移；当 b 160 时， y =160×0.6+ （ x -160 ） × （ 0.6+0.1 ） = 0.7 x -16. y 与 x 的函数表达式也可以合起来表示为 （ 2 ）该函数的图象如图 . （ 3 ）当 x =150 时， y =0.6×150=90 ，即 3 月份的电费为 90 元 . 当 x =200 时， y =0.7×200-16=124 ，即 4 月份的电费为 124 元 . 【例 1 】 甲、乙两地相距 40km ，小明 8 ： 00 点骑自行车由 甲地 去乙地，平均车速为 8km/h ；小红 10 ： 00 坐公共汽车也 由甲 地去乙地，平均车速为 40km/h. 设小明所用的时间为 x h ，小明与甲地的距离为 y 1 km ，小红离甲地的距离为 y 2 km. （ 1 ）分别写出 y 1 ， y 2 与 x 之间的函数表达式 . （ 2 ）在同一个直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并指出谁先到达乙地 . 解：（ 1 ）小明所 用时间 为 x h ，由“路程 = 速度 × 时间”可知 y 1 =8 x ，自变量 x 的取值范围是 0≤ x ≤5. 由于小红比小明晚出发 2h ，因此小红所用时间为（ x -2 ） h. 从而 y 2 =40 （ x -2 ），自变量 x 的取值范围是 2≤ x ≤3. （ 2 ）将以上两个函数的图象画在同一个直角坐标系中，如图 . 过点 M （ 0 ， 40 ）作射线 l 与 x 轴平行，它先与射线 y 2 =40 （ x -2 ）相交，这表明小红先到达乙地 . 1. 某音像店对外出租光盘的收费标准是：每张光盘在出租后头 两天 的租金为 0.8 元 / 天，以后每天收 0.5 元 . 求一张光盘在租出后第 n 天的租金 y （元）与时间 t （天）之间的函数表达式 . 解：当 0≤ t ≤2 时， y =0.8 t ； 当 t ≥3 时， y =0.8×2+0.5× （ t -2 ） =0.5 t +0.6. 练习 2. 某移动公司对于移动话费推出两种收费方式： A 方案：每月收取基本月租费 25 元，另收通话费为 0.36 元 /min ； B 方案：零月租费，通话费为 0.5 元 /min. （ 1 ）试写出 A ， B 两种方案所付话费 y （元）与通话时间 t （ min ）之间的函数表达式； （ 2 ）分别画出这两个函数的图象； （ 3 ）若林先生每月通话 300min ，他选择哪种付费方式比较合算？ 解： （ 1 ） A ， B 两种方案所付话费 y （元）与通话时间 t （ min ）之间的函数表达式分别 为 y 1 =25+0.36 x ， y 2 =0.5 x . （ 2 ）图象略 . （ 3 ）当 x =300 时， y 1 =25+0.36×300=133 ， y 2 =0.5×300=150. 因为 133