湘教版八年级数学下册第2章四边形

第 2 章 四边形 2.1 多边形 观察 你能从图中找出一些由线段首尾相连所组成的图形吗？ 多边形 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作 多边形 . 组成多边形的各条线段叫作多边形的 边 . 相邻两条边的公共端点叫作多边形的 顶点 . 连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的 对角线 . 相邻两边组成的角叫作多边形的 内角 ，简称多边形的 角 . A B C D E 边 内角 顶点 对角线 如图， A B 是边， E 是顶点， BD 是对角线， ∠ A 是内角 . 多边形根据边数可以分为三角形，四边形，五边形， …… 在平面内，边相等、角也相等的多边形叫作正多边形 . A D B C 思考 三角形的内角和等于 180 °，四边形的内角和是多少度呢？ 如图，四边形 ABCD 的一条对角线 AC 把它分成两个三角形，因此四边形的内角和等于这两个三角形的内角和，即 180 °× 2=360 ° . 五边形 六边形 七边形 八边形 新知探究 1 在下列各个多边形中，任取一个顶点，通过该顶点画出所有对角线，并完成表格 . 图形 边数 可分成三角形的个数 多边形的内角和 五边形 5 5-2=3 （ 5-2 ）× 180 ° 六边形 6 6-2=4 （ 6-2 ）× 180 ° 七边形 7 7-2=5 （ 7-2 ）× 180 ° 八边形 8 8-2=6 （ 8-2 ）× 180 ° … … … … n 边形 n n -2 （ n -2 ）× 180 ° A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A n n 边形的内角和等于 ( n -2) · 180 ° . 如图， n 边形共有 n 个顶点 A 1 ， A 2 ， A 3 ， … ， A n ，与顶点 A 1 不相邻的点有（ n -3 ）个，因此从顶点 A 1 发 出 （ n -3 ） 条对角线， n 边形被分成了 （ n -2 ） 个三角形 . n 边形的内角和等于 （ n -2 ） 个三角形的内角和，即 ( n -2) · 180 ° . 你还可以用其他方法探究 n 边形的内角和公式吗？ A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A n O 360 ° 思考 如图，在 n 边形内任取一点 O ，与多边形各顶点连接，把 n 边形分成 n 个三角形，用 n 个三角形的内角和 n · 180 °减去中心的周角 360 °，得 n 边形的内角和为 ( n -2) · 180 ° . 【例 1 】（ 1 ）十边形的内角和是多少度？ （ 2 ）一个多边形的内角和等于 1980 °，它是几边形？ 解：（ 1 ）十边形的内角和是 （ 10-2 ）× 180 ° =1440 ° . （ 2 ）设这个多边形的边数为 n ，则 （ n -2 ）× 180 ° =1980 °， 解得 n =13 . 所以这是一个十三边形 . 1.（ 1 ）正十二边形的每一个内角是多少度？ （ 2 ）一个多边形的内角和等于 1800 °，它是几边形？ 答案 ： （ 1 ） 150 ° . （ 2 ）十二边形 . 练习 2. 过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成 10 个三角形 ，那么这个多边形是几边形？ 答案：十二边形 . 外角 A B C D E 外角 F 多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个多边形的一个 外角 . 如图， ∠ EDF 是五边形 ABCDE 的一个外角 . 在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫作这个多边形的 外角和 . 如图，在四边形 ABCD 的每一个顶点处取一个外角，如 ∠1 ， ∠2 ， ∠3 ， ∠4. ∵∠1+∠ DAB =180 °， ∠ 2+∠ ABC = 180 ° ， ∠ 3+∠ BCD =180 °， ∠ 4+∠ ADC= 180 °， ∠ DAB +∠ ABC +∠ BCD +∠ ADC = 360 ° ， ∴∠ 1+∠2+∠3+∠4=4 × 180 ° - 360 ° =360 ° .∴ 四边形的外角和为 360 ° . A B C D 1 2 3 4 思考 我们已经知道三角形的外角和为 360 °，那么四边形的外角和为多少度呢？ 新知探究 2 三角形的外角和是 360 °，四边形的外角和是 360 °， n 边形（ n 为不小于 3 的任意整数）的外角和都是 360 °吗？ n 边形的外角和与边数有关系吗？ n 边形的外角和与边数没有关系 . 任意多边形的外角和等于 360 ° . 类似于求四边形外角和的思路，在 n 边形的每一个顶点处取一个外角，其中每一个外角与它相邻的内角之和为 180 ° . 因此，这 n 个外角与它相邻的内角之和加起来是 n · 180 °，将这个总和减去 n 边形的内角和 ( n -2) · 180 °所得的差即为 n 边形的外角和 . 【例 2 】一个多边形的内角和等于它的外角和的 5 倍，它 是几 边形？ 解：设多边形的边数为 n ，则它的内角和为 ( n -2) · 180 ° . 由题意，得 ( n -2) · 180 ° =360 °× 5 ， 解得 n =12. 因此这个多边形是十二边形 . 观察 三角形具有稳定性，那么四边形呢？用 4 根木条钉成如图的木框，随意扭转四边形的边，它的形状会发生变化吗？ 我们可以发现，四边形的边长不变，但它的形状改变了，这说明 四边形具有不稳定性 . 在实际生活中，我们经常利用四边形的不稳定性，如图中的电动伸缩门与升降器 . 有时候我们也要克服四边形的不稳定性，如图中的栅栏中间加钉木条，构成三角形，这是利用了三角形的稳定性 . 1 . 一个多边形的每一个外角都等于 45 °，这个多边形是几边形？它的每一个内角是多少度？ 答案： 这个多边形是八边形，每一个内角均为 135 ° . 练习 2. 如图，求图中 x 的值 . x ° x ° x ° 答案： x =60. 3. 请举出日常生活中利用四边形 不稳定性的 一些例子 . 解：略 . 通过本节 课 ，你有 什么 收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流 . 我思 我 进步 第 2 章 四边形 2.2 平行四边形 2.2.1 平行四边形的性质 在小学，我们已经认识了平行四边形，在图中找出平行四边形，并把它们勾画出来 . 观察 平行四边形 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形 . 四边形 两组对边分别平行 平行四边形 A B C D 如右图， 四边形 ABCD 是平行四边形 平行四边形 ABCD 记作 “ □ ABCD ”. 每位同学根据定义画一个平行四边形，测量平行四边形（或图中的 □ABCD ）四条边的长度、四个角的大小，由此你能做出什么猜测？ A B C D 新知探究 1 通过观察和测量，我发现平行四边形的对边相等 ，对角相等 . 你能证明吗？ A B C D 1 4 2 3 如图，连接 AC . ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ AB ∥ DC ， AD ∥ BC （平行四边形的两组对边分别平行） . ∴∠1=∠2 ， ∠3=∠4 . 又 ∵ AC = CA ， ∴△ ABC ≌△ CDA . ∴ AB = CD ， BC = DA ， ∠ B =∠ D . 又 ∵∠1+∠4=∠2+∠3 ， ∴∠ BAD =∠ DCB . 平行四边形的对边相等 ，平行四边形的对角 相等 . 【例 1 】 如图，四边形 ABCD 和 BCEF 均为平行四边形， AD =2 cm ， ∠ A =65° ， ∠ E =33° ，求 EF 和 ∠ BGC . 解： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD = BC =2 cm ， ∠1=∠ A =65°. ∵ 四边形 BCEF 是平行四边形， ∴ EF = BC =2 cm ， ∠2=∠ E =33°. ∴ 在 △ BGC 中， ∠ BGC =180°-∠1-∠2=82°. 【例 2 】如图，直线 l 1 与 l 2 平行， AB ， CD 是 l 1 与 l 2 之间的任意两条平行线段 . 试问： AB 与 CD 是否相等 ? 为什么？ C D A B l 1 l 2 解： ∵ l 1 ∥ l 2 ， AB ∥ CD ， ∴ 四边形 ABDC 是平行四边形 . ∴ AB = CD . 夹在两条平行线间的平行线段相等 . 1.如图， □ABCD 的一个外角为 38° ，求 ∠ A ， ∠ B ， ∠ BCD ， ∠ D 的度数 . 答案： ∠ A =∠ BCD =142 °； ∠ B =∠ D =38 ° . 练习 2. 如图，在 □ABCD 中， ∠ ABC =68° ， BE 平分 ∠ ABC ，交 AD 于点 E ， AB =2 cm ， ED =1 cm. （ 1 ）求 ∠ A ， ∠ C ， ∠ D 的度数； （ 2 ）求 □ ABCD 的周长 . 解：（ 1 ） ∠ A =∠ C =112 °， ∠ D =68 ° . （ 2 ）周长为 10 cm . 如图，已知 □ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， 比较 OA ， OC ， OB ， OD 的长度，有哪些线段相等？你能做出什么猜测？ B C D A O 新知探究 2 我发现 OA = OC ， OB = OD . 我猜测点 O 是每条对角线的中点 . 如图， ∵ 四边形 ABCD 是 平行四边形， ∴ AB ∥ DC ， AB ∥ DC ， ∴∠1=∠2 ， ∠3=∠4. ∴△ OAB ≌△ OCD . ∴ OA = OC ， OB = OD . B C D A O 1 2 3 4 平行四边形的对角线相互平分 . 由此得到平行四边形的性质定理： 【例 3 】如图，在 □ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， AC =6 ， BD =10 ， CD =4.8. 试求 △ COD 的周长 . B C D A O 解： ∵ AC ， BD 为平行四边形 ABCD 的对角线， ∴ OC = AC =3 ， OD = BD =5. 又 ∵ CD =4.8 ， ∴△ COD 的周长为 3+5+4.8=12.8. 【例 4 】如图，在 □ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，过 点 O 的直线 MN 分别交 AD ， BC 于点 M ， N . 求证：点 O 是线段 MN 的中点 . B C D A O M N 证明： ∵ AC ， BD 为 □ABCD 的对角线，且相交于点 O ， ∴ OA = OC . ∵ AD ∥ BC ， ∴∠ MAO =∠ NCO . 又 ∵∠ AOM =∠ CON ， ∴△ AOM ≌△ CON . ∴ OM = ON .∴ 点 O 是线段 MN 的中点 . 3 .如图，在 □ABCD 中， BC =10 cm ， AC =8 cm ， BD =14 cm . （ 1 ）求 △ AOD 的 周长 . （ 2 ） △ ABC 与 △ BCD 的周长哪个长 ？ 长 多少？ 解：（ 1 ）△ AOD 的周长为 21 cm. （ 2 ）△ BCD 的周长长，长 6 cm . B C D A O 练习 4. 平行四边形一条对角线的两个端点到另一条对角线的 距离相等 吗？为什么？ 解：相等 . （利用平行四边形的性质以及 全等三角形的相关 知识即可证明） 通过本节 课 ，你有 什么 收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流 . 我思 我 进步 2.2.2 平行四边形的判定 如图，把线段 AB 平移到某一位置，得到线段 DC ，则 可知 AB ∥ DC ，且 AB = DC . 由于 点 A ， B 的对应点是 点 D ， C ，连接 AD ， BC ，由平移的性质：两组对应点的连线平移且相等，即 AD ∥ BC . 由 平行四边形 的定义 可 知四边形 ABCD 是平行四边形 . A B C D 从平移把直线变成与它平行的直线受到启发，你能不能从一条线段 AB 出发，画出一条平行四边形呢？ 思考 实际上 上述问题抽象出来就是：一组对边平行且相等的 四边形 是平行四边形吗？如图，已知 AB ∥ CD ，且 AB = CD ， 如果连接 AC ，也可证明四边形 ABCD 是平行四边形，请你完成这个证明过程 . A B C D 1 4 2 3 ∵ AB ∥ CD ， ∴∠1=∠2 . 在 △ BAC 和 △ DCA 中 ， AB = CD ， ∠1=∠2 ， AC = CA . ∴ △ BAC ≌ △ DCA （ SAS ） . ∴∠3=∠4 ， ∴ AD ∥ BC ， ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形 . 如图，用两支同样长的铅笔和两支同样长的钢笔能摆 成一 个平行四边形的形状吗？ 把上述问题抽象出来就是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形吗？ 思考 如图，在四边形 ABCD 中， AB = DC ， AD = BC ，连接 AC . ∵ AB = CD ， BC = DA ， AC = CA . ∴ △ ABC ≌ △ CDA . ∴∠1=∠2. 则 AB ∥ CD . ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） . 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 . A B C D 1 4 2 3 【 例 1 】 如图，在四边形 ABCD 中， △ ABC ≌△ CDA . 求证：四边形 ABCD 是平行四边形 . B C D A 证明： ∵△ ABC ≌△ CDA ， ∴ AB = CD ， BC = DA . ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . 1. 如图，在 □ABCD 中， AE = CF . 求证：四边形 EBFD 是平行四边形 . A B C D E F 证明过程略 . 练习 2. 如图，在四边形 ABCD 中， AD = BC ， AB = DC ， E ， F 分别 是边 BC ， AD 上的中点，找出图中所有的平行四边形， 并说明 理由 . A B F E C D 图中的平行四边形有： □ABCD ， □ABEF ， □ECDF . 理由略 . 观察下图 ，从“平行四边形对角线互相平分”这一性质 受到启发 ，你能画出一个平行四边形吗 ? 思考 过点 O 画两条线段 AC ， BD ，使得 OA = OC ， OB = OD . 连接 AB ， BC ， CD ， DA ，则四边形 ABCD 是平行四边形 . O A C D B O A C D B 如图， 在四边形 ABCD 中， OA = OC ， OB = OD . 又 ∠ AOB =∠ COD ， ∴△ AOB ≌△ COD . ∴ AB = CD ， ∠ ABO =∠ CDO . 从而 AB ∥ CD . ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . 对角线互相平分 的四边形是平行四边形 . 【 例 2 】 如图， □ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E ， F 在 BD 上，且 OE = OF . 求证：四边形 AECF 为平行四边形 . 证明： ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ OA = OC . 又 ∵ OE = OF ， ∴ 四边形 AECF 是平行四边形 . 【 例 3 】 如图，在四边形 ABCD 中， ∠ A =∠ C ， ∠ B =∠ D . 求证 ：四边形 ABCD 是平行四边形 . B C D A 证明 ∵∠ A =∠ C ， ∠ B =∠ D ， ∠ A +∠ B +∠ C +∠ D =360° ， ∴∠ A +∠ B =360 ° ÷ 2 =180°. ∴ AD ∥ BC ， 同理， AB ∥ DC . ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 . 讨论 1. 两组邻边分别相等的四边形一定是平行四边形吗？ 如果 是，请说明理由；如果不是，请举出反例 . 2. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形吗？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例 . 答： 1. 不是 . 反例： 2. 不是 . 反例： 3. 如图，把 △ ABC 的中线 AD 延长至 E ，使得 DE = AD ，连接 EB ， EC . 求证 ：四边形 ABEC 是平行四边形 . 证明： ∵ D 是 BC 的中点， ∴ BD = CD . ∵ DE = AD ， ∴ 四边形 ABEC 是平行四边形 . 练习 4. 如图， □ABCD 的对角线相交于点 O ，直线 MN 经过点 O ，分别 与 AB ， CD 交 于点 M ， N ，连接 AN ， CM . 求证 ：四边形 AMCN 是平行四边形 . 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴ AO = CO ， BO = DO ， ∠ MBO =∠ NDO . ∵∠ BOM =∠ DON ， ∴△ BOM ≌ △ DON (ASA ).∴ MO = NO . ∴ 四边形 AMCN 是平行四边形 . 通过本节 课 ，你有 什么 收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流 . 我思 我 进步 第 2 章 四边形 2.3 中心对称和中心对称图形 新知引入 = O A B D C 如图，在平面内，将△ OAB 绕点 O 旋转 180 °，所得到的像是△ OCD . 中心对称 在平面内，把一个图形上的每一个点 P 对应到它在绕点 O 旋转 180 ° 下的像 P' ，这个变换为关于点 O 中心对称 . O E F 如图，在平面内，把点 E 绕点 O 旋转 180° ，得到点 F ，此时称点 E 和点 F 关 于 点 O 对称，也称点 E 和 F 是一对 对应 点 . 由于点 E ， O ， F 在一条直线上，且 OE = OF ，因此 O 是线段 EF 的中点 . 反之，如果 O 是线段 EF 的中点，那么点 E 和点 F 关于 点 O 对称 . 在平面 内，如果 一个图形 G 绕点 O 旋转 180°, 得到的像与另一个 图形 G' 重合，那么称这两个图形关于点 O 中心对称，点 O 叫作 对称中心 . 此时，图形 G 上每一个点 E 与它在图形 G' 上的对应点 F 关于点 O 对称，则 O 是线段 EF 的中点 . 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分 . 【例】如图，已知 △ ABC 和点 O ，求作一个 △ A'B'C' ，使它与 △ ABC 关于点 O 成中心对称 . O A B C 作法：（ 1 ）连接 OA 并延长 OA 到 A' ，使 OA' = O A ， 于是得到点 A 关于点 O 的对应点 A' . A' （ 2 ）用同样的方法作出点 B 和 C 关于点 O 的对应点 B' 和 C' . B' C' （ 3 ）连接 A'B' ， B'C' ， C'A' . 则△ A'B'C' 即为所求作的三角形 . 1. 判断（对的画“ √” ，错的画“ ×” ）： （ 1 ）线段 AB 的中点 O 是点 A 与点 B 的对称中心 . （ ） （ 2 ）等边三角形 ABC 的三条中线的交点是点 A 与点 B 的对称中心 . （ ） 答案： （ 1 ） √ ；（ 2 ）× . 练习 2. 画出 △ ABC 关于点 A 成中心对称的图形 . A B C B' C' 3. 如图，四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D' 关于某点中心对称，找出 它们的 对称中心 . A B C D A' B' C' D' O 解：如图，点 O 即为所求作的点 . 如图，将线段 AB 绕它的中点 O 旋转 180° ，你有什么发现？ O A B 我发现线段 AB 绕它的中点旋转 180 °后，与它自身重合 . 观察 中心对称图形 像这样，如果一个图形绕一个点 O 旋转 180° ，所得到的像 与原来 的图形重合，那么这个图形叫作 中心对称图形 ，这个点 O 叫作它的 对称中心 . 由上可得： 线段 是中心对称图形，线段的中点是它的对称中心 . 讨论 下图是一行英文字母，其中哪些字母可看作是中心对称图形？ Z X C V B N M 4. 试举出生活中一些中心对称图形的例子 . 答案：不唯一，如足球等 . 练习 5. 下列 图形， 哪些是中心对称图形？如果是，找出它们的对称中心 . O O 答案：图（ 1 ）、（ 2 ）为中心对称图形；对称中心如图中的点 O . 通过本节 课 ，你有 什么 收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流 . 我思 我 进步 第 2 章 四边形 2.4 三角形的中位线 1. 说一说判定两个三角形全等的方 法： 方法简称为 ： SAS,ASA,AAS,SSS 知识回顾 2. 平行四边形的 性质： ⑴ 是中心对称图形 ⑵ 两组对边 平行且相等 ⑶ 两组对角 相等 , 邻角互补 ⑷ 两条对角线互相 平分 3. 平行四边形的判定 方法： ⑴ 两组对边平行 的 四边形是 平行四边形 . ⑵ 两组对边相等 的四边形是 平行四边形 . ⑶ 一组对边平行且相等 的四边形是 平行四边形 . ⑷ 两组对角相等 的四边形是 平行四边形 . ⑸ 对角线互相平分 的四边形是平行四边形 . 4. 什么是三角形的中线 ? 三角形的中线有几条 ? 三角形的中线 是三角形一顶点与对边中点的连线 . 有三条 , 且交于 一点，如图 . A B C D E F O A B 问题： A ， B 两点被池塘隔开 , 如何测量 A ， B 两点的距离呢？ 情境引入 连接三角形两边中点的线段 叫作 三角形 的 中位线 . 一个三角形 有三条 中位线 . ∵ D , E , F 分别 为 AB , AC , BC 的中点 , ∴ DE , DF , EF 为 △ ABC 的 中位线 . 三角形的 中位线 和三角形的 中线 不同。 注意 E D F A C B 自主预习 DE 与 BC 的关系（从位置和数量关系猜想） 已知：如图， D , E 分别是△ ABC 的边 AB , AC 的中点 . C E D B A 猜想： DE ∥ BC ， 新知探究 三角形 的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 . 证一证： ∵ D , E 是△ ABC 的 中点 , ∴ . 又 ∵∠ A =∠ A, ∴ △ ADE ∽ △ ABC , ∴ ∠ ADE = ∠ ABC 且 . ∴ DE ∥ BC , 且 DE = BC. C E D B A 由此得到三角形的中位线定理： A B C D E F G H 例 如 图，顺次连接四边形 ABCD 各边中点 E ， F ， G ， H ，得到的四边形 EFGH 是平行四边形吗？为什么？ 解 ：如图，连接 AC . ∵ EF 是△ ABC 的一条中位线 ， ∴ EF ∥ AC ，且 EF = AC. 又 ∵ HG 是△ DAC 的一条中位线， ∴ HG ∥ AC ，且 HG = AC ， ∴ EF ∥ HG ，且 EF = HG ， ∴四边形 EFGH 是 平行四边形 . 1 、 已知一个三角形 的各边长分别为 6cm ， 8cm ， 12cm ，则连接各边中点 所构成的三角形 的 周长为＿＿ 。 2 、 如果一个等边三角形 的边长为 3 ，那么连接各边中点 所构成 的三角形的周长为 ＿＿。 3 、一个直角三角形 两条直角边长分别是 6cm ， 8cm ，则连接两条直角边中点的 线段的长 为＿＿。 13cm 4.5 5cm 随堂练习 4 、如图， D 、 E 、 F 分别是△ ABC 的三边的 中点 （ 1 ）若 AB =8 cm ，求 EF 的 长． （ 2 ）若 DE =5 cm ，求 BC 的长． （ 3 ）若 M 、 N 分别是 BD 、 BF 的 中点，问： MN 与 AC 有什么关系 ？为 什么 ？ 1 ． 三角形的中位线 和三角形中线的 区别 2 ．三角形的中位线定理： 三角形 的中位线平行于第三边 , 并且 等于第三边的 一半 3 ．三角形的中位线定理的运用 知识梳理 第 2 章 四边形 2.5 矩形 2.5.1 矩 形 的性质 在小学，我们初步认识了长方形， 观察下图 中的长方形，它是平行四边形吗？它有什么特点呢？ 观察 我发现这些长方形的对边平行且相等，因此，它们是平行四边形 . 我发现这些四边形的四个角都是直角 . 在一个平行四边形中，只要有一个角是直角，那么其他三个角都是直角 . 矩形 有一个角是直角的平行四边形叫作 矩形 ，也称为长方形 . 平行四边形 有一个角是直角 矩形 矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线互相平分 . 可以知道： 由于矩形是平行四边形，因此 矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心 . 如图，四边形 ABCD 为矩形，那么对角线 AC 与 DB 相等吗？ A B O C D 如图，四边形 ABCD 是矩形，于是 有 AB = DC ， ∠ ABC =∠ DCB =90° ， BC = CB . ∴△ ABC ≌△ DCB . ∴ AC = DB . 矩形的对角线相等 . 思考 由此得到矩形的性质： 【例 1 】如图，矩形 ABCD 的两条对角线 AC ， BD 相交于点 O ， AC =4 cm ， ∠ AOB =60°. 求 BC 的长 . A B O C D 解： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ OA = OB =0.5 AC =2cm. ∵∠ AOB =60° ， ∴△ AOB 是等边三角形， ∴ AB = OA =2cm. ∵∠ ABC =90° ， ∴ 在 Rt△ ABC 中， 画出一个矩形 ABCD （如图），把它剪下来，怎么折叠 能使 矩形在折痕 两旁的 部分互相重合？满足这个要求的折叠 方法 有几种？由此猜测：矩形是轴对称图形吗？如果是，它 有几 条对称轴？你的猜测正确吗？ A B C D 思考 如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O ，过点 O 作直线 EF ⊥ BC ， 且分别与边 BC ， AD 相交于点 E ， F . 由于 OB = BD = AC = OC ，因此 △ OBC 是等腰三角形，从而直线 EF 是线段 BC 的垂直平分线 . A B O C D E F M N 由于 AD ∥ BC ，因此 EF ⊥ AD . 同理，直线 EF 是线段 AD 的垂直平分线 . A B O C D E F M N 因此点 B 和点 C 关于直线 EF 对称，点 A 和点 D 关于直线 EF 对称 ，从而 在关于直线 EF 的轴反射 下，矩形 ABCD 的像与 它自身 重合，因此矩形 ABCD 是轴对称图形， EF 是它的一条 对称轴 . 类似地，过点 O 作直线 MN ⊥ AB ，且分别与边 AB ， DC 相交于点 M ， N ， 则点 M ， N 分别是边 AB ， DC 的中点，直线 MN 是矩形 ABCD 的一条对称轴 . 矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴 . 1.已知矩形的一条对角线的 长度为 2cm ，两条对角线的一个夹角为 60° ，求矩形的各边长 . 答案：两条短边长都为 1cm ，两条长边长都为 cm . 练习 2. 如图，四边形 ABCD 为矩形，试利用矩形的 性质证明 ：直角三角形 ABC 斜边 AC 上的中线 B O 等于斜边的一半 . A B O C D 证明略 . 通过本节 课 ，你有 什么 收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流 . 我思 我 进步 2.5.2 矩 形的判定 矩形的四个角都是直角，那么，四个角是直角的四边形是矩形吗？三个角是直角呢？两个角是直角呢？ 如图，四边形 ABCD 的四个角都是直角 . 由于“同旁内角互补，两直线平行”，因此 AB ∥ DC ， AD ∥ BC ，从而四边形 ABCD 是平行四边形 . 所以 □ABCD 是矩形 . 由此得到四个角是直角的四边形是矩形 . A B C D 思考 三个角是直角的四边形，容易知道另一个角是直角，所以： 三个角是直角的四边形 是 矩形 . 四边形中只有两个角是直 角，我想到了右边的图形： 从“矩形的两条对角线相等且互相平分” 这一性质受到启发 ，你能画出一个对角线长度为 4 cm 的矩形吗？这样的矩形有多少个？ A B O C D 思考 过点 O 画两条线段 AC , BD , 使得 OA = OC =2cm ， OB = OD =2cm. 连接 AB , BC , CD , DA , 则四边形 ABCD 是矩形，且它的对角线长度为 4cm, 如图 . 这样的矩形有无穷多个 . 如图，由画法可知，四边形 ABCD 的两条对角线互相平分 ，因此 它是平行四边形，又已知其对角线相等，上述 问题抽象 出来就是：对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 证明 在 □ABCD 中，由于 AB = DC ， AC = DB ， BC = CB ， ∴△ ABC ≌△ DCB .∴∠ ABC =∠ DCB . 又 ∵∠ ABC +∠ DCB =180° ， ∴∠ ABC =90°. ∴ □ABCD 是矩形 . 对角线相等的平行四边形是矩形 . 由此得到矩形的判定定理： 讨论 对角线相等的四边形是矩形吗？ 对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等且互相平分的四边形才是矩形 . 如图，等腰梯形的对角线相等，但不是矩形 . 【例】如图，在 □ABCD 中，它的两条对角线相交于点 O . （ 1 ）如果 □ABCD 是矩形，试问： △ OBC 是什么样的三角形？ （ 2 ）如果 △ OBC 是等腰三角形，其中 OB = OC ，那么 □ABCD 是矩形吗？ A B O C D 解 （ 1 ） ∵ □ABCD 是矩形， ∴ AC 与 DB 相等且互相平分 . ∴ OB = 0.5 DB = 0.5 AC = OC . ∴△ OBC 是等腰三角形 . （ 2 ） ∵△ OBC 是等腰三角形，其中 OB = OC ， ∴ AC =2 OC =2 OB = BD . ∴ □ABCD 是矩形 . 1. 如图，在四边形 ABCD 中， ∠ A =∠ B =∠ C =∠ D ， 求证：四边形 ABCD 是矩形 . A B C D 证明： ∵∠ A =∠ B =∠ C =∠ D ， 且 ∠ A +∠ B +∠ C +∠ D =360° ， ∴∠ A =∠ B =∠ C =∠ D =90°. ∴ 四边形 ABCD 是矩形 . 练习 2. 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ， ∠ AOB =60° ， AB =2 ， AC =4 ，求 □ ABCD 的面积 . A B O C D 答案： □ ABCD 的面积为 . 通过本节 课 ，你有 什么 收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流 . 我思 我 进步 第 2 章 四边形 2.6 菱形 2.6.1 菱形 的性质 观察图中的平行四边形，它们有什么特点？ 观察 它们的邻边相等 . 菱形 一组邻边相等的平行四边形叫作 菱形 . 平行四边形 一组邻边相等 菱形 菱形的四条边都相等，对角相等，对角线互相平分 . 由于菱形是平行四边形，因此 菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心 . 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC ， BD 相交于点 O . 对角线 AC ⊥ DB 吗？你的理由是什么？ D A B C O ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ DA = DC . ∴ 点 D 在线段 AC 的垂直平分线上 . 又 ∵ O 为线段 AC 的中点， ∴ 直线 DO （即直线 DB ）是线段 AC 的垂直平分线， ∴ AC ⊥ DB . 菱形的对角线互相垂直 . 思考 在关于直线 DB 的轴反射 下，菱形 ABCD 的像与它自身重合 . 同理， 在关于直线 AC 的轴反射 下，菱形 ABCD 的像与它自身重合 . 菱形是轴对称图形，两条 对角线所在直线 都是它的对称轴 . 如图，你能利用菱形的性质说明菱形 ABCD 的 面积 吗 ？ D A B C O 菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半 . 思考 【例】如图，菱形 ABCD 的两条对角线 AC ， BD 的长度 分别为4 cm ， 3 cm ，求菱形 ABCD 的面积和周长． D A B C O 解：菱形 ABCD 的面积为 在 Rt △ ABO 中， ， 所以 因此，菱形的 周长为 2.5 × 4=10( cm ). 1.菱形 ABCD 的两条对角线的交点为点 O . 已知 AB ＝5cm， OB ＝3cm，求菱形 ABCD 的两条对角线的长度以及它的面积． 答案： BD =6cm ， AC =8cm ； S 菱形 ABCD =24cm 2 . 练习 2. 如图， P 是菱形 ABCD 的对角线 AC 上一点， PE ⊥ AD 于点 E ， PE =4 cm ，求点 P 到 AB 的距离 . D A B C P E 答案： 4 cm . 通过本节 课 ，你有 什么 收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流 . 我思 我 进步 2.6.2 菱形 的判定 如图，用四支长度相等的铅笔能摆成菱形吗？ 把上述问题抽象出来就是：四条边都相等的四边形是菱形吗？ 观察 如图，在四边形 ABCD 中， AB = BC = CD = DA . ∵ AD = BC ， AB = DC ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . 又 AB = AD ， ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . D A B C 四条边都相等的四边形是菱形 . 由此得到菱形的判定定理 1 ： 【例 1 】如图，在四边形 ABCD 中，线段 BD 垂直平分 AC ，且相交于点 O ， ∠1=∠2 . 求证 ：四边形 ABCD 是菱形 . D A B C O 1 2 证明： ∵ 线段 BD 垂直平分 AC ， ∴ BA = BC ， DA = DC ， OA = OC . 在 △ AOB 和 △ COD 中， ∵ ∠1=∠2 ， ∠ AOB =∠ COD ， OA = OC ， ∴△ AOB ≌△ COD .∴ AB = CD . ∴ AB = BC = CD = DA . ∴ 四边形 ABCD 是菱形（四条边都相等的四边形是菱形） . 菱形的两条对角线互相垂直平分，从菱形的这一性质受到 启发 ，你能画出一个菱形吗？ 过点 O 画两条互相垂直的线段 AC ， BD ，使得 OA = OC ， OB = OD . 连接 AB ， BC ， CD ， DA . 则 四边形 ABCD 是菱形，如图 . D A B C O 思考 由画法可知，四边形 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 互相平分，因此它是平行四边形 . 又已知其对角线互相垂直，上述问题抽象出来就是：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 在 □ABCD 中， AC ⊥ BD ， OA = OC ， ∴ BD 所在的直线是 AC 的垂直平分线 . ∴ DA = DC . ∴ □ABCD 是菱形 . 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 . 【例 2 】如图，在 □ABCD 中， AC =6 ， BD =8 ， AD =5. 求 AB 的长 . D A B C O 解 ： ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ OA =0.5 AC =3 ， OD =0.5 BD =4. 又 ∵ AD =5 ，满足 AD 2 = OA 2 + OD 2 ， ∴△ DAO 是直角三角形 . ∴∠ DOA =90° ，即 DB ⊥ AC . ∴ □ABCD 是菱形（对角线互相垂直的 平行 四边形 是菱形） . ∴ AB = AD =5. 1. 画一个菱形，使它的两条对角线的长度分别为 4cm ， 3cm. 作法略 练习 2. 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，过 点 O 作 MN ⊥ BD ，分别交 AD ， BC 于点 M ， N . 求证 ：四边形 BNDM 是菱形 . A B C D O M N 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴ AD ∥ BC ， OD = OB .∴∠ MDO =∠ NBO . ∵ MN ⊥ BD ， ∴∠ MOD =∠ NOB =90°. ∴△ MOD ≌△ NOB （ ASA ） . ∴ MD = NB . 又 ∵ MD ∥ NB ， ∴ 四边形 BNDM 是平行四边形 . 又 ∵ MN ⊥ BD ， ∴ 四边形 BNDM 是菱形 . 通过本节 课 ，你有 什么 收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流 . 我思 我 进步 第 2 章 四边形 2.7 正方形 装修房子铺地板的瓷砖（如图）大多是正方形的形状，它是什么样的四边形呢？它与平行四边形、矩形、菱形有什么关系？ 观察 正方形的四条边都相等，四个角都是直角 . 正方形既是矩形又是菱形 . 正方形 我们把有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作 正方形 ． 平行四边形 矩形 菱形 正方形 有一个角是直角 一组邻边相等 有一个角是直角 一组邻边相等 正方形的四条边都相等，四个角都是直角 . 正方形 的对角线相等，且互相垂直平分 . 正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心 . 正方形 是轴对称图形，两条对角线所在的直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的 对称轴 . 由于正方形既是矩形，又是菱形，因此 【例 1 】如图， E 是正方形 ABCD 的边 AB 上任意一点，过点 D 作 DF ⊥ DE 交 BC 的延长线于点 F . 求证 ： DE = DF . A E B C D F 1 2 3 证明： ∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴ AD = CD ， ∠ A =∠ DCF =90°. ∵ DF ⊥ DE ， ∴∠ EDF =90° ，即 ∠1+∠3=90 °. 又 ∵∠2+∠3=90° ， ∴∠1=∠2. ∴△ AED ≌△ CFD （ ASA ） .∴ DE = DF . 可以先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等 . 也可以先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角是直角 . 讨论 观察说说 如何判断一个四边形是正方形？ 1. 已知正方形的一条对角线长为 4cm ，求它的边长和面积 . 答案： 边长为 cm ，面积为 8 cm 2 . 练习 2. 如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么这个矩形 一定是 正方形吗？为什么？ A B C D O 解：一定是 正方形 . 理由 ： 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC ⊥ BD . 求证 ：矩形 ABCD 是正方形 . 证明： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AO = BO = OC = OD . ∵ AC ⊥ BD ， ∴ AB = AD . ∴ 矩形 ABCD 是正方形 . 通过本节 课 ，你有 什么 收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流 . 我思 我 进步