湘教版八年级数学下册第1章直角三角形

第 1 章 直角三角形 1.1 直角三角形的性质和判定（ Ⅰ ） 连接三角形一个顶点与它对边中点的线段 . 1.直角三角形的定义 2.三角形内角和的性质 有一 个角是 直角的三角形叫 直角三角形 . 三角形的内角 和等于180 ° . 3.三角形中线的定义 这节课我们一起探索直角三角形的 判定和性质 . 知识回顾 说一说： 如 图，在 Rt△ ABC 中，∠ C =90° ，两锐角的和等于多少 度呢 ？ ∠ A + ∠ B = 90° C A B 自主预习 在 Rt△ ABC 中，因为∠ C =90° ，由三角形内角和定理，可得： 由此得到： 直角三角形的两个锐角互 余 . 如 图，在 △ ABC 中，如果∠ A + ∠ B = 90° ，△ ABC 是直角三角形吗? 定理 ：有两个角互余的三角形是 直角三角形 . 由∠ A + ∠ B = 90°和 ∠ A + ∠ B +∠ C =180°，解 得∠ C = 90°， 因此△ ABC 是 直角三角形 . C A B 议一议 画一个直角三角形，并作出斜边上的中线，量一量比较各线段的 长度 . 你 能猜出什么结论？ 我们发现：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 . 自主探究 例 1 如 图，已知 CD 是△ ABC 的 AB 边上的中线，且 CD = AB ，求证：△ ABC 是 直角三角形 . C B A D 2 1 证明：∵ CD = AB = AD = BD ， ∴∠ 1= ∠ A ，∠ 2= ∠ B . ∵∠ A + ∠ B + ∠ ACB =180° ，∠ ACB = ∠ 1+ ∠ 2 ，∴∠ A + ∠ B + ∠ 1+ ∠ 2=180 ° ， ∴ 2 （∠ A + ∠ B ） =180 ° ， ∴∠ A +∠ B =90° ， ∴△ ABC 是 直角三角形 . A B C D O 1.如图， AB ⊥ DB , CD ⊥ DB ,下列说法错误的是 （ ） A.一定有∠ A =∠ C B.只要有一边相等就有△ ABO ≌△ CDO C.只要再给一个条件就能得到△ ABO ≌△ CDO D.有 OA = OC 或 OB = OD ,就有 AB = CD 2.若一个三角形的三个内角之比为2:1:1，则该三角形是（ 等腰直角三角形 ） . C 随 堂 练 习 3 . 在 Rt△ ABC 中，斜边上的中线 CD =2.5 cm ，求斜边 AB 的长是 多少 . 直角三角形的性质 ： 1 . 直角三角形 的两锐角互 余 . 2 . 直角三角形 斜边上的中线等于斜边的 一半 . 知识梳理 直角三角形的判定： 有两个角互余的三角形是 直角三角形 . 第 1 章 直角三角形 1.2 直角三角形的性质和判定（ Ⅱ ） 直角三角形的性质 和判定 （ Ⅱ ） 本课内容 本节内容 1.2 如图， S 1 + S 2 = S 3 ， 即 BC 2 + AC 2 = AB 2 ， 那么 是否对所有的直角三角形，都有两直角边的平方和等于斜边的平方呢？ 探究 如 图， 任作一个 Rt△ ABC ，∠ C = 90 ° ，若 BC= a ， AC = b ， AB = c ，那么 a 2 + b 2 = c 2 ， 是 否 成立呢？ 步骤 1 先剪出 4 个如图 1-11 的直角三角形， 由 于 每个直角三角形的两直角边长为 a ， b （其中 b > a ），因此它们全等（ SAS ），所以它们的 斜边 长相等 . 设斜边长为 c . 图 1-11 我们来进行研究 . 步骤 2 再剪出 1 个边长为 c 的正方形，如图 1-12. 图 1-12 步骤 3 把步骤 1 和步骤 2 中剪出来的图形拼成 如图 1-13 的图形 . 图 1-13 ∵ △ DHK ≌△ EIH ， ∴ ∠ 2 ＝∠ 4. 又∵ ∠ 1 +∠2 = 90° ， ∴ ∠ 1 +∠4 = 90°. 因此拼成的图形是正方形 DEFG ， 它 的边长为 ( a + b ) ，它 的面积 为 ( a + b ) 2 . 又 ∵ ∠ KHI = 90° ， ∴ ∠ 1 +∠ KHI +∠4 = 180° ， 即点 D ， H ， E 在一条直线上 . 图 1-13 同理，点 E ， I ， F 在一条直线上 ；点 F ， J ， G 在一条 直 线 上； 点 G ， K ， D 在一条直线上 . 又 ∵ 正方形 DEFG 的面积为 c 2 + ， ∴ 即 a 2 +2 ab+ b 2 = c 2 +2 ab ， ∴ a 2 + b 2 = c 2 . 图 1-13 结论 直角三角形的两直角边 a ， b 的平方和，等于斜边 c 的平方 . a 2 + b 2 = c 2 由此得到直角三角形的性质定理： 其实我国早在三千多年前就已经知道直角三 角形的上述性质，由于古人称直角三角形的直角 边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为 弦（如图 1-14 ），因此这一性质被称为 勾股定理 . 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系 . 在 直角三角形中，若已知直角三角形任意两条边长， 我们可以根据勾股定理，求出第三边的长 . 勾 股 弦 图 1-14 故 AD 的长为 12 cm . 在 Rt△ ADB 中，由勾股定理，得 AD 2 + BD 2 =AB 2 ， 如 图 1-15 ，在等腰三角形 ABC 中，已知 AB = AC = 13 cm ， BC = 10 cm ， AD ⊥ BC 于点 D. 你能算出 BC 边上的高 AD 的长吗？ 例 1 图 1-15 举 例 解 ：在 △ ABC 中， ∵ AB = AC = 13 ， BC = 10 ， AD ⊥ BC ， ∴ BD = = 5. ∴ 在 Rt△ ABC 中，∠ C = 90°. （ 1 ） 已知 a = 25 ， b = 15 ，求 c ； （ 2 ） 已知 a = 5 ， c = 9 ，求 b ； （ 3 ） 已知 b = 5 ， c =15 ，求 a . 练习 答案：（ 1 ） c = ；（ 2 ） ；（ 3 ） 动脑筋 如图 1-16 ，电工师傅把 4 m 长的梯子 AC 靠在 墙上，使梯脚 C 离墙脚 B 的距离为 1.5 m ，准备在 墙上安装电灯 . 当他爬上梯子后，发现高度不够， 于是将梯脚往墙脚移近 0.5 m ，即 移 动 到 C ′ 处 . 那么梯子 顶端是否往 上 移动 0.5 m 呢？ 图 1-16 在 Rt△ ABC 中， AC =4 m ， BC =1.5 m ， 图 1-17 由勾股定理，得 （ m ） . 由图 1-16 抽象出示意图 1-17. 在 Rt△ ABC 中，计算出 AB ； 再在 Rt△ 中， 计算出 ， 则可得出梯子往上移动的距离为（ -AB ） m. 即梯子顶端 A 点大约向上移动了 0.16 m ，而不是 向上 移动 0.5 m . 因此 = 3.87 - 3.71 = 0.16 （ m ） . 在 Rt△ 中， = 4 m ， = 1 m ， 故 （“引葭赴岸” 问题） “今有方池一丈，葭生其 中央， 出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐 . 问水深， 葭长各几何？” 意思是：有一个边长为 10 尺的 正方形池塘，一棵芦苇生长在池的中央，其出水 部分为 1 尺 . 如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉 向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面 . 问： 水深 与芦苇 长分别为多少？ 例 2 宋刻 《 九章算术 》 书影 在 Rt△ ACB ′ 中， 根据勾股定理，得 x 2 + 5 2 = （ x + 1 ） 2 ， 答：水池的深度为 12 尺，芦苇长为 13 尺 . 如图 1-18 ，设 水池的深度为 x 尺 ， 则 AC = x 尺 ， AB = AB ′= （ x + 1 ）尺 . 解： 图 1-18 因为正方形 池塘的边长 为 10 尺， 所以 B ′ C = 5 尺 . 解得 x =12. 则 x + 1 = 13. 1. 如图，一艘渔船以 30 海里 / 时 的速度由西向东追赶 鱼群 . 在 A 处测得小岛 C 在船的北偏东 60° 方向； 40 min 后，渔船行至 B 处，此时测得小岛 C 在船的北偏东 30° 方向 . 已知以小岛 C 为中心，周围 10 海里以内有暗礁，问：这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？ 练习 解： 过点 C 作 CD ⊥ AB ，垂足为 D ， D CD 的距离 不在以点 C 为中心，周围10 海里范围内， ∴ 轮船 不会触礁 . 由题意，得 AB= 30 × （ 海里 ） . 在 Rt△ CBD 中，∠ BCD =30° ， BC = AB= 20 海里，∴ BD =10 海里 . 2. 如图， AE 是位于公路边的电线杆，高为 12 m ， 为了使电线 CDE 不影响汽车的正常行驶，电力 部门在公路的另一边竖立了一根高为 6 m 的水泥 撑杆 BD ，用于撑起电线 . 已知两根杆子之间的距 离为 8 m ，电线 CD 与水平线 AC 的夹角为 60°. 求电线 CDE 的总长 L （ A ， B ， C 三点 在 同一 直线上 ，电线杆、水泥杆的 粗 细 忽略不计） . 在下图中 ，过点 D 作 DM ⊥ AE ，垂足为 M . 解： M 易知四边形 MABD 为矩形 ，所以 MA=BD= 6 m ， 所以 ME=EA-MA= 12-6=6(m) . 在 Rt△ EMD 中，由 勾股定理，得 所以 L= ED+CD= 10 + （ m ） . M 在 Rt△ DBC 中 , ∠ CDB =30°, 设 BC = x , 则 DC =2 x . 由勾股定理，得 x 2 +6 2 =( 2 x ) 2 ， 解 得 x = 我们已经知道勾股定理：“直角三角形两直角边 a ， b 的平方和，等于斜边 c 的平方 .” 那么这个 定理的逆命题成立吗？ 探究 如图 1-19 ，在△ ABC 中， AB = c ， BC = a ， AC = b ， 且 a 2 + b 2 = c 2 ， 那么△ ABC 是直角三角形吗？ 图 1-19 如果我们能构造一个直角三角形， 然后证明△ ABC 与所 构造的直角三角 形 全等， 即可得△ ABC 是直角三角形. ∵ a 2 + b 2 = c 2 ， 图 1-20 ∴ = c . 如图 1-20 ，作 Rt ，使∠ = 90° ， = a ， = b . △ 在 Rt 中， 根据 勾股定理，得 2 = a 2 + b 2 . △ ∴ 2 = c 2 . ∴ △ ABC 是直角三角形 . 先构造满足某些条件的 图形 ，再根据 所求证的图 形与所构造图形之间的关系， 完成证明，这也是常用的问 题解决策略 . 在△ ABC 和 中， ∵ BC = = a ， AC = = b ， AB = = c ， △ ∴ △ ABC ≌ △ ∴ ∠ C = ∠ = 90°. 结论 如果 三角形的三条边长 a ， b ， c 满足关系 ： ，那么这个三角形是直角三角形 . 由此得到直角三角形的判定定理： 上述定理被称为勾股定理的逆定理 . 分析 根据 勾股定理的逆定理， 判断一个三角形是不是直角三角形， 只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边的平方 . 例 3 判断 由线段 a ， b ， c 组成的三角形是不是直角三角形 . （ 1 ） a = 6 ， b = 8 ， c = 10 ； （ 2 ） a = 12 ， b = 15 ， c = 20. 满足 a 2 + b 2 = c 2 的三个 正整数 称为勾 股数 . （ 2 ） ∵ 12 2 + 15 2 = 369 ， 20 2 = 400 ， ∴ 12 2 + 15 2 ≠20 2 . ∴ 这个三角形不是直角三角形 . （ 1 ） ∵ 6 2 + 8 2 = 100 ， 10 2 = 100 ， ∴ 6 2 + 8 2 = 10 2 . ∴这个三角形是直角三角形 . 解 例 4 如图 1-21 ，在△ ABC 中，已知 AB = 10 ， BD = 6 ， AD = 8 ， AC = 17. 求 DC 的长 . 在△ ABD 中， AB = 10 ， BD = 6 ， AD = 8 ， ∵ 6 2 + 8 2 = 10 2 ， 解 即 AD 2 + BD 2 = AB 2 ， ∴ △ ADB 为直角三角形 . ∴ ∠ ADB = 90°. ∴ ∠ ADC = 180°-∠ ADB = 90°. 在 Rt△ ADC 中， DC 2 = AC 2 - AD 2 ， ∴ 图 1-21 练习 1. 判断由线段 a ， b ， c 组成的三角形是不是直角三角形 . （ 1 ） a = 8 ， b = 15 ， c = 17 ； （ 2 ） a = 10 ， b = 24 ， c = 25 ； （ 3 ） a = 4 ， b = 5 ， c = . 答：（ 1 ）是 ； （ 2 ）不是； （ 3 ）是 . 2. 如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中， F 为 CD 的中点， E 是 BC 上一点， 且 EC= BC . 求证： △ AEF 是直角三角形 . 证明：由已知可得 DF=CF =2 ， EC =1 ， BE =3. 在 Rt△ ADF 中，由 勾股定理，得 AF 2 = DF 2 + AD 2 =2 2 +4 2 =20. 同理可得 AE 2 =25 ， EF 2 =5. 在 △ AEF 中， 因为 AE 2 = AF 2 + EF 2 ， 所以 △ AEF 是直角三角形 . 例 如图，在Rt△ ABD 中，∠ D =90 ° ， C 为 AD 上一点 ， 则 x 可能是（ ）. A.10 ° B.20 ° C.30 ° D.40 ° B 因为 6 x >90 ，所以 x >15. 又 6 x PB . 如图，你能在△ ABC 中找到一点 P ，使其到三边的距离相等吗？ A B C 因为角平分线上的点到 角的两边 的距离相等，所以只要作△ ABC 任意两角 （例如 ∠ A 与 ∠ B ）的平分线，其交点 P 即为所求作的点 . 点 P 也在 ∠ C 的平分线上，如图 . P 思考 3. E 是 ∠ AOB 的平分线上一点， EC ⊥ OA 于点 C ， ED ⊥ OB 于点 D ，求证：（ 1 ） ∠ ECD =∠ EDC ； （ 2 ） OC = OD . A B O C D E 证明： （ 1 ） ∵ E 是 ∠ AOB 的平分线上一点， EC ⊥ OA 于点 C ， ED ⊥ OB 于点 D ， ∴ CE = DE .∴∠ ECD =∠ EDC . （ 2 ）在 Rt△ COE 和 Rt△ DOE 中， CE = DE ， OE = OE . ∴Rt△ COE ≌Rt△ DOE (HL). ∴ OC = OD . 练习 4. 如图，在 △ ABC 中， AD ⊥ DE ， BE ⊥ DE ， AC ， BC 分别平分 ∠ BAD ， ∠ ABE ，点 C 在线段 DE 上 . 求证： AB = AD + BE . A B C D E 证明 ：过点 C 作 CF ⊥ AB 于点 F . ∵ AC ， BC 分别平分 ∠ BAD ， ∠ ABE ， 且 AD ⊥ DE ， BE ⊥ DE ， ∴ DC = CF ， CE = CF . ∴Rt△ ACD ≌Rt△ ACF (HL) ， Rt △ BCE ≌Rt△ BCF (HL). ∴ AD = AF ， BE = BF . ∴ AB = AF + BF = AD + BE . 通过本节 课 ，你有 什么 收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流 . 我思 我 进步