浙教版八年级数学下册第5章测试题及答案

浙教版八年级数学下册第5章测试题及答案 ‎5．1　矩形(1)‎ ‎1．在矩形ABCD中，其中三个顶点的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(5，3)，则第四个顶点的坐标是( )‎ A. (0，3) B. (3，0) C. (0，5) D. (5，0)‎ ‎2．如图，在矩形纸片ABCD中，E是AD的中点，且AE＝1，BE的垂直平分线MN恰好过点C，则AB的长为( )‎ A．1 B.C. D．2‎ ‎3．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上．若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是( )‎ A．S1>S2 B．S1＝S2C．S10，‎ ‎∴m2＋8m＋24≠0.‎ ‎∴m＝3.‎ ‎∴矩形的周长为2(a＋b)＝＝8.‎ ‎15.解：(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，且三角形这条边所对的顶点在平行四边形这条边的对边上，那么称这样的平行四边形为三角形的友好平行四边形．‎ ‎（解①)‎ ‎(2)此时共有2个友好矩形，如解图①中的矩形BCAD，矩形ABEF.‎ 易知矩形BCAD，矩形ABEF的面积都等于△ABC的面积的2倍，∴△ABC的友好矩形的面积相等．‎ ‎(3)此时共有3个友好矩形，如解图②中的矩形BCDE，矩形CAFG及矩形ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小．证明如下：‎ ‎（解②)‎ 易知这三个矩形的面积相等，令其为S，设矩形BCDE，矩形CAFG及矩形ABHK的周长分别为L1，L2，L3，△ABC的边长BC＝a，CA＝b，AB＝c，则L1＝＋2a，L2＝＋2b，L3＝＋2c，‎ ‎∴L1－L2＝－ ‎＝2(a－b)·.‎ ‎∵ab＞S，a＞b，‎ ‎∴L1－L2＞0，即L1＞L2.‎ 同理，L2＞L3，‎ ‎∴L3最小，即矩形ABHK的周长最小．‎ ‎5．1矩形(2)‎ ‎1．在四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线且AC＝BD.如果添加一个条件，即可推出四边形ABCD是矩形，那么这个条件可以是（ ）‎ A. AB＝BC　　 B. AC与BD互相平分 C. AC⊥BD　 D. AB⊥BD ‎2．平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是（ ）‎ A. 一般平行四边形 B. 一般四边形 C. 对角线垂直的四边形 D. 矩形 ‎3．如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是（ ）‎ A．一组对边平行而另一组对边不平行 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 ‎4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，过点B作DF的垂线，垂足为E.若∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（ ）‎ A. 2 B. C. 4 D．3 ‎5．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOD是等边三角形，AD＝4，则▱ABCD的面积为.‎ 6． 如图，在四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC⊥BD，顺次连结四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn.则S四边形AnBnCnDn=______.‎ ‎7．如图，在▱ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，且∠BED是直角．求证：▱ABCD是矩形．‎ ‎8．如图，在四边形ABCD中，H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF.‎ ‎(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是_____，并证明．‎ ‎(2)在(1)的条件下，连结CE，BF，则当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？并说明理由．‎ ‎9．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为O，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是矩形．‎ ‎10．如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB＝2，BC＝2，E，F分别是线段AB，AD上的点，连结CE，CF，当∠BCE＝∠ACF，且CE＝CF时，求AE＋AF的值．‎ 11． 已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D为AB的中点，P为直线AB上一动点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F.求证：DE＝DF.‎ ‎12．如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.‎ ‎(1)求证：OE＝OF.‎ ‎(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长．‎ ‎(3)连结AE，AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．‎ ‎13．如图，已知∠A＝∠B，AA1，PP1，BB1均垂直于A1B1，AA1＝17，PP1＝16，BB1＝20，A1B1＝12，求AP＋PB的值．‎ 参考答案 ‎1-4BDCA ‎5.16 ‎6.．‎ ‎7.证明：连结OE.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AO＝CO，BO＝DO.‎ ‎∵∠AEC＝∠BED＝90°，‎ ‎∴AC＝2OE，BD＝2OE，‎ ‎∴AC＝BD，‎ ‎∴▱ABCD是矩形．‎ ‎8.解：(1)答案不唯一，以添加EH＝FH为例，证明如下：‎ ‎∵H是BC的中点，‎ ‎∴BH＝CH.‎ 在△BEH和△CFH中，‎ ‎∵ ‎∴△BEH≌△CFH(SAS)．‎ ‎(2)当BH＝EH时，四边形BFCE是矩形，理由如下：‎ ‎∵BH＝CH，EH＝FH，‎ ‎∴四边形BFCE是平行四边形．‎ ‎∵当BH＝EH时，BC＝EF，‎ ‎∴▱BFCE为矩形．‎ ‎9.证明：∵E，H分别是AB，AD的中点，‎ ‎∴EH是△ABD的中位线，‎ ‎∴EH平行且等于BD.‎ 同理，FG平行且等于BD，‎ ‎∴EH平行且等于FG，‎ ‎∴四边形EFGH是平行四边形．‎ ‎∵AC⊥BD，‎ ‎∴AC⊥EH.‎ ‎∵EF是△ABC的中位线，‎ ‎∴EF∥AC，‎ ‎∴EF⊥EH，‎ ‎∴∠FEH＝90°，‎ ‎∴四边形EFGH是矩形．‎ ‎10.解：过点F作FG⊥AC于点G.‎ 易证△BCE≌△GCF(AAS)，‎ ‎∴BE＝GF，BC＝GC.‎ ‎∵在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝4，‎ ‎∴∠ACB＝30°，‎ ‎∴∠DAC＝∠ACB＝30°.‎ ‎∵FG⊥AC，∴AF＝2GF, ‎ ‎∴AE＋AF＝AE＋2BE＝AB＋BE.‎ 设BE＝x，则在Rt△AFG中，GF＝x，AF＝2x，∴AG＝x.‎ ‎∴AC＝AG＋CG＝x＋2＝4，‎ 解得x＝－2.∴AE＋AF＝AB＋BE＝2＋－2＝.‎ ‎11.证明：分两种情况证明.‎ ‎(1)当P为线段AB上的点时(如解图)，连结CD，则CD⊥AB，CD＝AD＝BD，∠ACD＝45°.‎ ‎∵PF⊥BC，PE⊥AC，∠ACB＝90°，‎ ‎∴四边形PFCE为矩形．‎ ‎∴CE＝PF.‎ ‎∵∠ACB＝90°，AC＝BC，‎ ‎∴∠B＝45°.‎ ‎∵PF⊥BC，∴∠FPB＝45°，‎ ‎∴PF＝BF，∴CE＝BF.‎ 又∵∠ECD＝∠B＝45°，CD＝BD，‎ ‎∴△CED≌△BFD(SAS)．‎ ‎∴DE＝DF.‎ ‎(2)当P为线段AB的延长线或反向延长线上的点时，此结论也成立，证法同(1)．‎ ‎12.(1)证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，‎ 交∠ACB的外角平分线于点F，‎ ‎∴∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF.‎ ‎∵MN∥BC，‎ ‎∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF.‎ ‎∴∠OEC＝∠ACE，∠OFC＝∠ACF.‎ ‎∴OE＝OC，OF＝OC.‎ ‎∴OE＝OF.‎ ‎(2)解：∵∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF，‎ ‎∴∠ACE＋∠ACF＝∠BCD＝90°，‎ 即∠ECF＝90°.‎ ‎∵CE＝12，CF＝5，‎ ‎∴EF＝＝13.‎ ‎∴OC＝EF＝6.5.‎ ‎(3)解：当点O在边AC上运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：‎ 当O为AC的中点时，OA＝OC，‎ 又∵OE＝OF，‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形．‎ 又∵∠ECF＝90°，‎ ‎∴▱AECF是矩形．‎ ‎13.解：∵AA1，PP1，BB1均垂直于A1B1，‎ ‎∴AA1∥PP1∥BB1.‎ 过点P作PD⊥AA1于点D，延长DP交BB1于点F，延长BP交AA1于点C，过点C作CG⊥BB1于点G，‎ 则四边形DFB1A1，四边形DPP1A1，四边形FPP1B1，四边形FDCG，四边形CGB1A1都是矩形，‎ ‎∴DA1＝PP1＝FB1＝16，CG＝A1B1＝12.‎ ‎∵AA1∥BB1，‎ ‎∴∠B＝∠ACB.‎ ‎∵∠A＝∠B，‎ ‎∴∠A＝∠ACB，‎ ‎∴AP＝CP.‎ ‎∵PD⊥AA1，‎ ‎∴D是AC的中点．‎ ‎∵AA1＝17，‎ ‎∴CD＝AD＝17－16＝1，∴FG＝1，‎ 又∵BF＝20－16＝4，‎ ‎∴BG＝4＋1＝5，‎ ‎∴AP＋PB＝CP＋PB＝BC＝＝＝13.‎ ‎5.2菱形（1）‎ 一、选择题 ‎1．下列命题中，真命题是（　）‎ A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是菱形 ‎2．菱形的周长为12cm，相邻两角之比为5：1，那么菱形对边间的距离是（　）‎ A．6cm B．1.5cm C．3cm D．0.75cm ‎3．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（　）‎ A．75° B．60° C．45° D．30°‎ ‎4．已知菱形ABCD中，AE⊥BC于E，若S菱形ABCD=24，且AE=6，则菱形的边长为（　）‎ A．12 B．8 C．4 D．2‎ ‎5．菱形的边长是2 cm，一条对角线的长是2 cm，则另一条对角线的长约是（　）‎ A．4cm B．1cm C． 3.4cm D．2cm 二、判断正误：（对的打“√”错的打“×”）‎ ‎6．两组邻边分别相等的四边形是菱形．…………………………………………………（　）‎ ‎7．一角为60°的平行四边形是菱形．…………………………………………………（　）‎ ‎8．对角线互相垂直的四边形是菱形．……………………………………………………（　）‎ ‎9．菱形的对角线互相垂直平分．…………………………………………………………（　）‎ 三、填空题 ‎10．如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于O，若OD=AD，则四个内角为________．‎ ‎　　　　　　　‎ ‎11．如图，若一条对角线平分平行四边形的一组对角，且一边长为a时，其他三边长为________；周长为________．‎ ‎12．菱形ABCD中，AC、BD相交于O点，若∠OBC=∠BAC，则菱形的四个内角的度数为____________．‎ ‎13．若菱形的两条对角线的比为3：4，且周长为20cm，则它的一组对边的距离等于____cm，它的面积等于________cm2．‎ ‎14．如图，菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=10cm，则AC=________cm，BD=______ cm．‎ ‎15.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足.且BE=CE，AB=2.求：‎ ‎（1）∠BAD的度数；‎ ‎（2）对角线AC的长及菱形ABCD的周长.‎ 参考答案 一、1．B　2．B　3．B　4．C　5．C ‎ 二、6．×　7．×　8．×　9．√‎ 三、10．60°，120°，60°，120°　11．分别为a　4a ‎12．60°，120°，60°，120°　13．　24　 14．10　10‎ ‎15.解：（1）∵AE⊥BC，且BE=CE，∴△ABC为等边三角形 ，∠ B=∠D=60°，‎ ‎ ∴∠BAD=∠BCD=120°.‎ ‎(2)AC=AB=2，菱形ABCD的周长为4×2=8.‎ ‎5.2菱形（2）‎ 一、选择题 ‎1．下列四边形中不一定为菱形的是（ ）‎ A．对角线相等的平行四边形 B．每条对角线平分一组对角的四边形 C．对角线互相垂直的平行四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形 ‎2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（ ）．‎ A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 ‎3．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（ ）‎ A．8cm和4cm B．4cm和8cm C．8cm和8cm D． 4cm和4cm 二、填空题 ‎4．如图所示，已知平行四边形ABCD，AC，BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）‎ ‎5．如图所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）‎ ‎6．菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD：∠ABC=1：2，则BD=_____，菱形的面积是______．‎ ‎7．在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_____，AC=_____．‎ 三、解答题 ‎8．如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=BC，四边形ABCD是菱形吗？说明理由．‎ ‎9．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且OC=OD,PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由．‎ 参考答案 一、1．A ‎ 2． D ‎ ‎3．C 分析：如图所示，若∠ABC=60°，则△ABC为等边三角形，所以AC=AB=×32=8（cm），AO=AC=4cm．‎ 因为AC⊥BD，在Rt△AOB中，由勾股定理，得OB==4（cm），所以BD=2OB= 8cm．‎ 二、4．AB=BC 5．点D在∠BAC的平分线上（或AE=AF）‎ ‎6．12cm；72cm2‎ 分析：如图所示，过D作DE⊥AB于E，因为AD∥BC，所以∠BAD+∠ABC=180°．又因为∠BAD： ∠ABC=1：2，所以∠BAD=60°，因为AB=AD，所以△ABD是等边三角形，所以BD=AD=12cm．所以AE=6cm．在Rt△AED中，由勾股定理，得AE2+ED2=AD2，62+ED2=122，所以ED2=108，所以ED=6cm，所以S菱形ABCD=12×6=72（cm2）．‎ ‎7．4；4分析：如图所示，因为DE垂直平分AB，又因为DA=AB，所以DA=DB=4．所以△ABD是等边三角形，所以∠BAD=60°，由已知可得AE=2．在Rt△AED中，AE2+DE2=AD2，即22+DE2=42，所以DE2=12，所以DE=2，因为AC·BD=AB·DE，即AC·4=4×2，所以AC=4．‎ 三、8．解：四边形ABCD是菱形，因为四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AB=BC，所以ABCD是菱形． ‎ ‎9．解：四边形PCOD是菱形．理由如下：‎ 因为PD∥OC，PC∥OD，所以四边形PCOD是平行四边形．‎ 又因为OC=OD，‎ 所以平行四边形PCOD是菱形．‎ ‎5.3正方形（1)‎ 一、 选择题 ‎1、下列说法不正确的是(　　)‎ A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形 ‎2、如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为(　　)‎ A．90° B．60° C．45° D．30°‎ ‎3、如图，边长为(m＋3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是(　　)‎ A．2m＋3 B．2m＋6 C．m＋3 D．m＋6‎ ‎4、如图，AC、BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、 填空题 ‎5、如图，已知正方形ABCD，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连结DE，CE，则∠DEC=_______.‎ ‎6、如图，已知矩形ABCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C′，若∠ADC′＝20°，则∠BDC的度数为________．‎ ‎7．如图，E是正方形ABCD内一点，如果△ABE是等边三角形，那么∠DCE＝________，如果DE的延长线交BC于G，则∠BEG＝_______________. ‎ 三、解答题 ‎8、在平面内正方形ABCD和正方形CEFH如图放置，连接DE，BH两线交于点M.‎ 求证：(1)BH＝DE；(2)BH⊥DE.‎ ‎9、在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别是E,F.‎ ‎⑴试说明:DE=DF.‎ ‎⑵只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线,无需证明)‎ ‎10、如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点(点G与B、C不重合)，AE⊥DG于E，CF∥AE交DG于F．求证：AE=FC+EF．‎ ‎11、已知：如图，矩形ABCD的外角平分线围成四边形EFGH．‎ 求证：四边形EFGH是正方形．‎ ‎12.AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE,EF垂直AC交BC 于F,求证:EC=EF=FB.‎ ‎13、如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.‎ 参考答案 一、选择题 ‎1、D ‎2、C ‎3、A ‎ ‎4、D【解析】根据矩形的性质，△CDA、△BAD、△DCB与△ABC全等，因为DE∥AC，所以∠CDE＝∠DCA，因为CD＝DC，∠ADC＝∠ECD，所以△ADC≌△ECD，所以与△ABC全等的三角形有4个，故选择D.‎ 二、填空题 ‎5、30°【解析】△ABE为等边三角形∠BAE=60°， ∠DAE=150°， △ABE为等腰三角形， ∠AED=15°同理∠BEC=15°所以∠DEC=30°.‎ ‎6、55°【解析】本题考查矩形的性质和折叠全等的问题，设∠BDC＝x°，则∠ADB＝(90－x)°，∴x＝‎ ‎90－x＋20，∴x＝55°.‎ ‎7、∠EDC=150 ∠BEG＝450 【解析】∵△ABE是等边三角形，∴∠ABE=∠AEB=60°，BE=AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，∴BE=BC，∠CBE=90-60°=30°，∴∠BCE=∠BEC=（180°-30°）=75°，∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=90°-75°=15°；由对称性可得∠AED=∠BEC=75°，∴∠BEG=180°-∠AED-∠AEB=180°-75°-60°=45°． ‎ 三、解答题 ‎8、证明：(1)在正方形ABCD与正方形CEFH中，‎ BC＝CD，CE＝CH，∠BCD＝∠ECH＝90°，∴∠BCD＋∠DCH＝∠ECH＋∠DCH，‎ 即∠BCH＝∠DCE，‎ ‎∴△BCH≌△DCE，‎ ‎∴BH＝DE ‎(2)由(1)得，∠CBH＝∠CDE，‎ ‎∴∠DMB＝∠BCD＝90°，‎ ‎∴BH⊥DE　‎ ‎9、证明：⑴连结AD，∵AB＝AC，D为BC的中点 ‎　　∴AD为∠BAC的平分线.‎ ‎　　∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.‎ ‎　　⑵∠BAC＝90°， DE⊥DF.‎ ‎10、解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，‎ 又∵AE⊥DG，CF∥AE，∴∠AED=∠DFC=90°，‎ ‎∴∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90°，∴∠EAD=∠FDC，‎ ‎∴△AED≌△DFC(AAS)，∴AE=DF，ED=FC，‎ ‎∵DF=DE+EF，∴AE=FC+EF．‎ ‎11、解：由△EAB与△GCD、△FBC与△HAD是两对全等的等腰直角三角形，‎ 推得EA+AH=EB+BF=GC+FC=GD+DH，即EH=EF=GF=GH．∴四边形EFGH是菱形．‎ 又∵∠E=90°，∴四边形EFGH是正方形．‎ ‎12、证明：在Rt△AEF和Rt△ABF中，AE＝AB,AF＝AF，‎ ‎∴Rt△AEF≌Rt△ABF（HL），‎ ‎∴FE=FB．∵正方形ABCD，‎ ‎∴∠ACB=45°，‎ 在Rt△CEF中，∵∠ACB=45°，‎ ‎∴∠CFE=45°，∴∠ACB=∠CFE，‎ ‎∴EC=EF，‎ ‎∴FB=EC．‎ ‎13、解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：‎ ‎（1） ∵四边形ABCD是正方形.‎ ‎∴BC=DC,∠BCE=90°（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）‎ ‎∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°‎ ‎∴∠BCE=∠DCF 又∵CE=CF ‎∴△BCE≌△DCF ‎∴BE=DF.‎ ‎(2)延长BE交DE于点M.‎ ‎∵△BCE≌△DCF,‎ ‎∴∠CBE=∠CDF.‎ ‎∵∠DCF=90°,‎ ‎∴∠CDF+∠F=90°,‎ ‎∴∠CBE+∠F=90°,‎ ‎∴∠BMF=90°,‎ ‎∴BE⊥DF.‎ ‎5.3 正方形（2）‎ A组 基础训练 ‎1．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ ）‎ A．14 B．15 C．16 D．17‎ ‎2．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）‎ A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 ‎3．已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC和CD边上的中点，则△AEF的面积为（ ）‎ A． 2.5 B． 1.5 C． 2 D． ‎ ‎4.如图，正方形ABCD中，∠DAF=25°，AF交对角线BD于点E，那么∠BEC等于（ ）‎ A． 45° B． 60° C． 70° D． 75°‎ ‎5.如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ）‎ A. 8 B. 8 C. 2 D. 10‎ ‎6. 边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图中阴影部分），则这个风筝的面积是（ ）‎ A. 2- B. C. 2- D. 2‎ ‎7.已知：如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED=_________．‎ ‎8．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F. 若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为________ m.‎ ‎9. 如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过此正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F、DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为_________.‎ 10． 如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：‎ ‎①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中正确的有_________ . （填序号）‎ ‎11.如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是AB、AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：AF=BE．‎ ‎12．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，∠ADE＝∠CDF.‎ ‎（1）求证：AE＝CF.‎ ‎（2）连结DB交EF于点O，延长OB至点G，使OG＝OD，连结EG，GF，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由.‎ B组 自主提高 ‎13.如图，将正方形对折后展开（图4是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形（阴影部分），且它的一条直角边等于斜边的一半． 这样的图形有（ ）‎ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 ‎14．如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连结DF.‎ ‎（1）在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；‎ ‎（2）连结AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（3）延长DF交BC于点M，试判断BM与MC的数量关系（直接写出结论）.‎ 参考答案 ‎1—5. CBBCD 6. A ‎7. 45°‎ ‎8. 4600‎ ‎9. 13‎ ‎10. ①②④‎ ‎11. 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠A=∠CBE=90°，∵BF⊥CE，∴∠BCE+∠CBG=90°.‎ ‎∵∠ABF+∠CBG=90°，∴∠BCE=∠ABF，在△BCE和△ABF中，∠BCE=∠ABF，BC=AB，∠CBE= ∠A，∴△BCE≌△ABF（ASA）， ∴BE=AF．‎ ‎12.（1）证明：在正方形ABCD中，AD=CD，∠A=∠C=90°，在△ADE和△CDF中，∠ADE=∠CDF，AD=CD，∠A=∠C=90°，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE=CF.‎ ‎（2）解：四边形DEGF是菱形. ‎ 理由如下：在正方形ABCD中，AB=BC，∵AE=CF，∴AB-AE=BC-CF，即BE=BF，∵△ADE≌△CDF，∴DE=DF，∴BD垂直平分EF，又∵OG=OD，∴四边形DEGF是菱形.‎ ‎13. C ‎14. 解：（1）△ADF≌△ABF，△ADC≌△ABC，△CDF≌△CBF.‎ ‎（2）AE⊥DF. 设AE与DF相交于点H.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAF=∠BAF.又∵AF=AF，∴△ADF≌△ABF. ∴∠1=∠2. 又∵AD=BC，∠ADE=∠BCE=90°，‎ DE=CE，∴△ADE≌△BCE. ∴∠3=∠4. ∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴∠AHD=90°. ∴AE⊥DF.‎ （3） ‎∵∠ADE=90°，AE⊥DF. ∴∠1+∠5=90°，∠3+∠1=90°. ∴∠3=∠5，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5. ‎ ‎∵DC=BC，∠DCM=∠BCE=90°，∴△DCM≌△BCE. ∴CE=CM，又∵E为CD中点，且CD=CB，∴CE=CD=BC，∴CM=CB，即M为BC中点，∴BM=MC.‎