浙教版八年级数学下册第2章一元二次方程

第 2 章 一元二次方程 2.1 一元二次方程 课前回顾 一 元 一 次 方程 未知量 未知量的最高次幂 一个未知量 未知量的最高次幂是 1 提示 判断下列式子是否是一元一次方程： × √ 情境引入 把面积为 4 ㎡ 的一张纸分割成如图的正方形和长方形两部分，求正方形的边长。 设未知数 设 正方形的边长 为 x . 探究 1 正方形的 面积为 ______ 。 长方形的 面积为 ______ 。 分析等量关系 探究 1 相加 + = 探究 2 某放射性元素经过 2 天质量衰变为原来的 ，问：平均每天的衰减率为多少？ 设未知数 设平均每天的衰减率为 x 。 探究 2 一天衰减为 ______ 。 两天衰减为 ______ 。 分析等量关系 探究 2 = 某放射性元素经过 2 天质量衰变为原来的 ，问：平均每天的衰减率为多少？ 这些方程是一元一次方程吗？如果不是，请说明理由。 这些方程不是一元一次方程，因为它们的未知数的系数都为 2 。 思考 想一想它们都有什么共同点： 整式方程 未知数的个数是 1 含未知数的项 的最高次数为 2 方程两边都是整式，只含有 一 个未知数 ， 并且未知数的最高 次数为 2 。 一元二次方程的 定义 ： 归纳 判断下列方程是否为一元二次方程： ① 10 x 2 =9 ( ) ②2( x -1)=3 x ( ) ③2 x 2 -3 x -1=0 ( ) ④ ( ) ⑤2 a +7 b 2 =0 ( ) ⑥4 x 3 =5 x ( ) √ × 练习 1 √ × × × ax 2 + bx + c = 0 ( a , b , c 为常数， a ≠0 ） b , c 可以为 0 吗？ 一元二次方程的一般形式： a ， b ， c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项 . 下列两个方程还可以怎样表示呢？ 探究 3 想一想 ax 2 + bx + c =0 ( a , b , c 为常数， a ≠0 ） 一元二次方程的一般形式： 为什么 a ≠0? b , c 可以为 0 吗? 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 2 x 2 - x -4=0 (2 x ) 2 = ( x +1) 2 2 x 2 - x -4=0 3 x 2 -2 x -1=0 2 -1 -4 -4 3 -2 -1 填表: 0 -4 y 2 + y +0=0 y -4 y 2 =0 练习 2 典型例题 例 1 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项 . 例 2 已知一元二次方程 的两个根 为 和 ， 求这个方程 . 典型例题 a x 2 + b x + c = 0 注意 : 要确定一元二次方程的系数和常数项 , 必须先将方程化为一般形式。 二次项系数 一次项系数 常数项 ( a ≠0) 写一元二次方程的一般形式时 , 通常按未知数的 次数从高到低排列 , 即 先写 二次项 , 再写 一次项 , 最后写 常数项。 归纳 达标测评 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 B 2 、方程                （１）当 m = 时，是一元二次方程． （２）当 m ＝    时，是一元一次方程．      -2 2 或 1 或 0 或 -1 3. 一张照片是边长为 10 cm 的正方形，帮照片设计一个漂亮的边框，要求边框的面积为 21 cm 2 . 设出未知数，并列出方程 . （要求边框四周的宽度相等） 照片 x x x 照片 照片 解：设边框的边长为 x . 解：设照片的边长为 x. 解答 从前有一天，一个“笨人”拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽 ４尺 ，竖着比门框高 ２尺 ，一位“智者”教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个“笨人”一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？ 应用提高 解：设竹竿的长为 x 尺 , 则门的宽度为 尺 , 长为 尺 , 依题意得方程： ( x － 4) 2 ＋ ( x － 2) 2 ＝ x 2 即 x 2 － 12 x ＋ 20 ＝ 0 4 尺 2 尺 x x － 4 x － 2 数学化 ( x － 4) ( x － 2) 解答 体验收获 今天我们学习了哪些知识？ 1 、一元二次方程的概念。 2 、 一元二次方程的一般形式 。 第 2 章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法（ 1 ） 一元二次方程有什么特点？ 整式方程 未知数的个数是 1 含有 未知数的项的最高次数是 2 含有一 个未知数 ，并且所含未知数的项的 次数都为 2 的方程。 什么是一元二次方程？ 课前回顾 ax 2 + bx + c =0 ( a , b , c 为常数， a ≠0 ） 一元二次方程的一般形式： a ， b ， c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项 . 课前回顾 还记得下面这一问题吗? 我们列出的 一元二次 方程 为 情境导入 把面积为 4 ㎡的一张纸分割成如图的正方形和长方形两部分，求正方形的边长。 设 正方形的 边长为 x 。 我们怎么获得这个 一元二次 方程的解呢? 想想以前学习过的 知识 ， 有没有能够解决这一问题的方法呢 ? 探究 1 请选择： 若 A · B =0 ，则（ ） （ A ） A =0 （ B ） B =0 （ C ） A =0 且 B =0 （ D ） A =0 或 B =0 D 你能用上面的结论解方程 (2 x +3)(2 x -3)=0 吗 ? 做一做 探究 1 根据上述结论： 若 A · B =0, 则 A =0 或 B =0. 我们可以得到： (2 x +3)(2 x -3)=0 将解代入原方程组，就知道你解得对不对啦！ 归纳 前面解方程时利用了什么方法呢? 因式分解 : 把一个多项式化成几个整式的积的形式 . 像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法 . 把下列各式 因式分解： （ 1 ） x ²- x （ 2 ） x ²-4 x +4 （ 3 ） x ²-4 x ( x -1) ( x -2)² ( x -2)( x +2) 练习 1 请利用因式分解解下列方程： （ 1 ） y 2 － 3 y ＝ 0 ； 解 : y （ y -3 ） =0 ∴ y =0 或 y -3=0 ∴ y 1 =0, y 2 =3 想一想以前学过几种因式分解的方法? 探究 2 提取公因式 法 解：移项，得 4x 2 -9=0 （ 2 x +3 ）（ 2 x -3 ） =0 ∴ x 1 =- 1.5, x 2 =1.5 (2) 4 x 2 =9 探究 2 公式法 a 2 － b 2 =( a + b ) ( a － b ) a 2 ±2 ab + b 2 =( a ± b ) 2 公式 探究 2 情境导入中的方程应该用什么方法呢? 如何因式分解呢? 分析 ∵ (-1) ×(+4) ＝ -4 (-1) ＋ (+4) ＝ +3 常数项 一次项系数 x x -1 +4 化为一般式： 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做 十字相乘法 。 探究 2 (1) 提取公因式法 (2) 公式法 : a 2 － b 2 =( a + b ) ( a － b ) a 2 ±2 ab + b 2 =( a ± b ) 2 (3) 十字相乘法 因式分解的主要方法 : 归纳 x 2 +( a + b ) x + ab =( x + a )( x + b ) 根据若 A · B =0, 则 A =0 或 B =0, 将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。 将方程的左边分解因式； 若方程的右边不是 0 ，先移项，使方程的右边为 0 ； 因式分解法解方程的基本步骤： 归纳 （ 1 ） x 2 － 3 x ＝ 0 ( 2)25 x 2 =16 解 ：（ 1 ） x （ x -3 ） =0 ∴ x =0 或 x -3=0 ∴ x 1 =0, x 2 =3 （ 2 ）移项，得 25 x 2 - 16 = 0 （ 5 x +4)(5 x -4 ） =0 ∴ x 1 =-0.8 ， x 2 =0.8 ∴ 5 x +4=0 或 5 x - 4=0 典例精讲 例 1 解 下列方程： 例 2 解 下列一元二次方程： （ 1 ）（ x － 5) (3 x － 2)=10 ； 解： 化简方程，得 3 x 2 － 17 x =0. 将方程的左边分解因式， 得 x (3 x － 17)=0, ∴ x =0 或 3 x － 17=0 ， 典例精讲 (2) (3 x － 4) 2 =(4 x － 3) 2 . 解：移项，得（ 3 x － 4) 2 － (4 x － 3) 2 =0. 将方程的左边分解因式，得 〔(3 x －4)+(4 x －3)〕〔(3 x －4)－(4 x － 3) 〕 =0, 即 (7 x －7) (- x － 1)=0. ∴ 7 x － 7=0 或 - x － 1=0. ∴ x 1 =1, x 2 =-1. 典例精讲 ∴ x 1 = x 2 = . ∴( x － ) 2 =0, 即 x 2 － 2 x +( ) 2 =0. 解 : 移项，得 x 2 － 2 x +2=0, 典例精讲 例 3 2 、关于 x 的一元二次方程 的两个解为 ，则 分解因式的结果为 ____________________. 1 、构造一个一元二次方程 , 要求 : ① 常数项不为 0 ； ② 有一个根为 -3. 达标测评 3 、填空： （ 1 ）方程 x 2 + x =0 的根是 ； （ 2 ） x 2 － 25=0 的根是 ； x 1 =0, x 2 =-1 x 1 =5, x 2 =-5 。 x 1 =4, x 2 =-2 （ 3 ） 方程 x 2 -2 x -8=0 的根是 (1) 5 x 2 =4 x ； (2) x 2 +6 x -7=0 . 4 、 用因式 分解 法解方程: 利用十字相乘法： x 2 +( a + b ) x + ab =( x + a )( x + b ). 解方程 : 解 : 方程两边都除以 , 得 移项得 : 合并同类项得 : 下列解一元二次方程的方法对吗 ? 若不对请改正。 应用提高 不正确哟！不能约分，这样会少了一个解哟 ！ 解 : 移项得 : 方程左边因式分解得 : 解答 体验收获 今天我们学习了哪些知识？ 1 、一元二次方程的解法。 2 、因式分解法解一元二次方程。 第 2 章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法（ 2 ） (1) 提取公因式法 (2) 公式法 : a 2 － b 2 =( a + b ) ( a － b ) a 2 ±2 ab + b 2 =( a ± b ) 2 (3) 十字相乘法 因式分解的主要方法 : 课前回顾 x 2 +( a + b ) x + ab =( x + a )( x + b ). 根据若 A · B =0, 则 A =0 或 B =0, 将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。 将方程的左边分解因式； 若方程的右边不是 0 ，先移项，使方程的右边为 0 ； 因式分解法解方程的基本步骤： 课前回顾 情境引入 如图，师傅为了修房顶，把一架梯子搁在墙上， AB 长 5 米， AC 是 BC 的 2 倍，问： AC 为多少？ 还有没有其他求解一元二次方程的方法呢? 梯子、墙壁、地面构成了直角三角形。 探究 1 AC =2 BC 设 BC 为 x 米，则 AC 为 2 x 米 . 由勾股定理得 探究 1 这个一元二次方程应该怎么解呢? 一般地 , 对于形如 x 2 = a ( a >0) 的方程 , 根据平方根的定义 , 可解得 ，这种解一元二次方程的方法叫做 开平方法 . 前面解方程时利用了什么方法呢? 归纳 开平方法解一元二次方程的基本步骤： （ 1 ）将方程变形成 归纳 例 1 解 下列方程 : 解： 移项，得 (1)3 x 2 － 48=0 (2)(2 x － 3) 2 =7 典例精讲 你能用 开平方法 解下列方程吗 ? x 2 － 10 x =-16 探究 2 不能 那应该用什么方法呢？ 变形为 把一元二次方程的 左边 配成一个 完全平方式 , 右边 为一个 非负常数 , 然后用开平方法求解 , 这种解一元二次方程的方法叫做 配方法 . 变形为 ax 2 + bx + c =0 a ( x + m ) 2 = n 的 形式 （ n 为 非负数） 配方法 归纳 配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程的基本步骤： (1) 移项 : 把常数项移到方程的右边； (2) 配方 : 方程两边同时 加上一次项系数 一半的平方 ； (3) 开方 : 根据平方根的意义 , 方程两边开平方 ; (4) 求解 : 解一元一次方程 ; (5) 定解 : 写出原方程的解 . 归纳 例 2 用配方法解下列一元二次方程 （ 1 ） x 2 +6 x =1 典例精讲 移项 配方 开方 求解 定解 配方时 , 配的是一次项系数 一半 的平方 . （ 2 ） x 2 +5 x -6=0 典例精讲 二次项系数不是 1 时，先把系数变为 1 。 二次项系数 不是 1 ，把它 变成 1 . 二次项系数不是 1 怎么办？ 典例精讲 例 3 用 配方法解一元二次方程 解答 典例精讲 例 4 已知 4 x 2 +8( n +1) x +16 n 是一个关于 x 的完全平方式，求常数 n 的值 . 典例精讲 典例精讲 练一练 用配方法解下列方程： （ 2 ） x 2 – 2 x = 3 练一练 （１）方程    的根是 x 1 =7, x 2 =-7 ； （２）方程     的根是 .    1 、填空 达标测评 (1) x 2 ＋ 8 x ＋ =( x ＋ ) 2 配方时 , 配的是一次项系数 一半 的平方 . (2) x 2 － 12 x ＋ =( x － ) 2 16 36 6 4 (3) x 2 + 5 x ＋ =( x + ) 2 2 、用配方法填空 : D 应用提高 应用题要注意验根 . 应用提高 2 、用配方法证明 的值恒小于 0. 体验收获 今天我们学习了哪些知识？ 1 、用开平方法解一元二次方程。 2 、 用配方法解一元二次方程。 第 2 章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法（ 3 ） 配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程的基本步骤： (1) 移项 : 把常数项移到方程的右边 ; (2) 配方 : 方程两边同时加上一次项系数 一半的平方 ; (3) 开方 : 根据平方根的意义 , 方程两边开平方 ; (4) 求解 : 解一元一次方程 ; (5) 定解 : 写出原方程的解 . 课前回顾 情境引入 你能用配方法解一元二次方程的一般式吗？ (1) 移项； (2) 配方； (3) 开方； (4) 求解； (5) 定解 . 步骤依旧如下： 把方程两边都除 以 ，得 解 : 移项 ，得 配方 ，得 即 探究 1 解 得 一元二次方程的求根公式 ( a ≠0, b 2 -4 ac ≥0 ) 开方 ，得 探究 1 公式法 一般地,对于 一元二次方程 ax 2 + bx + c =0( a ≠0) 当 时，方程有实数根吗 b 2 -4 ac 0, 解得 m> . （ 2 ）若方程有两个相等的实数根，则 b 2 -4 ac =0, 即 8 m +9=0 ， ∴ m = . （ 3 ）若方程没有实数根，则 b 2 -4 ac ＜ 0, 即 8 m +9 ＜ 0 ， ∴ m ＜ ∴ 当 m ＞ 时，方程有两个不相等的实数根；当 m = 时， 方程有两个相等的实数根；当 m ＜ 时，方程没有实数根 . 体验收获 今天我们学习了哪些知识？ 1 、用公式法解一元二次方程。 2 、 一元二次方程根的判别式。 第 2 章 一元二次方程 2.3 一元二次方程的应用（ 1 ） 因式分解法 开平方法 配方法 公式法 解一元二次方程的四种 方法： 课前回顾 例 1 某花圃用花盆培育某种花苗 , 经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系 . 当每盆植入 3 株时 , 平均单株盈利 3 元 ; 以同样的栽培条件 , 若每盆每增加 1 株 , 平均单株盈利就减少 0.5 元 . 要使每盆的盈利达到 10 元 , 每盆应该植多少株 ? 情境导入 学了这么多方法，我们来试着将它们应用到生活中吧！ ⑴ 审题：理解题意。    ⑵设元（未知数 ）。 ⑶用含未知数的代数式表示相关的量。    ⑷寻找相等关系，列方程。 ⑸解方程及检验。   列一元一次方程解应用题的步骤： 想一想 列一元二次方程解应用题的基本步骤与列一元一次方程解应用题相同吗 ? 平均单株盈利 × 株数 = 每盆盈利 ; 平均单株盈利 =3-0.5× 每盆增加的株数 . 本题涉及了哪些数量呢? 探究 1 例 1 某花圃用花盆培育某种花苗 , 经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系 . 当每盆植入 3 株时 , 平均单株盈利 3 元 ; 以同样的栽培条件 , 若每盆每增加 1 株 , 平均单株盈利就减少 0.5 元 . 要使每盆的盈利达到 10 元 , 每盆应该植多少株 ? 探究 1 解：设每盆增加 x 株 . 间接设元法 间接设元法 在应用题中，当求什么未知量时，因该未知量较隐含，不易直接设元，则用间接设元法，设其他未知 量 为 x ，而所要求的未知量可用含其 他 未知 量 x 的代数式表示 . 株数×平均每株盈利=每盆盈利 (3+ x ) (3-0.5 x ) =10 株数 每株盈利 每盆盈利 （ 3-0.5 ） × （ 3+1 ） （ 3-1 ） × （ 3+2 ） … … … … 3 3 3×3 增加 1 株 3+1 3-0.5 增加 2 株 3+2 3-0.5×2 增加 x 株 3+ x 3-0.5 x 10 探究 1 解：设每盆增加 x 株 . (3+ x ) (3-0.5 x ) =10 3+1=4 ， 3+2=5 答：要使每盆的盈利为 10 元，则每盆应植入 4 株或 5 株 . 解答 列方程解应用题的步骤有 : 审 设 列 解 即审题， 找 出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系。 设元，包括设直接未知数或间接未知数，以及用含未知数的代数式表示其他相关量。 根据等量关系列出方程。 解方程。 验 检验根的准确性及是否符合实际意义。 总结 雁荡山大龙湫景区 ，经过试验发现每天的门票收益与门票价格成一定关系 . 当票价为 40 元 / 人时，平均每天来的人数是 380 ，当票价每增加 1 元 时 ，平均每天就减少 2 人。要使每天的门票收入达到 24 000 元，票价应定多少元？（列出方程即可） 票价 × 人数 = 门票收入 加 1 元 少 2 人 加 x 元 少 2 x 人 (40+ x ) (380-2 x ) 练习 1 直接设票价增加 x 元 ，你会求吗？ =24 000 1 、去年的产量为 5 万吨，今年比去年增长了 20% ， 今年的产量是多少？ 今年比去年增长了 20% ，应理解为； 今年是去年的（ 1+20% ）倍 所以今年的产量 = 去年的产量 × (1+20%) 想一想 探究 2 2 、一件价格为 200 元的商品连续两次降价，每次降价的百分数为 15% ，降价后的商品价格是多少？ 分析；第一次降价后的商品价格为原来的 （ 1-15% ）倍 即 第一次为 200 × （ 1-15% ） 第二次为第一次的（ 1-15% ）倍， 即第二次为 200 × （ 1-15 % ) × （ 1-15% ） =200 × (1-15%) 2 概括为第一次的价格 × ( 1- 降价 百分数 ) 2 = 第二次的价格 想一想 探究 2 列一元二次方程解决增长 ( 降低 ) 率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系 . (1) 增长率问题 : 平均增长率公式为 (2) 降低率问题：平均降低率公式为 ( a 为原来数， x 为平均增长或降低率， n 为增长或降低的次数， b 为增长或降低后的量 .) a (1+ x ) n = b a (1- x ) n = b 探究 2 例 2 根据图中的统计图，求 2009 年到 2011 年，我国风电新增装机容量的平均年增长率 ( 精确到 0.1 % ). 典型例题 解：设 2009 年到 2011 年，我国风电新增装机容量的平均年增长率为 x. 答：设 2009 年到 2011 年，我国风电新增装机容量的平均年增长率为 22.4%. 解答 二次增长后的值为 依次 类推 , n 次增长后的值为 设基数为 a ，平均增长率为 x ，则一次增长后的值为 设基数为 a ，平均降低率为 x ，则一次降低后的值为 二次降低后的值为 依次 类推 , n 次降低后的值为 （ 1 ）增长率问题 （ 2 ）降低率问题 归纳 （ 1 ）某公司今年的销售收入是 a 万元，如果每年的增长率都是 x ，那么一年后的销售收入将达到 ____ _ 万元（用代数式表示）； （ 2 ）某公司今年的销售收入是 a 万元，如果每年的增长率都是 x ，那么两年后的销售收入将达到 __ 万元（用代数式表示） . 练习 2 1 、某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由 2017 年的 4 万平方米，到 2019 年的 7 万平方米。 设这两年该房屋开发公司开发建设住宅面积的年平均增长率为 x ，则可列方程为 ________________ . 4 （ 1+ x ) 2 =7 达标测评 2 、一批上衣原来每件 500 元第一次降价销售甚慢 , 第二次大幅度降价的百分率是第一次的 2 倍结果以每件 240 元的价格迅速 售出 , 列方程为 _ _______________ 。 500(1- x )(1-2 x )=240 3 、已知两个数的和等于 12 ，积等于 32 ，则这两 个数分别是 。 4 ， 8 4. 有一个两位数，它的两个数字之和是 8 ，把这个两位数的数字交换位置后所得的数乘原来的数就得到 1 855 ，求原来的两位数。 解：设原来的两位数的个位数为 x , 则十位上的数为 8- x . 根据题意得： ［ 10 （ 8- x ） + x ］［ 10 x +(8- x ) ］ =1 855 整理后得： x 2 -8 x +15=0 解这个方程得： x 1 =3 ， x 2 =5 答：原来的两位数为 35 或 53. 某旅行社的一则广告如下：我社组团去某风景区旅游，收费标准为：如果人数不超过 30 ，人均旅游费用为 800 元；如果人数多于 30 ，那么每增加 1 人，人均旅游费用降低 10 元，但人均旅游费用不得低于 500 元。甲公司分批组织员工到该风景区旅游，现计划用 28 000 元组织第一批员工去旅游，问：这次旅游可以安排多少人参加？ 应用提高 1 . 这个问题的等量关系是什么 ? 首先知道总费用是 28 000 元 即有等量关系“ 人均费用 × 人数 =28 000 元 ” 分析 2 . 应该怎么设未知数呢 ? 设 人数为 x 那人均费用应该怎么表示呢 ? (1) 根据 :“ 如果人数不超过 30 ，人均旅游费用为 800 元” (2) 根据 :“ 如果人数多于 30 ，那么每增加 1 人，人均旅游费用降低 10 元，但人均旅游费用不得低于 500 元”  则总费用不超过 30×800=24 000 ＜ 28 000 ，而现用 28 000 元 , 所以人数应超过 30. a. 设 人数为 x , 比 30 人多了多少人？ （ x － 30 ）人 b. 人均旅游费 降低了多少元 ? 10( x -30) 元 c. 实际人均旅游费用是多少 ? [800 － 10( x － 30)] 元 分析 解 : 设这次旅游安排 x 人参加 . 根据题意得 : [800 － 10( x － 30)]· x = 28 000 整理 , 得 x 2 -110 x + 2 800=0 解这个方程 , 得 x 1 =70 ， x 2 =40 当 x 1 =70 时 ,800-10( x -30)=400500 ∴ x =40 答 : 这次旅游可以安排 40 人参加 . 解答 人均费用不低于 500. 体验收获 今天我们学习了哪些知识？ 1 、用一元二次方程解应用题 的一般步骤 . 2 、增长率问题 . 第 2 章 一元二次方程 2.3 一元二次方程的应用（ 2 ） 列方程解应用题 的一般步骤 : 审 设 列 解 即审题， 找 出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系。 设元，包括设直接未知数或间接未知数，以及用含未知数的代数式表示其他相关量。 根据等量关系列出方程。 解方程。 验 检验根的准确性及是否符合实际意义。 总结 课前回顾 二次增长后的值为 依次 类推， n 次增长后的值为 设基数为 a ，平均增长率为 x ，则一次增长后的值为 设基数为 a ，平均降低率为 x ，则一次降低后的值为 二次降低后的值为 依次 类推， n 次降低后的值为 （ 1 ）增长率问题 （ 2 ）降低率问题 课前回顾  例 1 如图甲 ，有一张长 40cm ，宽 25cm 的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图乙的无盖纸盒。若纸盒的底面积是 450cm 2 ，则纸盒的高是多少？ 情境引入 面积问题 解 : 设高为 x cm, 可列方程为 x 25-2 x x 40-2 x 探究 1 （ 40 － 2 x )(25 -2 x )=450 解 : 设高为 x cm, 可列方程为 （ 40 － 2 x )(25 -2 x )=450 解得 x 1 =5, x 2 =27.5 经检验： x =27.5 不符合实际，舍去。 答：纸盒的高为 5cm 。 解答 如图，某幼儿园有一道长为 16 米的墙，计划用 32 米长的围栏靠墙围成一个面积为 120 平方米的矩形草坪 ABCD . 求该矩形草坪 BC 边的长． 练习 1 【 解 】 设该矩形草坪 BC 边的长为 x 米 . 根据题意，得 x · (32 － x ) ＝ 120. 解得 x 1 ＝ 12 ， x 2 ＝ 20. ∵20>16 ， ∴ x ＝ 20 不符合题意，舍去． 答：该矩形草坪 BC 边的长为 12 米． 一轮船（ C ）以 30 km/h 的速度由西向东航行在途中接到台风警报 , 台风中心正以 20 km/h 的速度由南向北移动 , 已知距台风中心 200 km 的区域 ( 包括边界 ) 都属于受台风影响区 , 当轮船接到台风警报时 , 测 BC =500km, BA =300km. B A C 探究 2 动点问题 （ 1 ）船会不会进入台风影响区？ （ 2 ）如果会，求多长时间进入台风影响区 . ① 假设经过 t 小时，轮船和台风分别在 , 的位置。 探究 2 因为 BC =500 km, BA =300 km, 所以由勾股定理可知 AC =400 km 。 B A C 300-20 t 400-30 t 探究 2 ② 运用数形结合的方法寻找等量关系，并列出方程。 探究 2 B 1 C 1 2 = AC 1 2 + AB 1 2 所以列出等量关系： (400-10 t ) 2 +(300-20 t ) 2 =200 2 B 1 C 1 =200 km 当船与台风影响区接触时 B 1 C 1 符合什么条件？ ③ 解方程。 解 得 t 1 ≈8.35 ， t 2 ≈19.34 (400-10 t ) 2 +(300-20 t ) 2 =200 2 探究 2 轮船首次受到台风影响的时间和最后受到影响的时间 方程 解得的 t 1 , t 2 的实际意义是什么 ？ t 1 ≈8.35 ， t 2 ≈19.34 探究 2 ④ 如果船速为 10 km/h, 结果将怎样 ? B A C 解 : 设当轮船接到台风警报后 , 经过 t 小时 , 则令： (400-10 t ) 2 +(300-20 t ) 2 =200 2 化简，得： t 2 -40 t +420=0 由于此方程无实数根 ∴ 轮船继续航行不会受到台风的影响。 探究 2 如 图，在 Δ ABC 中 ,∠ C =90°, AB =10cm, AC =8cm, 点 P 从 A 开始出发向点 C 以 2cm/s 的速度移动 , 点 Q 从点 B 出发向点 C 以 1cm/s 的速度移动 . 若 P ， Q 分别同时从 A ， B 出发，几秒后四边形 APQB 是 Δ ABC 的 面积的三分之二？ 练习 2 C B P Q 设 x 秒 后四边形 APQB 是 Δ ABC 的 面积的三分之二， A x 2 x 8 10 根据勾股定理得 BC ²= 10² - 8² BC =6 则 AP =2 , BQ = x. 所以 CP =8-2 x , CQ =6- x 答 : 2 秒后四边形 APQB 是 Δ ABC 的 面积的三分之二 . 解答 80cm x x x x 50cm 1 、在一幅长 80cm ，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图，如果要使整个挂图的面积是 5 400 平方厘米， 设金色纸边的宽为 x cm ，那么 x 满足的方程是 【 】 A. x 2 +130 x -1 400=0 B . x 2 +65 x -350=0 C . x 2 -130 x -1 400=0 D. x 2 -65 x -350=0 B 达标测评 2 、建造一个面积为 20 平方米，长比宽多 1 米的长方形喷泉，问：它的宽是多少？ 解： 设这个喷泉的宽为 x 米， 则长为（ x +1 ）米 . 根据题意得： x ( x +1) = 20 即 x 2 + x - 20 = 0 解得 : 答 : 这个长方形的喷泉的宽为 4 米 . 经检验， 不符合题意，舍去 . 3 、将一条长为 56 米 的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝作成一个 正方形 . （ 1 ）要使这两个正方形的面积之和等于 100 平方米，该怎样剪？ （ 2 ）要使这两个正方形的面积之和等于 196 平方米，该怎样剪？ （ 3 ）要使这两个正方形的面积之和等于 200 平方米，该怎样剪？ 解：设第一个正方形的边长为 x 米 . x ²+ (14- x )² =100 x ²+ (14- x )² =196 x ²+ (14- x )² =200 学校要建一个长方形的实验基地，基地的一边靠墙，另三边用长度为 40 米的木栏围成。 （ 1 ）要使基地的面积达到 150 平方米，则这个长方形基地的两边长分别为多少？ x x 40-2 x 解：设长方形的一边长为 x 米，则另一边长为 （ 40-2 x ） 米。根据题意得： 经检验， 都符合题意。 解得： 答：长方形基地的两边长分别为 5 米、 30 米或 15 米、 10 米。 应用提高 长方形的实验基地，基地的一边靠墙，另三边用长度为 40m 的木栏围成。 （ 2 ）基地的面积能达到 250 平方米吗？为什么？（通过计算说明） x x 40-2 x 解：设长方形的一边长为 x 米，则另一边长为 （ 40-2 x ） 米 . 根据题意得： 化简得： 所以方程无实数根 , 即长方形基地的面积不能达到 250 平方米。 长方形的实验基地，基地的一边靠墙，另三边用长为 40m 的木栏围成。 （ 3 ）基地的面积最大能达到多少平方米？ x x 40-2 x 解：设长方形的一边长为 x 米，则另一边长为 （ 40-2 x ） 米。根据题意得： 原式 = 所以当 x =10 米时，长方形的最大面积为 200 平方米。 ？ 体验收获 今天我们学习了哪些知识？ 1 、一元二次方程的应用之面积问题。 2 、一元二次方程的应用之动点问题。 第 2 章 一元二次方程 2.4 一元二次方程根与系数的关系 1. 一元二次方程的一般形式是什么？ 2. 一元二次方程 根的判别式是什么 课前回顾 3 . 一元二次方程 的求根公式是什么？ 4. 一元二次方程的根的情况怎样确定？ 课前回顾 方程 两个根 两根之和 两根之积 a 与 b 之间的关系 a 与 c 之间的关系 情境导入 如果一元二次方程 的 两个根 分别是 ， ， 那么你 可以发现什么结论？ 猜想 相等 这种关系是这几个方程所特有的还是对于任意的一元二次方程都适合的呢？我们来证明一下 如果一元二次方程 的两个根分别 是 ， ，那么： 总结 能用这个结论的 前提为 △ ≥ 0 证明： 在 利用根与系数的关系求方程的两根的和与积 A 练习 1 解析 1 、说出下列各方程的 两根之和 与 两根之积 ： (1) x 2 - 2 x - 1=0 (2) 2 x 2 - 6 x =0 x 1 + x 2 =2 x 1 x 2 =-1 x 1 + x 2 =3 x 1 x 2 =0 练习 2 例 1 设 是一元二次方程 的两个根 . 求： ( 1) ; (2) . 分析：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和或两根之积的形式，再整体代 入． 课本例题 解答 几种常见的求值 : 总结 例 2 ：已知一 个一元二次方程的二 次项系数是 3 ，它的两个根分别是 请写出这个方程。 解：设这个方程为 ，由一元二次方程根与系数的关系， 得 典型例题 学以致用 1 、若关于 x 的一元二次方程 的两根互为相反数，求 m 的值 . 学以致用 解：∵ x 1 ， x 2 是方程2 x 2 -3 x + m =0的两个实数根，∴ x 1 + x 2 =   ① . 而8 x 1 -2 x 2 =7 ②，联立①②，解 得 x 1 =1， x 2 = ，∴ x 1 • x 2 = = ， ∴ m =1． 1 、已知方程 的两根之和与两根之积相等，那么 m 的值为（ ） A.1 B .-1 C. 2 D. -2 2 、已知方程 的 两根之和为 4 ，积 为 - 3 ，则 a = ， b = 。 B 8 -3 达标测评 3 、设 x 1 ， x 2 是方程 2 x 2 － 9 x ＋ 6 ＝ 0 的两个根，求下列各式的值： 分析：利用根与系数的关系求有关代数式的值的一般方法： (1) 利用根与系数的关系求 x 1 ＋ x 2 ， x 1 x 2 的值； (2) 将所求的代数式变形转化为用含 x 1 ＋ x 2 ， x 1 x 2 的代数式表示； (3) 将 x 1 ＋ x 2 ， x 1 x 2 的值整体代入求出待求式的值． 已知方程 x 2 -( k +1) x +3 k =0 的一个根是 2 , 求它的另一个根及 k 的值 . （用两种方法解答） 解法一： 设方程的另一个根为 x 2 . 由根与系数的关系，得 2 ＋ x 2 = k +1 ， 2 x 2 = 3 k, 解得 x 2 =-3 ， k =-2. 答：方程的另一个根是 -3 , k 的值是 -2. 应用提高 已知方程 x 2 -( k +1) x +3 k =0 的一个根是 2 , 求它的另一个根及 k 的值。（用两种方法解答） 解法二： 设方程的另一个根为 x 2 . 把 x =2 代入方程，得 4-2( k +1)+3 k =0 解这个方程，得 k = -2 由根与系数的关系，得 2 x 2 ＝ 3 k 即 2 x 2 ＝ -6 ∴ x 2 ＝ -3 答：方程的另一个根是 -3, k 的值是 -2. 体验收获 今天我们学习了哪些知识？ 一元二次方程根与系数的关系。