浙教版八年级数学下册第6章反比例函数

第 6 章 反比例函数 6.1 反比例函数 6.1 反比例函数 1 、经历抽象反比例函数的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念 . 2 、能判断一个给定的函数是否为反比例函数，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式． 学 习 目 标 新 课 导 入 请同学们把一张面值 100 元的人民币换成面值 50 元的人民币，可得几张？如果换成面值 20 元的人民币，可得几张？如果换成 10 元、 5 元的人民币呢？ 设所换成的面值为 x 元 ，相应的张数为 y . 面值 / x 张数 / y 50 20 10 5 x 2 5 10 20 知 识 讲 解 ① 你会用含 x 的代数式表示 y 吗？ ② 当所换的面值 x 越来越小时，相应的张数 y 怎样变化？ ③ 变量 y 是 x 的函数吗？为什么？ 张数越来越多 . 根据关系式可知，两者是反比例函数关系 . 电流 I 、电压 U 、 电阻 R 之间满足关系式    ．当 U =220 V 时，（ 1 ）你能用含 R 的代数式表示 I 吗？ （ 2 ）利用写出的关系式完成下表： R / Ω 20 40 60 80 100 I /A 当 R 越来越大时， I 怎样变化？ 当 R 越来越小呢？ （ 3 ）变量 I 是 R 的函数吗？为什么 ? U = IR 11 5.5 2.75 2.2 当 R 越来越小时， I 越来越大；反之 I 越来越大 . 由关系式可知，两者是反比例函数关系 . 舞台灯光可以在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天 , 或由黑夜变成白昼 , 这样的效果就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的 . 因为当电流 I 较小时 , 灯光较暗 ; 反之 , 当电流 I 较大时 , 灯光较亮 . 舞台的灯光效果 京沪高速公路全长约为 1 318km , 汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京 , 汽车行完全程所需的时间 t (h) 与行驶的平均速度 v (km/h) 之间有怎样的关系 ? 变量 t 是 v 的函数吗 ? 为什么 ? 解析： 变量 t 与 v 的关系式为： 由关系式可知，两者是反比例函数关系 . 反比例函数 一般地，如果两个变量 x , y 之间的关系可以表示成： 的形式，那么称 y 是 x 的 反比例函数 . 还可表示 为 xy = k 或 y = kx - 1 . 此时 x 的指数为 - 1 ， k ≠0 想一想 : 反比例函数的自变量能不能是 0? 为什么 ? 定义： 1. 观察下面的表达式，是否为反比例函数？若是，它们的 k 值分别是多少？ 解析： 都是反比例函数，其中 k 的值分别是 4 ，  1 ， 5 ，  10 ． 跟踪训练 解析： 反比例函数有（ ４ ），（ ５ ），（ ７ ）． 2. 下列表达式 中， y 是 x 的反比例函数的有哪些？ ( a 为常数， a ≠0 ） 4. 某村有耕地 346.2 公顷 , 人口数量 n 逐年发生变化 , 那么该村人均占有耕地面积 m ( 公顷 / 人 ) 是全村人口数 n 的函数吗 ? 是反比例函数吗 ? 为什么 ? 3. 一个矩形的面积是 20cm 2 , 相邻的两条边长为 x cm 和 y cm, 那么变量 y 是 x 的函数吗 ? 是反比例函数吗 ? 为什么 ? 解析： 解析： 由关系式可知，两者是反比例函数关系 . 由关系式可 知，两 者是反比例函数关系 . 1 、 在下列函数中， y 是 x 的反比例函数的是（ ） （ A ） （ B ） +7 （ C ） xy = 5     （ D ） y = 8 x +5 y = x 3 y = x 2 2 C 2 、点（ m , n ）满足反比例函数 ， 则下面（ ） 点满足这个函数． A ． （ - m , n ) B ． ( m ,- n ) C ． (- m ,- n ) D ． (- n , m ) C 随 堂 练 习 3 、已知函数 是反比例函数 , 则 m = ； 已知函数 是反比例函数 , 则 m = 。 y = x m -9 y =3 x m -7 8 6 4 、写出下列函数关系式，并指出它们是什么函数 ? (1) 当路程 S 一定时，时间 t 与速度 v 的函数关系； (2) 当矩形的面积 S 一定时，长 a 与宽 b 的函数关系； (3) 当三角形的面积 S 一定时，三角形的底边 y 与高 x 的函数关系； 【 解析 】 （ 1 ） ；（ 2 ） ； （ 3 ） ． t = S v a = b S y = 2 S x 由函数关系式可知，它们都是反比例函数关系 . 1 、反比例函数 1 、可变形为 y = kx -1 ， 此时 x 的指数为 -1 ， k ≠0 ； 2 、 反比例函数中自变量 x 不能为 0 ，则 y 也不可能为 0 ． 注意： 本 课 小 结 第 6 章 反比例函数 6.2 反比例函数的图象和性质（ 1 ） 1. 反比例函数的定义： 3. 反比例函数的确定： 4. 它的三种常见的表示形式： 2. 反比例函数的特征： 叫做反比例函数 . 函数 k ≠ 0 , x ≠ 0. x 的指数是 -1 待定系数法 . xy = k （ k ≠ 0 ） y = kx -1 （ k ≠0 ） 复习回顾 , 引入新课 １、下列函数，哪些是 y 关于 x 的反比例函数？ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ y = 3 x -1 y = 2 x 2 y = 2 x 3 y = x 1 y = 3 2 x y = 1 3 x y = x 1   2 、 已知△ ABC 的面积为 12 ，则△ ABC 的高 h 与它的底边 a 的函数关系式为 3 、 已知 y 是 x 的 反比例函数,下表给出了 x 和 y 的一些值: x  -2  -1  1  3 y  2  -1 (1)求出这个反比例函数的表达 式 ; 思考:表中能否 增加 x = 0 或 y = 0的值,为什么? (2)根据函数 表达 式完成上 表 . １ - ２ ２ 函数 图象的画法 列 表 描 点 连 线 描点法 反比例函数的图象又会是什么样子呢 ? 你还记得作函数图象的一般步骤吗 ? 用图象法表示函数关系时 , 首先在自变量的取值范围内取一些值 , 列表 , 描点 , 连线 ( 按自变量从小到大的顺序 , 用一条平滑的曲线连接起来 ). 回忆：函数关系有哪些表示方法？ 一次函数的图象是什么样子呢 ? （表达式法、列表法、图象法） x 画出反比例函数 和 的函数图象。 y = x 6 y = x 6 y = x 6 列 表 描 点 连 线 描点法 合作交流 , 探究新知 y =- x 6 1 2 3 4 5 6 -1 -3 -2 -4 -5 -6 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 0 -6 -5 5 6 y x x y = x 6 y = x 6 1 2 3 4 5 6 -1 -3 -2 -4 -5 -6 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 O -6 -5 5 6 x y 1 6 2 3 3 2 4 1.5 5 1.2 6 1 6 -1 -6 -2 -3 -3 -1.5 -2 -4 -5 -1.2 -6 -1 … … … … -6 6 3 -3 2 -2 1.5 -1.5 1.2 -1.2 1 -1 … … y = x 6 y = x 6 反比例函数 图象的画法 步骤： 列 表 描 点 连 线 描点法 注意：①列 x 与 y 的对应值表时 ， x 的 值不能为 0 ，但仍可以在 0 的左右均匀、对称地取值。 注意：②描点时自左往右用光滑曲线顺次连结，切忌用折线。 注意： ③两个分支合起来才是反比例函数图象。 y x 6 y = 0 讨 论 反比例函数的性质 1. 当 k >0 时 , 图象的两个分支分 别在第一、三象限内； 2. 当 k < 0 时 , 图象的两个分支分别在第二、四象限内。 y = x 6 x y O 3. 图象的两个分支关于直角 坐标系的原点成中心对称。 x O 如果知道双曲线的一支，利用对称性，如何画另一支？ 4. 双曲线无限接近于 x 轴 、 y 轴 , 但永远不会与坐标轴相交 1. 函数 的图象在第 _____ 象限 . y = x 5 练习 1 二 , 四 9 1 3. 函数 的图象在第二、四象限， 则 m 的取值范围是 ____ . m -2 x y = m < 2 4. 对于函数 ，当 x < 0 时，图象在 第 ____ 象限 . y = 1 3 x y = 1 3x 2. 双曲线 经过点（ -3 ， ___ ） . 三 例 2 已知 反比例函数 的图象的一 支如图 . (1) 判断 k 是正数还是负数 ; (2) 求这个反比例函数的表达式 ; (3) 补画这个反比例函数 图象 的 另一支 . y = — ( k ≠0 ) k x A . 想一想 : 从反比例函数图象的一个分支分到另一个分支 , 可以 看作是 怎样的图形变换 ? B(-4,2) . D . C . O x y -8 -6 -4 -2 6 2 8 4 -4 -4 -2 -3 6 8 4 2 B ´ (4, -2) . . C ´ . D ´ . A ´ 已知 k 0 , 则函数 y 1 = kx + k 与 y 2 = 在同一坐标系中 的图象大致是 ( ) x k x y O (A) x y 0 (B) x y 0 (C) x y 0 (D) (A) x y 0 x y 0 (B) (C) (D) x y 0 x y 0 D C 任意一组变量的乘积是一个定值 , 即 xy = k P ( m,n ) A o y x B 长方形的面积为 面积不变性 三角形的 面积为 ︳ m n ︱ ＝ ︳ k ︱ 课内练习： 3. 如图 , P 是反比例函数 图象上的一点 , PD ⊥ x 轴于 D . 则△ POD 的面积为 . 4. 如图 , P 是反比例函数图象上的一 点 , 过点 P 分别向 x 轴、 y 轴作垂线 , 若阴影部分的面积为 3, 则这个反比 例函数的关系式是 . P D o y x x y o M N P 2 拓展 : （ 1 ） m =4 （ 2 ） S △ ABC =8 1 、在直角坐标系中，直线 y = x + m -1 与双曲线 在第一象限交于点 A ，与 x 轴交于点 C ， AB ⊥ x 轴，垂足为 B ，且 S △ AOB =2 。求： （ 1 ） m 的值； （ 2 ）△ ABC 的面积。 y x O A B C 相交于 A 、 B 两点．过 A 作 x 轴的垂线、过 B 作 y 轴的垂线，垂足分别为 D 、 C ，设梯形 ABCD 的 面积为 S ，则 ( ) A ． S ＝ 6 B ． S = 3 C ． 2 0 ） （ k < 0 ） y = x k y = x k x y O y x O 两个分支 关于原点 成中心 对称 两个分支 关于原点 成中心 对称 在第一、 三象限内 在第二、 四象限内 ? ?   … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …   … -1 -2 -3 -6 6 3 2 1 … 第三象限 第一象限 -1.2 -1.5 1.5 1.2 x 的值从小到大 x 的值从小到大 y 的值从大到小 y 的值从大到小 y = x 6 x y O 1. 当 k >0 时 , 每个象限内， 函数值 y 随自变量 x 的增大而 减小 y = x k ( k >0)   … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …   … 1 2 3 6 -6 -3 -2 -1 … 第二象限 第四象限 1.2 1.5 -1.5 -1.2 y = x 6 y x x 6 y = O 2. 当 k