浙教版八年级数学下册第5章特殊平行四边形

第 5 章 特殊平行四边形 5.1 矩形（ 1 ） 合作学习 用 6 根火柴棒首尾相接摆成一个平行四边形（如图） . （ 1 ）能摆成多少个不同的平行四边形？ 它们有什么共同特点？说出你的理由 . （ 2 ）在这些平行四边形中，有没有面积最大的一个平 行四边形？说出你的理由 . （ 3 ）这个面积最大的平行四边形的内角有什么特点？ a α A D A D B C A D A D A B C D 有一个角是直角的平行四边形叫做 矩形 . A B C D （１）矩形 的定义： （３）实质上：矩形是特殊的平行四边形 . （２）矩形的表示： 矩形 ABCD . 一个角是直角 小学里学过的长方形、正方形都是矩形 . 想一想： 你能举出在人们的日常生活和生产实践中，有哪些东西是矩形？ 矩形的性质的研究 我们已经知道矩形是特殊的平行四边形，因此矩形除具有平行四边形的性质外，还有它的特殊性质 . 你能说出矩形有哪些性质吗 ? 五 、 矩形的两 条对角线互相平分 三 、矩形的两组对角分别相等 二 、矩形的两组对边分别相等 一 、矩形的两组对边分别平行 四 、矩形的邻角互补 六 、矩形是一个中心对称图形 四个角都是直角 . 对角线相等 . 如图，四边形 ABCD 是矩形。 O 探索 矩形的特殊 性质： A B C D (1) 矩形的四个角的度数分别为多少？ (2) 对角线 AC 与 BD 间有什么关系？ 由动手操作时猜想“ 矩形的四个角都是直角 ” , 请你结合图形 , 说明一下理由 .( 不必写出过程 ) 性质定理 1 ： 矩形的四个角都是直角 . 符号 语言： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ ∠ A =∠ B =∠ C =∠ D =90°. 矩形特有的性质 由动手操作时猜想“ 矩形的对角线相等 ” . 请你写出证明过程： 性质定理 2 ： 矩形的对角线相等 符号 语言： ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD. 已知：如图， AC ， BD 是矩形 ABCD 的对角线 , 求证： AC = BD. 证明： 在矩形 ABCD 中 , ∵ AB = CD ( 平行四边形的对边相等 ), ∠ ABC =∠ DCB =90 ° ( 矩形的四个角都是直角 ), BC = CB , ∴△ ABC ≌△ DCB, ∴ AC = BD. A O B C D 探究一： 在矩形 ABCD 中， AC ， BD 相交于点 O . OA , OB , OC , OD 这四条线段有什么数量关系？ OA=OB=OC=OD . 想一想 : 如上图 , 矩形的两条对角线把矩形分成了 几个等腰三角形 ? 图中 一共有几个直角三角形？有几对全等三角形？ 请把他们写出来 . 又∵ OA = OC= AC, OB = OD = BD ∴ AC = BD ∴ OA=OB=OC=OD. 解： ( 平行四边形的对角线互相平分 ), ∵四边形 ABCD 是矩形 , ( 矩形的对角线相等 ). A B C D O 在矩形 ABCD 中， AC ， BD 相交于点 O. 探究二： （ 1 ）若 ∠ AOD=120 ° ，试判断 ⊿ ABO 的形状； （ 2 ）若 ∠ AOD=120°, AB=4cm, 你能求出哪些线段的长度？ 你能求出这个矩形的周长和面积吗？ 方法归纳 : 这个例题说明很多矩形的问题可以转化为 什么图形来解决？ 4 ⊿ ABO 为等边三角形 矩形 问题 直角三角形和等腰三角形问题 转化 例 已知矩形 ABCD 的两条对角线 AC , BD 相交于点 0 , ∠ AOD =120°, AB = 4 cm, 求：（ 1 ）判断△ AOB 的形状； （ 2 ）矩形对角线的长 . A B C D 120° O 4 1. 在矩形 ABCD 中 ,AE⊥BD 于 E ， 若 BE=OE=1 ，则 AC=_____, AB ＝ ______, ∠ AOB=______. 2. 在矩形 ABCD 中 ,E 、 F 分别是 AB 、 CD 的中点 . 求证：四边形 AEFD 是矩形 . 练一练 O 第 1 题图 第 2 题图 2 4 60 ° A B C D O 探索矩形的对称性 : 矩形既是中心对称图形 , 又是轴对称图形 想一想 矩形是轴对称图形吗？对称轴有几条 ? 是中心对称图形吗？ 练一练 在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O, 已知 AB=6 ， BC=8 ， (1) 求 AC= ， BD = 。 (2) 矩形 ABCD 的周长是 ，面积是 。 A B C D O 10 10 28 48 6 8 已知 : 如图 , 过矩形 ABCD 的顶点作 CE//BD ，交 AB 的延长线于 E 。求证：∠ CAE=∠CEA 。 A B C D E 相信你 , 一定行 如图，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 BD 对折，使点 A 落在点 E 处， BE 交 CD 于点 F 。已知 ∠ ABD=30 ° . （ 1 ）求∠ CDE 的度数。 （ 2 ）求证： EF=FC 。 B A D C F E 我能行 请你当设计师 某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的图案，由圆和正方形组成（圆和正方形个数不限），并且使整个矩形地成轴对称图形，请在矩形中画出你的设计方案。 矩形的四个角都是直角 . ※ 矩形的性质定理 1 矩形的对角线相等 . ※ 矩形的性质定理 2 矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 . ※ 矩形的对称性 矩形是中心对称图形 , 又是轴对称图形 . 这节课你学到了什么 ? 还有什么困惑吗？ 跳一跳 , 够得着 ! 已知 : 如图 , 在矩形 ABCD 中 ,M 为 BC 的中点 . 求证 : （ 2 ）若要使∠ AMD 是直角，应添加什么条件？ （ 1 ） AM=DM. 小结 反思 1. 一个 定义 ： 2 . 两个 定理 : 3 . 两个 结论 : (1) 矩形的对角线相等且互相平分，并把矩形划分成四个等腰三角形 , 有八对全等三角形。 (2) 矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。 这节课你学到了什么 ? 还有什么困惑吗？ 如图，在矩形 ABCD 中， E 、 F 分别是 AB 、 CD 的中点， 求证：四边形 AEFD 是矩形。 D F C A E B 做一做 已知 : 如图 , 过矩形 ABCD 的顶点作 CE//BD ，交 AB 的延长线 于点 E 。求证：∠ CAE=∠CEA 。 A B C D E 相信你 , 一定行 第 5 章 特殊平行四边形 5.1 矩形（ 2 ） 回顾：矩形有哪些性质？ O A B C D (1)AB//CD 且 AB=CD ， AD // BC 且 AD=BC (2) ∠ ABC= ∠ BCD= ∠ ADC= ∠ BAD=90 O (3) OA=OB=OC=OD （ 矩形的对角线相等且互相平分 ） 木工师傅 (1) 测量两组对边 , 发现两组对边分别相等 ; (2) 将直角尺靠紧窗框的一个角 , 测得这是直角 . 由此说明这个窗框是矩形 你知道这是为什么吗 ? 有一个角是直角的 平行四边形 叫做 矩形 你知道吗？ 矩形的定义： 2 、要判定一个四边形是矩形只要说明几个角是直角？为什么？ A B C D 矩形的判定定理 1 ： 有三个角是直角的 四边形 是矩形 . 几何语言： ∵∠A=∠B=∠C=90° ， ∴四边形 ABCD 是矩形 1 、命题“矩形的四个角都是直角”的逆命题是什么？ 合作学习 请大家自己进行证明 逆命题：四个角都是直角的四边形是矩形。 真命题 （ 1 ）测量两组对边 , 发现两组对边分别相等 ; （ 2 ）测量对角线，发现两条对角线相等 . 由此说明这个窗框是矩形 你知道这是为什么吗 ? （用所学的知识去证明） A B C D 已知： 如图，在 □ ABCD 中， AC=BD 求证： □ ABCD 是矩形 想一想 你觉得矩形还有 其他判定 方法吗？ 证法一 A B C D 证明： 在 □ ABCD 中， AB=CD 又∵ AC=BD ， BC=CB ∴ △ ABC≌ △ DCB ∴∠ABC=∠DCB 又∵∠ ABC+∠DCB=180° ∴∠ABC=∠DCB=90° ∴ □ ABCD 是矩形 已知： 如图，在 □ ABCD 中， AC=BD 求证： □ ABCD 是矩形 A B C D O 在 □ ABCD 中， AO=OC ， BO=DO ， 证明： 又∵ AC=BD ∴AO=BO=CO ∴∠OAB=∠OBA ，∠ OBC=∠OCB ∵∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB=180° ∴∠OBA+∠OBC=90° 即∠ ABC=90° ∴ □ ABCD 是矩形 证法二 已知： 如图，在 □ ABCD 中， AC=BD 求证： □ ABCD 是矩形 A B C D 矩形的判定定理 2 ：对角线相等的 平行四边形 是 矩形。 几何语言： ∵AC=BD ∴ □ ABCD 是矩形 矩形有几种判定方法？ 有一个角是直角的 平行四边形 叫做矩形（定义） 有三个角是直角的 四边形 是矩形（矩形的判定定理 1 ） 对角线相等的 平行四边形 是矩形（矩形的判定定理 2 ） 四边形 平行四边形 矩形 有一个角是直角 对角线相等 有三个角是直角 方法总结： 1 、判断 下列命题 是否正确，并说明理由。 （ 1 ）对角互补的平行四边形是矩形。 （ 2 ）一组邻角相等的平行四边形是矩形。 （ 3 ）对角线相等的四边形是矩形。 （ 4 ）内角都相等的四边形是矩形。 练一练 2 、如图， AC ， BD 是矩形 ABCD 的两条对角线， AE=CG=BF=DH. 求证：四边形 EFGH 是矩形 . A B C D E F G H O 证明： 在矩形 ABCD 中， AC=BD ， AO=CO=BO=DO, ∵AE=CG=BF=DH, ∴ OE=OG=OF=OH, ∴ 四边形 EFGH 是 平行四边形 . ∴ 四边形 EFGH 是 矩形 . 又∵ EG=FH, 例 已知 : 如图 , 在 □ ABCD 中 , 对角线 AC , BD 相交 于点 O ,∠1 ＝∠ 2. 求证：四边形 ABCD 是矩形 .  证明 : 在 □ ABCD 中 , OA ＝ OC , OB ＝ OD  ( 平行四边形的对角线互相平分 ).  又∵∠ 1 ＝∠ 2, ∴ OA ＝ OB . ∴ OA ＝ OB ＝ OC ＝ OD , 即 AC ＝ BD .  ∴ 四边形 ABCD 是矩形 ( 对角线相等的平行四边形是矩形 ). 变式练习 已知 ：如图， AC 与 BD 相交于点 O ， AB CD 且 ∠ 1= ∠ 2 . 求证：四边形 ABCD 是矩形 . ［问题］一张四边形纸板 ABCD 的形状如图， （１）若要从这张纸板中剪出一个平行四边形，并且使它的四个顶点分别落在四边形 ABCD 的四条边上，可怎样剪？ Ｅ Ｆ Ｇ Ｈ ⑵ 四边形 ABCD 满足什么情况下中点四边形 EFGH 为矩形？并说明理由． 解：分别取 AB ， BC ， CD ， DA 的中点 E ， F ， G ， H ，可剪得中点四边形 EFGH 为平行四边形． 两条对角线互相垂直， AC ⊥ BD 例 2 一张四边形的纸板 ABCD 的形状如图（ 1 ），它的两条对角线互相垂直。如果要从这张纸板中剪出一个矩形，并且使它的四个顶点分别落在四边形 ABCD 的四条边上，可以怎么剪？ ( 2 ) ( 1 ) O O D B C A A C B D G F H E Ｅ Ｆ Ｇ Ｈ 理由如下： ∵ GH 是△ ACD 的中位线 ∴ GH ∥ AC １ ２ ３ ∵ AC ⊥ BD ∴∠ １＝ 90° （三角形的中位线平行于第三边 且等于第三边的一半） ∴∠2 ＝∠ 1 ＝ 90° ∵ EH 是 △ ABD 的中位线 ∴ EH ∥ BD ∴∠3 ＝∠ 2 ＝ 90°. ４ ５ （三角形的中位线平行于第三边） 同理可得：∠ 4 ＝ 90° ， ∠ 5 ＝ 90° ∴ 四边形 EFGH 是矩形． （有三个角是直角的四边形是矩形） 做一做 1. 已知 ：如图， Rt△ABC≌Rt△CDA ，且 AD 的对应边是 CB ，∠ B=∠ D=90 °。 求证：四边形 ABCD 是矩形。 A D C B 2. 如图，在四边形 ABCD 中， AB=AD ， CB=CD ， M ， N ， P ， Q 分别是 AB ， BC ， CD ， DA 的 中点。 求证：四边形 MNPQ 是矩形。 A Q P N M D C B 做一做 3. 在 直角坐标系中有点 A （ a ， b ）， B （ a ， c ）， C （ -a ， -b ）， D （ -a ， -c ）（ a≠0 ， b≠c ）。若要使四边形 ABCD 是矩形， b ， c 应满足什么条件？说明你的理由。 做一做   谈谈你的收获、 感受！ 判定定理 1 ：有三个角是直角的 四边形 是矩形 判定定理 2 ：对角线相等的 平行四边形 是矩形 矩形的判定方法： 矩形的定义：有一个角是直角的 平行四边形 是矩形 第 5 章 特殊平行四边形 5.2 菱形（ 1 ） 菱形具有工整 , 匀称 , 美观等许多优点 , 常被人们用在图案设计上 . 三菱越野汽车欣赏 合作学习 : 观察以下由火柴棒摆成的图形 : 议一议 :(1) 三个图形都是平行四边形吗 ? (2) 与图 1 相比 , 图 2 与图 3 有什么共同特点 ? 图 1 图 2 图 3 一 组 邻边相等 有一组邻边相等的平行四边形叫做 菱形 平行四边形 菱形的定义 菱形 那么菱形有什么性质呢？ 由于平行四边形的 对边相等 ，而菱形的 邻边相等 ，因此： 性质定理 1 ：菱形的 四条边都相等 。 A B D C 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质 . 菱形的性质研究 菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角。 A D C B O ∵ 四边形 ABCD 是菱形 已知 : 四边形 ABCD 是菱形 求证 :AC⊥BD ， AC 平分∠ BCA 和∠ BAD ， BD 平分∠ ABC 和∠ ADC 证明： 性质定理 2 ： ∴AB=AD ( 菱形的定义 ) BO=DO ( 平行四边形的对角线互相平分 ) ∴ AC⊥BD ,AC 平分∠ BAD( 为什么 ?) 同理 ,AC 平分∠ BCA, BD 平分∠ ABC 和∠ ADC 所以对角线 AC 和 BD 平分一组对角 菱形 的两 条对角线互相平分 菱形的两组对边平行且相等 边 对角线 角 菱形的性质 菱形的四条边相等 菱形的两组对角分别相等 菱形的邻角互补 菱形的两条对角线互相垂直，每一 条对角线平分一组对角 想一想 矩形、菱形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，对称轴分别有几条 矩形是轴对称图形，对称轴有两条。 菱形是轴对称图形，对称轴有两条。 1. 菱形的两条对角线的长分别为 6 cm 和 8 cm ，则菱形的边长 是 （ ） A.10 cm B.7 cm C.5 cm D.4 cm A B C D O C 轻松过关 2 . 如图，在 菱形 ABCD 中， AE⊥BC ， AF⊥CD ， E 、 F 分别为 BC ， CD 的中点，那么∠ EAF 的度数是（ ） A.75° B.60° C.45° D.30 ° B 我来试试 . . 例 1 在菱形 ABCD 中 , 对角线 AC,BD 相交于点 O,∠BAC=30°, BD=6 ，求 菱形的 边长，对角线 AC 的长 . A B C D O 解 : ∵ 四边形 ABCD 是菱形 , ∴AB=AD( 菱形的定义 ) AC 平分∠ BAD( 菱形的每条对角线平分一组对角 ) ∵∠BAC=30° ∴∠BAD=60° ∴ △ ABD 是等边三角形 . ∴ AB=BD=6 又∵ OB=OD=3( 平行四边形的对角线互相平分 ) ， AC⊥BD( 菱形的对角线互相垂直 ) ， ∴ 由勾股定理 , 得 AO= ， AC=2AO= . )30 ° 6 【 菱形的面积公式 】 菱形 A B C D O E S 菱形 =BC • AE 思考 : 计算菱形的面积除了上式方法外 , 利用对角线能计算菱形的面积公式吗 ? ABCD= S △ABD + S △BCD = AC×BD S 菱形 面积： S 菱形 = 底 × 高 = 对角线乘积的一半 为什么 D O A C B 1 、菱形 ABCD 的周长为 16 ，相邻两角的度数比为 1:2 ． 求： ⑴ 菱形 ABCD 的对角线的长； ⑵ 菱形 ABCD 的面积． 面积小课堂 2 、如图，在菱形 ABCD 中， E 是 AB 的中点，且 DE⊥AB ， AB=1 。 求： （ 1 ）∠ ABC 的度数； （ 2 ）对角线 AC 、 BD 的长； （ 3 ）菱形 ABCD 的面积。 A B C D E O 第 5 章 特殊平行四边形 5.2 菱形 (2) 请利用两个全等的等腰（不等边）三角形纸片拼成一个平行四边形。 有几种拼法？其中有菱形？你是如何判定的 ? 2 、底重合 1 、腰重合 菱形 有一组邻边相等的平行四边形 四条边相等的四边形 菱形 数学语言 : ∵ 在四边形 ABCD 中 , AB=BC=CD=DA ， ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . A B C D 菱形的判定定理１ 思 考 用一长一短两根细木条 , 在它们的中点处固定一个小钉 , 做成一个可以转动的十字 , 四周围上一根橡皮筋 , 做成一个四边形 . 转动木条 , 这个四边形什么时候变成菱形 ? 猜想 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 . 菱形的判定定理２ 对角线互相垂直的平行四边形是 菱形 . ABCD 已知：在 中 ， AC ⊥ BD ABCD 求证： 是菱形 证明： ∴ ABCD 是菱形 又∵ AC ⊥ BD, ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA=OC. ∴BA=BC ( 有一组邻边相等的 平行四边形 叫做菱形 ). ( 线段垂直平分线上的点到线段两 个端点的距离相等 ) 数学语言 ∵ 四边形 ABCD 是 平行四边形 , AC ⊥ BD, ∴ □ ABCD 是菱形 . 取一张长方形纸片 , 按下图的方法对折两次 , 并沿图 (3) 中的斜线剪开 , 把剪下的 1 这部分展开 , 平铺在桌面上 . (1) (2) (3) 1 (1) 剪出的这个图形是哪一种四边形 ? 这是什么四边形 ? B C (2) 根据折叠 , 剪裁的过程 , 你能说明你的判断的理由吗 ? A 二 如图 , 将矩形纸片 ABCD 沿着某条直线折叠 , 使点 A 与点 C 重合 , 剪除没有重叠的部分 , 再铺开 . D A B C 1 、 剪得的四边形是什么四边形 ? 你能说明理由吗 ? 2 、若 AB=6 ㎝ ,BC=8 ㎝ , 则折痕的长度是多少 ? 把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分 ABCD 的形状吗？ A C D B E F 例 2 已知：如图 , 在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边 AD ， BC 分别交于 E ， F ． 求证：四边形 AFCE 是菱形 . 证明：因为四边形 ABCD 是矩形， 所以 AE∥CF. 所以∠ 1 ＝∠ 2. 因为∠ AOE ＝∠ COF ， AO=CO, 所以△ AOE≌△COF, 所以 EO=FO. 所以四边形 AFCE 是平行四边形 . 又因为 EF⊥AC ，所以四边形 AFCE 是菱形 . 一组邻边相等 对角线互相垂直 四条边相等 五种判定方法 四边形 平行四边形 菱形 菱形的判定方法： 谈收获 第 5 章 特殊平行四边形 5.3 正方形（ 1 ） 创设情景 ☞ 情景一 问题 : 从这个图形中你想到了什么？ A B C D A B 情景二 当 CD 移动到 位置，且 时 ，此 时的图形还是矩形吗？ 2 图中 CD 在移动时，这个图形始终是怎样的图形？（ CD 在移动的过程中始终保持与 AB 平行） 1 问题 C' D' 邻边相等的矩形 想一想：正方形是怎样的矩形？ 矩形 正方形 新知探究 菱形 正方形 一个角是直角的菱形 想一想：正方形是怎样的菱形？ 新知探究 小结 : 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。 两组对边 分别平行 有一个角是直角 有一组邻边相等 四边形 平行四边形 矩形 菱形 回忆 如何在平行四边形的基础上来定义正方形 平行四边形 正方形 矩形 菱形 一组邻边相等 一组邻边相等 一内角是直角 一内角是直角 平行四边形 正方形 一组邻边相等 一内角是直角 新知探究 给正方形下个定义 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系 ! 菱形 矩形 平行四边形 正 形 方 小结 : 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。 你觉得什么样的四边形是正方形呢 ?( 判定一 个四边形是正方形有哪些方法？） 平行四边形 正方形 一组邻边相等 一内角是直角 1 、 正方形 菱形 3 、 一内角是直角 矩形 2 、 一组邻边相等 正方形 常见说明方法 如何判定一个图形是正方形呢 ? ( 可以以平行四边形 、矩形、菱形为基础） 有 一组邻边相等 且 有一个角是直角 的 平行四边形 叫做正方形。 定义法 菱形法 矩形法 有一个角是直角的菱形是正方形。 有一组邻边相等的矩形是正方形。 √ √ √ × 判断题 : (1) 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的 等腰直角三角形（ ） (2) 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（ ） (3) 如果一个菱形的对角线相等，那么它一定 是正方形 （ ） (4) 如果一个矩形的 对角 线互相垂直，那么它 一定是正方形 （ ） (5) 四条边相等，且有一个角是直角的四边形 是正方形（ ） √ 1 、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） （ A ）四条边相等 （ B ）对角线互相垂直平分 （ C ）对角线平分一组对角 （ D ）对角线相等 2 、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） （ A ）四个角相等 （ B ）对角线互相垂直平分 （ C ）对角线相等 （ D ）对角互补 3 、如 图，正方形 ABCD 的周长为 15cm ， 则矩形 EFCG 的周长为 cm 。 A B C D E G F D B 7.5 例 : 在直角三角形 ABC 中， CD 平分∠ ACB 交 AB 于 D ， DE⊥BC ， DF⊥AC 。 求证：四边形 CEDF 是正方形。 证明：∵ DE⊥BC ， DF⊥AC ， ∴ ∠ DEC=90° ， ∠ DFC=90° . 又 ∵ ∠ ACB=90° ， ∴ 四边形 CEDF 为矩形 . ∵ CD 平分∠ ACB ， DE⊥BC ， DF⊥AC ， ∴ DE=DF. ∴ 四边形 CEDF 是正方形 . 由此可见正方形有 4 条对称轴 现在你能不能只用你手中的 直尺来 检验一下刚才剪出的孔是否 为正方形 ？ 量一量 说一说 1 、通过这节课的 学习， 你有哪些收获？ 2 、你还有什么想法？ 第 5 章 特殊平行四边形 5.3 正方形（ 2 ） 四边形 两组对边分别平行 平行四边形 矩 形 菱 形 一角为 90° 一组邻边 相等 想一想 矩 形 正方形 〃 〃 矩形怎样变化后就成了正方形呢 ? 探究（一） 探 究（二） 菱形怎样变化后就成了正方形呢 ? 正方形 探究小结 矩形 〃 〃 正方形 邻边 相等 〃 〃 发现： 一组邻边相等的矩形叫正方形 菱形 一个角 是直角 正方形 ∟ 发现： 一个角为直角的菱形叫 正方形 正方形的定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形 拓展讨论 讨论总结 : 正方形有哪些性质 ? 性 质 边 角 对角线 对称性 图形语言 文字语言 符号语言 A C D \ B A C D B A C D B \ \ \ ∟ ∟ ∟ ∟ O \ \ \ \ ∟ 对边平行， 四条边都相等 四 个 角 都是直角 对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 ∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ AB∥CD ， AD∥BC, AB=BC=CD=AD ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ A=∠B=∠C= ∠D =90° ∵ 四边形 ABCD 是正方形 ∴ AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD 轴对称图形 中心对称图形 边 角 对 角 线 对 称 性 平 行 四边形 矩 形 菱 形 正方形 几种特殊四边形的性质 对边平行 且相等 对边 平行且 相等 对边平行，四边都相等 对边平行 ，四 条 边都 相等 对角相等， 邻角互补 四个角 都是直角 对角相等， 邻角互补 四个角 都是直角 对角线互相平分 对角线相等 且互相平分 对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 中心对称图形 轴对称图形、 中心对称图形 轴对称图形、 中心对称图形 轴对称图形、 中心对称图形 平行四边形 矩形 菱形 正 方 形 正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？ A D C B O 正方形的对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？ 拓展讨论 : 结论： 分成八个等腰直角三角形，分别是△ ABC 、 △ ADC 、 △ ABD 、 △ BCD ；△ AOB 、 △ BOC 、 △ COD 、△ DOA. 1. 如图，在正方形 ABCD 中， E 在 BC 的延长线上，且 CE=AC ， AE 交 CD 于 F ，则求∠ AFC 的度数。 A B D C F E 知识应用 2. 已知：正方形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 相       交于点 O ，且 AB ＝ 2cm ，如图 (2) 。 求 AC 的长及正方形的面积 S 。               3. 已知 ：如图（ 2 ），在 正方形 ABCD 中，对角线 AC 、   BD 相交于点 O ，且 AC ＝ 6 cm ，求正 方形的面积 S 。            4 ． 如图 (3) ，在正方形 ABCD 中， AC 、 BD 相交于 O ， 分析： 要证明 BM ＝ CN ，大家观察 图形可以考虑证哪两个三角形全等 ? MN∥AB 且 MN 分别交 OA 、 OB 于 M 、 N ， 求证： BM ＝ CN 。          你能完成证明 吗 ?   AB ＝ BC ，∠ 1 ＝∠ 2 ＝ 45 ° ， 条件 够吗？    还需要的条件是 AM ＝ BN △ABM≌△BCN 你所要证明的两个三角形已经满足 了哪些条件 ? 由正方形可以得到的条件有： 5 ． 已知：如图 (4 ) ，在 正方形 ABCD 中， F 为 CD 延长线上 一点， CE⊥AF 于 E ，交 AD 于 M ，求证 ：∠ MFD ＝ 45°. 分析： 欲证∠ MFD ＝ 45° ，由于△ MDF 是直角三角形 , 只需证△ MDF 是等腰三角形 , 即只要证 _____=_____. 要证 MD ＝ FD ，大家只须证得哪两个 三 角形 全等 ? 试一试看 能不能完成证明 ? △CMD≌△ADF 你说我说大家说 谈谈本节课的收获 小结 1 、 正方形的定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形 . 2 、正方形 有哪些性质？ 对边平行，四条边都相等 四个角都是直角 对角线互相垂直平分且相等， 每条对角线平分一组对角 边： 角： 对角线：