浙教版八年级数学下册第4章平行四边形

第 4 章 平行四边形 4.1 多边形（ 1 ） 想一想 , 比一比 Ａ Ｂ Ｃ △ ＡＢＣ 你能根据三角形的定义类比出多边形的定义吗？ 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接形成的图形叫 三角形 在 同一平面内 ，由 不在同一条直线上 的若干条线段（线段的条数不小于 3 ） 首尾顺次相接 形成的图形，叫做 多边形 ．组成多边形的各条线段叫做多边形的边 . 边数为 3 的多边形叫三角形，边数为 4 的多边形叫四边形 . 类似地，边数为 5 的多边形叫五边形 …… 边数为 n 的多边形叫 n 边形 . 以四边形为例，了解构成多边形的元素 A B C D 顶点 内角 边 对角线 外角 E 构成四边形的元素 不能记作：四边形 ACBD 记法：从任一顶点开始按顺时针或逆时针顺序记。如 四边形 ABCD 或 四边形 ADCB 等。 ∠ A 和 ∠ C 是对角 ∠ B 和 ∠ D 是对角 A B C D 凸四边形 E F G H 凹四边形 注： 本套教科书所说的多边形，都指凸多边形，即多边形的各条边都在任意一条边所在直线的同一侧． 四边形的各条边都在任意 一条边所在直线的同一侧． 四边形的各条边不都在任意一条边所在直线的同一侧． 拿起你手中的四边形剪下它的四个角，把它们拼在一起（四个角的顶点重合），你发现了什么？其他同学与你的发现相同吗？你能把你的发现概括成一个命题吗？ 猜：四边形的四个内角和是多少？ 四边形的内角 和等于 360 ° 探索：四边形的内角和等于 360 ° 已知：四边形 ABCD （如图）。 求证： ∠ A +∠ B + ∠ C + ∠ D =360 ° 。 证明：连结 AC 。 ∵ ∠ B +∠ BAC + ∠ BCA =180 ° ， ∠ D +∠ DCA + ∠ CAD =180 ° ( 三角形三个内角的和等于 180 °) ， ∴ ∠ B +∠ BAC + ∠ BCA + ∠ D +∠ DCA + ∠ CAD = 180°+ 180°= 360° ， 即 ∠ BAD +∠ B +∠ BCD +∠ D =360 ° 。 你还有其他添辅助线方法求四边形的内角和吗？ A B C D · P 探索： 四边形的内角和等于 360 ° 证明思路： 四边形的内角和 =3 个三角形的内角和 -1 个平角 =3×180° － 180° =360° A B C D · O 证明思路： 四边形的内角和 =4 个三角形的内角和 -1 个周角 = 4×180° － 360° =360° 探索： 四边形的内角和等于 360 ° 探索： 四边形的内角和等于 360 ° A B C D P 证明思路： 四边形的内角和 =3 个三角形的内角和 -1 个三角形的内角和 = 3×180° － 180°=360° 探索： 四边形的内角和等于 360 ° A B C D 证明思路： 四边形的内角和 =2 个三角形的内角和 +1 对同旁内角的和 -2 个直角 = 2×180°+ 180° － 180 ° =360° ∟ ∟ 探索： 四边形的内角和等于 360 ° A B C D E 过点 D 作 DE ∥ BC 证明思路： 四边形的内角和 =1 个三角形的内角和 +2 对同旁内角的和 -1 个平角 = 180°+2× 180° － 180° =360° 证明思路： 四边形的内角和 =2 个平角 +1 个三角形的内角和 -1 个三 角形的内角和 = 2×180°+ 180° － 180° =360° 探索： 四边形的内角和等于 360 ° A B C D E 探索： 四边形的内角和等于 360 ° A B C D 证明思路： 四边形的内角和 =4 个三角形的内角和 -1 个周角 = 4×180°-360° =360° O 。 A B C D 探索： 四边形的内角和等于 360 ° E 证明思路： 四边形的内角和 =1 个周角 =360° A B C D 探索： 四边形的内角和等于 360 ° E F 证明思路： 四边形的内角和 =2 个三角形的内角和 = 2×180°=360° A B C D 探索： 四边形的内角和等于 360 ° 探索： 四边形的内角和等于 360 ° A B C D A B C D A B C D A B C D ∟ ∟ A B C D 四边形问题通常要转化为 来解决，而连结 是其常用辅助线之一 三角形 对角线 例 1 如图，四边形风筝的四个内角 ∠ A ， ∠ B ， ∠ C ， ∠ D 的度数之比为 1∶1∶0.6∶1 ，求它的四个内角的度数． A B C D 解：设 ∠ A 为 x ° . 由题意可得 ,∠ B ， ∠ C ， ∠ D 分别为 x ° ， 0.6 x ° ， x ° . ∵∠ A +∠ B +∠ C +∠ D =360 ° （四边形的内角和为 360 0 ） ∴ x + x +0.6 x + x =360 解得 x =100 ∴∠ A =∠ B =∠ D =100 °， ∠ C =60 ° 2 、在四边形 ABCD 中， ∠ A 与 ∠ C 互补， ∠ B ＝ 80° ，求 ∠ D 的度数。 A D B C 85° 110° 1 2 71° 1 、如图，在四边形 ABCD 中， ∠ A =85°,∠ D ＝ 110°, ∠1 的外角是 71° ，则 ∠1 ＝ ______ ， ∠2 ＝ ______ 。 109 ° 56° 做一做 100 ° 变式： 在 四边形 ABCD 中， ∠ A 与 ∠ C 互补， ∠ B 比 ∠ D 大 15° ，求 ∠ D 的度数。 82.5° 1 ．四边形最多有 _____ 个 直角，最多 有 _____ 个 钝角。 4 3 练一练 2 ．在四边形 ABCD 中 ,∠ A ＝ 90°,∠ B :∠ C :∠ D =1:2:3 ，求 ∠ B 的度数。 45 ° 3. 如图，在四边形 ABCD 中， ∠ A =∠ B ， ∠ D = ∠ C ，求证 : D C // A B 。 D A B C 练一练 4 ．如图， 在 四边形 ABCD 中 ,∠ A ＝ ∠ C ， ∠ B =∠ D 。（ 1 ）找出互相平行的边； （ 2 ）若 ∠ A 与 ∠ B 的度数之比是 2 : 1 ，求各内角的度数。 A D // B C A B // C D ∴∠ A =∠ C = 120 °， ∠ B = ∠ D =60 ° A 1 D E C F B 2 在四边形 ABCD 中 , ∠ A =∠ C = 90°, BE 平分 ∠ ABC , 交 CD 于点 E , DF 平分 ∠ ADC , 交 AB 于点 F . 求证 : BE ∥ DF . 证明： ∵ ∠ A =∠ C = 90° ， ∴ ∠ ABC + ∠ ADC =360°- ∠ A -∠ C =180°. ∵ BE 平分 ∠ ABC , DF 平分 ∠ ADC , ∴ ∠ 2= ∠ ABC , ∠ 1= ∠ ADC . ∴ ∠ 2 +∠ 1= ∠ ABC + ∠ ADC =90°. ∵ ∠ A =90°, ∴∠ AFD +∠1=90°. ∴ ∠ 2 =∠ AFD , ∴ BE ∥ DF . 提高题 如 图，有 一个四边形的建筑，围绕它的四个角分别是半径为 1 米的扇形花坛，则花坛的总面积是 ( ) A. 米 2 B. 米 2 C. 米 2 D. 米 2 C 你能用全等的任意四边形纸片 既不重复、又不留空隙 地组成一幅镶嵌图吗？为什么？ 镶嵌的秘密 理由：四边形的内角和为 360 0 （１）小彤每从一条小路转到下一条小路时，身体转过的角是哪个角？ （２）她每跑完一圈， 身体转过的角度之和 是多少？ 3 4 1 2 ∠1 ， ∠2 ， ∠3 ， ∠4 ∠1+∠2+∠3+∠4 = ？ 小彤拿着风筝沿着一个四边形公园周围的小路，按逆时针方向跑了一圈． D A B C 5 四边形的外角和等于 360° 已知：如图， ∠ ５ ,∠ ６ ,∠ ７ ,∠ ８ 是四边形的四个外角。 求： ∠ ５＋ ∠ ６ + ∠ ７ +∠ ８ = ？ ５ D A B C ６ ７ ８ １ ２ ３ ４ 解 : ∵ ∠ 1+ ∠ ５ =∠2+ ∠ ６ = ∠3+ ∠ ７ ＝ ∠ 4+ ∠ ８ = 180° ， ∴ ∠ 1+ ∠ ５ +∠2+ ∠ ６ + ∠3+ ∠ ７ + ∠ 4+ ∠ ８ =4× 180°= 720° ， 即 ( ∠ 1+∠2 +∠ 3 + ∠4)+ (∠ ５ +∠ ６ + ∠ ７ +∠ ８ ) = 720°. ∵ ∠ １ +∠ ２ + ∠ ３ +∠ ４ =360°( 四边形的内角和是 360° ), ∴ ∠ ５ +∠ ６ + ∠ ７ +∠ ８ = 720° － 360°= 360°. 推论 : 四边形的外角和等于 360°. 第 4 章 平行四边形 4.1 多边形（ 2 ） 合作学习 仔细思考，并请填写下表： 边数 图形 从某顶点出发的对角线条数 划分成的三角形个数 多边形的内角和 ３ 0 1 1×180° ４ 1 2 2×180° ５ ６ … … … … … n 2 3 3 4 3×180° 4×180° n -3 n -2 （ n － 2 ） ×180° 连结多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线 . 多边形 图形 多边形的外角和 三角形 四边形 五边形 六边形 n 边形 3×180 o -1×180 o =360 o 4×180 o -2×180 o =360 o 5×180 o -3×180 o =360 o 6×180 o -4×180 o =360 o n ×180 o -( n -2)×180 o =360 o 多边形的外角和是 360 ° n 边形的内角和为 。 n 边形从一个顶点出发的对角线有 条。 n 边形共有对角线 条。 ( n － 3 )( n ≥3) ( n ≥3) ( n － 2 )× 180°( n ≥3) 归纳小结 任何多边形的外角和等于 。 360° 1 、求十边形的内角和与外角和。 2 、已知一个多边形的内角和为 900° ，这个多边形是几边形？ 3 、已知一个多边形的每一个外角都是 72° ，求这个多边形的边数。 1440° 360° 七边形 五边形 练一练 4 、一个内角和为 1620° 的多边形有多少条对角线 ? 44 条 变式： 已知一个多边形的每一个内角都是 108° ，则这个多边形的边数为 _____. 5 6 、已知六边形的各内角相等，问：各内角、外角分别是多少度？ 5 、在五边形 ABCDE 中，若 ∠ A =∠ D =90 o , 且 ∠ B :∠ C :∠ E =3:2:4, 则 ∠ C 的度数为 _______. 80 o 7 、已知多边形的内角和与外角和相等，那么它是几边形？ 四边形 120 o 60 o 8 、一个多边形剪去一个角后（剪痕不过任何一个其他顶点），内角和为 1980 o ，那么原多边形是几边形？ 十二边形 练一练 9 、如图，点 E ， F ， G ， H 在长方形 ABCD 的四条边上，已知 ∠1=∠2=30 °， ∠3=20 °。求五边形 FGCHE 各个内角的度数。 A H G F E D C B 1 3 2 ∠ EFG =100 o ∠ FGC =110 o ∠ C =90 o ∠ CHE =150 o ∠ HEF =90 o 例 1 、 一个六边形如图，已知 AB ∥ DE ， BC ∥ EF ， CD ∥ AF ，求 ∠ A ＋ ∠ C ＋ ∠ E 的度数。 A B C D E F 1 2 3 4 解：如图，连结 AD . ∵ AB ∥ DE ， CD ∥ AF （已知） , ∴∠1 ＝ ∠3 ， ∠2 ＝ ∠4 （两直线平行，内错角相等） , ∴∠1+∠2 ＝ ∠3+∠4 ， 即 ∠ FAB ＝ ∠ CDE ，同理 ∠ B ＝ ∠ E ， ∠ C ＝ ∠ F. ∴∠ FAB ＋ ∠ C ＋ ∠ E = ×720°=360°. ∵∠ FAB ＋ ∠ B ＋ ∠ C ＋ ∠ CDE ＋ ∠ E ＋ ∠ F = （ 6 － 2 ） ×180°= 720°, 思考：有没有 其他的 解法？ F E D C B A P R Q 3 2 1 A B C D E F ∵∠ FAB +∠ ABC +∠ BCD +∠ CDE ＋ ∠ DEF ＋ ∠ AFE = （ 6-2 ） ×180°=720°, 1 2 P Q R 如图：可向两个方向分别延长 AB ， CD ， EF 三条边，构成 △ PQR 。 ∵ DE ∥ AB ， ∴∠1=∠ R , 同理 ∠2=∠ R ， ∴∠1 ＝ ∠2 ， ∴∠ CDE =∠ FAB ， 同理 ∠ AFE ＝ ∠ BCD ， ∠ ABC =∠ DEF . ∴∠ FAB ＋ ∠ BCD ＋ ∠ DEF = ×720°=360°. 解法二： 变式 ：六边形 ABCDEF 的每个内角的度数是 120 ° , 且 AF = AB =3, BC = CD =2. 求 DE ， EF 的长度． DE =4 3 3 2 2 EF =1 1. 王大意在计算某多边形的内角和时，得到的答案是 2070° ，老师发现他把其中一个外角也加了进去。你知道王大意计算的是几边形的内角和吗？那个加进去的外角是多少度？ 拓展提升 十一边形 加进去的外角是 90 ° 2. 如图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心， 1 为半径的扇形，并且所有多边形的每条边长都大于 2 ，则第 n 个多边形中，所有扇形的面积之和是 （结果保留 π ） . 第 1 个 第 2 个 第 3 个 … 拓展提升 3. 如图，小林从 P 点向西直走 12 米后，向左转，转动的角度为 α ，再走 12 米，如此重复，小林共走了 108 米回到点 P ，则 α= （  ） A 、 30° B 、 40° C 、 80° D 、不存在 B 拓展提升 四边形的内角和是多少度 ? 怎样得到的？ 四边形的外角和是多少度 ? 四边形的内角和是 360 °，通过画对角线把四边形问题化归为三角形问题来解决。 温故知新 三角形 六边形 四边形 八边形 … 五边形 是解决多边形问题的常用辅助线 对角线 多边形问题 三角形问题 转化 （未知） （已知） 第 4 章 平行四边形 4.2 平行四边形及其性质 任意画一个∆ ABC ，以其中一条边 AC 的中点 Ｏ 为旋转中心，按顺时针（或逆时针）方向旋转 180 °，所得的像∆ CDA 与原像∆ ABC 组成四边形 ＡＢＣＤ . A B C D （１）找出图中相等的角 . （２）你认为四边形 ABCD 的两组对边 AD 与 BC ， A Ｂ 与 ＣＤ 有什么关系？请说出你的理由 . （３）四边形 ABCD 是什么四边形？ 合作学习 两组对边分别平行 四边形 平行四边形 平行四边形用符号 “ ” 表示， 例如 : 平行四边形 ABCD 可记 做“ ” . ABCD ∠ A 与∠ C ，∠ B 与∠ D 叫做 对角 AB 与 CD ， AD 与 BC 叫做 对边 . ∠ A 与∠ B ，∠ C 与∠ D 叫做 邻角 两组对边分别平行 的四边形叫做 平行四边形 . A D C B ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . ∴ AB ∥ CD , BC ∥ AD. A D C B 定义 ： ∵ AB ∥ CD , BC ∥ AD, 性质 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 , （ 即 平行四边形 的两组对边分别平行 ） 拼图游戏 有两块形状和大小完全相同的三角板，把相等的两边叠放在一起，你能拼出平行四边形吗？若能，试说明每一种拼法的理由。 聪明的你拼出来了吗？ 图（ 1 ） 图（ 2 ） 图（ 3 ） 请你来帮忙！ 学校买了四棵树，准备栽在花园里，已经栽了三棵（如图），现在学校希望这四棵树能组成一个平行四边形，你觉得第四棵树应该栽在哪里？ 例： 如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形 . 求证：∠ A =∠ C ，∠ B =∠ D. 证明 : ∵四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴ AB // CD , AD // BC ( 平行四边形的定义） , ∴∠ A +∠ D =180 。 , ∠ C ＋∠ D =180 。 ( 两直线平行，同旁内角互补） , ∴∠ A =∠ C . 同理 可得，∠ B =∠ D . 此题还有另外的解法吗？ 由此可以得到平行四边形的性质定理 : 平行四边形的对角相等 . 证明 : 连结 AC . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴ AB // CD , AD // BC ( 平行四边形的定义） , ∴∠ 3=∠4 ,∠1=∠2 ( 两直线平行内错角相等） . 又∵ ∠ DAB = ∠ 1+ ∠ 3 ,∠ DCB = ∠ 2+ ∠ 4,       ∴ ∠ DAB = ∠ DCB. 同理可得， ∠ D ＝ ∠ B . 1 、在 ABCD 中，已知∠ B =55° ，则∠ A =______ ，∠ C =_______ ，∠ D =______ 。 2 、已知平行四边形相邻两个角的度数之比为 3:2, 求平行四边形的各个内角的度数 . 125 o 55 o 125 o 108 o 、 72 o 、 108 o 、 72 o 3 、已知平行四边形的最大角比最小角大 100 o , 求平行四边形的各个内角的度数 . 40 o 、 140 o 、 40 o 、 140 o 练一练： 讨 论 9 如图， DC ∥ EF ∥ AB ， DA ∥ GH ∥ CB ，图中的平行四边形有＿＿个 . 平行四边形的不稳定性在生活中的应用 游戏 1 2 3 4 5 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，则： 1 ）∠ ADC = , ∠ BCD = ； 2 ）边 AB = , BC = . D C B A 58 ° 28 32 58° 28 32 122° 叫你的好朋友回答 ! A B D C 26° 47° 如图，四边形 ABCD 是平行四边形， 则 ∠ BAC ＝ . 107° 请你回答 ! 3 cm A B D C 5 cm 4 cm 求  ABCD 的 面积 . 请你和你的好朋友 ( 或大家 ) 一起回答 ! A B D C E 9 cm 5 cm 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，若 BE 平分∠ ABC ，则 ED ＝ . 4 cm 1 2 3 5 cm 5 cm 4 cm 你可选择答 , 也可选择别人答 ! A B C D 4 、在 ABCD 中，∠ ADC =125° ， ∠ CAD =21° ，求∠ ABC ，∠ CAB 的度数 . 本节课 你有什么收获？ 课堂小结 1 、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。 2 、平行四边形的对角相等。 3 、平行四边形的不稳定性在实际生活中的应用。 第 4 章 平行四边形 4.3 中心对称 请观察下面的图形是不是我们以前学过的轴对称图形 ? 若是请画出它的对称轴 . 欣赏图片，寻找其共同点 在实际生活中，不仅有折叠、还有旋转，以上图形 旋转 180° 后，都能转到与它相对的位置上，并且与原来的图互相重合。 (1) 把其中一个图案绕点 O 旋转 180°, 你有什么发现 ? 重合 重合 观察 (2) 线段 AC , BD 相交于点 O , OA = OC , OB = OD . 把 △ OCD 绕点 O 旋转 180°, 你有什么发现 ? A C B C B C B 像这样把一个图形绕着某一点旋转 180 ° , 如果它能够和 另一个图形重合 , 那么 , 我们就说这两个图 关于这个点对称 或 中心对称 , 这个点就叫 对称中心 , 这两个图形中的 对应点 , 叫做 关于中心的对称点 . 观察 : C ， A ， E 三点的位置关系怎样 ? 线段 AC ， AE 的大小关系呢 ? A D E 做一做：下列哪些图形是中心对称图形？ （１） （２） （３） （４） 判断下列图形是不是中心对称图形 ： 练一练 想一想 等边三角形是中心对称图形吗？是轴对称图形吗？ 平行四边形呢？ １、观察图形，并回答下面的问题： （１）哪些只是轴对称图形？ （２）哪些只是中心对称图形？ （３）哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？ （１） （３） （２） （４） （５） （６） 做一做 （１） （２） （３） （４） （５） （６） ２、下面图案是中心对称图形吗？若是请指出它们的对称中心，对于图（６），只要把图形绕整个圆的圆心旋转多少度，就能和原图重合。 3 、图中，不是中心对称图形的是（ ） B A D C B 4 、已知：下列命题中真命题的个数是（ ） ① 关于中心对称的两个图形一定不全等； ② 关于中心对称的两个图形是全等图形； ③ 两个全等的图形一定关于中心对称 . A.0 B.1 C.2 D.3 B 5 、下面的扑克牌中，哪些牌的牌面是中心对称图形？ 6 、请问以下三个图形中是轴对称图形的有 ，是中心对称图形的有 。 一石激起千层浪 汽车方向盘 铜钱 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 1 ）（ 2 ）（ 3 ） （ 1 ）（ 3 ） 下图中 △ A′ B′C′ 与 △ ABC 关于点 O 是成中心对称的 , 你能从图中找到哪些等量关系 ? 探索 : A' B' C' A B C O (1) OA = OA′ , OB = OB′ , OC = OC′. （ 2 ） △ ABC ≌△ A′B′C′. A' A B C C' B' O 性质 1 ： 关于中心对称的两个图形是全等形 。 ∵ △ ABC 与 △ A'B'C' 关 于点 O 成中心对称 , ∴ △ ABC ≌ △ A'B'C'. 性质 2 ：关于中心对称的两个图形，对称点的连线都 经过对称中心 ，并且被对称中心 平分 。 ∵△ ABC 与 △ A'B'C' 关于点 O 成中心对称， ∴ AA' , BB' , CC' 经过点 O 且 OA = OA' ， OB = OB' ， OC = OC'. 中心对称的性质： A O A' 连结 OA ，并延长到 A ' ，使 OA ’ = OA ，则 A' 是所求的点 例 1 、已知 A 点和 O 点，画出点 A 关于点 O 的对称点 A' 例 2 、已知线段 AB 和 O 点，画出线段 AB 关于点 O 的对称线段 A'B' . O A' B' A B 连结 AO 并延长到 A ’ ，使 OA ’ ＝ OA ，则得点 A 的对称点 A'. 连结 BO 并延长到 B ' ，使 OB ' ＝ OB ，则得点 B 的对称点 B'. 连结 A'B' ，则线段 A'B' 是所画线段 . 例 3 、如图 , 选择点 O 为对称中心 , 画出与 △ ABC 关于点 O 对称的 △ A′B′ C′ . 解 : A ′ C′ B′ △ A′B′ C′ 即为所求的三角形。 例 4 、已知四边形 ABCD 和点 O ，画四边形 A′B′C′D′ ，使它与已知四边形关于这一点对称。 A B A' C' B' D' D O C 四边形 A ' B ' C ' D ' 即为所求的图形。 A B C A ' B ' C ' 做一做 1 、如图，已知 △ ABC 与 △ A'B'C' 中心对称，求出它们的对称中心 O 。 2 、你能很快地找到点 E 的对应点 F 吗？ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｏ Ｅ Ｆ OE = OF 成立吗？ EF 经过点 O ，分别交 BC , AD 于点 F ， E . 解： ∵ 平行四边形是中心对称图形， O 是对称中心 , ∴ 点 E ， F 关于点 O 对称， ∴ OE = OF. 3 、画一个与已知四边形 ABCD 中心对称的图形。 （ 1 ）以顶点 A 为对称中心； （ 2 ）以 BC 边的中点为对称中心。 D A B C E F G M D A B C O ． N 做一做 A' B' C' O A B C 4 、如图，已知等边三角形 ABC 和点 O ，画 △ A'B'C' , 使 △ A'B'C' 和 △ ABC 关于点 O 成中心对称 . 做一做 5 、今有正方形土地一块，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这块土地分成形状相同且面积相等的四部分，若道路宽度可忽略不计，请你设计三种不同的修筑方案（在给出的图中的三个正方形上分别画图，并简述画图步骤 . 做一做 a 谈谈这节课的收获 中心对称与轴对称有什么区别 ? 又有什么联系 ? 轴对称 中心对称 有一条对称轴 --- 直线 有一个对称中心 --- 点 图形沿对称轴对折 ( 翻折 180 ° ) 后重合 图形绕对称中心旋转 180 °后重合 对称点的连线被对称轴垂直平分 对称点连线经过对称中心 , 且被对称中心平分 具有数学美。 因为中心对称图形形状匀称美观。所以许多建筑、工艺品、商标常用这种图形作装饰图案。 平稳旋转。 具有中心对称图形形状的物体，能够在所在的平面内绕对称中心平稳旋转。所以在生产中，有关旋转的零部件常设计成中心对称图形。 中心对称的特征与实际应用 名称 图形 中心对称图形 轴对称图形 对称中心，对称轴 线段 角 等腰三角形 平行四边形 是 是 是 是 不是 不是 不是 是 线段中点 线段的中垂线和线段本身所在的直线 角平分线所在的直线 底边的中垂线 对角线的交点 名称 图形 中心对称图形 轴对称图形 对称中心，对称轴 矩形 菱形 正方形 圆 等腰梯形 是 是 是 是 是 是 是 是 是 不是 圆心 边的中垂线 对角线交点 对角线交点 对角线所在直线 对角线交点 对角线所在直线 边的中垂线 直径所在直线 两底的中垂线 方法： 首先把棋子摆在对称中心，然后每次都根据对方棋子的位置找出中心对称的位置来摆放，一定能获胜 . 拓展提高 1 、两人玩摆放棋子游戏，每人轮流把一枚棋子摆放在圆形盘上，依次下去，最后棋子摆不下者为输方。问：要赢此盘棋，应采取什么绝招？ 规律：过两个中心对称图形的中心画出一条直线即可 2 、你能画一条直线就把下列图形面积等分吗？ 拓展提高 3 、移动 一块 正方形 （ 1 ）使得到的图形 只是 轴对称图形； （ 2 ）使得到的图形 只是 中心对称图形； （ 3 ）使得到的图形 既是 轴对称图形 又是 中心对称图形 . 拓展提高 4 、如图，是一个 6×6 的棋盘，两人各持若干张 1×2 的卡片轮流在棋盘上盖卡片，每人每次用一张卡片盖住相邻的两个空格，谁找不出相邻的两个空格放卡片就算谁输，你用什么办法战胜对手呢？ 拓展提高 第 4 章 平行四边形 4.4  平行四边形的判定定理（ 1 ）   平行四边形的定义： 两组对边分别平行的四边形叫 做平行四边形．   平行四边形的性质： 对边相等，对角相等，对角线 互相平分． 判定 性质 定义 D A B C 创设情景 明确目标 判定 性质 定义 D A B C   问题 如何寻找平行四边形的判定方法？    直角三角 形的性质   直角三角 形的判定   勾股定理   勾股定理 的逆定理     在过去的学习中，类似的情况还有吗？请举例说明．    这些经验可以给我们怎样的启示？   1 ．经历平行四边形的判定定理的猜想与证明过程，体    会类比思想及探究图形判定的一般思路 .   2 ．掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条 件灵活选取适当的判定定理进行推理． 学习目标 两组对边分别相等的 四边形是平行四边形  平行四边形的性质  猜想  对边相等  对角相等  对角线互相平分  两组对角分别相等的 四边形是平行四边形   对角线互相平分的四 边形是平行四边形   思考：这些猜想正确吗？ 探究点一 平行四边形的判定定理      证明： 连结 BD ． ∵  AB = CD ， AD = BC ， BD 是公共边， ∴ △ ABD ≌△ CDB ． ∴ ∠ 1=∠2 ，∠ 3=∠4 ． ∴  AB ∥ DC ， AD ∥ BC ．∴ 四边形 ABCD 是平行四边形．   如图，在四边形 ABCD 中， AB = CD ， AD = BC ．   求证：四边形 ABCD 是平行四边形．      两组对边分别相等的四边形是平行四边形．   判定定理 1 猜想 1 D A B C 1 2 3 4   证明： ∵ 多边形 ABCD 是四边形， ∴ ∠ A +∠ B +∠ C +∠ D =360° ． 又∵  ∠ A =∠ C ， ∠ B =∠ D ， ∴  ∠ A +∠ B =180° ， ∠ B +∠ C =180° ． ∴  AD ∥ BC ， AB ∥ DC ． ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形．   如图，在四边形 ABCD 中，∠ A =∠ C ，∠ B =∠ D ．   求证：四边形 ABCD 是平行四边形．     两组对角分别相等的四边形是平行四边形．   判定定理 2 猜想 2 D A B C   如图，在四边形 ABCD 中， AC ， BD 相交于点 O ，且 OA = OC ， OB = OD ．求证：四边形 ABCD 是平行四边形．     对角线互相平分的四边形是平行四边形．   判定定理 3 D A B C O 猜想 3   证明： ∵  OA = OC ， OB = OD ，∠ AOD =∠ COB ， ∴  △ AOD ≌△ COB ． ∴  ∠ OAD =∠ OCB ． ∴   AD ∥ BC ． 同理  AB ∥ DC ． ∴  四边形 ABCD 是平行四边形．   现在，我们一共有哪些判定平行四边形的方法呢？   定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．   判定定理： （ 1 ）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （ 2 ）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （ 3 ）对角线互相平分的四边形是平行四边形．   证明： ∵  AB = DC ， AD = BC ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形． ∴  AB ∥ DC ． ∵  DC = EF ， DE = CF ， ∴ 四边形 DCFE 是平行四边形． ∴  DC ∥ EF ． ∴  AB ∥ EF ． 探究点二  平行四边形的判定定理的运用   例 1   已知 AB = DC = EF ， AD = BC ， DE = CF ．求证： AB ∥ EF ． A F E C D B   例 2 如图，在平行四边形 ABCD 中， E ， F 分别是对角线 AC 上的两点，并且 AE = CF ． 求证：四边形 BFDE 是平行四边形． A   B   C   D   E   F   O  还有其他证明方法吗？  你更喜欢哪一种证法． 启示： 条件  对角线  简便的证明方法   A   B   C   D   E   F   变式练习       O   在上题中，若点 E ， F 分别在 AC 两侧的延长线上， 如图，其他条件不变，结论还成立吗？请证明你的结论． 知识的角度： 平行四边形的判定定理： （ 1 ）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （ 2 ）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （ 3 ）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 总结梳理 内化目标 过程与方法的角度： 研究图形的一般思路． 解题策略的角度： 证明平行四边形有多种方法，应根据条件灵活选用．  性质 定义 判定 逆向猜想 1 、如图，在四边形 ABCD 中， AC ， BD 相交于点 O. （ 1 ）若 AD =8cm ， AB =4cm ，则当 BC =___ cm ， CD =___ cm 时，四边形 ABCD 为平行四边形； （ 2 ）若 AC =10cm ， BD =8cm ，则当 AO =__ _cm ， DO =__ _cm 时，四边形 ABCD 为平行四边形． 8 4 5 4 达标检测 反思目标 2、如图， 口 ABCD 的对角线 AC , BD 相交于点 O ， E , F 分别是 OA ， OC 的中点 . 求证： BE = DF . A B C D E F O 第 4 章 平行四边形 4.4 平行四边形的判定定理（ 2 ）  如图，在下列各题中，再添上一个条件使结论成立： （ 1 ）∵  AB ∥ CD ，         ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形． （ 2 ）∵  AB = CD ，         ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形．   如果只考虑一组对边， 当它们满足什么条件时，这 个四边形能成为平行四边形？ AD ∥ BC   AD = BC   A B C D 创设情景 明确目标   1 ．掌握平行四边形的第四个判定定理，会综合运用 平行四边形的性质和判定进行推理和计算。   2 ．经历平行四边形的判定定理的发现与证明过程，进 一步加深对平行四边形的 认识。 学习目标 探究点一 平行四边形的判定   猜想： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．   这个猜想正确吗？如何证明它？   定理： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．   现在你有多少种判定一个四边形是平行四边形的方法？    （ 1 ）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （ 2 ）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （ 3 ）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （ 4 ）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （ 5 ）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 . A   B   C   D   E   F     在上题中，将“ E ， F 分别是 AB ， CD 的中点”改为“ E ， F 分别是 AB ， CD 上的点，且 AE = CF ”，结论是否仍然成立？请说明理由． 练 习   例 如图，在  ABCD 中， E ， F 分别是 AB ， CD 的 中点．求证：四边形 EBFD 是平行四边形． 1 、判断题： ⑴相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形 . (   ) ⑵ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 . (   ) ⑶ 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 .(   ) ⑷ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 . (   ) ⑸ 对角线相等的四边形是平行四边形 . (   ) ⑹ 对角线互相平分的四边形是平行四边形 . ( ) √ √ × √ × √ 达标检测 反思目标 2 、已知：如图， AC ∥ ED ，点 B 在 AC 上，且 AB = ED = BC ， 找出图中的平行四边形，并说明理由 ． 解：图中的平行四边形有 EDBA 和 EDC B . 理由如下 : 同理可 证 , 四边形 EDCB 是平行四边形 . ∵ AC ∥ ED (   ) , ∴ ED ∥ ______. 又 ∵ ED = ______ (   ), ∴ 四边形 EDBA 是平行四边形 ( ). 已知 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 AB AB 已知    3、如 图，四边形 AEFD 和四边形 EBCF 都是平行四边形． 求证：四边形 ABCD 是平行四边形． A   B   C   D   E   F      4、如 图，分别以 Rt△ ABC 的直角边 AC 及斜边 AB 向外作 等边△ ACD 、等边△ ABE , 且∠ BAC =30° ， EF ⊥ AB ，垂足为 F ， 连结 DF ． （ 1 ）试说明 AC = EF . （ 2 ）求证：四边形 ADFE 是平行四边形． A B C D E F 5、在 四边形 ABCD 中， E ， F ， G ， H 分别是 AB ， BC ， CD ， DA 的中点．求证：四边形 EFGH 是平行四边形． A   B   C   D   E   F   H   G   两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 从角考虑  两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 从对角线考虑  对角线互相平分的四边形是平行四边形． 从边 考虑    判定一个四边形是平行四边形可从哪些角度思考？ 具体有哪些方法？ 总结梳理 内化 目标 第 4 章 平行四边形 4.5 三角形的中位线 三角形的中位线和三角形的中线不同 C B A F E D 定义：连结三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线 . 注意 AF 是△ ABC 的中线 我们把 DE 叫△ ABC 的中位线 三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段 . 三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段 区分三角形的中位线和中线： 理解三角形的中位线的定义的两层含义 : ② ∵ DE 为△ ABC 的中位线 , ① ∵ D ， E 分别为 AB ， AC 的中点， ∴ DE 为△ ABC 的中位线 . ∴ D , E 分别为 AB , AC 的中点 . 一个三角形共有三条中位线 。 。 F 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 . 已知：在△ ABC 中， DE 是△ ABC 的 中位线 . 求证： DE ∥ BC ，且 DE = BC . 三角形的中位线 定理 三角形的中位线 平行 且 等于 第三边的一半 . 几何语言 ： ∵ DE 是△ ABC 的中位线（或 AD = BD , AE = CE ) ， ∴ DE= BC , DE//BC. C E D B A 用 途 ① 证明平行问题 ② 证明一条线段是另一条线段的 2 倍或一半 学以致用 已知：如图 ，在 Δ ABC 中， D ， E ， F 分别是 AB ， AC ， BC 的中点 . （ 1 ）指出图中有几个平行四边形？ （ 2 ）图中与 Δ DEF 全等的三角形有哪几个？ （ 3 ）若 Δ ABC 的周长为 6cm, 面积为 12cm 2 , 则 Δ DEF 的周长是 _____cm, 面积是 _____cm 2 . 你还能得到什么结论吗？ 试一试你们的眼力，比一比你们的猜想，看下面的一段文字 . （ 1 ）请每一个同学任意画一个四边形 ABCD ，取各边中点 E ， F ， G ， H ，再连结 EF ， FG ， GH ， HE ，试判断四边形的形状 . （ 2 ）同组伙伴的猜想与你一致吗？ C B A D H G F E 例 已知：如图，在四边形 ABCD 中， E , F , G , H 分别是 AB , BC , CD , DA 的中点 . 求证：四边形 EFGH 是平行四边形 . A B C D E F G H 本题的证明和推出的结论你有何感想？ 本节课你学到什么 ？ 小 结 三角形的 中位线的定义 三角形的中位线 定理 三角形中位线 定理的运用 第 4 章 平行四边形 4.6 反证法 小故事 : 中国古代有一个 《 路边苦李 》 的故事 : 王戎 7 岁时 , 与小伙伴们外出游玩 , 看到路边的李树上结满了果子 . 小伙伴们纷纷去摘取果子 , 只有王戎站在原地不动 . 有人问王戎为什么 ? 王戎回答说 :“ 树在道边而多子 , 此必苦李 .” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李 . 王戎是怎样知道李子是苦的呢 ? 他运用了怎样的推理方法 ? 假设 “李子甜” 树在道边则李子少 与已知条件 “树在道边而多子” 产生矛盾 假设 “李子甜” 不成立 所以 “树在道边而多子，此必为苦李 ” 是 正确的 王戎的推理方法是 : 提出假设 推理论证 得出矛盾 结论成立 例 : 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。” 您能对小华的判断说出理由吗？ 假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。 先 假设 命题不成立， 从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、公理、定理等矛盾 . 从而得出 假设命题不成立是错误的， 即所求证的命题正确 . 证明一个命题时，人们有时 反证法的定义 : 这种证明方法叫做 反证法 . [ 能力测试 ] a