人教版九年级数学下册第28章同步测试题及答案

最新人教版九年级数学下册第 28 章同步测试题及答案 28.1 锐角三角函数 一、选择题（每小题只有一个正确答案） 1. cos30°的相反数是( ) A. － B. － C. － D. － 2. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，如果 sin A= ，那么 sin B 的值是（ ） A. B. C. D. 3. 已知在△ABC 中，∠C=90°且△ABC 不是等腰直角三角形，设 sin B=n，当∠B 是最小的内角时，n 的取 值范围是（ ） A. B. C. D. 4．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，则 是∠A 的（ ） A. 正弦 B. 余弦 C. 正切 D. 以上都不对 5. 点（－sin 30°，cos 30°）关于 y 轴对称的点的坐标是（ ） A. （ ， ） B. （ ，－ ） C. （－ ，－ ） D. （－ ， ） 6. 在 中， ，各边都扩大 2 倍，则锐角 A 的正弦值 A. 扩大 2 倍 B. 缩小 C. 不变 D. 无法确定 7. 如图， 是 的外接圆，AD 是 的直径，若 的半径为 则 的值是 A. B. C. D. 二、填空题 8. 计算： sin 45°+tan 60°•tan 30°﹣cos 60°=_____． 9. 在锐角△ABC 中，如果∠A，∠B 满足|tan A－1|＋ ＝0，那么∠C＝________． 10. 如图，若点 A 的坐标为 ，则 sin∠1=_____． 11. 观察下列等式 根据上述规律，计算 ______ ． 12. 如图，在等边三角形 ABC 中，D，E 分别为 AB，BC 边上的点，AD＝BE，AE 与 CD 交于点 F，AG⊥CD 于 点 G，则 sin∠AFG 的值是________． 三、解答题 13. 计算 +| -2|-2tan 60°+（ ）-1． 14. 计算： （1） ﹣2sin 45°+（2﹣π）0﹣ tan 30°； （2）2cos 60°﹣（ ）﹣1+tan 600+| ﹣2|. 15. 先化简，再求值： ，其中 ． 参考答案 1. C 【解析】∵cos30°= ，∴cos30°的相反数是－ .故选 C. 2.A 【解析】∵在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sin A= ，∴cos A= ， ∴∠A+∠B=90°，∴sin B=cos A= ．故选 A． 3.A 【解析】根据直角三角形的性质可知最小的内角的度数为 0°至 45°之间，则 ，即 ， 故选 A． 4.B 【解析】根据直角三角形的三角函数可得：sin A= ，cos A= ，tan A= ，故选 B． 5.A 【解析】点 即为 关于 y 轴对称的点的坐标是 故选 A. 6.C 7.B 【解析】如图，连接 CD.∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD=90°，且∠B=∠D.在 Rt△ACD 中，AD=5×2=10， AC=8，∴CD=6，∴cos D= = = ，∴cos B=cos D= .故选 B． 8. 【解析】原式＝ ＝1＋1－ ＝ ． 9.75° 【解析】∵|tanA－1|＋ 2＝0，∴tanA=1，cosB= .∴∠A=45°，∠B=60°， ∴∠C=75°． 10. 故答案： . 11. 1 【解析】∵根据已知的式子可以得到 sin（90°-α）=cosα，∴sin2α+sin2（90°-α）=1. 12. 【解析】∵等边△ABC，∴AC=AB，∠B=∠CAD=60°.∵在△ADC 和△BEA 中， ，∴△ADC≌△BEA，∴∠CDA=∠AEB，∴∠CEA=∠CDB，∴∠CFE=∠B=60°， ∴∠AFG=60°，∴sin∠AFG= . 13.解： +| -2|-2tan 60°+（ ）-1 ＝2 ＝5- . 14.解：（1）原式=2 ﹣ +1﹣1= . （2）原式=1﹣2+1+2﹣ =2﹣ ． 15.解： － = － = =－ ． 当 x=tan 60°－1 即 x= －1 时，原式=－ =－ =－ ． 28.2.1 解直角三角形 知识点 1 解直角三角形 1.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝3 5 ，BC＝6，则 AB 的长为( ) A．4 B．6 C．8 D．10 2.在 Rt△ABC 中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则 AC 的长为( ) A.3sin40° B．3sin50°C.3tan40° D．3tan50° 3.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a，b，c 分别为∠A，∠B，∠C 的对边，a＝6，b＝2 3，则∠B 的度 数为________． 4.已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a，b，c 分别为∠A，∠B，∠C 的对边，c＝8 3，∠A＝60°， 则 a＝________，b＝________. 5.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a，b，c 分别为∠A，∠B，∠C 的对边，由下列条件解直角三角形. (1)已知∠A＝60°，b＝4； (2)已知 a＝1 3 ，c＝ 2 3 ； (3)已知 c＝28 2，∠B＝30°. 6.如图，在△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝2 3 ，AB＝6，求 BC 的长． 知识点 2 解直角三角形的应用 7.如图，为了测量一河岸相对的两电线杆 A，B 间的距离，在距 A 点 15 米的 C 处(AC⊥AB)测得∠ACB ＝50°，则 A，B 间的距离应为( ) A.15sin50° 米 B．15tan50° 米 C.15tan40° 米 D．15cos50° 米 8.某楼梯的示意图如图，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与 CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地 毯，已知 CA＝4 米，楼梯宽为 1 米，则地毯的面积至少为( ) A. 4 sinθ平方米 B. 4 cosθ平方米 C.(4＋ 4 tanθ)平方米 D．(4＋4tanθ)平方米 9.如图，已知在菱形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E.若 sinB＝2 3 ，AD＝6，则菱形 ABCD 的面积为( ) A.12 B．12 5 C．24 D．54 10.如图，在矩形 ABCD 中，DE⊥AC 于点 E.设∠ADE＝α，且 cosα＝3 5 ，AB＝4，则 AD 的长为( ) A.3 B.16 3 C.20 3 D.22 3 11.数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角尺中，含 45°角的三角尺的斜边与 含 30°角的三角尺的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角尺的直角顶点重合 放在一起，点 B，C，E 在同一直线上，若 BC＝2，求 AF 的长． 请你运用所学的数学知识解决这个问题． 能力提升 12.如图，⊙O 是正五边形 ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为 a，半径为 R，边心距为 r，则下 列关系式错误的是( ) A.R2－r2＝a2B．a＝2Rsin36°C.a＝2rtan36° D．r＝Rcos36° 13.如图是以△ABC 的边 AB 为直径的半圆 O，点 C 恰好在半圆上，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.已知 cos ∠ACD＝3 5 ，BC＝4，则 AC 的长为( ) A.1 B.20 3 C．3 D.16 3 14.如图，电线杆 CD 的高度为 h，两根拉线 AC 与 BC 互相垂直，∠CAB＝α，则拉线 BC 的长度为(A， D，B 在同一条直线上)( ) A. h sinα B. h cosα C. h tanα D．h·cosα 15.如图，在△ABC 中，AB＝AC，cos∠ABC＝4 5 ，点 D 在 BC 边上，BD＝6，CD＝AB，则 AD 的长为 __________． 16.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，斜边 AB 上的高 CD＝ 3，BD＝1，解这个直角三角形． 17.如图，在△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3，求△ABC 的面积． 18.如图，在 Rt△ABC 中，已知∠C＝90°，sinB＝4 5 ，AC＝8，D 为线段 BC 上一点，并且 CD＝2. (1)求 BD 的长； (2)求 cos∠DAC 的值． 参考答案 1．D [解析] 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝BC AB ＝3 5 ，BC＝6，∴AB＝ BC sinA ＝6 3 5 ＝10. 2.D [解析] 已知∠C＝90°，∠A＝40°，∴∠B＝50°.∵tanB＝AC BC ，即 tan50°＝AC 3 ，∴AC＝3tan50°. 故选 D. 3.30° [解析] ∵tanB＝b a ，b＝2 3，a＝6，∴tanB＝2 3 6 ＝ 3 3 ，∴∠B＝30°. 4.12 4 3 [解析] 本题是已知一锐角和斜边，解直角三角形，由 sinA＝a c ，得 a＝c·sinA＝8 3·sin60° ＝8 3× 3 2 ＝12，由勾股定理易知 b＝4 3. 5.解：(1)∵∠A＝60°，∴∠B＝30°. ∵tanA＝a b ， ∴a＝btanA＝4tan60°＝4 3， ∴c＝ a2＋b2＝8. 即∠B＝30°，a＝4 3，c＝8. (2)由勾股定理，知 b＝ c2－a2＝ （ 2 3 ）2－（1 3 ）2＝1 3 ，∴a＝b， ∴∠A＝∠B＝45°. 即∠A＝∠B＝45°，b＝1 3. (3)∵∠B＝30°， ∴∠A＝60°，b＝1 2c＝1 2 ×28 2＝14 2. 又∵cosB＝a c ， ∴a＝c·cosB＝28 2×cos30°＝14 6. 即∠A＝60°，a＝14 6，b＝14 2. 6.解：∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∴sinA＝BC AB. ∵AB＝6，sinA＝2 3 ，∴BC 6 ＝2 3 ，∴BC＝4. 7.B [解析] 由 tan∠ACB＝AB AC 知 AB＝AC·tan∠ACB＝15tan50°.故选 B. 8.D 9.C [解析]∵四边形 ABCD 是菱形，AD＝6，∴AB＝BC＝6.在 Rt△ABE 中，sinB＝AE AB. ∵sinB＝2 3 ，∴AE 6 ＝2 3 ，解得 AE＝4，∴菱形 ABCD 的面积是 6×4＝24.故选 C. 10.B [解析] 由已知可得 AB＝CD＝4，∠ADE＝∠ACD＝α.在 Rt△DEC 中，cosα＝CE CD ＝3 5 ，即CE 4 ＝ 3 5 ，∴CE＝12 5 .根据勾股定理，得 DE＝16 5 .在 Rt△AED 中，cosα＝DE AD ＝3 5 ，即 16 5 AD ＝3 5 ，∴AD＝16 3 .故选 B. 11.解：∵在 Rt△ABC 中，BC＝2，∠A＝30°， ∴AC＝ BC tanA ＝2 3，则 EF＝AC＝2 3. ∵∠E＝45°，∴FC＝EF·sinE＝ 6， ∴AF＝AC－FC＝2 3－ 6. 12.A[解析]∵⊙O 是正五边形 ABCDE 的外接圆，∴∠BOC＝1 5 ×360°＝72°.∵OB＝OC，OH⊥BC， ∴∠BOH＝1 2 ∠BOC＝36°，BH＝1 2BC＝1 2a.在 Rt△BOH 中，OB2－OH2＝BH2，∴R2－r2＝(1 2a)2＝1 4a2，则 选项 A 错误．∵sin36°＝BH OB ，∴BH＝OB·sin36°，即 1 2a＝Rsin36°，∴a＝2Rsin36°，则选项 B 正确．∵ tan36°＝BH OH ，∴BH＝OH·tan36°，即 1 2a＝rtan36°，∴a＝2rtan36°，则选项 C 正确．∵cos36°＝OH OB ， ∴OH＝OB·cos36°，∴r＝Rcos36°，则选项 D 正确．故选 A. 13. D [解析]∵AB 是半圆 O 的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.∵CD⊥AB，∴∠ADC＝ 90°，∴∠A＋∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B.在 Rt△ABC 中，∵cosB＝ cos∠ACD＝BC AB ＝3 5 ，BC＝4，∴AB＝20 3 ，∴AC＝ AB2－BC2＝ （20 3 ）2－42＝16 3 .故选 D. 14.B [解析] 根据同角的余角相等，得∠CAD＝∠BCD，由 cos∠BCD＝CD BC ，知 BC＝ CD cos∠BCD ＝ h cosα. 故选 B. 15.2 10 [解析] 如图，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E.∵AB＝AC，∴BE＝CE.设 DE＝x，则 BE＝6＋x， CD＝6＋2x.∵cos∠ABC＝4 5 ，AB＝CD＝6＋2x，∴BE AB ＝ 6＋x 6＋2x ＝4 5 ，解得 x＝2.∴AB＝10，BE＝8，∴AE＝ AB2－BE2＝6.∴在 Rt△ADE 中，AD＝ AE2＋DE2＝2 10. 16.解：在 Rt△BCD 中，BC＝ BD2＋CD2＝ 12＋（ 3）2＝2， ∴sinB＝CD BC ＝ 3 2 ， ∴∠B＝60°， ∴∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°. 在 Rt△ABC 中，AB＝ BC cosB ＝ 2 cos60°＝2 1 2 ＝4， ∴AC＝ AB2－BC2＝ 42－22＝ 16－4＝ 12＝2 3. 即∠A＝30°，∠B＝60°，AB＝4，BC＝2，AC＝2 3. 17.解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，则∠ADC＝∠BDC＝90°. ∵∠B＝45°， ∴∠BCD＝∠B＝45°， ∴CD＝BD. ∵∠A＝30°，AC＝2 3， ∴CD＝1 2AC＝ 3， ∴BD＝CD＝ 3. 在 Rt△ACD 中，由勾股定理，得 AD＝ AC2－CD2＝ 12－3＝3， ∴AB＝AD＋BD＝3＋ 3， ∴△ABC 的面积为 1 2CD·AB＝1 2 × 3×(3＋ 3)＝3＋3 3 2 . 18.解：(1)在 Rt△ABC 中，sinB＝AC AB ＝4 5. ∵AC＝8，∴AB＝10，BC＝ AB2－AC2＝ 102－82＝6， ∴BD＝BC－CD＝6－2＝4. (2)在 Rt△ACD 中， ∵AD＝ AC2＋CD2＝ 82＋22＝2 17， ∴cos∠DAC＝AC AD ＝ 8 2 17 ＝4 17 17 . 28.2.2 第 1 课时 仰角、俯角与解直角三角形 知识点 1 利用直角三角形解决一般的实际问题 1. 如图，A，B 两地之间有一座山，汽车原来从 A 地到 B 地需经 C 地沿折线 ACB 行驶，现开通隧道 后，汽车直接沿直线 AB 行驶即可到达 B 地．已知 AC＝120 km，∠A＝30°， ∠B＝135°，求隧道开通后汽车从 A 地到 B 地需行驶多少千米． 2.如图，某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在 A 处观测 对岸点 C，测得∠CAD＝45°，小英同学在距 A 处 50 米远的 B 处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据 求出河宽．(精确到 0.01 米，参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732) 知识点 2 利用仰角、俯角解决实际问题 3.如图，某地修建高速公路，要从 B 地向 C 地修一条隧道(B，C 在同一水平面上)，为了测量 B，C 两 地之间的距离，某工程师乘坐热气球从 C 地出发，垂直上升 100 m 到达 A 处，在 A 处观察 B 地的俯角为 30°，则 B，C 两地之间的距离为( ) A.100 3m B．50 2mC.50 3m D.100 3 3 m 4.如图，热气球的探测器显示，从热气球 A 处看一栋楼顶部 B 处的仰角为 30°，看这栋楼底部 C 处 的俯角为 60°，热气球 A 处与楼的水平距离为 120 m，则这栋楼的高度为( ) A.160 3m B．120 3mC.300 m D．160 2m 5.孔明同学在距某电视塔塔底水平距离 500 米处，看塔顶的仰角为 20°(不考虑身高因素)，则此塔高 约为__________米．(结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70° ≈2.7475) 6.如图，线段 AB，CD 分别表示甲、乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足分别为 A，D.从 D 点 测得 B 点的仰角α为 60°，从 C 点测得 B 点的仰角β为 30°，甲建筑物的高 AB＝30 米． (1)求甲、乙两建筑物之间的距离 AD； (2)求乙建筑物的高 CD. 7.如图，某人为了测量小山顶上的塔 ED 的高，他在山下的点 A 处测得塔尖点 D 的仰角为 45°，再沿 AC 方向前进 60 m 到达山脚点 B，测得塔尖点 D 的仰角为 60°，塔底点 E 的仰角为 30°，求塔 ED 的高 度．(结果保留根号) 能力提升 8．为解决停车难的问题，在如图的一段长 56 米的路段开辟停车位，每个车位是长 5 米、宽 2.2 米的矩形，矩形的边与路的边缘成 45°角，那么这个路段最多可以划出________个这样的停 车位( 2≈1.4)． 9.如图，A 为某旅游景区的最佳观景点，游客可从 B 处乘坐缆车先到达小观景平台 DE 观景，然后在 E 处继续乘坐缆车到达 A 处，返程时从 A 处乘坐升降电梯直接到达 C 处．已知 AC⊥BC 于点 C，DE∥BC， BC＝110 m，DE＝9 m，BD＝60 m，α＝32°，β＝68°，求 AC 的高度． (参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68° ≈2.48) 10.如图，某无人机于空中 A 处探测到目标 B，D 的俯角分别是 30°，60°，此时无人机的飞行高度 AC 为 60 m，随后无人机从 A 处继续水平飞行 30 3m 到达 A′处． (1)求 A，B 之间的距离； (2)求从无人机 A′上看目标 D 的俯角的正切值． 11.如图，在大楼 AB 的正前方有一斜坡 CD，CD＝4 米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点 C 处 测得楼顶 B 的仰角为 60°，在斜坡上的点 D 处测得楼顶 B 的仰角为 45°，其中点 A，C，E 在同一直线上． (1)求斜坡 CD 的高度 DE； (2)求大楼 AB 的高度(结果保留根号)． 参考答案 1．解：如图，过点 C 作 CE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E. ∵∠A＝30°，AC＝120 km， ∴EC＝60 km，AE＝120×cos30°＝60 3(km)． ∵∠ABC＝135°， ∴∠CBE＝45°， ∴BE＝EC＝60 km， ∴AB＝AE－BE＝60 3－60＝60( 3－1)km. 答：隧道开通后汽车从 A 地到 B 地需行驶 60( 3－1)km. 2.解：如图，过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，设 CE＝x 米． 在 Rt△AEC 中，∠CAE＝45°，AE＝CE＝x 米． 在 Rt△BEC 中，∠CBE＝30°，BE＝ 3CE＝ 3x（米）． ∴ 3x＝x＋50， 解得 x＝25 3＋25≈68.30. 答：河宽约为 68.30 米． 3.A [解析] 因为 tan∠ABC＝tan30°＝AC BC ＝100 BC ＝ 3 3 ，所以 BC＝100 3m．故选 A. 4.A 5.182 [解析] 如图，仰角∠A＝20°，AC＝500 米.在 Rt△ABC 中，tanA＝BC AC ，所以塔高 BC＝AC·tanA ≈500×0.3640＝182(米).故答案为 182. 6.解：(1)根据题意，在 Rt△ABD 中，∠BDA＝α＝60°，AB＝30 米， ∴AD＝ AB tan60° ＝30 3 ＝10 3(米)． 答：甲、乙两建筑物之间的距离 AD 为 10 3米． (2)过点 C 作 CE⊥AB 于点 E. 根据题意，得∠BCE＝β＝30°，CE＝AD＝10 3米，CD＝AE. 在 Rt△BEC 中，tan∠BCE＝BE CE ， 即 tan30°＝ BE 10 3 ， ∴BE＝10(米)， ∴CD＝AE＝AB－BE＝30－10＝20(米)． 答：乙建筑物的高 CD 为 20 米． 7.解：由题知，∠DBC＝60°，∠EBC＝30°， ∴∠DBE＝∠DBC－∠EBC＝60°－30°＝30°. ∵∠BCD＝90°， ∴∠BDC＝90°－∠DBC＝90°－60°＝30°， ∴∠DBE＝∠BDC， ∴BE＝DE. 设 EC＝xm，则 ED＝BE＝2EC＝2x(m)，DC＝EC＋ED＝x＋2x＝3x(m)， ∴BC＝ BE2－EC2＝ 3x(m). 由题意可知∠DAC＝45°，∠DCA＝90°，AB＝60 m， ∴△ACD 为等腰直角三角形， ∴AC＝DC， 即 3x＋60＝3x， 解得 x＝30＋10 3. ∴ED＝2x＝(60＋20 3)m. 答：塔 ED 的高度为(60＋20 3)m. 8. 17 [解析] 设这个路段可以划出 x 个这样的停车位，根据题意，水平距离为2.2 2 ＋2.2× 2(x－1)＋ 5 2 ≤56，解得 x 的最大整数值为 17.故答案为 17. 9.过点 D 作 DH⊥BC 于点 H，延长 DE 交 AC 于点 F，则 DF＝CH，DH＝CF. ∵在 Rt△BDH 中，α＝32°， ∴DH＝BD·sin32°≈60×0.53＝31.8， BH＝BD·cos32°≈60×0.85＝51， ∴CF＝DH≈31.8，CH＝BC－BH≈110－51＝59， ∴DF＝CH≈59， ∴EF＝DF－DE≈59－9＝50. ∵在 Rt△AEF 中，β＝68°， ∴AF＝EF·tan68°≈50×2.48＝124， ∴AC＝AF＋CF≈124＋31.8＝155.8(m)． 答：AC 的高度约为 155.8 m. 10.(1)∵∠BAC＝90°－30°＝60°，AC＝60 m， ∴在 Rt△ABC 中，AB＝ AC cos∠BAC ＝ 60 cos60°＝120(m)． (2)过点 D 作 DE⊥AA′于点 E，连接 A′D. ∵∠DAC＝90°－60°＝30°，AC＝60 m， ∴在 Rt△ADC 中， CD＝AC·tan∠DAC＝60×tan30°＝20 3(m)． ∵∠AED＝∠EAC＝∠C＝90°， ∴四边形 ACDE 是矩形． ∵ED＝AC＝60 m，EA＝CD＝20 3 m， ∴在 Rt△A′ED 中，tan∠EA′D＝ED EA′ ＝ ED EA＋AA′ ＝ 60 20 3＋30 3 ＝2 3 5 . 即从无人机 A′上看目标 D 的俯角的正切值为2 3 5 . 11.(1)在 Rt△DCE 中，∠DCE＝30°， sin∠DCE＝DE CD ， ∴DE＝CD·sin∠DCE， ∴DE＝4×1 2 ＝2(米)． (2)如图，延长 BD 交 AE 的延长线于点 F. 由题意知∠BDG＝45°， ∴∠F＝∠BDG＝45°. ∵∠DEF＝90°， ∴∠EDF＝∠F＝45°， ∴EF＝DE＝2 米． 设 AC＝x 米，则 AB＝AC·tan∠ACB， ∴AB＝x·tan60°＝ 3x 米． 在 Rt△DCE 中，CE＝ CD2－DE2＝2 3(米)， ∴AF＝EF＋CE＋AC＝(2＋2 3＋x)米． 在 Rt△ABF 中，tanF＝AB AF ， 即 tan45°＝ 3x 2＋2 3＋x ， 解得 x＝( 3＋1)2＝4＋2 3， ∴AB＝ 3x＝(6＋4 3)米． 答：大楼 AB 的高度为(6＋4 3)米． 第 2 课时 坡角、方向角与解直角三角形 知识点 1 方向角问题 1.如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 55°方向，距离灯塔 2 海里的点 A 处，如果海轮沿正南方向航 行到灯塔的正东方向，那么海轮航行的距离 AB 是( ) A.2 海里 B．2sin55°海里 C.2cos55°海里 D．2tan55°海里 2.如图，轮船沿正南方向以 30 海里/时的速度匀速航行，在 M 处观测到灯塔 P 在西偏南 68°方向上．航 行 2 小时后到达 N 处，观测到灯塔 P 在西偏南 46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置， 则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到 sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746， sin44°≈0.6947)( ) A.22.48 海里 B．41.68 海里 C.43.16 海里 D．55.63 海里 3.如图，港口 A 在观测站 O 的正东方向，OA＝4 km，某船从港口 A 出发，沿北偏东 15°方向航行一 段距离后到达 B 处，此时从观测站 O 处测得该船位于北偏东 60°的方向，则该船航行的距离(即 AB 的长) 为( ) A.4 km B．2 3kmC.2 2km D．( 3＋1)km 4.如图，海中有一小岛 A，它周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60°方向上，航行 12 海里到达 D 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30°方向上．如果渔船不改变航 线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 知识点 2 坡角问题 5.如图，一山坡的坡度为 i＝1∶ 3，小辰从山脚 A 出发，沿山坡向上走了 200 米到达点 B，则小辰上 升了________米． 6.如图，小明爬一土坡，他从 A 处爬到 B 处所走的直线距离 AB＝4 米，此时，他距离地面的高度 h ＝2 米，则这个土坡的坡角∠A＝________°. 7.如图，小华站在河岸上的点 G，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船 C 的俯角是∠FDC＝30°，若小华的眼睛与地面的距离是 1.6 m，BG＝0.7 m，BG 平行于 AC 所在的直线， 迎水坡的坡度 i＝4∶3，坡长 AB＝8 m，点 A，B，C，D，F，G 在同一个平面上，则此时小船 C 到岸边的 距离 CA 的长为________m．(结果保留根号) 8.如图，一堤坝的坡角∠ABC＝62°，坡面长度 AB＝25 米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施 工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB＝50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果精确到 0.1 米，参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.19) 9.某地一天桥如图所示，天桥高 6 米，坡面 BC 的坡度为 1∶1.为了方便行人推车过天桥，有关部门决 定降低坡度，使新坡面 AC 的坡度为 1∶ 3. (1)求新坡面的坡角α； (2)原天桥底部正前方 8 米处(PB 的长)的文化墙 PM 是否需要拆除？请说明理由． 10. 如图，为了测量出楼房 AC 的高度，从距离楼底 C 处 60 3米的点 D(点 D 与楼底 C 在同一水平 面上)出发，沿斜面坡度为 i＝1∶ 3的斜坡 DB 前进 30 米到达点 B，在点 B 处测得楼顶 A 的仰角为 53°， 求楼房 AC 的高度．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6， tan53°≈4 3 ，计算结果用根号表示) 11.如图，一架水平飞行的无人机 AB 的尾端点 A 测得正前方的桥的左端点 P 的俯角为α，其中 tanα＝ 2 3，无人机的飞行高度 AH＝500 3米，桥的长为 1255 米． (1)求 H 到桥的左端点 P 的距离； (2)无人机前端点 B 测得正前方的桥的右端点 Q 的俯角为 30°，求这架无人机的长度． 参考答案 1.C [解析] 由题意可知∠NPA＝55°，AP＝2 海里，∠ABP＝90°.∵AB∥NP， ∴∠A＝∠NPA＝55°.在 Rt△ABP 中，∵∠ABP＝90°，∠A＝55°，AP＝2 海里，∴AB＝AP·cosA＝2cos55° （海里）．故选 C. 2.B [解析] 如图，过点 P 作 PA⊥MN 于点 A.由题意，得 MN＝30×2＝60(海里)． ∵∠MNC＝90°，∠CNP＝46°，∴∠MNP＝∠MNC＋∠CNP＝136°.∵∠BMP＝68°， ∴∠PMN＝90°－∠BMP＝22°，∴∠MPN＝180°－∠PMN－∠MNP＝22°， ∴∠PMN＝∠MPN，∴MN＝PN＝60 海里．∵∠CNP＝46°，∴∠PNA＝44°， ∴PA＝PN·sin∠PNA≈60×0.6947≈41.68(海里)． 3.C [解析] 由题意知 OA＝4 km，∠AOB＝30°，∠BAC＝75°，则∠B＝45°.过点 A 作 AH⊥OB， 垂足为 H.在 Rt△OAH 中，∠AHO＝90°，OA＝4 km，∠AOB＝30°，∴AH＝1 2OA＝2（km）.在 Rt△BAH 中，∠AHB＝90°，∠B＝45°，AH＝2 km，∴AB＝ 2AH＝2 2（km）.故选 C. 4.解：如图，作 AC⊥BD 于点 C.由题意知∠ABC＝30°，∠ADC＝60°.设 AC＝x 海里，则 BC＝ 3x 海里，DC＝ 3 3 x 海里．因为 BC－DC＝ 3x－ 3 3 x＝12，所以 x＝6 3.因为 6 3＝ 108> 64＝8，所以渔船 不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险． 5.100 [解析] 根据题意，得 tanA＝BC AC ＝ 1 3 ＝ 3 3 ，所以∠A＝30°，所以 BC＝1 2AB＝1 2 ×200＝100(米)． 6.30 [解析] 因为 sinA＝ h AB ＝2 4 ＝1 2 ，所以∠A＝30°. 7.(8 3－11 2 ) [解析] 如图所示，延长 DG 交 CA 的延长线于点 H，则 DH⊥CH，过点 B 作 BE⊥AH， 垂足为 E.在 Rt△ABE 中，iAB＝4∶3，即BE AE ＝4 3.设 BE＝4x，AE＝3x(x>0).由勾股定理，得 AB＝5x.由 AB＝8， 得 x＝8 5 ，从而 BE＝32 5 ＝GH，AE＝24 5 .∴DH＝DG＋GH＝1.6＋32 5 ＝8，AH＝24 5 ＋0.7＝11 2 .∵∠FDC＝30°， ∴∠C＝30°.在 Rt△CDH 中，DH CH ＝tan30°，即 8 CH ＝ 3 3 ，∴CH＝8 3，∴CA＝CH－AH＝8 3－11 2 （m）. 8.解：如图，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E. 在 Rt△ABE 中，AB＝25 米，∠ABC＝62°， ∴AE＝AB·sin∠ABC＝25sin62°≈25×0.88＝22(米)， BE＝AB·cos∠ABC＝25cos62°≈25×0.47＝11.75(米)． 在 Rt△ADE 中，AE≈22 米，tan50°≈1.19， ∴DE＝ AE tan50°≈ 22 1.19 ≈18.49(米)， ∴DB＝DE－BE≈18.49－11.75＝6.74≈6.7(米)． 答：应将坝底向外拓宽约 6.7 米． 9.解：(1)由 tanα＝ 1 3 ＝ 3 3 ，得α＝30°. (2)文化墙 PM 不需要拆除． 理由：作 CD⊥AB，垂足为 D，则 CD＝6 米，∴AD＝ CD tanα＝6 3（米），BD＝6 米， ∴AB＝AD－BD＝6 3－6（米）