人教版九年级数学下册第27章同步测试题及答案

最新人教版九年级数学下册第 27 章同步测试题及答案 27．1 图形的相似 1. 下列各选项中的两个图形是相似图形的是( ) A. B. C. D. 2. 下列图形是相似图形的是( ) A. 两张孪生兄弟的照片 B. 一个三角板的内、外三角形 C. 行书中的“美”与楷书中的“美” D. 在同一棵树上摘下的两片树叶 3. 下列四组图形中，一定相似的是( ) A. 正方形与矩形 B. 正方形与菱形 C. 两个菱形 D. 两个正五边形 4. 如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( ) A. 60° B. 75° C. 87° D. 120° 5. 一个多边形的边长依次为 2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为 24，则这个多边形 的最短边长为( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6. 用放大镜看四边形 ABCD.若四边形的边长被放大为原来的 10 倍，则下列结论正确的是( ) A. 放大后的∠B 是原来的 10 倍 B. 两个四边形的对应边相等 C. 两个四边形的对应角相等 D. 以上选项都不正确 7. 在一幅比例尺是 1∶100000 的地图上，测得 A，B 两地间的距离为 3.5 厘米，那么 A，B 两地间的实际 距离为________米． 8. 如图，△ADE∽△ACB，且 ，DE＝10，则 BC＝________． 9. 如图，在长 8 cm、宽 4 cm 的矩形中截去一个矩形(阴影部分)，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下 的矩形的宽为________cm. 10. △ABC 和△A′B′C′的各角的度数与各边的长度如图，这两个三角形相似吗？若相似，则相似比是多 少？若不相似，请说明理由． 11. 如图，六边形 ABCDEF 与六边形 A′B′C′D′E′F′相似． 求：(1)相似比； (2)∠A 和∠B′的度数； (3)边 CD，EF，A′F′，E′D′的长． 12. 如图，已知矩形 ABCD 中，AB＝1，在 BC 上取一点 E，沿 AE 将△ABE 向上折叠，使点 B 落在 AD 上的点 F 处．若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，求 AD 的长． 13. 如图，矩形 ABCD 的长 AB＝30，宽 BC＝20. (1)如图①，若在矩形 ABCD 的内部沿四周有宽为 1的环形区域，矩形 A′B′C′D′与矩形 ABCD 相似吗？ 请说明理由. (2)如图②，当 x 为多少时，矩形 ABCD 与矩形 A′B′C′D′相似？ 14. 我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做 相似体． 如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比 a∶b，设 S 甲，S 乙分别表示这两个正方体的表面积，则 ＝ ＝ ，又设 V 甲，V 乙分别表示这两个正方体的体积， 则 ＝ ＝ . (1)下列几何体中，一定属于相似体的是（____） A．两个球体 B．两个圆锥体 C．两个圆柱体 D．两个长方体 (2)请归纳出相似体的 3 条主要性质： ①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于________________； ②相似体表面积的比等于________________； ③相似体体积的比等于________________． 参考答案 1.D 2.B 【解析】两张孪生兄弟的照片,不一定完全相同；一个三角板的内、外三角形形状相同,故相似；行 书中的“美”与楷书中的“美”，形状不同；在同一棵树上摘下的两片树叶，形状不同.故选 B. 3.D 【解析】A. 正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；B. 正方形与菱形， 对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；C. 菱形与菱形，对应边比值相 等，但是对应角不一定相等，故不符合题意；D. 正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例， 符合相似的定义，故符合题意.故选 D. 4.C 【解析】由已知可得：α的度数是：360〫-60〫-75〫-138〫=87〫.故选 C. 5.B 【解析】设这个多边形的最短边是 x，则 ，解得 x=8．故选 B. 6.C 【解析】A、∵放大后的四边形与原四边形相似，∴∠A不变，故本选项错误；B、∵放大后的四边形 与原四边形相似，相似比为 10，∴边长是原来的 10 倍，故本选项错误；C、∵放大后的四边形与原四边形 相似，对应角相等，故本选项正确.故答案为 C. 7. 3500 【解析】由已知可得，A，B两地间的实际距离为 3.5÷ ×10-2=3500 米. 8. 15 【解析】∵△ADE∽△ACB，且 ，∴ .又∵DE=10，∴ ，解得 BC=15. 9. 2 【解析】设留下的矩形的宽为 x.∵留下的矩形与矩形相似，∴ ， x=2，∴留下的矩形的宽为： 2 cm. 10. 3∶1 【解析】∵∠A＝180°－∠B－∠C＝82.5°，∠A′＝180°－∠B′－∠C′＝82.5°，∴∠A＝ ∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′.又∵ , ， ，∴ .∴根 据相似图形的定义可知，△ABC 与△A′B′C′相似，相似比是 3∶1. 11.解：(1)∵六边形 ABCDEF 与六边形 A′B′C′D′E′F′相似，BC 与 B′C′是对应边， ∴ ，即相似比为 . (2)∵六边形 ABCDEF 与六边形 A′B′C′D′E′F′相似，∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′.又∵∠A′＝90°， ∠B＝150°，∴∠A＝90°，∠B′＝150°. (3)∵六边形 ABCDEF 与六边形 A′B′C′D′E′F′相似，∴ ＝ ＝ ＝ ＝ . 由 ＝ ，AF＝4 cm，得 ＝ ， ∴A′F′＝ (cm)． 由 ＝ ，E′F′＝4 cm，得 ＝ ， ∴EF＝ (cm)． 由 ＝ ，ED＝5 cm，得 ＝ ， ∴E′D′＝ (cm)． 由 ＝ ，C′D′＝3 cm，得 ＝ ， ∴CD＝ (cm)． 即 CD＝ cm，EF＝ cm，A′F′＝ cm，E′D′＝ cm. 12.解：由题意知，四边形 ABEF 是正方形．设 AD＝x. ∵AB＝1，∴FD＝x－1，FE＝1. ∵四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得 x1＝ ，x2＝ (舍去)， 经检验 x＝ 是原方程的解且符合题意， ∴AD＝ . 13.解：(1)不相似．理由：由题意，得 AB＝30，A′B′＝28，BC＝20，B′C′＝18，而 ≠ ，故矩形 A′B′C′D′与矩形 ABCD 不相似． 14.【解】(1)球体形状都一样，大小不一样，故选 A. (2)①相似体的一切对应线段(或弧)的比等于相似比；②相似体的表面积的比等于相似比的平方；③相似 体的体积比等于相似比的立方． 27.2 相似三角形 一、选择题 1. 在△ ABC 与△ A'B'C'中，有下列条件： ； ；(3)∠A = ∠A'；(4)∠C = ∠C'. 如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ ABC∽△ A'B'C'的共有( ) A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 2. 如图在△ ABC 中，DE//FG//BC，AD：AF：AB = 1：3：6，则S△ADE：S四边形 DEGF： S四边形 FGCB = ( ) A. 1：8：27 B. 1：4：9 C. 1：8：36 D. 1：9：36 3. 如图所示，四边形 ABCD是正方形，E是 CD的中点，P是 BC边上的一点，下 列条件：①∠APB = ∠EPC；②∠APE = ∠APB；③P 是 BC的中点；④BP：BC = 2： 3，其中能推出△ ABP∽△ ECP 的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，在直角△ ABC 中，∠B = 30∘ ，点 O是△ ABC 的重心，连接 CO并延长交 AB于点 E，过点 E 作 EF ⊥ AB 交 BC于点 F，连接 AF交 CE于点 M，则 MO MF 的值为( ) A. 1 2 B. 5 4 C. 2 3 D. 3 3 5. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点 A，在近岸取点 B，C，D， 使得 AB ⊥ BC，CD ⊥ BC，点 E在 BC上，并且点 A，E，D在同一条直线上.若测 得 BE = 30m，EC = 15m，CD = 30m，则河的宽度 AB长为( ) A. 90m B. 60m C. 45m D. 30m 6. 如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚 AC和 BD交叉 构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短.如果把比例规的两 脚合上，使螺丝钉固定在刻度 3的地方(即同时使 OA = 3OC，OB = 3OD) 然后张开两脚，使 A，B两个尖端分别在线段 a的两个端点上，当 CD = 1.8cm 时，则 AB的长为( ) A. 7.2 cm B. 5.4 cm C. 3.6 cm D. 0.6 cm 7. 如图，已知在 Rt △ ABC 中，∠ABC = 90∘ ，点 D沿 BC自 B向 C运动(点 D与 点 B、C不重合)，作 BE ⊥ AD 于 E，CF ⊥ AD 于 F，则 BE + CF 的值( ) A. 不变 B. 增大 C. 减小 D. 先变大再变小 8. 如图△ ABC 中有一正方形 DEFG，其中 D在 AC上，E、F在 AB上，直线 AG分别交 DE、BC于 M、N两点.若∠B = 90∘ ，AC = 5，BC = 3，DG = 1，则 BN的长度为( ) A. 4 3 B. 3 2 C. 8 5 D. 12 7 9. 如图，在矩形 ABCD中，AD = 2，AB = 3，过点 A，C作相距为 2的平行线段 AE，CF，分别交 CD，AB于点 E，F，则 DE的长是( ) A. 5 B. 13 6 C. 1 D. 5 6 10. 如图，在正方形 ABCD中，O是对角线 AC与 BD的交点， M是 BC边上的动点(点 M不与 B，C重合)，CN ⊥ DM， CN与 AB交于点 N，连接 OM，ON，MN.下列五个结论： ①△ CNB ≌ △ DMC ； ②△ CON ≌ △ DOM ； ③△ OMN∽△ OAD；④AN2 + CM2 = MN2；⑤若 AB = 2，则S△OMN的最小值是 1 2 ，其中正确结论的个 数是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题 11. 在△ ABC 中，AB = 6，AC = 5，点 D在边 AB上，且 AD = 2， 点 E在边 AC上，当 AE =______时，以 A、D、E为顶点的三 角形与△ ABC 相似． 12. 如图，在△ ABC 中，D、E分别在 AB、AC上，DE//BC，AD： AB = 1：3，则△ ADE 与△ ABC 的面积之比为______． 13. 在△ ABC 中，AB = 6cm，点 P在 AB上，且∠ACP = ∠B， 若点 P是 AB的三等分点，则 AC的长是______． 14. 如图，在矩形 ABCD中，点 E是边 AD的中点，BE交对角 线 AC于点 F，则△ AFE 与△ BCF 的面积比等于______． 15. 如图，在梯形 ABCD中，AD//BC，且 AD：BC = 1：3，对角线 AC，BD交于 点 O，那么S△AOD：S△BOC：S△AOB =______． 三、计算题 16. 如图，在△ ABC 中，∠C = 90∘ ，在 AB 边上取一点 D，使 BD = BC，过 D 作 DE ⊥ AB 交 AC于 E，AC = 8，BC = 6.求 DE的长． 17. 如图，在矩形 ABCD中，AB = 1，BC = 2，点 E在 AD上，且 ED = 3AE． (1)求证：△ ABC∽△ EAB. (2)AC 与 BE交于点 H，求 HC的长． 18. 小亮同学想利用影长测量学校旗杆 AB的高度，如图，他在某一时刻立 1米长的标杆测得其影长为 1.2 米，同时旗杆的投影一部分在地面上 BD处，另一部分在某一建筑的墙上 CD处，分别测得其长度为 9.6 米和 2米，求旗杆 AB的高度． 【答案】 1. C 2. A 3. B 4. D 5. B 6. B 7. C 8. D 9. D 10. D 11. 12 5 或 5 3 12. 1：9 13. 2 3cm 或 2 6cm 14. 1 4 15. 1：9：3 16. 解：在△ ABC 中，∠C = 90∘ ，AC = 8，BC = 6， ∴ AB = AC2 + BC2 = 10. 又∵ BD = BC = 6，∴ AD = AB − BD = 4. ∵ DE ⊥ AB，∴ ∠ADE = ∠C = 90∘ . 又∵ ∠A = ∠A，∴△ AED∽△ ABC， ∴ DE BC = AD AC ， .36 8 4  BC AC ADDE 17. (1)证明：∵四边形 ABCD是矩形， ∴ AB = CD = 1，BC = AD = 2，∠ABC = ∠BAD = 90∘ . ∵ ED = 3AE， ∴ AE = 1 2 ，ED = 3 2 . ∵ AB AE = 2，BC AB = 2， ∴ AB AE = BC AB . ∵ ∠ABC = ∠BAE = 90∘ ， ∴△ ABC∽△ EAB． (2)解：∵△ ABC∽△ EAB， ∴ ∠ACB = ∠ABE. ∵ ∠ABE + ∠CBH = 90∘ ， ∴ ∠ACB + ∠CBE = 90∘ ， ∴ ∠BHC = 90∘ ， ∴ BH ⊥ AC. 在 Rt △ ACB 中，∵ ∠ABC = 90∘ ，AB = 1，BC = 2， ∴ AC = AB2 + BC2 = 12 + 22 = 5. ∵ 1 2 ⋅ AB ⋅ BC = 1 2 ⋅ AC ⋅ BH， ∴ BH = AB⋅ BC AC = 2 5 5 ， ∴ CH = CB2 − BH2 = 4 5 5 ． 18. 解：如图， ∵某一时刻立 1米长的标杆测得其影长为 1.2 米， ∴ CD：DF = 1：1.2， ∴ DF = 1.2CD = 1.2 × 2 = 2.4， ∴ BF = BD + DF = 9.6 + 2.4 = 12. ∵ AB：BF = 1：1.2， ∴ AB = 12×1 1.2 = 10． 答：旗杆 AB的高度为 10m． 27.3 位似 一、选择题 19. 在平面直角坐标系中，点 E( − 4,2)，点 F( − 1, − 1)，以点 O为位似中心，按比例 1：2把△ EFO 缩小， 则点 E的对应点 E的坐标为( ) A. (2, − 1)或( − 2,1) B. (8, − 4)或( − 8,4) C. (2, − 1) D. (8, − 4) 20. 如图，以点O为位似中心，将△ ABC 缩小后得到 ，已知 ， 则 与△ ABC 的面积的比为( ) A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：9 21. 如图，正五边形 FGHMN是由正五边形 ABCDE经过位似变换得到的， 若 AB：FG = 2：3，则下列结论正确的是( ) A. 2DE = 3MN B. 3DE = 2MN C. 3∠A = 2∠F D. 2∠A = 3∠F 22. 关于对位似图形的 4个表述中： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是 位似图形； ④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比． 正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 23. △ ABC 三个顶点的坐标分别为 A(2,2)，B(4,2)，C(6,6)，在此直角坐标系中作△ DEF，使得△ DEF 与△ ABC 位似，且以原点 O为位似中心，位似比为 1：2，则△ DEF 的面积为( ) A. 1 2 B. 1 C. 2 D. 4 24. 如图，线段 CD两个端点的坐标分别为 C(1,2)，D(2,0)，以原点为位似中心，将线段 CD放大得到线段 AB，若点 B的坐标为(6,0)，则点 A的坐标为( ) A. (2,5) B. (2.5,5) C. (3,5) D. (3,6) 25. 如图，已知△ EFH 和△MNK 是位似图形，那么其位似中心是( ) A. 点 A B. 点 B C. 点 C D. 点 D 26. “标准对数视力表”对我们来说并不陌生，如图是视力表的一部分，其中最上面 较大的“E”与下面四个较小“E”中的哪一个是位似图形( ) A. 左上 B. 左下 C. 右下 D. 以上选项都正确 27. 如图，五边形 ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，点 A和点A1是一对对应点，P是位似中心， 且 2PA = 3PA1，则五边形 ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的相似比等于( ) A. 2 3 B. 3 2 C. 3 5 D. 5 3 28. 在平面直角坐标系中，有一条鱼，它有六个顶点，则( ) A. 将各点横坐标乘 2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似 B. 将各点纵坐标乘 2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似 C. 将各点横，纵坐标都乘 2，得到的鱼与原来的鱼位似 D. 将各点横坐标乘 2，纵坐标乘 1 2 ，得到的鱼与原来的鱼位似 二、填空题 29. △ OAB 三个顶点的坐标分别为 O(0,0)，A(4,6)，B(3,0)，以 O为位似中心，将△ OAB 缩小为原来的 1 2 ， 得到△ OA'B'，则点 A的对应点 A'的坐标为______． 30. 如图，直线 y = 1 3 x + 1 与 x轴，y轴分别交于 A、B两点，△ BOC 与△ B'O'C' 是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为 1：2，则点 B'的坐标为______． 31. 位似图形上任意一对对应点到______ 的距离之比等于位似比． 32. 如图，△ ABC 与△ DEF 位似，位似中心为点 O，且△ ABC 的面积等于△ DEF 面积的 1 4 ，则 AB DE =______ ． 33. 一个多边形的边长依次为 1，2，3，4，5，6，7，8，与它位似的另一个多边形的最大边长为 12，那 么另一个多边形的周长为______ ． 三、解答题 34. 如图，△ ABC 的三个顶点坐标为 A(0, − 2)，B(3, − 1),C(2,1)． (1)在网格图中，画出△ ABC 以点 B为位似中心放大到 2倍后的△ A1B1C1； (2)写出A1，C1的坐标． 35. 如图所示，图中的小方格都是边长为 1的正方形，△ ABC 与 是以点 O为位似中心的位似图 形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心点 O； (2)直接写出△ ABC 与△ A'B'C'的位似比； (3)以位似中心 O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，并直接写出△ A'B'C'各 顶点的坐标． 36. 如图，在 6 × 6 的正方形方格中，每个小正方形的边长都为 1，顶点都在网格线交点处的三角形，△ ABC 是一个格点三角形． (1)在图①中，请判断△ ABC 与△ DEF 是否相似，并说明理由； (2)在图②中，以 O为位似中心，再画一个格点三角形，使它与△ ABC 的位似比为 2：1； (3)在图③中，请画出所有满足条件的格点三角形，它与△ ABC 相似，且有一条公共边和一个公共角． 【答案】 1. A 2. D 3. B 4. B 5. B 6. D 7. B 8. B 9. B 10. C 11. ( − 2, − 3)或(2,3) 12. (3,2)或( − 9, − 2) 13. 位似中心 14. 1 2 15.54 16. 解：(1)如图所示：△ A1B1C1，即为所求. (2)如图所示：A1( − 3, − 3),C1(1,3)． 17. 解：(1)如图. (2)2：1. (3)A'( − 6,0)，B'( − 3,2)，C'( − 4,4)． 18. 解：(1)如图①所示：△ ABC 与△ DEF 相似， 理由：∵ AB = 1，BC = 5，AC = 2 2；DE = 2，EF = 10，DF = 4， ∴ AB DE = BC EF = AC DF = 1 2 = 2 2 ， ∴△ ABC 与△ DEF 相似. (2)如图②所示：△ A'B'C'即为所求. (3)如图③所示：△ ADC 和△ CEB 即为所求．