人教版九年级数学下册第27章相似

第二十七章 相似 27.1 图形的相似 1.了解相似图形和相似比的概念 3.会根据条件判断两个多边形是否相似 (难点) 学 习 目 标 2.能根据多边形相似进行相关的计算（重点） 形状、大小都相同的图形称为全等图形。 全等图形： 问题1 下面图片有什么特点？有什么关系？ 问题2 多啦A梦的2寸照片和4寸照片，它的形状改变了吗？ 大小呢？ 相似图形一 你从上述几组图片发现了什么？ 它们的形状相同,大小不一定相等. 相似图形的概念： 形状相同的图形叫做相似图形. （2）全等图形是相似图形的特殊情况. 注意： （1）相似图形的大小不一定相同. 图形的放大 相似图形的关系二 探究归纳 两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个 图形放大或缩小得到. 图形的缩小 两个图形相似 图形的缩小 归纳 你看到过哈哈镜吗？哈哈镜中的形象与你本人相似吗？ (A) (B) (C) 观察与思考 放大镜下的图形和原来的图形相似吗？ 放大镜下的角与原图形 中角是什么关系? 练一练 相似多边形与相似比三 A1 B1 C1 D1E1 F1 A B C DE F 问题1：在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？ 问题2：在这两个多边形中，夹相等内角的两边是否成比例？ 多边形ABCDEF是显示在电脑屏幕上的,而多边 形A1B1C1D1E1F1是投射到银幕上的. 合作探究 符号语言（以四边形为例）： AD DA DC CD CB BC BA AB  DDCCBBAA  ,,, （相似多边形的对应角相等，对应边的比相等） 对于四条线段a、b、c、 d，如果其中两条线段 的比（即它们长度的比） 与另两条线段的比相等， 如 （即ad=bc） 我们就说这四条线段是 成比例线段，简称比例 线段． 3、两个相似多边形对应边的比也叫做这两个多边形的相似比. 形成认识： d c b a  任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意 两个正n边形呢？ a1 a2 a3 an … 分析：已知等边三角形的每个角都为60°, 三边都相等. 所以满足边数相等，对应角相等以及对应边的比相等. 议一议 … 同理，任意两个正方形都相似. 归纳：任意两个边数相等的正多边形都相似. a1 a2 a3 an 问题：任意的两个菱形（或矩形）是否相似？为什么？ 例1.如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大小和EH的长 度x. 21cm 24cm G E F H α x 118° D A B C 18cm 78° 83° β 在四边形ABCD中，∠β＝360°－（78°＋83°＋118°）＝81°. ∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°. 解：四边形ABCD和EFGH相似，它们的对应角相等．由此可得 典 例 精 析 四边形ABCD和EFGH相似，它们的对应边的比相 等．由此可得 解得 x＝28 cm. 24, = ,21 18 E H E F x A D A B  即 2.若△ABC与△ A′B′C′ 相似，且AB：A′B′=1:2， 则△ABC与△ A′B′C′的相似比是 ， △ A′B′C′与△ABC的相似比是    ．2 练一练 1.下列图形中能够确定相似的是（ ） A.两个半径不相等的圆 B.所有的等边三角形 C.所有的等腰三角形 D.所有的正方形 E.所有的等腰梯形 F.所有的正六边形 ABDF 1.观察下面的图形(a)~(g),其中哪些是与图形(1)，(2)或（3） 相似的？ 当堂练习 2.如图的两个四边形是否相似？ ╯800 ╰650 ╯800 ╮1250 α╭ 3 6 x y 图1 3 5 3.填空： ⑴如图1是两个相似的四边形， 则x= ，y = ，α= ； ⑵如图2是两个相似的矩形，x= . 2.5 1.5 90° 22.5 30 20 15 x 图2 • 相似图形 ——形状相同的图形 • 利用相似放大或缩小图形 • 判断两个图形是否相似 相似多边形 特征 识别 对应角相等 对应边成的比相等 •相似多边形的特征和识别： 第二十七章 相似 27.2 相似三角形 情境引入 你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分， 使得这两部分的比是2:3？ .,,,,,, ,1 321321 321 BBBAAAnm lll 于格点分别交直线 ∥∥，直线均为在图中，小方格的边长 的长度吗？ ：你能求出线段：问题 313221 313221 ,, ;,,1 BBBBBB AAAAAA 你有什么发现？ 的值，与与与：计算问题 31 32 31 32 31 21 31 21 32 21 32 21 ,,2 BB BB AA AA BB BB AA AA BB BB AA AA 将 向下平移到如图的位置，直线m,n与 的交点分别 为 ， ，问题2中的结论还成立吗？计算试一试.如果 将 平移到其他位置呢？ 2l 2l 2A 2B 2l a b c A B C D E F 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 DF EF AC BC DF DE AC AB EF DE BC AB cba  ,, ∥∥ 3 4 x 7 已知两条直线被三条平行线所截，截得的线段长度 如图，你能求出x的值吗? 解：由已知条件可得： 4 21 7 43   x x 如图4-8，直线a ∥b∥ c ，分别交直线m,n于 A1，A2，A3， B1，B2，B3 .过点A1作直线n的平行线，分别交直线b，c于 点C2，C3.图4-9中有哪些成比例线段？ 31 32 31 32 31 21 31 21 32 21 32 21 ,, CA CC AA AA CA CA AA AA CC CA AA AA  推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的 对应线段成比例. A B C D E ∵DE∥AB CE AE BD AD  AC AE AB AD  AC CE AB BD  下 上 全 上 全 下 例1 如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且 EF∥BC. （1）如果AE = 7, FC = 4 ，那么AF的长是多少？ （2）如果AB = 10, AE=6，AF = 5 ，那么FC的长是多少？ A B C E F 如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳子分成两 部分，使这两部分之比是2:3? 相似三角形的相关概念 l 三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫做相似三角形(similar trianglec). l 相似三角形的各对应角相等,各对应边成比例. l 相似比等于1的两个三角形全等. l注意： l要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上. l反之,写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！ l由于相似三角形与其位置无关,因此,能否弄清对应是 正确解答的前提和关键. 判定三角形相似的方法 l 判定两个三角形相似的方法: l 两角对应相等的两个三角形相似. l 三边对应成比例的两个三角形相似. • 类比三角形全等的判定方法: • 边角边(SAS)；角边角(ASA)；角角边(AAS)；边边 边(SSS)；斜边直角边(HL). • 你还能得出判定三角形相似的其他方法吗? 相似与全等类比—新化旧 由角边角(ASA)、角角边(AAS)可知,有两个角对应相等的两个三角形相似； 由边边边(SSS)可知:有三边对应成比例的两个三角形相似； 由边角边(SAS)可猜想: 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似； 由斜边直角边(HL)可猜想: 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 我们已经把前两个猜想变为现实,剩余的还有问题吗？ • 问题三: • 如果△ABC与△A′B′C′有一个角相等, 且两边对应成比例,那么它们一定相似吗? • (1)如果这个角是这两边的夹角,那么它 们一定相似吗? • 我们一起来动手: • 画△ABC与△A′B′C′使∠A=∠A′, • 设法比较∠B 与∠B′的大小,∠C 与∠C′的大小. • △ABC与△A′B′C′相似吗?说说 你的理由. • 改变k值的大小(如1∶3),再试一试. • 通过上面的活动,你猜出了什么结 论? ).2 3(如给定的值 都等于和 k CA AC BA AB  判定三角形相似的方法 • 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. • 如图,在△ ABC与△A′B′C′中,如果 那么△ ABC∽△A′B′C′. (两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似) C BA A ′ B ′ C′ ,CA AC BA AB  w这又是一个用来判定两个三角形相似的方法,但使用频 率不是很高,务必引起重视. 且∠A=∠A′, • 图中的△ABC∽△A′B′C′, 你还能用其他方法来说 明其正确性吗? 且∠A=∠A′=45o, ∴△ABC∽△A′B′C′ (两边对应成比例且夹角相等 的两个三角形相似) . C BA A ′ B ′ C′ 解法2: 如图,设小正 方形的边长为1,由勾 股定理可得: .2 CA AC BA AB ;22,8  ACAB ;2,4  CABA • 问题四:在Rt△ ABC与Rt△ A′B′C′中, ∠C= ∠C′=900,如果有一直角边和斜 边对应成比例,那么它们一定相似吗? • 我们一起来动手: • 画△ ABC与△ A′B′C′,使 • 设法比较∠B 与∠B′的 大小,∠A与∠A′的大小. • Rt△ ABC与Rt△ A′B′C′ 相似吗?说说你的理由. • 改变k值的大小(如 1∶ 3),再试一试. • 通过上面的活动,你猜 出了什么结论? ).2 3(如给定的值 都等于和 k BA AB CA AC  • 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似. • 如图,在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中,如果 那么△ABC∽△A′B′C′ (斜边直角边对应成比例的两 个直角三角形相似). C B AA′ B′C′ ,CA AC BA AB  w这是一个用来判定两个直角三角形相似的方法,务必 引起重视. • 我们重新来看问题三: • 如果△ABC与△DEF有一个 角相等,且两边对应成比例, 那么它们一定相似吗? • (2)如果这个角是这两边中 一条边的对角,那么它们一 定相似吗? • 小明和小颖分别画出了下 面的△ABC与△DEF: A B C 500 3.2cm 4cm 2cm D F E500 1.6cm • 通过上面的活动,你猜出 了什么结论? • 两边对应成比例,且其中 一边的对角对应相等的两 个三角形不一定相似. • 判定三角形相似的常用方法: • 两角对应相等的两个三角形相似. • 三边对应成比例的两个三角形相似. • 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似. • 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似. • 相似三角形的各对应角相等,各对应边成比例. • 相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比,对应周长的比都 等于相似比. • 如图: • 在△ ABC和△ DEF中 ，如果∠A=∠D, ∠B=∠E, 那么△ ABC∽ △DEF. A BC D EF 那么△ ABC∽ △DEF.,DF AC EF BC DE AB 如果 ,DF AC DE AB 如果 且∠A=∠D，那么△ ABC∽ △DEF. 通过本节课的学习,你有什么收获和体会？你 还有什么困惑？ ? 本 课 小 结 27.2.2 相似三角形的性质 一、新课引入 思考：三角形中各种各样的几何量，例如三条边的长度， 三个内角的大小，高、中线、角平分线的长度以及周长、 面积等，如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之 间又有什么关系呢？ 1 理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似 比，面积的比等于相似比的平方 能用三角形的性质解决简单的问题 2 3 二、学习目标 相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比 三、探究新知 知识点一 相似三角形的周长比 1、如图，△ABC∽△A′B′C′，探究下列问题: (1)△ABC与△A′B′C′的对应边有什么关系？ B' C' A' A B C kAC CA CB BC BA AB  (2)若 ,则 的比值是否等于 ,为什么？ 解:∵△ABC∽△A′B′C′,且相似比为 , ∴ ， ∴ ， ∴ kAC CA CB BC BA AB  CACBBA ACBCAB   k k kAC CA CB BC BA AB  ACk，CACBk，BCBAkAB  ACCBBA CABCAB   kACCBBA ACkCBkBAk   三、探究新知 归纳 相似三角形的周长的比等于______. 用类似的方法，还可以得出： 相似多边形的周长的比等于_______。 练一练 1、如果把一个三角形各边同时扩大为原来的5倍， 那么它的周长也扩大为原来的____倍。 相似比 相似比 5 三、探究新知 2、如图，点D、E分别是△ABC边AB、AC上的点， 且DE∥BC，BD＝2AD，那么△ADE的周长︰△ABC 的周长＝_______.1︰3 三、探究新知 知识点二 相似三角形对应高的比、面积的比 1、已知，如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC与 △A′B′C′的高. （1）相似三角形的对应高的比与 相似比有什么关系? 写出推导过程. 相等 三、探究新知 解:(1)∵△ABC∽△A′B′C′， ∴ ，∠B=∠ B′. 又∵AD⊥BC ， A′D′⊥B′C′， ∴∠ADB=∠ A′D′B′=90°， ∴△ABD∽△A′B′D′， ∴ . 结论: 相似三角形对应高的比等于_____. kAC CA CB BC BA AB  kBA AB DA AD  相似比 （2）相似三角形对应边上的中线， 对应角的平分线 的比值与相似比有什么关系？ 结论: 相似三角形对应边上的中线，对应角的平分 线的比等于______. (3)若 = ，则 的比值与 有什么 关系？ 结论: 相似三角形的面积的比等于___________. AC CA CB BC BA AB  k CBA ABC S S   k 相等 相似比 2k等于 相似比的平方 用类似的方法，可以把两个相似多边形分成若干对相 似三角形，因此可以得出：相似多边形的面积的比等 于___________. 2、如图，在ΔABC 和ΔDEF中，AB=2DE，AC=2DF， ∠A=∠D，ΔABC的周长是24，面积是12，求ΔDEF的 周长和面积. 相似比的平方 E F DA B C 解：∵AB=2DE，AC=2DF， ∴ . ∵∠A=∠D ， ∴ΔABC∽ΔDEF. 设ΔDEF的周长为x，面积为y. 又∵ΔABC的周长是24，面积是12， ∴ ， ， ∴ x=12，y=3， ∴ΔDEF的周长是12，面积是3. 2 DF AC DE AB 224  x 2212  y E F DA B C 1、两个相似三角形对应高的长分别是6cm和18cm， 若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小 三角形的周长为____cm，面积为____cm2. 2、在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB， 已知△ADE和△EFC的面积分别为4 和9，求△ABC的面积. A B C D E 14 3 4 F 解：∵DE∥BC，EF∥AB， ∴∠AED=∠C，∠A=∠CEF， ∴ △ADE∽△EFC . 而S△ADE=4，S△EFC=9， ∴ ， ， ∴ ， ∴S△ABC= . A B C D E F 9 42      EC AE 3 2 EC AE 5 2 AC AE 25 4 5 2 22          AC AE s s ABC ADE 2544 25  四、归纳小结 1、相似三角形周长、对应高、对应中线、 对应角平分线的比等于______. 2、相似三角形的面积的比等于 _ ________。 3、学习反思：____________________。 相似比 相似比的平方 五、强化训练 1、连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一 个小三角形与原三角形的周长比等于____，面积 比等于____. 2、如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么 它们的相似比为_______，周长的比为________. 2 1 4 1 53∶ 53∶ 3、在一张复印出来的纸上,一个多边形的一条边由 原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是多 少？这个多边形的面积发生了怎样的变化？ 解：∵比例是6∶2 = 3∶1，   ∴这次复印的放缩比例是300%. 又∵面积比是9∶1， ∴这个多边形的面积扩大到原来的9倍. 4、如图，在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2， 这两个三角形相似吗？如果相似， 求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比. 解：相似（△A1B1C1∽△A2B2C2 ） ∵ ， ∴ . (第 3 题) 22 4 22 11  CA CA 422 222 111    CBA CBA S S 教学目标 1.会应用相似三角形的性质和判定解决实际问题． 2.利用相似三角形解决实际问题中不能直接测量的物体的长度 的问题，让学生体会数学转化思想. 重点：运用相似三角形解决实际问题. 难点：在实际问题中建立数学模型. 27.2.3 相似三角形应用举例 新课引入 如图，A，B 两点分别位于一个池塘的两 端，小张想测量出A，B 间的距离，但由 于受条件限制无法直接测量，你能帮他想 出一个可行的测量办法吗？ 测量办法：在池塘外取一点C，使它可以直接看到A，B 两点，连接并延长AC，BC，在AC的延长线上取一点D， 在BC的延长线上取一点E，使 （k为正整 数）.测量出 DE的长度. A C B C= = kD C E C 然后根据相似三角形的有关知识求出A，B两点间的距离. C D E 如果 ，且测得DE的长为50 m，则A，B两 点间的距离为多少？ = 2A C B C= D C E C ∵ ，∠ACB =∠DCE， ∴ △ABC∽△DEC． ∴ ． ∵ DE = 50 m ， ∴ AB = 2DE = 100 m. = 2A B D E C D E = 2A C B C= D C E C 例题探究 O A B A′ B′ 在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛（O）、准星（A）、靶 心点（B）在同一条直线上.在射击时，李明由于有轻微 的抖动，致使准星A偏离到A′，如图.已知OA=0.2m， OB=50m，AA′=0.0005m，求李明射击到的点B′偏离靶心 点B的长度BB′（近似地认为AA′∥BB′）. 解：∵ AA′∥BB′， ∴ △OAA′∽△OBB′． ∴ ．'=O B ' O A A A B B ∵ OA=0.2m，OB=50m， AA′=0.000 5m， ∴ BB′=0.125m. 答：李明射击到的点 B′ 偏离靶心点 B 的长度BB′为 0.125m. 课堂练习 1. 如图，某路口栏杆的短臂长为1 m，长臂长为6 m. 当 短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高多少米？ A B O C D 2.如图，小红同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树 的高度AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水 平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直 角边DE= 80 cm， EF=40 cm，测得AC=1.5 m，CD=8 m， 求树高AB． 相似三角形的应用主要有两个方面： 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解. 1.测高（不能直接使用皮尺或刻度尺量的） 2.测距（不能直接测量的两点间的距离） 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同 一时刻物高与影长成比例”的原理解决. 第二十七章 相似 27.3 位似 教学目标 1.理解位似图形在坐标系中的作图方法及坐标规律. 2.能按要求作出简单的平面图形运动后的图形以及对应的坐 标变化. 重点： 位似图形在坐标系中的坐标规律. 难点： 位似图形的准确作图，动手实践能力的落实. 新课引入 下图是运用幻灯机（点Ｏ表示光源）把幻灯片上的一只小狗 放映到屏幕上的示意图，这两个图形之间有什么关系？ o 这两个图形的形状相同，但大小不同， 它们是 相似 图形. 分别在左、右两个小狗的头顶上取一点A,A′;再分 别在狗尾巴尖上取一点B,B′. o B′B A′ A 发现点 A,A′与点O在一条直线上.点B,B′与点O在一 条直线上. 分别量出线段OA，OA′, OB，OB′的长度，计算(精确 到0.1)： 6 .1 2 .22 .8  6.9 2.23.2  继续在左、右两只小狗上找出一些对应点，考 察每一对对应点是否都与点Ｏ在一条直线上； 计算每一对对应点与点O所连的线段比，看它 们是否与上述 ， 相等.'O A O A 'OB OB 一般地，取定一个点O，如果一个图形G上每一个点P对 应于另一个图形G′上的点P′，且满足： （1）直线PP′经过同一点O， （2） ，其中k 是非零常数，当k>0 时，点P′在射线 OP 上，当k