北师大版九年级数学下册第三章同步测试题及答案

北师大版九年级数学下册第三章同步测试题及答案 3.1 圆 一、选择题 1．如图，为了测量一棵与地面垂直的树 O 1．下列条件，能确定一个圆的是（ ） A．以已知点 O 为圆心 B．以 1 cm 长为半径 C．经过已知点 A，且半径为 2 cm D．以点 O 为圆心，1 cm 长为半径 2．有下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧；④弧是半圆；⑤长度相等的两条弧是等弧； ⑥一条弦把圆分成两条弧，这两条弧一定是等弧．其中正确的说法有（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 3．如图，在⊙O 中，弦的条数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 4．⊙O 的半径为 5，圆心 O 的坐标为（0，0），点 P 的坐标为（4，2），则点 P 与⊙O 的位置关系是（ ） A．点 P 在⊙O 内 B．点 P 在⊙O 上 C．点 P 在⊙O 外 D．点 P 在⊙O 上或⊙O 外 5．如图，AB，MN 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点 P 在AM ︵ 上，且不与 A，M 重合，过点 P 作 MN，AB 的垂线，垂足分别是 C，D．当点 P 在AM ︵ 上移动时，矩形 PCOD 的形状、大小随之变化，则 PC2+PD2 的值（ ） A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．不能确定 6．如图，P（x，y）是以坐标原点为圆心，5 为半径的圆上的点，若 x，y 都是整数，则这样的点共有（ ） A．4 个 B．8 个 C．12 个 D．16 个 二、填空题 7．如图，在⊙O 中，________是直径，_________是弦，劣弧有_______，优弧有________． 8．⊙O 的半径为 4 cm，若线段 OA 的长为 10 cm，则 OA 的中点 B 在⊙O 的________；若线段 OA 的长为 6 cm，则 OA 的中点 B 在⊙O 的________． 9．已知点 A 在半径为 r 的⊙O 内，点 A 与点 O 的距离为 6，则 r 的取值范围是________． 10．在一个平面内，一点和⊙O 上的点的最近距离为 4，最远距离为 9，则⊙O 的半径 是__________． 11．在矩形 ABCD 中，AB=4 cm，AD=3 cm，以点 A 为圆心作圆，若 B，C，D 三点中至少有一点在圆内且至 少有一点在圆外，则圆的半径 R 的取值范围是____________． 12．⊙O1 与⊙O2 的半径分别是 r1，r2，且 r1 和 r2 是关于 x 的方程 x2-ax+ =0 的两个根．若⊙O1 与⊙O2 是 等圆，则 a2 018 的值为________． 三、解答题 13．如图，有五个小朋友在一个圆周上做抢小红旗的游戏，把这面小红旗放在什么位置，才能使这个游戏 对五个小朋友公平？请说明理由． 14．如图，Rt△ABC 的直角边 BC=3 cm，AC=4 cm，斜边上的高为 CD．若以点 C 为圆心，分别以 r1=2 cm， r2=2.4 cm，r3=4 cm 为半径作圆，试判断点 D 与这三个圆的位置关系． 15．如图，BD，CE 是△ABC 的高．求证：E，B，C，D 四点在同一个圆上． 16．如图，一片草地上有两点 A，B，AB=6 m，在点 A 处拴了一头牛，拴牛绳长 5 m，在点 B 处拴了一只 羊，拴羊绳长 3 m，请画出牛和羊都可以吃到草的区域． 17．如图，CD 是⊙O 的直径，E 是⊙O 上一点，∠EOD=48°，A 为 DC 延长线上一点，且 AB=OC，求∠A 的度数． 18．如图，有两条公路 OM，ON 相交成 30°角，沿公路 OM 方向离两条公路的交叉处点 O 80 m 的 A 处有 一所希望小学，当拖拉机沿 ON 方向行驶时，路两旁 50 m 内会受到噪音影响，已知有两台相距 30 m 的拖 拉机正沿 ON 方向行驶，它们的速度均为 5 m/s，问：这两台拖拉机沿 ON 方向行驶时给小学带来噪音影响 的时间是多少？ 参考答案 一、1．D 2．A 3．C 4．A 5．C 6．C 二、7．AD；AD，AC；AC ︵，CD ︵；ADC ︵ ，CAD ︵ 8．外部；内部 9．r>6 10．2.5 或 6.5 11．3 cm0，∴x=2 ． 即⊙O 的半径为 2 ． 30．（1）证明：延长 AD 交⊙O 于点 M，连接 AB，BM． ∵BC 为⊙O 的直径，AD⊥BC 于点 D， ∴AB ︵ =BM ︵ ．∴∠BAD=∠BMD． 又∵AB ︵ =AP ︵，∴∠ABP=∠BMD， ∴∠BAD=∠ABP，∴AE=BE． （2）解：当PC ︵ =AB ︵时，AF=EF． 证明：∵PC ︵ =AB ︵，∴∠PBC=∠ACB． ∵∠AEF=∠BED=90°-∠PBC，∠EAF=90°-∠ACB， ∴∠AEF=∠EAF， ∴AF=EF． 3.5 确定圆的条件 一、选择题 1．下列命题不正确的是（ ） A．过一点有无数个圆 B．过两点有无数个圆 C．过三个点可以作一个圆 D．直径是圆中最长的弦 2．若 A，B，C 为平面上三点，AB=2，BC=3，AC=5，则（ ） A．可以画一个圆，使 A，B，C 都在圆周上 B．可以画一个圆，使 A，B 在圆周上，C 在圆内 C．可以画一个圆，使 A，C 在圆周上，B 在圆外 D．可以画一个圆，使 A，C 在圆周上，B 在圆内 3．若点 A，B 之间的距离为 2 cm，则经过 A，B 两点，半径为 2 cm 的圆能作（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．无数个 4．如图，点 A，B，C 在同一条直线上，点 D 在直线 AB 外，过这四点中的任意 3 个点，能画圆的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，AC，BE 是⊙O 的直径，弦 AD 与 BE 交于点 F，下列三角形的外心不是点 O 的 是（ ） A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE 6．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，则它的外心与顶点 C 的距离为（ ） A．5 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm 7．如图，在平面直角坐标系中，点 A，B，C 的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，-2），则△ABC 外 接圆的圆心坐标是（ ） A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1） 8．在△ABC 中，AB=AC，BC=6，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，且⊙O 的半径为 5，则 AB 的长为（ ） A． B．3 C． 或 3 D． 或 2 9．点 O 是△ABC 的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC 的度数为（ ） A．40° B．100° C．40°或 140° D．40°或 100° 二、填空题 10．如图，在△ABC 中，BC=3 cm，∠BAC=60°，那么△ABC 能被半径至少为________ cm 的圆形纸片所覆 盖． 11．已知线段 AB=6 cm． （1）画半径为 4 cm 的圆，使它经过 A，B 两点，这样的圆能画________个； （2）画半径为 3 cm 的圆，使它经过 A，B 两点，这样的圆能画________个； （3）画半径为 2 cm 的圆，使它经过 A，B 两点，这样的圆能画________个． 三、解答题 12．如图，在△ABC 中，BC=24 cm，外心 O 到 BC 的距离为 6 cm，求△ABC 外接圆的半径． 13．如图，在△ABC 中，BC=12 cm，AB=AC，∠BAC=120°． （1）作△ABC 的外接圆（只需作出图形，并保留作图痕迹）； （2）求△ABC 的外接圆的直径． 14．如图，小明家的房前有一块空地，空地上有三棵树 A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在 花坛的边上． （1）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若在△ABC 中，AB=8 米，AC=6 米，∠BAC=90°，试求小明家圆形花坛的面积． 15．如图，在△ABC 中，AB=AC，⊙O 是△ABC 的外接圆，AE⊥AB 交 BC 于点 D，交⊙O 于点 E，F 在 DA 的延长线上，且 AF=AD．若 AF=3，tan∠ABD = ，求⊙O 的直径． 16．【操作与探究】 我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件． （1）分别测量如图①②③中各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的 两个角之间有什么关系？ （2）如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图 ④⑤中的两个图说明其中的道理．（提示：考虑∠B+∠D 与 180°之间的关系） （3）由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件． 参考答案 一、1．C 2．D 3．B 4.C 5．B 6．A 7．D 8．C 9．C 二、10． 11．（1）2；（2）1；（3）0 三、12．解：过点 O 作 OD⊥BC 于点 D，连接 OB， 则 OD=6 cm，BD= BC=12（cm）． ∴OB= =6 （cm）． ∴△ABC 外接圆的半径为 6 cm． 13．解：（1）如图，分别作出 AB，BC 的垂直平分线． 根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”， 得 OA=OB=OC， ∴两条直线的交点 O 即为圆心． 以点 O 为圆心，OA 的长为半径所作的⊙O 即为△ABC 的外接圆． （2）连接 OC． ∵BC=12 cm，AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠CAO=60°，OC=OA，BM=MC=6 cm， ∴△OAC 是等边三角形， ∴OA=OC=AC，∴∠MOC=60°， ∴OC=4 cm． ∴△ABC 的外接圆的直径是 8 cm． 14．解：（1）略． （2）∵∠BAC=90°，AB=8 米，AC=6 米， ∴BC=10 米． ∵直角三角形的外心在斜边的中点处， ∴△ABC 外接圆的半径为 5 米， ∴小明家圆形花坛的面积为 25π 平方米． 15．解：如图，连接 BE． ∵AF=AD，AB⊥EF，∴BF=BD． ∵AB=AC，∴∠FBA=∠ABC=∠C=∠E． ∵tan∠ABD= ，∴tan E=tan∠FBA= ． 在 Rt△ABF 中，∠BAF=90°． ∵tan∠FBA= = ，AF=3，∴AB=4． ∵∠BAE=90°，∴BE 是⊙O 的直径． ∵tan E= ，∴设 AB=3x，AE=4x， ∴BE=5x． ∵AB=4，∴3x=4，解得 x= ，∴BE=5x= ． 即⊙O 的直径是 ． 16．解：（1）对角互补（对角之和等于 180°）． （2）没有．在图④中，∠B+∠D180°． （3）过四边形的四个顶点能作一个圆的条件对角互补（对角之和等于 180°）． 3.6 直线和圆的位置关系 一、选择题 1．已知⊙O 的半径为 5，圆心 O 到直线 l 的距离为 3，则反映直线 l 与⊙O 的位置关系的图形是（ ） 2．已知⊙O 的直径等于 12 cm，圆心 O 到直线 l 的距离为 5 cm，则直线 l 与⊙O 的交点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 3．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心，3 个单位长度为半径的圆，一定（ ） A．与 x 轴相切，与 y 轴相切 B．与 x 轴相切，与 y 轴相交 C．与 x 轴相交，与 y 轴相切 D．与 x 轴相交，与 y 轴相交 4．AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点 A，PO 交⊙O 于点 C，连接 BC，若∠P=40°，则∠B 等于（ ） A．20° B．25° C．30° D．40° 5．如图，两个同心圆的半径分别为 4 cm 和 5 cm，大圆的一条弦 AB 与小圆相切，则弦 AB 的长为（ ） A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm 6．如图，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 是切点，C 是劣弧 AB 上的一点．若∠P=40°，则∠ACB 的度数是 （ ） A．80° B．110° C．120° D．140° 7．已知⊙O 的半径为 5，直线 l 与⊙O 相交，点 O 到直线 l 的距离为 3，则⊙O 上到直线 l 的距离为 的 点共有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 8．如图，已知线段 OA 交⊙O 于点 B，且 OB=AB，P 是⊙O 上的一个动点，那么∠OAP 的最大值是（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 9．若点 O 是△ABC 的内心，∠A=50°，则∠BOC 的度数为（ ） A．100° B．115° C．130° D．125° 10．如图，在△ABC 中，若∠C=90°，BC=3，AC=4，则它的内切圆的半径是（ ） A． B．1 C．2 D． 11．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点 D，DE⊥AC 于点 E．要使 DE 是⊙O 的切线，还需补充一个条 件，则补充的条件不正确的是（ ） A．DE=DO B．AB=AC C．CD=DB D．AC∥OD 12．如图，I 是△ABC 的内心，AI 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点 D，连接 BI，BD，DC．下列说法错 误的一项是（ ） A．DB=DC B．DB=DI C．∠CAD=∠DAB D．ID=IB 二、填空题 13．如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=4，⊙O 是以 AB 为直径的圆，则直线 DC 与⊙O 的位置关系是________． 14．⊙O 的半径为 R，点 O 到直线 l 的距离为 d，R，d 是方程 x2-4x+m=0 的两根，当直线 l 与⊙O 相切时， m 的值为________． 15． 如图，若以平行四边形一边 AB 为直径的圆恰好与对边 CD 相切于点 D，则∠C=______°． 16．如图，∠APB=30°，⊙O 的圆心在 PB 上，且半径为 1 cm．已知 OP=3 cm，若⊙O 沿 BP 方向移动，当 ⊙O 与 PA 相切时，圆心 O 移动的距离为________cm． 17．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，则直线 y=x+ 与以点 O 为圆心，1 为半径的圆的位置关系为 ________． 18．如图，△ABC 的内切圆⊙I 和边 BC，CA，AB 分别相切于点 D，E，F．若∠FDE=70°，则∠A=________°． 三、解答题 19．如图，AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点 A，OP 与⊙O 相交于点 C，连接 CB，若∠OPA=40°，求 ∠ABC 的度数． 20．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，点 O 在 AB 上，经过点 A 的⊙O 与 BC 相切于点 D，交 AB 于点 E． （1）求证：AD 平分∠BAC． （2）若 CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 21．去年某企业将地处 A，B 两地的小厂合并成一个大厂，为了方便 A，B 两地职工的联系，企业准备在相 距 2 km 的 A，B 两地之间修筑一条笔直公路 （即图中的线段 AB），经测量，在 A 地的北偏东 60°方向， B 地的北偏西 45°方向的 C 处有一半径为 0.7 km 的公园，计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？ 22．如图，AD 是⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，OP⊥AD，OP 与 AB 的延长线交于点 P．点 C 在 OP 上，且 BC=PC． （1）求证：直线 BC 是⊙O 的切线． （2）若 OA=3，AB=2，求 BP 的长． 23．已知△ABC 内接于⊙O，过点 A 作直线 EF． （1）如图①，若 AB 为⊙O 的直径，要使 EF 是⊙O 的切线，还需要添加的一个条件是（要求写出两种情况）： ________或者________． （2）如图②，如果 AB 是不过圆心 O 的弦，且∠CAE=∠B，那么 EF 是⊙O 的切线吗？试证明你的判断． 参考答案 一、1．B 2．C 3．C 4．B 5．C 6．B 7．D 8．A 9．B 10．B 11．A 12．D 二、5．相离 6．4 7．45 8.125 16．1 17．相切 2．答案不唯一，如∠ABC=90° 3．3 8．40 三、19．解：∵AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点 A， ∴∠BAP=90°． ∵∠OPA=40°，∴∠AOP=180°-90°-40°=50°． ∵OB=OC，∴∠ABC=∠BCO． 又∵∠AOP=∠ABC+∠BCO， ∴∠ABC= ∠AOP= ×50°=25°． 20．（1）证明：如图，连接 DE，OD． ∵BC 与⊙O 相切于点 D，∴∠BDO=90°． ∵AC⊥BC，∴∠ACD=90°， ∴OD∥AC，∴∠ODA=∠CAD． ∵OD=OA，∴∠ODA=∠DAO， ∴∠DAO=∠CAD，∴AD 平分∠BAC． （2）解：∵在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC， ∴∠B=∠BAC=45°． ∵BC 与⊙O 相切于点 D，∴∠ODB=90°， ∴OD=BD，∴∠BOD=45°． 设 BD=x，则 OD=OA=x，OB= x， ∴BC=AC=x+1． ∵在 Rt△ABC 中，AC2+BC2=AB2， ∴（x+1）2+（x+1）2=（ x+x）2， 解得 x= （负值已舍），∴BD=OD= ． ∴图中阴影部分的面积为 S△BOD - S 扇形 DOE = × × - =1- ． 21．解：计划修筑的这条公路不会穿过公园．理由如下： 过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D． ∵∠CBA=45°，∴∠BCD=45°， ∴CD=BD． 设 CD=x km，则 BD=x km． ∵∠CAB=30°，∴AC=2x km， AD= = x（km）， ∴ x+x=2，解得 x= -1， 即 CD= -1≈0.73（km）>0.7 km， 也就是说，以 C 为圆心，0.7 km 为半径的圆与 AB 相离． ∴计划修筑的这条公路不会穿过公园． 22．（1）证明：如图，连接 OB． ∵OA=OB，∴∠A=∠OBA． 又∵BC=PC，∴∠P=∠CBP． ∵OP⊥AD，∴∠A+∠P=90°， ∴∠OBA+∠CBP=90°， ∴∠OBC=180°-（∠OBA+∠CBP）=90°． 又∵点 B 在⊙O 上，∴直线 BC 是⊙O 的切线． （2）解：如图，连接 DB． ∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD=90°， ∴Rt△ABD∽Rt△AOP， ∴ ，即 ，解得 AP=9． ∴BP=AP - AB=9-2=7． 23．解：（1）答案不唯一，如①∠BAE=90°，②∠EAC=∠ABC． 理由：①∵∠BAE=90°，∴AE⊥AB． 又∵AB 是⊙O 的直径，∴EF 是⊙O 的切线． ②∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°． ∵∠EAC=∠ABC， ∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=∠BAC+∠ABC=90°， 即 AE⊥AB． 又∵AB 是⊙O 的直径，∴EF 是⊙O 的切线． （2）EF 是⊙O 的切线． 证明：如图，作直径 AM，连接 CM， 则∠ACM=90°，∠M=∠B， ∴∠M+∠CAM=∠B+∠CAM=90°． ∵∠CAE=∠B，∴∠CAE+∠CAM=90°， 即 AE⊥AM． ∵AM 是⊙O 的直径，∴EF 是⊙O 的切线． 3.7 切线长定理 一、选择题 1．如图，四边形 ABCD 的四边分别与⊙O 相切，且 AB=16，CD=10，则四边形 ABCD 的周长为（ ） A．50 B．52 C．54 D．56 2．如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 外一点，CA，CD 是⊙O 的切线，A，D 为切点，连接 BD，AD．若∠ ACD=30°，则∠DBA 的度数是（ ） A．15° B．30° C．60° D．75° 3．如图，PA，PB 切⊙O 于 A，B 两点，CD 切⊙O 于点 F 且分别交 PA，PB 于点 C，D．若⊙O 的半径为 r， △PCD 的周长为 3r，连接 OA，OP，则 的值是（ ） A． B． C． D． 4．如图，正方形 ABCD 的边长为 4 cm，以正方形的一边 BC 为直径在正方形 ABCD 内作半圆，过点 A 作半 圆的切线，与半圆相切于点 F，与 DC 相交于点 E，则△ADE 的面积为（ ） A．12 cm2 B．24 cm2 C．8 cm2 D．6 cm2 二、填空题 5．如图，P 是⊙O 外一点，PA，PB 分别切⊙O 于点 A，B．已知⊙O 的半径为 1，OP=2，则切线长 PA=________， ∠APB=________°． 6．如图，△ABC 的周长为 16，∠A=60°，BC=6．若⊙O 与 BC，AC，AB 的三边分别切于点 E，F，D，则 DF 的长为________． 三、解答题 7．如图，PA，PB 是⊙O 的切线，CD 切⊙O 于点 E，△PCD 的周长为 12，∠APB=60°． 求：（1）PA 的长； （2）∠COD 的度数． 8．如图，直线 AB，BC，CD 分别与⊙O 相切于点 E，F，G，且 AB∥CD，OB=6 cm，OC= 8 cm．求： （1）∠BOC 的度数； （2）BE+CG 的长； （3）⊙O 的半径． 参考答案 一、1．B 2．D 3．D 4．D 二、5． ；6 6．2 三、7．解：（1）∵CA，CE 都是⊙O 的切线， ∴CA=CE． 同理可知，DE=DB，PA=PB． ∴△PCD 的周长为 PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD=PA+PB=2PA=12， ∴PA=6． （2）∵∠P=60°，∴∠PCE+∠PDE=120°， ∴∠ACD+∠CDB=360°-120°=240°． ∵CA，CE 是⊙O 的切线， ∴∠OCE=∠OCA= ∠ACD． 同理可知，∠ODE= ∠CDB． ∴∠OCE+∠ODE= （∠ACD+∠CDB）=120°． ∴∠COD=180°-120°=60°． 8．解：（1）如图，连接 OF． 根据切线长定理，得 BE=BF，CF=CG， ∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG． ∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°， ∴∠OBF+∠OCF=90°，∴∠BOC=90°． （2）由（1）知，∠BOC=90°． ∵OB=6 cm，OC=8 cm， ∴由勾股定理，得 BC= =10（cm）． ∴BE+CG=BC=10 cm． （3）由（1）知，OF⊥BC，OB⊥OC， ∴OF= =4.8（cm）． 即⊙O 的半径为 4.8 cm． 3.8 圆内接正多边形 一、选择题 1．若正六边形的边心距是 ，则它的边长是（ ） A．1 B．2 C．2 D．3 2．下列正多边形的中心角等于内角的是（ ） A．正六边形 B．正五边形 C．正方形 D．正三角形 3．如图，⊙O 是正五边形 ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为 a，半径为 R，边心距为 r，则下列关 系式错误的是（ ） A．R2-r2=a2 B．a=2Rsin 36° C．a=2rtan 36° D．r=Rcos 36° 4．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ） A．互余 B．互补 C．互余或互补 D．不能确定 5．利用等分圆可以作正多边形，下列只利用直尺和圆规不能作出的正多边形是（ ） A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正七边形 6．以半径为 2 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是 （ ） A． B． C． D． 二、填空题 7．若一个圆的半径为 5 cm，则它的内接正六边形的边长为________． 8．如图，从一个半径为 10 cm 的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长 为________． 9．如果圆的半径为 a，它的内接正方形的边长为 b，该正方形的内切圆的内接正方形的边长为 c，那么 a， b，c 之间的数量关系为______________． 三、解答题 10．用尺规作图（不要求写作法和证明，但要保留作图痕迹）． （1）如图①，已知正五边形 ABCDE，求作它的中心 O； （2）如图②，已知⊙O，求作⊙O 的内接正八边形． ① ② 11．如图①②③④，M，N 分别是⊙O 的内接正三角形 ABC，正方形 ABCD，正五边形 ABCDE，…，正 n 边 形 ABCDEFG…的边 AB，BC 上的点，且 BM=CN，连接 OM，ON． （1）求图①中∠MON 的度数； （2）图②中，∠MON 的度数是________，图③中∠MON 的度数是________； （3）试探究∠MON 的度数与正 n 边形的边数 n 的关系（直接写出答案）． 参考答案 一、1．B 2．C 3．A 4．B 5．D 6．A 二、7．5 cm 8．10 cm 9．a=c= b 三、10．解：（1）如图①，点 O 即为所求． （2）如图②，八边形 ABCDEFGH 即为所求． ① ② 11．解：（1）（方法一）如图①，连接 OB，OC． ∵正三角形 ABC 内接于⊙O， ∴∠OBM=∠OCN=30°，∠BOC=120°． 又∵BM=CN，OB=OC， ∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM=∠CON， ∴∠MON=∠BOC=120°． （方法二）如图②，连接 OA，OB． ∵正三角形 ABC 内接于⊙O， ∴AB=BC，∠OAM=∠OBN=30°，∠AOB=120°． ∵BM=CN，∴AM=BN． 又∵OA=OB，∴△AOM≌△BON， ∴∠AOM=∠BON， ∴∠MON=∠AOB=120°． （2）90°；72°． （3）∠MON= ． ① ② 3.9 弧长及扇形的面积 一、选择题 1．若扇形的半径为 6，圆心角为 120°，则此扇形的弧长是（ ） A．3π B．4π C．5π D．6π 2．若一个扇形的圆心角为 60°，它的弧长为 2π cm，则这个扇形的半径为（ ） A．6 cm B．12 cm C．2 cm D． cm 3．如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．若正 三角形的边长为 1，则凸轮的周长为（ ） A． B． C．π D．2π 4．如图，某数学兴趣小组将边长为 3 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略 铁丝的粗细），则所得扇形 BAD 的面积为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB 和 AC 的夹角为 120°，AB 长为 25 cm，贴纸部分的宽 BD 为 15 cm.若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ） A．175π cm2 B．350π cm2 C． cm2 D．150π cm2 6． 如图，半圆的直径 BC 恰与等腰直角三角形 ABC 的一条直角边完全重合，若 BC=4，则图中阴影部分的 面积是（ ） A．2+π B．2+2π C．4+π D．2+4π 7．如图，⊙O 的半径为 3，四边形 ABCD 内接于⊙O，连接 OB，OD，若∠BOD=∠BCD，则弧 BD 的长为（ ） A．π B． C．2π D．3π 二、填空题 8．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，以点 A 为圆心、AC 的长为半径画弧，交 AB 边于点 D， 则弧 CD 的长为________．（结果保留π） 9．如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 3 的圆，则劣弧 AB 的长为________． 10．如图，正三角形 ABC 的边长为 4，D，E，F 分别为 BC，CA，AB 的中点，以 A，B，C 三点为圆心，2 为半径作圆，则图中阴影部分的面积为__________． 11．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2 ，以点 C 为圆心，CB 的长为半径画弧，与 AB 边交于点 D， 将BD ︵绕点 D 旋转 180°后点 B 与点 A 恰好重合，则图中阴影部分的面积为___________． 12．如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为 8 cm 的⊙O，AB ︵ =90°，弓形 ACB（阴影部分）部分粘 贴胶皮，则胶皮的面积为________． 13．如图，一块等边三角形的木板 ABC，边长为 1．现将木板沿水平线向右做无滑动的翻滚，那么点 B 从 开始至结束（点 B 翻滚至点 B2）所走过的路径长度为________． 三、解答题 14．如图，AB 是半圆的直径，AB=2R，C，D 为半圆的三等分点，求阴影部分的面积． 15．如图，△ABC 内接于⊙O，OH⊥AC 于点 H，过点 A 的切线与 OC 的延长线交于点 D，∠B=30°，OH=2 ．求： （1）∠AOC 的度数； （2）线段 AD 的长（结果保留根号）； （3）图中阴影部分的面积． 16．如图，在矩形 ABCD 中，AB=2DA，以点 A 为圆心，AB 长为半径的圆弧交 DC 于点 E，交 AD 的延长线 于点 F，且 DA=2．求： （1）线段 EC 的长； （2）图中阴影部分的面积． 17．如图，等腰直角三角形 ABC 的直角边长为 4，以 A 为圆心，直角边 AB 为半径作弧 BC1，交斜边 AC 于 点 C1，C1B1⊥AB 于点 B1，设弧 BC1，C1B1，B1B 围成的阴影部分的面积为 S1，然后以 A 为圆心，AB1 为半径 作弧 B1C2，交斜边 AC 于点 C2，C2B2⊥AB 于点 B2，设弧 B1C2，C2B2，B2B1 围成的阴影部分的面积为 S2，按 此规律继续作下去，求得到的阴影部分的面积 S3． 参考答案 一、1．B 2．A 3．C 4．D 5．B 6．A 7．C 二、8． 9．π 10．4 -2π 11．2 - 12．（48π+32）cm2 13． 三、14．解：连接 OC，OD，CD． ∵AC ︵ =BD ︵，∴∠CDA=∠DAB， ∴CD∥AB，∴S△ACD =S△OCD，∴S 阴影=S 扇形 COD． 又∵∠COD= ∠AOB=60°， ∴S 阴影=S 扇形 COD = = πR2． 15．解：（1）∵∠B=30°，∴∠AOC=2∠B=60°． （2）∵∠AOC=60°，AO=CO， ∴△AOC 是等边三角形． ∵OH=2 ，∴AO=4． ∵AD 与⊙O 相切，∴∠OAD=90°，∠D=30°， ∴AD=4 ． （3）∵S 扇形 OAC = = ，S△AOD = ×4×4 =8 ， ∴S 阴影 =8 - ． 16．解：（1）∵在矩形 ABCD 中，AB=2DA， ∴AE=DC=2DA，且∠ADE=90°． 又∵DA=2，∴AE=AB=4， ∴DE= = =2 ， ∴EC=DC -DE=4-2 ． （2）由 DA=2，DE=2 ， 得 tan∠DAE= = ，∴∠DAE=60°． ∴S 阴影 = S 扇形 EAF -S△ADE = - ×2×2 = -2 ． 17．解：根据题意，得 AC1=AB=4，所以 AC2=AB1=2 ， 所以 AC3=AB2=2，所以 AB3= ． 所以阴影部分的面积 S3= － × × = -1．