北师大版九年级数学下册第一章同步测试题及答案

北师大版九年级数学下册第一章同步测试题及答案 1.1 锐角三角函数 一、 选择题 1. 如图，在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠A=90°，AB=8，CD=4，DA=3，则 sin B 的值 是（ ） A． B． C． D． 2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么 cos A 的值等于（ ） A． B． C． D． 3. 在正方形网格中，∠AOB 如图放置，则 sin∠AOB=（ ） A． B． C． D．2 4. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则 sin A 的值为（ ） A． B． C． D． 5. 如图，已知一商场自动扶梯的长 l 为 13 米，高度 h 为 5 米，自动扶梯与地面所成的夹角为 θ，则 tan θ 的 值等于（ ） A． B． C． D． 6．在 Rt△ABC 中，将各边都扩大为原来的 4 倍，则锐角 A 的正切值（ ） A．扩大为原来的 4 倍 B．不变 C．缩小为原来的1 4 D．以上 都不对 二、填空题 7. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是 1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，则 sin A= ． 8. 若等腰三角形的面积为 24，底边长为 4，则底角的正切值为 ． 9. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°， a ： b =2：1，则 tan A=________，cos A=________， sin B=______． 10．某人沿着有一定坡度的坡面前进了 130 米，此时他沿水平方向前进了 120 米，则这个坡面的坡度为 ________． 11．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，tan A= ，BC=6 cm，则△ABC 的面积为________cm2. 三、解答题 12．如图，方方和圆圆分别将两根木棒 AB，CD 斜靠在墙上，其中 AB=10 cm，CD=6 cm，BE=6 cm，DE=2 cm. 你能判断谁的木棒更陡吗？请说明理由． 13．如图，在△ABC 中，AD 是边 BC 上的高，E 为边 AC 的中点，BC=14，AD=12，sin B= .求： （1）线段 DC 的长； （2）tan∠EDC 的值． 14．如图，矩形 ABCD 的周长为 30 cm，两条邻边 AB 与 BC 的长度之比为 2：3. 求： （1）AC 的长； （2）∠α 的正弦、余弦和正切． 15．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5. （1）求 sin2A+ cos2A 的值. （2）比较 sin A 和 cos B 的大小. （3）想一想，对于任意直角三角形中的锐角，是否都有与上述两问题相似的结果？若有，请说明理由． 参考答案 一、1.A 2.D 3.B 4.D 5.A 6. B 二、7. 5 3 8. 6 9. 2； 5 5 ； 5 5 10. 12 5 11. 24 三、12．解：圆圆的木棒 CD 更陡．理由如下： 在 Rt△ABE 中，AE= = =8（cm）， ∴tan∠ABE= = = . 在 Rt△CDE 中，CE= = =4 （cm）， ∴tan∠CDE= = =2 . ∵tan∠CDE>tan∠ABE， ∴圆圆的木棒 CD 更陡． 13．解：（1）在 Rt△ABD 中，∵AD=12，sin B= ， 即 = ，∴AB= =15. 由勾股定理，得 BD= = =9， ∴DC=BC - BD=14-9=5. （2）在 Rt△ACD 中，∵DE 是斜边 AC 上的中线， ∴DE= AC=EC， ∴∠EDC=∠C， ∴tan∠EDC=tan C= = . 14．解：（1）∵AB+BC=15 cm，AB：BC=2：3， ∴AB=6 cm，BC=9 cm， ∴AC= =3 （cm）. （2）在 Rt△ABC 中，sin α= ， cos α= ，tan α= . 15．解：∵∠C=90°，AC=12，BC=5， ∴AB= = =13. ∴sin A= = ，cos A= = ，cos B= = . （1）∵sin2A=（ ）2= ，cos2A=（ ）2= ， ∴sin2A+cos2A= + =1. （2）sin A=cos B. （3）由这个特例的解答过程可猜想，对于任意直角三角形中的锐角，都有与上述两问题相似的结果，即 对任意直角三角形中的锐角 A，有 sin2A+cos2A=1. 在 Rt△ABC 中，若∠C 为直角，则 sin A=cos B. 理由如 下： 设在任意 Rt△ABC 中，∠C=90°，sin2A=（ ）2，cos2A=（ ）2， ∴sin2A+cos2A=（ ）2+（ ）2= = =1. ∵sin A= ，cos B= ， ∴sin A=cos B. 1.2 30 °，45 °，60 °角的三角函数值 一、选择题 1．sin 60°的值为（ ） A. B. C. D. 2．若∠A=30°，则下列判断正确的是（ ） A．sin A= B．cos A= C．tan A= D．cot A= 3．计算 sin2 45°+cos 30°×tan 60°的结果是（ ） A．2 B．1 C. D. 4．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若∠B=2∠A，则 tan A 等于（ ） A. B. C. D. 5．若∠α 为锐角，且 tan（α-10°）= ，则∠α 等于（ ） A．50° B．60° C．70° D．80° 6．如图，小明爬一土坡，他从 A 处到 B 处所走的直线距离 AB=4 m，此时，他距离地面的高度 h=2 m，则 这个土坡的坡角∠A 的度数为（ ） A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 7．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中 AB，CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线， ∠ABC=150°，BC 的长是 8 m，则乘电梯从点 B 到点 C 上升的高度 h 是（ ） A. m B．4 m C．4 m D．8 m 8．如图，长 4 m 的楼梯 AB 的倾斜角∠ABD 为 60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其 倾斜角∠ACD 为 45°，则调整后的楼梯 AC 的长为（ ） A．2 m B．2 m C．（2 -2）m D．（2 -2）m 9．如图，要测量点 B 到河岸 AD 的距离，在点 A 测得∠BAD=30°，在点 C 测得∠BCD=60°，又测得 AC=100 m， 则点 B 到河岸 AD 的距离为（ ） A．100 m B．50 m C. m D．50 m 二、填空题 10．在△ABC 中，∠A，∠B 都是锐角，如果 sin A= ，cos B= ，那么∠C=________°． 11．若 α 是锐角，tan α=2cos 30°，则 α=________°. 12．如图，测量河宽 AB（假设河的两岸平行），在点 C 测得∠ACB=30°，在点 D 测得∠ADB=60°，若 CD=100 m，则河宽 AB 为________m（结果保留根号）． 13．在△ABC 中，若锐角∠A，∠B 满足关系式 +（sin B- ）2=0，则∠C=________°. 14．如图，在△ABC 中，∠A=30°，tan B= ，BC= ，则 AB 的长为________． 三、解答题 15．计算：（1） （2cos 45°-sin 60°）+ ； （2） -tan 45°+ tan 30°； （3）cos2 45°+ - ×tan 30°； （4） +3tan 30°-（ -5）0 -（- ）-1. 16．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：在一副三角板中，含 45°角的三角板的斜边与含 30°角的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板的直角顶点重合拼放 在一起，点 B，C，E 在同一直线上，若 BC=2，求 AF 的长． 请你运用所学的数学知识解决这个问题． 17．如图，在△ABC 中，∠C=150°，AC=4，tan B= . （1）求 BC 的长； （2）利用此图形求 tan 15° 的值（精确到 0.1，参考数据： ≈1.4， ≈1.7， ≈2.2）． 18．对于钝角∠α，定义它的三角函数值如下：sin α=sin（180°-α），cos α=-cos（180°-α）． （1）求 sin 120°，cos 120°，sin 150°的值； （2）若一个三角形的三个内角的度数之比是 1：1：4，A，B 是这个三角形的两个顶点， sin A，cos B 是方程 4x2-mx-1=0 的两个不相等的实数根，求 m 的值及∠A 和∠B 的度数． 参考答案 一、1．C 2．A 3．A 4．B 5．C 6．A 7．B 8．B 9．B 二、10．105 11．60 12．50 13．75 14．3+ 三、15．解：（1） 原式= ×（2× - ）+ =2- + =2． （2）原式= -1+ × =1-1+1=1． （3）原式=（ ）2+ - × = + -1= ． （4）原式= -1+3× -1+3= -1+ -1+3=2 +1． 16．解：∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°， ∴AC= =2 ，∴EF=AC=2 ． ∵∠ECF=90°，∠E=45°， ∴FC=EF·sin E= ， ∴AF=AC - FC=2 - ． ∴AF 的长为 2 - ． 17．解：（1）如图，过点 A 作 AD⊥BC，交 BC 的延长线于点 D． ∵∠ACB=150°，∴∠ACD=30°. 在 Rt△ADC 中，AC=4， ∴AD= AC=2，CD=AC·cos 30°=4× =2 ． 在 Rt△ABD 中，∵tan B= = = ， ∴BD=16． ∴BC=BD - CD=16-2 ． （2）如图，在 BC 边上取一点 M，使 CM=AC，连接 AM． ∵∠ACB=150°，∴∠AMC=∠MAC=15°． ∴tan 15°=tan∠AMD = = ≈0.3． 18．解：（1）由题意，得 sin 120°=sin（180° -120°）=sin 60°= ， cos 120°= -cos（180° -120°）= -cos 60°= - ， sin 150°=sin（180° -150°）=sin 30°= ． （2）∵三角形的三个内角的度数之比是 1：1：4， ∴三个内角分别为 30°，30°，120°． ①当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根分别为 ，- ． 将 x= 代入方程，得 4×（ ）2 - m-1=0，解得 m=0． 经检验，x=- 是方程 4x2-1=0 的根，∴m=0 符合题意． ②当∠A=120°，∠B=30°时，两根均为 ，不符合题意． ③当∠A=30°，∠B=30°时，两根分别为1 2 ， . 将 x= 代入方程，得 4×（ ）2 - m -1=0，解得 m=0． 经检验，x= 不是方程 4x2-1=0 的根． 综上所述，m=0，∠A=30°，∠B=120°． 1.3 三角函数的计算 一、选择题 1．用计算器求 cos 9°，以下按键顺序正确的是（ ） A. cos 9 ＝ B. 9 cos ＝ C. cos 9 0 ＝ D. 9 0 cos ＝ 2．为了方便行人推车过某天桥，市政府在 10 m 高的天桥一侧修建了 40 m 长的斜道（如图），我们可以 借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（ ） A. 2ndF sin 0 · 2 5 ＝ B. sin 2ndF 0 · 2 5 ＝ C. sin 0 · 2 5 ＝ D. 2ndF cos 0 · 2 5 ＝ 3．用计算器求 tan 26°，cos 27°，sin 28°的值，它们的大小关系是（ ） A．tan 26°