北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系

第一章 直角三角形的边角关系 1 锐角三角函数 A B 1 2 小明在 A 处仰望塔顶，测得∠ 1 的大小，再往塔的方向前进 50 m到 B 处，又测得∠ 2 的大小，根据这些他就求出了塔的高度.你知道他是怎么做的吗？ 如图，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ ? 2m 2m 6m 5m A B C D E F 直角三角形的边与角的关系 ( 1 ) Rt△ AB 1 C 1 和 Rt△ AB 2 C 2 有什么关系? 如果改变 B 2 在梯子上的位置(如 B 3 C 3 )呢? 由此你得出什么结论? A B 1 C 2 C 1 B 2 C 3 B 3 直角三角形中边与角的关系：锐角三角函数--正切函数 . 在直角三角形中，若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值，则这个角的值也随之确定. A B C ∠ A 的对边 ∠ A 的邻边 ┌ tan A = 在 Rt△ ABC 中,锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正切,记作 tan A ,即 如图，梯子 AB 1 的倾斜程度与 tan A 有关吗?与∠ A 有关吗? 与 tan A 有关：tan A 的值越大，梯子 AB 1 越陡. 与∠ A 有关：∠ A 越大，梯子 AB 1 越陡. A B 1 C 2 C 1 B 2 例1 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡? 解：甲梯中， β 6m ┐ 乙 8m α 5m ┌ 甲 13m 乙梯中， ∵ tan β > tan α ， ∴乙梯更陡. 老师提示： 生活中，常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度. 如图，正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进 100 m 就升高 60 m， 那么山坡的坡度 i (即 tan α ） 就是： 老师提示： 坡面与水平面的夹角( α )称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度 i (或坡比)，即坡度等于坡角的正切. 100m 60m ┌ α i 1 .如图，△ ABC 是等腰直角三角形，你能根据图中所给的数据求出 tan C 吗？ 2 .如图，某人从山脚下的点 A 走了 200 m 后到达山顶的点 B .已知山顶 B 到山脚下的垂直距离是 55 m， 求山坡的坡度(结果精确到 0.001 m ). ┍ 1.5 ┌ A B C D A B C ┌ 4 .如图，在 Rt△ ABC 中，若将锐角 A 的对边和邻边同时扩大 100 倍，则 tan A 的值（ ） A. 扩大 100 倍 B. 缩小 100 倍 C. 不变 D. 不能确定 5 .已知∠ A ，∠ B 为锐角 . ( 1 )若∠ A =∠ B ， 则 tan A tan B ； ( 2 )若 tan A = tan B ， 则∠ A ∠ B . A B C ┌ 6. 如图，∠ C =90°， CD ⊥ AB . 7. 在上图 中，若 BD = 6 ， CD = 12 ，求 tan A 的值. 老师提示： 模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得. ┍ ┌ A C B D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . tan = = = B 8 .如图，分别根据图( 1 )和图( 2 )求 tan A 的 值. 9 .在 Rt△ ABC 中，∠ C = 90 ° . ( 1 ) AC = 3， AB = 6， 求 tan A 和 tan B ； ( 2 ) BC = 3，tan A = ，求 AC 和 AB . 老师提示： 求锐角三角函数时，勾股定理的运用是很重要的. ┌ A C B 3 4 ┌ A C B 3 4 ( 1 ) ( 2 ) 10 .在 Rt△ ABC 中，∠ C = 90 °， AB = 15，tan A = ，求 AC 和 BC . 11.如图，在等腰三角形 ABC 中， AB = AC = 13， BC = 10， 求 tan B . 老师提示： 过点 A 作 AD 垂直于 BC 于点 D . 求锐角三角函数时，勾股定理的运用是很重要的. A C B ┌ D 12 . 在 Rt △ ABC 中，∠ C = 90 °. ( 1 ) AC = 25 ， AB = 27 ，求 tan A 和 tan B ； ( 2 ) BC = 3，tan A = 0.6 ，求 AC 和 AB ； ( 3 ) AC = 4 ， tan A = 0.8 ，求 BC . 13 .如图，在梯形 ABCD 中， AD // BC ， AB = DC = 13， AD = 8 ， BC = 18 .求 tan B . 老师提示： 作梯形的高是梯形的常用辅助，借助它可以转化为直角三角形. A C B D F ┌ E ┌ 小结 拓展 1 . tan A 是在直角三角形中定义的，∠ A 是一个锐角（注意数形结合，构造直角三角形）. 2 . tan A 是一个完整的符号，表示∠ A 的正切，习惯省去“∠”. 定义 中应该注意的几个问题: 3. tan A 是一个比值（直角边之比，注意比的顺序，且 tan A ﹥0，无单位. 4. tan A 的大小只与∠ A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 5. 若角相等，则正切值相等； 若 两锐角的正切值相等，则这两个锐角相等. 回顾，反思 , 深化 正切的定义: A B C ∠ A 的对边 ∠ A 的邻边 ┌ 在 Rt△ ABC 中，锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正切，记作 tan A ，即 tan A = 锐角三角函数描述了直角三角形中边与角的关系，它是一个变量之间重要的函数关系，既新奇，又富有魅力，你可要与它建立好感情噢！ 第一章 直角三角形的边角关系 1 锐角三角函数 （第 2 课时） 如图，当 Rt△ ABC 中的一个锐角 A 确定时，它的对边与邻边的比便随之确定. 此时，其他边之间的比值也确定吗? 结论： 在 Rt△ ABC 中，如果锐角 A 确定时，那么∠ A 的对边与斜边的比，邻边与斜边的比也随之确定. A B C ∠ A 的对边 ∠ A 的邻边 ┌ 斜边 正弦与余弦 在 Rt△ ABC 中，锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的 正弦 ，记作 sin A ， 即 在 Rt△ ABC 中，锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的 余弦 ，记作 cos A ， 即 锐角 A 的正弦、余弦和正切都是∠ A 的 三角函数 . A B C ∠ A 的对边 ∠ A 的邻边 ┌ 斜边 sin A = . cos A = . 结论：梯子的倾斜程度与 sin A 和 cos A 有关， sin A 越大，梯子越陡；cos A 越小，梯子越陡. 如图，梯子的倾斜程度与 sin A 和cos A 有关吗? 例 如图，在 Rt△ ABC 中，∠ B = 90°， AC = 200，sin A = 0.6，求 BC 的长. 例题 欣赏 老师期望： 请你求出 cos A ，tan A ，sin C， cos C 和 tan C 的值. 200 A C B ┌ 解：在 Rt△ ABC 中， 做一做 10 ┐ A B C 如图，在 Rt△ AB C 中，∠ C = 90°， AC = 10， 求 AB ，sin B . 老师期望： 注意到这里 cos A = sin B ，其中有没有什么内在的关系? 1. 如图，在等腰三角形 ABC 中， AB = AC = 5， BC = 6. 求 sin B ，cos B ，tan B . 老师提示：过点 A 作 AD 垂直于 BC 于点 D . 5 5 6 A B C ┌ D 2. 在 Rt△ ABC 中，∠ C = 90°， BC = 20， sin A = ， 求 △ ABC 的周长. 3. 如图，在 Rt△ ABC 中，若将锐角 A 的对边和邻边同时扩大 100 倍，则 sin A 的值（ ） A. 扩大 100 倍 B. 缩小 100 倍 C. 不变 D. 不能确定 4. 已知∠ A ，∠ B 为锐角 . (1)若∠ A = ∠ B ，则 sin A sin B ； (2)若 sin A = sin B ，则∠ A ∠ B . A B C ┌ 5. 如图，∠ C = 90°， CD ⊥ AB . 6. 在上图中，若 BD = 6， CD = 12. 求 cos A 的值. 老师提示： 模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得. ┍ ┌ A C B D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7. 如图，分别根据图(1)和图(2)求∠ A 的三个三角函数值. 8. 在 Rt△ ABC 中，∠ C = 90° . (1) AC = 3， AB = 6，求 sin A 和 cos B ； (2) BC = 3，sin A = ，求 AC 和 AB . 老师提示： 求锐角三角函数时，勾股定理的运用是很重要的. ┌ A C B 3 4 ┌ A C B 3 4 ( 1 ) ( 2 ) 10. 在 Rt△ ABC 中，∠ C = 90°， AB = 15，sin A = ， 求 AC 和 BC . 11. 如图，在等腰三角形 ABC 中， AB = AC = 13， BC = 10，求 sin B ，cos B . 老师提示： 过点 A 作 AD 垂直于 BC ，垂足为 D . 求锐角三角函数时，勾股定理的运用是很重要的. A C B ┌ D 12. 在 Rt△ ABC 中，∠ C = 90°. (1) AC = 25， AB = 27，求 sin A ，cos A ，tan A 和 sin B ，cos B ，tan B ； (2) BC = 3，sin A = 0.6，求 AC 和 AB ； (3) AC = 4，cos A = 0.8，求 BC . 13. 如图，在梯形 ABCD 中， AD // BC ， AB = DC = 13， AD = 8， BC = 18. 求 sin B ， cos B ， tan B . 老师提示： 作梯形的高是梯形的常用辅助线，借助它可以转化为直角三角形. A C B D F ┌ E ┌ 定义 中应该注意的几个问题: 小结 拓展 1. sin A ，cos A ，tan A 是在直角三角形中定义的，∠ A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形). 2. sin A ，cos A ，tan A 是一个完整的符号，习惯省去“∠” . 3. sin A ，cos A ，tan A 是一个比值. 注意比的顺序，且 sin A ，cos A ，tan A 均大于 0，无单位. 4. sin A ，cos A ，tan A 的大小只与∠ A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 5. 若角相等，则其三角函数值相等； 若 两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等. 第一章 直角三角形的边角关系 2 30 °， 45 °， 60 °角的三角函数值 锐角三角函数的定义 情景导入 在直角三角形中，若一个锐角确定，则这个角的对边，邻 边和斜边之间的比值也随之确定. sin A 和 cos B 有什么关系? b A B C a ┌ c sin A= cos B 用心想一想 如图，观察一副三角板，它们其中有几个锐角?分别是多少度? ( 1 ) sin 30 °等于多少? ( 2 ) cos 30 °等于多少? ( 3 ) tan 30 °等于多少? 请与同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的? 用心做一做 讲授新课 1 . 60 °角的三角函数值分别是多少？你是怎样得到的？ 2 . 45 °角的三角函数值分别是多少？你是怎样得到的？ 老师期望： 你能对伴随九个学年的这副三角尺所具有的功能来进行重新认识和评价吗？ 特殊角的三角函数值表 要能记住有多好 三角函数 锐角 α sin α cos α tan α 30 ° 45 ° 60 ° 这张表还可以看出许多知识之间的内在联系? 3. 完成下表： 例 1 计算：（ 1 ） sin 30 °+ cos 45 °； （ 2 ） sin 2 60° + cos 2 60° - tan 45° . 例题欣赏 解： （ 1 ） sin 30 °+ cos 45 ° （ 2 ） sin 2 60° + cos 2 60° - tan 45° 例 2 如图，一个小孩荡秋千 ， 秋千链子的长度为 2.5 m ， 当秋千向两边摆动时 ， 摆角恰好为 60 ° ， 且两边摆动的角度相同 ， 求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差 （ 结果精确到 0.01 m ） . 解: 如图(2)，根据题意可知， ∴ 最高位置与最低位置的高度差约为 0.34 m. ∴ AC = 2.5 - 2.165≈0.34 （ m ） . 随堂练习 1 . 计算： （ 1 ） tan 45 °- sin 30 °； （ 2 ） cos 60 °+ sin 45 °- tan 30 °； （ 3 ） 6 tan 2 45 °- sin 60 °- 2 cos 45 ° . 2 . 某商场有一自动扶梯，其倾斜角为 30 °，高为 7 m， 扶梯的长度是多少? 3. 如图 ， 河岸 AD ， BC 互相平行 ， 桥 AB 垂 直 于两直岸 . 桥长 12 m ， 在 C 处看桥两端 A ， B ， 夹角∠ BCA = 60 ° . 求 B ， C 之 间的距离 （ 结果精确到 1 m ） . B C A ┐ 第一章 直角三角形的边角关系 3 三角函数的计算 如图，当登山缆车的吊箱经过 点 A 到达 点 B 时，它走过了 200 m .已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为 ∠ α = 16 °，那么缆车垂直上升的距离是多少？ 情景导入 如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C = 90 °， BC = AB · sin 16 °. 你知道 sin 16 °等于多少吗? 我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值. 怎样用科学计算器求锐角的三角函数值呢? 请与同伴交流你是怎么做的? 用科学计算器求锐角的三角函数值，要用到三个键： 例如，求 sin 16 °， cos72°38′25″ 和 tan 85 °的按键顺序如下： sin cos tan 按键的顺序 显示结果 sin 16 0 cos 72 0 38 ′ 25″ tan 85° 。，，， 2 5 。，，， = 3 8 7 2 。，，， cos tan 8 5 = sin 1 6 = 由于计算器的型号与功能的不同，按相应的说明书使用. 0.275 637 355 0.2983699067 11.430 052 3 对于本节一开始提出的问题，利用科学计算器可以求得： BC = AB · sin 16 ° ≈ 200 × 0.275 6 ≈ 55.12 （ m ）. 讲授正课 当缆车继续从点 B 到达点 D 时，它又走过了200 m. 缆车由点 B 到 点 D 的行驶路线与水平面的夹角为∠ β = 42 0， 由此你不能计算什么? 老师提示： 用计算器求三角函数值时，结果一般有 10 个数位. 本书约定，如无特别声明，计算结果一般精确到万分位. 如图，为了方便行人，市政府在 10 m 高的天桥两端修建了 40 m 长的斜道.这条斜道的倾斜角是多少? 用心想一想 请与同伴交流你是怎么做的? 要解决这个问题，我们可以借助科学计算器. 那么∠ A 是多少度呢? 解： 如图，在 Rt△ ABC 中， 已知三角函数值求角度，要用到 键的第二功能 . 由于计算器的型号与功能的不同,按相应的说明书使用. sin cos tan 按键的顺序 显示结果 sin A = 0.981 6 cos B = 0.860 7 tan C = 56.78 SHFT Sin 0 . sin -1 0.981 6 =78.991 840 39 SHFT 0 . tan -1 156.78= 88.991 020 49 9 8 sin -1 cos -1 tan -1 SHFT 8 1 6 = 6 0 7 = 用心想一想 1 cos = 8 . 7 5 6 SHFT tan co s -1 10.860 7 =30.604 730 07 老师提示： 上表的显示结果是以度为单位的，再按什么键即可显示以“度,分,秒”为单位的结果. 随堂练习 怎么解？ 1 .根据下列条件求∠ θ 的大小： ( 1 ) tan θ = 2.988 8 ；( 2 ) sin θ = 0.395 7 ； ( 3 ) cos θ = 0.785 0 ；( 4 ) tan θ = 0.897 2 . 2. 用计算器求下列各式的值： (1) sin 56°； (2) sin 15 ° 49 ′ ； (3) cos 20 ° ； (4) tan 29 ° ； (5) tan 44 ° 59′59″； (6) sin 15 ° + cos 61 ° + tan 76 ° . 怎样解答？ 3. 如图，根据图中已知的数据， 求△ ABC 其余各边的长，各角 的度数和△ ABC 的面积. A B C 45 ° 30 ° 4cm 4. 求图中避雷针的长度（结果精确到 0.01m）. 5 . 如图，根据图中已知的数据，求△ ABC 其余各边的长，各角的度数和△ ABC 的面积. A B C 45 0 30 0 4 cm D ┌ 6. 一个人由山底爬到山顶，需先爬 40° 的山坡 300 m，再爬 3 0° 的山坡 100 m，求山高（结果精确到 0. 1 m）. 7. 如图，根据图中已知的数据，求△ ABC 其余各边的长，各角的度数和 △ ABC 的面积. 8 . 如图，根据图中已知的数据，求 AD . A B C 55 ° 25 ° 20 D ┌ A B C 55 ° 25 ° 20 9 . 如图，根据图中已知的数据，求△ ABC 其余各边的长，各角的度数和 △ ABC 的面积. 10. 如图，根据图中已知的数据，求 AD . A B C β α a D ┌ A B C α β a 直角三角形中的边角关系 1. 填表（一式多变，适当选用）: b A B C a ┌ c 已知两边求角及其三角函数 已知一边一角求另一边 已知一边一角求另一边 小结与拓展 A B C β α a D ┌ 2. 模型： 1. 用计算器求下列各式的值： (1) tan 32°； (2) sin 24.53 ° ； (3) sin 62 ° 11′； (4) tan 39 ° 39′39″. 布置作业 2. 如图，物华大厦离小伟家 60 m ，小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部的仰角是 45°，而大厦底部的俯角是37 ° ，求该大厦的的高度 （结果精确到 0.1 m）. 老师提示： 当从低处观察高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观察低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角. 3. 一辆汽车沿着一山坡行驶了 1 000 m，其铅直高度上升了 50 m. 求山坡与水平面所成的锐角的大小. ? 咋办 老师期望: 你具有成功的把握. 第一章 直角三角形的边角关系 4 解直角三角函数 知识回顾 一个直角三角形有几个元素？它们之间有何关系？ 有三条边和三个角，其中有一个角为直角： （ 1 ） 三边之间的关系： （ 3 ） 边角之间的关系：锐角三角函数 （ 2 ） 锐角之间的关系：∠ A + ∠ B = 90 º； 情景导入 用心做一做 例 1 在 Rt△ ABC 中，∠ C = 90 °，∠ A ， ∠ B ， ∠ C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 且 a = ， b = ， 求这个三角形的其他元素. ? 解： 在 Rt △ABC 中， 讲授正课 由直角三角形中已知的元素， 求出所有未知元素的过程， 叫做解直角三角形 . 在 Rt△ ABC 中，如果已知另一边和一个锐角，你能求出这个三角形的其他元素吗？ 例 2 在 Rt△ ABC 中，∠ C = 90 °，∠ A ， ∠ B ， ∠ C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 且 b = 30 ，∠ B = 25 °，求这个三角形的其他元素.（边长精确到 1 ） 解： 在 Rt△ ABC 中， ∠ C = 90 °，∠ B = 25 °， 则 ∠ A = 65 °. 在直角三角形的 6 个元素中，直角是已知元素， 如果再知道一条边和第三个元素，那么这个三 角形的所有元素就都可以确定下来. （ 1 ）已知 a = 4， b = 8 ； （ 2 ）已知 b = 10， ∠ B = 60 °； （ 3 ）已知 c = 20 °，∠ A = 60 °. 1.在 Rt △ ABC 中，∠ C = 90 °，∠ A ，∠ B ，∠ C 所对的边分别为 a ， b ， c ，根据下列条件求出直角三角形的其他元素（角度精确到 1 °） . 随堂练习 ? 2 .如图，工件上有一 V 型槽，测得它的上口宽 20 mm ，深 19.2 mm .求V型角（∠ ACB ） 的大小 （ 结果精确到 1 ° ） . 例 3 如图，在 Rt△ ABC 中，∠ B = 35 °， b = 20 ，解这个直角三角形（精确到 0.1） . A B C a b c 20 35° 解：∠ A = 90 ° - ∠ B = 90 ° - 35 ° = 55 ° . 例 4 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角 α 一般 要满足 50 ° ≤ α ≤ 75 °. 如果现有一个长 6 m 的梯子，那么 （ 1 ）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙？（精确到 0.1m） （ 2 ）当梯子底端距离墙面 2.4 m 时，梯子与地面所成的锐角 α 等于多少 （精确到 1 °） ？这时人是否能够安全使用这个梯子？ 解：问题（1）可以归结为：在 Rt△ ABC 中，已知∠ A = 75 °，斜边 AB = 6 ，求 ∠ A 的对边 BC 的长． 因此，使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是 5.8 m . 所以 BC ≈ 6 × 0.97 ≈ 5.8 . 由计算器计算，得 sin 75 ° ≈ 0.97 ， 由 ，得 A B C α 对于问题（ 2 ），当梯子底端距离墙面 2.4 m 时，求梯子与地面所成的角 α 的问题，可以归结为：在 Rt△ ABC 中，已知 AC = 2.4 ，斜边 AB = 6 ，求锐角 α 的度数. 解：由题意知， . 利用计算器计算，得 α ≈ 66 ° . 因此，当梯子底墙距离墙面 2.4m 时，梯子与地面所成的角大约是 66 °. 由55 ° < 66 ° < 75 °可知，这时使用这个梯子是安全的． 怎样做？ 3 . 在 Rt△ ABC 中，∠ C = 90 °，∠ A ， ∠ B ， ∠ C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 根据下列条件求出直角三角形的其他元素. 第一章 直角三角形的边角关系 5 三角函数的应用 《盘点 1833 年以来重大海难》 2015 年 6 月 1 日约 21 时 2 8 分，一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”号在长江中游沉没.出事船舶载客 458 人，其中内宾 406 人、旅行社随行工作人员 5 人、船员 47 人.仅 14 人生还. 历史上的海难事件非常多，最著名的海难事件应属 1912 年的泰坦尼克号沉没，但实际上，遇难人数远超泰坦尼克号的遇难船只并不罕见. 在这一统计所含的 75 起海难中，遇难人数超过 1 000 人 的共有 18 起. 随着时间的推移，因袭击所致的海难逐渐减少. 但 21 世纪以来，海难仍时有发生，如 2014 年韩国“岁月号”客轮， 2008 年菲律宾“群星公主号”客轮， 2006 年埃及客轮“萨拉姆 98 号”， 2002 年 的塞内加尔“乔拉号”等船只遇难都造成了巨大的人员伤亡. 如图，海中有一个小岛 A ，该岛四周 10 n mile 内有暗礁. 今有货轮由西向东航行，开始在 A 岛南偏西 55 °的 B 处，往东行驶 20 n mile 后到达该岛的南偏西 25 °的 C 处. 之后，货轮继续往东航行. 利用方向角解决实际问题 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是怎样想的？与同伴进行交流. 解：如图，过点 A 作 BC 的垂线，交 BC 的延长线于点 D . 在 Rt △ABD 中,易知 tan 55 °= ， ∴ BD = AD · tan 55 °. 在 Rt△ ACD 中,易知 tan 25 °= ， ∴ CD = AD · tan 25 °. 设 AD = x ，则 BD = x tan 55 °， CD = x tan 25 °. ∵ BC = BD - CD ， ∴ x tan 55 °- x tan 25 °= 20 ， 解得 ∵ 20.79 > 10 ， ∴货轮没有触礁的危险. 利用仰角和俯角解决实际问题 如图，小明想测量塔 CD 的高度. 他在 A 处仰望塔顶，测得仰角为 30 °，再往塔的方向前进 50 m 至 B 处，测得仰角为 60 °，那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到 1 m ） 1 . 在这个图中，仰角为 30 °、仰角为 60 °分别指哪两个角？ 2. 此题的示意图和“船触礁”问题的示意图一样吗？它们有什么共同点？ 解：在 Rt△ ACD 中， tan 30 °= ， 即 . 在 Rt△ BCD 中， tan 60 °= ， 即 BC = . 由 AB = AC - BC = 50 ， 得 解得 CD ≈ 43 . 即塔 CD 的高度约为 43 m . 利用倾斜角解决实际问题 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由 40 °减至 35 ° . 已知原楼梯长为 4 m ，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？（结果精确到 0.01 m） 解：如图，在 Rt△ ABC 中， sin 40° = . ∵ AC = 4 m， ∴ AB = 4sin 40°（ m ）， 原楼梯占地长 BC = 4cos 40° （m） . 调整后，在 Rt△ ADB 中， sin 35 °= ， 则 AD = （ m） ， 楼梯占地长 DB = （ m） ， ∴调整后楼梯加长为 AD - AC = - 4 ≈0. 48 （ m） . 楼梯比原来多占地面为 DC = DB - BC = - 4cos 40 ° ≈0.61 （ m） . [知识拓展]   设∠ C = α ，∠ ADB = β ， CD = a . 形如“双直角三角形”的图形的解题规律： 1 . 非特殊角的组合（ α 和 β 组合）： AB = a . 2 . 特殊角的组合 （ α 和 β 组合 ）： （ 1 ）30 °与 60 °组合： AB = ； （ 2 ） 30 °与 45 °组合： AB = ； （ 3 ） 45 °与 60 °组合： AB = . 检测反馈 1.渔船在 A 处看到灯塔 C 在北偏东 60 °方向上，渔船向正东方向航行了 12 n mile 到达 B 处，在 B 处看到灯塔 C 在正北方向上，这时渔船与灯塔 C 的距离是（ ） A. 6 n mile B. 8 n mile C. 2 n mile D. 4 n mile D 解析：由题意，得∠ BAC = 90 °- 60 °= 30 ° . 在直角三角形 ABC 中， BC = AB · tan 30 °= 12 × = 4 （ n mile） .故选 D . 解析：∵在直角三角形 ADB 中，∠ D = 30°，∴ BD = . ∵在直角三角形 ABC 中，∠ ACB = 60°，∴ BC = . ∵ CD = 20，∴ CD = BD - BC = AB - AB = 20，解得 AB = 10 . 故选 A . 3. 长为 4 m 的梯子搭在墙上与地面成 45°角，作业时调整为 60°角（如图），则梯子的顶端沿墙面升高了      m.  解析：由题意知，调整前梯高为 4×sin 45° = 4× （m）， 调整后梯高为 4 × sin 60° = 4× （m），∴梯子升高了2 （ ） m. 4. 如图，在小山的东侧 点 A 处有一个热气球，由于受西风的影响，以 30 m/min 的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25 min 后到达 点 C 处，此时热气球上的人测得小山西侧 点 B 的俯角为 30°，则小山东西两侧 A ， B 两点间的距离为      m.  解析：过点 A 作 AD ⊥ BC ，垂足为 D . 在 Rt△ ACD 中，∠ ACD = 75° - 30° = 45°， AC = 30×25 = 750（m），∴ AD = AC · sin 45° = 375 （m） . 在 Rt△ ABD 中，易知∠ B = 30°，∴ AB = 2 AD = 750 （m） . 5. 小亮一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛 P 处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）. 小船从 P 处出发，沿北偏东 60°方向划行 200 m 到 A 处，接着向正南方向划行一段时间到 B 处. 在 B 处小亮观测到妈妈所在的 P 处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多远 （ 精确到 1 m ） ? （ 参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75， ≈1.41， ≈ 1.73 ） 解：如图，过点 P 作 PC ⊥ AB 于点 C . 在 Rt△ APC 中， AP = 200 m， ∠ ACP = 90°，∠ PAC = 60°， ∴ PC = 200×sin 60° = 200× = 100 （ m ）. ∵在 Rt△ PBC 中，sin 37° = ， ∴ PB = ≈288 （m） . 答：小亮与妈妈相距约 288 m. 第一章 直角三角形的边角关系 6 利用三角函数测高 一、如何测量倾斜角 测量倾斜角可以用测倾器 . ----简单的侧倾器由度盘、铅锤和支杆组成 . 使用测倾器测量倾斜角的步骤如下： 1 . 把支架竖直插入地面，使支架的中心线、铅垂线和度盘的 0 °刻度线重合，这时度盘的顶线 PQ 在水平位置 . 2 . 转动转盘，使度盘的直径对准目标 M ，记下此时铅垂线所指的度数 . 1 . 在测点 A 安置测倾器，测得 M 的仰角∠ MCE = α ； 2 . 量出测点 A 到物体底部 N 的水平距离 AN = l ； 3 . 量出测倾器的高度 AC = a ，可求出 MN 的高度 . MN = ME + EN = l · tan α + a . 测量底部可以直接到达的物体的高度： 如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗．经测量，得到大门的高度是 5 m，大门距主楼的距离是 30 m，在大门处测得主楼顶部的仰角是 30°，而当时侧倾器离地面 1.4 m，求学校主楼的高度.（精确到 0.01 m） M 生活应用 1 解：如图，作 EM 垂直 CD 于 点 M . 根据题意可知， EB = 1.4 m，∠ DEM = 30°， BC = EM = 30 m， CM = BE = 1.4 m. 在 Rt△ DEM 中， DM = EM · tan30°≈ 30×0.577 = 17.32（m）， CD = DM+CM = 17.32+1.4 = 18.72 （m） . 测量底部不可以直接到达的物体的高度： 1 . 在测点 A 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠ MCE = α ； 2 . 在测点 A 与物体之间的 B 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠ MDE = β ； 3 . 量出测倾器的高度 AC = BD = a ，以及测点 A ， B 之间的距离 AB = b . 根据测量数据，可求出物体 MN 的高度. 生活应用 2 课题 在平面上测量地王大厦的高 AB 测量示意图 测得数据 测量项目 ∠ α ∠ β CD 的长 第一次 30° 16 ′ 44° 35′ 60.11 m 第二次 29° 44 ′ 45° 25 ′ 59.89 m 平均值 下表是小亮所填实习报告的部分内容： 1. 请根据小亮测得的数据，填写表中的空格；2. 通过计算知，地王大厦的高为（已知测倾器的高 CE = DF = 1 m）______m （精确到 1 m）. 1. 30°， 45°， 60 m. 2. 在 Rt△ AEG 中， EG = AG /tan 30° = 1.732 AG . 在 Rt△ AFG 中， FG = AG /tan 45° = AG . 因为 EG - FG = CD ， 所以 1.732 AG - AG = 60， 解得 AG = 60÷0.732≈81.96， 所以 AB = AG +1≈83. 课内拓展应用 大楼 AD 的高为 100 米，远处有一塔 BC ，某人在楼底 A 处测得塔顶 B 处的仰角为 60°，爬到楼顶 D 测得塔顶 点 B 的仰角为 30°，求塔 BC 的高度. A C B D （ 1 ） 侧倾器的使用 . （ 2 ） 误差的解决办法---用平均值 . 总 结 （3）到目前为止，你有 哪 些测量物体高度的方法？ 测量底部可以到达的 物体的高度，如下图 . 测量底部不可以直接达 的物体的高度，如下图. 作业 1 .分组制作简单的测倾器. 2 .选择一个底部可以到达的物体，测量它的高度并撰写一份活动报告，阐明活动课题、测量示意图、测得数据和计算过程等. 3 .选择一个底部不可以到达的物体，测量它的高度并撰写一份活动报告，阐明活动课题、测量示意图、测得数据和计算过程等.