北师大版九年数学下册第三章圆课件

第三章 圆 1 圆 一石激起千层浪 奥运五环 乐在其中 小憩片刻 祥子 创设情境，引入新课 观察车轮，你发现了什么 ？ o• 同圆内，半径有无数条，长度都相等. 变式思考 （1）圆上各点到定点 （圆心）的距离都 等于 . （2）到定点的距离等于定长的点都在 . 定长（半径 r） 同一个圆上 圆心为 O，半径为 r 的圆可以看成 是所有到定点 O 的距离等于定长 r的点 组成的图形. 新知识识记 确定一个圆的要素： 一是圆心，圆心确定其位置； 二是半径，半径确定其大小． 同步练习 1.填空： （1）根据圆的定义，“圆”指的是“ ”， 而不是“圆面”. （2）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件， 圆心决定圆的 ，半径决定圆的 ， 二者缺一不可. 圆周 位置 大小 议一议 如图，一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一 ”字排开. 问题：这样的队形对每一人都公平吗？你认为他 们应当排成什么样的队形？ 为了使投圈游戏公平，现在有一条 3 米长的绳 子，你准备怎么办？ 观察 A，B，C，D，E 这 5 个点与⊙O 的位置关系？ ● O ● ● ● ● ● E D C B A 如图是一个圆形耙的示意图，O 为圆心，小明向上 投了5 个飞镖，它们分别落到了A，B，C，D，E 点. 想一想 由图可以看出， 点 在⊙O 内； 点 在⊙O 上； 点 在⊙O 外. 你能根据点 P 到圆心 O 的距离 d 与⊙O 的半径 r 的大小关系，确定点 P与 ⊙O 的位置关系吗？ ● O ● ● ● ● ● E D C B A 新知识识记：点与圆的位置关系 新知识总结 点与圆的位置关系有三种： 点在圆外，点在圆上，点在圆内. 点在圆外，即这个点到圆心的距离 半径； 点在圆上，即这个点到圆心的距离 半径； 点在圆内，即这个点到圆心的距离 半径. 大于 等于 小于 做一做 已知⊙O 的面积为 9π，判断点 P 与 ⊙O 的位置关系． （1）若 PO=4.5，则点 P 在 ； （2）若 PO=2，则点 P 在 ； （3）若 PO= ，则点 P 在圆上． 圆外 圆内 3 议一议 老师现在站住教室中央.我要 A 同学与我的距离为 3 m，那么他应当站在哪里呢？是一个固定的位置 吗？请同学们通过画图来说明. ．老师 ．  ． 我现在与 A 同学的距离为 3 m，画图说明下列问题： （1）若现在要求 Ｂ 同学与 A 同学距离等于 2 m ，则他应站在哪儿？ （2）若现在要求 Ｃ 同学与老师的距离等于 2 m， 则他又应站在哪儿？ 老师 Ａ （3）现在要求 Ｂ 同学和 A 与我的距离都等 于 2 m，则他又应站在哪儿？有几个位置？ （4）现在要求 Ｂ 和 A 与我的距离都小于 2 m，则他又应站在哪儿？有几个位置呢？ ．  ．老师 Ａ 第三章 圆 2 圆的对称性 基础回顾 1. 什么是轴对称图形？我们以前学过哪些轴对称图形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够 互相重合，那么这个图形叫轴对称图形.例如，线段、 角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形. 2.我们所学的圆是不是轴对称图形呢？ . 圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你 能找到多少条对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的? 圆是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心是什么？ 你能找到多少个对称中心？ 你又是用什么方法解决这个问题的? 圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的 直线，它有无数条对称轴. ●O 利用折叠的方法即可解决上述问题. 圆也是中心对称图形. 它的对称中 心就是圆心. 用旋转的方法即可解决这个问题. 这是圆特有的一个性质：圆的旋转不变性. 圆的对称性及特性 圆心角：顶点在圆心的角. 弦心距：过圆心作弦的垂线，圆心与垂足之间 的距离. 如图，在 ⊙O 中，分别作相等的圆心角 ∠AOB 和 ∠A′OB′，将其中的一个旋转一个角度，使 OA 和 O′A′ 重合. 你能发现哪些等量关系? 说一说你的理由. 如图，如果在两个等圆 ⊙O 和 ⊙O′ 中，分别作相等 的圆心角和∠AOB 和∠A′OB′，固定圆心，将其中一 个旋转一个角度，使 OA 和 O′A′ 重合. 你又能发现哪些等量关系?说一说你的理由. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定 理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦 心距相等. 由条件： ①∠AOB=∠A′O′B′ ②AB=A′B′ ⌒ ⌒ ③AB=A′B′ ④ OD=O′D′ 在同圆或等圆中，如果交换下列条件： ① 两个圆心角； ② 两条弧； ③ 两条弦； ④ 两条弦心距. 你能得出什么结论？与同伴交流你的想法和理由. 用心想一想 如由条件： ②AB=A′B′ ⌒ ⌒ ①∠AOB=∠A′O′B′ ③AB=A′B′ ④ OD=O′D′ 在同圆或等圆中，如果 ①两个圆心角； ②两条弧； ③两条弦； ④两条弦心距中，有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量都分别相等. 如由条件： ①∠AOB=∠A′O′B′ ④ OD=O′D′ ③AB=A′B′ ②AB=A′B′ ⌒ ⌒ 1. 已知 A，B 是 ⊙O 上的两点，∠AOB=120°，C 是 的 中点，试确定四边形 OACB 的形状，并说明理由. 2. 利用一个圆及若干条弦分别设计出符合下列条件的图案： （1）是轴对称图形，但不是中心对称图形； （2）既是轴对称图形，又是中心对称图形. 3. 日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称性有关，试 举几例. ⌒AB 第三章 圆 3 垂径定理 问题：左图中 AB 为圆 O 的直径， CD为圆 O 的弦，相交于点 E，当 弦 CD 在圆上运动的过程中有没 有特殊情况？ 直径 AB 和弦 CD 互相垂直. 特殊情况 在 ⊙O 中，AB 为弦，CD 为直径， AB⊥CD. 提问：你在圆中还能找到哪些相 等的量？请证明你猜得的结论. CE=DE 证明结论 已知：在 ⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD⊥AB， 垂足为 E. 求证：AE=BE，AC=BC，AD=BD.⌒ ⌒ ⌒ ⌒ C .O A E B D 证明：连接 OA，OB，则 OA=OB. 因为垂直于弦 AB 的直径 CD 所在的直线既是等腰三角 形 OAB 的对称轴，又是 ⊙O 的对称轴， 所以当把圆沿着直径 CD 折叠时，CD 两侧的两个半圆 重合，点 A 与点 B 重合，AE 与 BE 重合，AC，AD 分 别与 BC，BD 重合. 因此，AE=BE，AC=BC，AD=BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 垂径定理 1. 文字语言 垂直于圆的直径平分圆，并且平分 圆所对的两条弧. 2. 符号语言 总结 3. 图形语言 2. 请画图说明垂径定理的条件和结论. 1. 判断下列图形是否是表示垂径定理的图形. 是 不是 是 条件 结论 （1）过圆心； （2）垂直于弦｝｛（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 分 析 CD为直径， CD⊥AB ｝｛点 C 平分弧 ACB 点 D 平分弧 ADB CD 平分弦 AB 例 1 如图，已知在 ⊙O 中，弦 AB 的长为 8 cm， 圆心 O 到 AB 的距离为 3 cm，求 ⊙O 的半径. . A E B O 例题 解：连接 OA，过点 O 作 OE⊥AB，垂足为 E， 则 OE=3 cm，AE=BE. ∵AB=8 cm，∴AE=4 cm. 在 Rt△AOE 中，根据勾股定理， 得 OA=5 cm. ∴⊙O 的半径为 5 cm. 例 2 已知：如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点. 求证：AC=BD. E . A C D B O ┐ 证明：过点 O 作 OE⊥AB，垂足为 E， 则 AE=BE，CE=DE， 所以AE-CE=BE-DE， 即 AC=BD. 例 3 已知：⊙O 中弦 AB∥CD. 求证：AC=BD. . M C D A B O N ⌒⌒ 证明：作直径 MN⊥AB. ∵AB∥CD，∴MN⊥CD. ∴AM=BM，CM=DM（垂直平分弦的直 径平分弦所对的弧）， ∴ AM-CM=BM-DM， 即 AC=BD. ⌒⌒ ⌒⌒ ⌒⌒ ⌒⌒ ⌒⌒ 第三章 圆 4 圆周角和圆心角的关系 1. 圆心角的定义：顶点在圆心的角 叫圆心角. 2. 在同圆或等圆中，如果两个圆心 角、两条弧、两条弦中有一组量相 等，那么它们所对应的其余各组量 都分别相等. .O B C 忆一忆 若圆心角的顶点位置发生改变，可能出现哪些情形？ · · · · · 想一想 在射门游戏中，球员射中球门的难易与它所处的位置 B 对球门 AC 的张角（∠ABC）有关. 思考：图中的∠ABC 的顶点各在圆的什么位置？ ∠ABC 的两边和圆是什么关系？ A B C D E B A C A B C D E ●O 观察图中的∠ABC，它的顶点在圆上，它的两边分别 与圆另有一个交点. 像这样的角，叫做圆周角. ● 注意：（1）顶点在圆上；（2）角的两边分别和圆相交. ● ● 1. 判断下列各图形中的角是不是圆周角. 不是 不是 是 不是 不是 做一做 如图，当球员在 B，D，E 处射门时，它所处的位置对球 门 AC 分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC，这三个 角的大小有什么关系？ 在同圆或等圆中，相等的弧所 对的圆心角相等. 那么在同圆 或等圆中，相等的弧所对的圆 周角有什么关系? A B C D E 类比圆心角探知圆周角 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等. 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角有什么关系 ？ A B C ●O E F 我们先来研究一条弧所对的圆周角和圆心角的关系. 圆周角和圆心角的关 系 如图，观察圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC，它们的大 小有什么关系？说说你的想法，并与同伴交流. 教师提示：注意圆心与圆周角的位置关系. ●O A B C ●O A B C ●O A B C 在 ⊙O 中，观察圆周角∠ABC 与圆心角 ∠AOC，它们的大小有什么关系? 议一议 你能写出这个命题吗? 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ①考虑一种特殊情况，即∠ABC 的一边 BC 过圆心 O. ∵ ∠AOC 是 △ABO 的外角， ∴ ∠AOC = ∠ABO+ ∠BAO. ∵OA= OB，∴ ∠ABO = ∠BAO， ∴ ∠AOC = 2 ∠ABO，即∠ABC= ∠AOC. 试一试 ②当圆心（O）在圆周角（∠ABC）的内部时，圆周角 ∠ABC 与圆心角 ∠AOC 的大小关系会怎样? 提示：能否转化为 ① 的情况呢? 解：过点 B 作直径 BD. 由①可知，∠ABD = ∠AOD， ∠CBD = ∠COD， ∴ ∠ABC = ∠AOC. ●O A B C D 你能写出这个命题吗? 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ③当圆心（O）在圆周角（∠ABC）的外部时，圆周角 ∠ABC 与圆心角 ∠AOC 的大小关系会怎样? 提示：能否转化为 ① 的情况呢? 解：过点 B 作直径 BD. 由①可知，∠ABD = ∠AOD， ∠CBD = ∠COD， ∴ ∠ABC = ∠AOC. 你能写出这个命题吗? 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 圆周角定理 同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半， 即∠ABC = ∠AOC. ●O A B C ●O A B C ●O A B C 1. 如图，在 ⊙O 中，∠BAC=50°，求 ∠C 的大小. 做一做 2. 如图，在 ⊙O 中，∠B，∠D，∠E 的大 小有什么关系？为什么？ 第三章 圆 4 圆周角和圆心角的关系 （第2课时） 什么是圆周角？ 圆周角的定义： 顶点在圆上，并且 两边都和圆相交的角叫圆周角. 特征： ① 角的顶点在圆上； ② 角的两边都与圆相交. ●O B A C D E 温故知新 圆周角定理 同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半， 即∠ABC = ∠AOC. 老师提示：圆周角定理是承上启下的知识点，要予以重视. 问题 1：如图，在 ⊙O 中，∠B，∠D，∠E 的大小 有什么关系？为什么？ ∠B = ∠D = ∠E ●O B A C D E 问题讨论 问题 2：如图，在 ⊙O 中，若弧 AB 等于弧 EF . 能否 得到 ∠C =∠G 呢？ ∠C =∠G 问题 3：如图，BC 是 ⊙O 的直径，A 是 ⊙O 上任 一点，你能确定∠BAC 的度数吗? ∠BAC=90º 问题 4：如图，圆周角 ∠BAC=90º，弦 BC 经过圆 心 O 吗？为什么？ ● O B C A 问题解答 1. 圆周角定理的推论 1： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. 用于找相 等的弧 2. 圆周角定理的推论 2： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径. 用于找相 等的角 用于判断某条 线是否过圆心 例 1 如图，在 △ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的圆交 BC 于点 D，交 AC 于 点 E. 求证：⌒ ⌒ .BD=DE A B CD E 证明：连接 AD. ∵AB 是圆的直径，点 D 在圆上， ∴∠ADB=90°，即 AD⊥BC. ∵AB=AC， ∴AD 平分顶角∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∴ （在同圆或等圆中，相等的圆周角 所对的弧相等）. 例 2 如图，P 是 △ABC 的外接圆上的一 点，∠APC=∠CPB=60°. 求证：△ABC 是等边三角形. · A P B C O 证明：∵∠ABC 和∠APC 都是 ⌒ 所对的 圆周角, ∴∠ABC=∠APC=60° （同弧所对的圆周角相等）. ∵∠BAC 和 ∠CPB 都是 ⌒ 所对的圆周 角， ∴∠BAC=∠CPB=60°. ∴△ABC 等边三角形. AC BC 船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否 会遇到暗礁. 如图，A，B 表示灯塔，暗礁分布在经过 A，B 两点的一个圆形区域内，C 表示一个危险临界点， ∠ACB 就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“ 危险角”时，就有可能触礁. 做一做 （1）当船与两个灯塔的夹角 ∠α 大于“危 险角”时，船位于哪个区域 ？为什么？ （2）当船与两个灯塔的夹角 ∠α 小于“危 险角”时，船位于哪个区域 ？为什么? 解：（1）船位于暗礁区域内（即 ⊙O 内）. 理由：假设船在 ⊙O 上，则∠α=∠C，这与 ∠α >∠C 矛盾. 所以船不可能在 ⊙O 上. 假设船在 ⊙O 外，则 ∠αr; 点在圆上 d=r； 点在圆内 d 5 cm d = 5 cm 0 cm≤d < 5 cm 例：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3 cm，BC=4 cm， 以 C 为圆心，r 为半径的圆与 AB 有怎样的位置关系？ 为什么？ （1）r=2 cm； （2）r=2.4 cm； （3）r=3 cm． B C A 4 3 Dd 分析：要了解 AB 与 ⊙C 的位置关系，只要知 道圆心 C 到 AB 的距离 d 与 r 的关系．已知 r， 只需求出 C 到 AB 的距离 d. 解：过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D. 在 △ABC 中，AB= 5. 根据三角形的面积公式知， ， 所以 . 即圆心 C 到 AB 的距离 d=2.4 cm. （1）当 r=2 cm 时，有 d>r， 所以 ⊙C 和 AB 相离. （2）当 r=2.4 cm 时，有 d=r， 所以⊙C 和 AB 相切. （3）当 r=3 cm 时，有 d