北师大版九年级数学下册第二章二次函数

第二章 二次函数 1 二次函数 函数 变量之间的关系 一次函数 y = kx + b （ k ≠0） 反比例函数 二次函数 正比例函数 y = kx （ k ≠0 ） 复习回顾 某果园有 100 棵橙子树，每一棵树平均结 600 个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子. 引入新知 （ 1 ）问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ （ 2 ）假设果园增种 x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ （ 3 ）如果果园橙子的总产量为 y 个，那么请你写出 y 与 x 之间的关系式. 果园共有（ 100 + x ）棵树，平均每棵树结 （ 600 - 5 x ） 个橙子，因此果园橙子的总产量 y =（ 100 + x ）（ 600 - 5 x ）=- 5 x 2 + 100 x + 60 000. 在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？ x / 棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y / 个 你能根据表格中的数据作出猜想吗？ 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量. 在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的. 做一做 设人民币一年定期储蓄的年利率是 x ， 一年到期后，银行将本金和利息自 动按一年定期储蓄转存. 如果存款额是 100 元，那么请你写出两年后的本息和 y （ 元）的表达式. y = 100（ x + 1） 2 = 100 x 2 + 200 x + 100 . （ 1 ）已知矩形的周长为 40 cm ，它的面积可能是 100 cm 2 吗？可能是 75 cm 2 吗？还可能是多少？你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗？ （ 2 ） 两数的和是 20 ，设其中一个数是 x ，你能写出这两数之积 y 的表达式吗？ y = x （20 - x ） =- x 2 + 20 x . 想一想 推理归纳 定义：一般地，若两个变量 x ， y 之间的对应关系可以表示成 y = ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 是常数， a ≠0）的形式，则称 y 是 x 的二次函数. 例如， y =- 5 x 2 + 100 x + 60 000 ， y = 100 x 2 + 200 x + 100 和 y = x （20 - x ） =- x 2 + 20 x 都是二次函数. 我们以前学过的正方形面积 A 与边长 a 的关系 A = a 2 ，自由落体运动下落的高度 h 与下落时间 t 的关系 等也是二次函数的例子. 上述问题中，自变量能取哪些值？ 议一议 1.下列函数，哪些是二次函数？ （ 1 ） y = 3 （ x - 1 ） ² + 1 ； （ 3 ） s = 3 - 2 t ² ； （ 5 ） y = （ x+ 3） ² - x ²； （ 6 ） v = 10π r². 练一练 2 . 用 总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，场地面积 S （m²） 与矩形一边长 a （ m ） 之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？ 解： S = a （ - a ） = a （30 - a ） = 30 a - a ² = - a ² + 30 a . 是二次函数. 课外练习 1 .下列函数（ x , t 是自变量），哪些是二次函数？ （ 1 ） y = + 3 x ² ； （ 2 ） y = x ² + x ³ + 25； （ 3 ） y = 2² + 2 x ； （ 4 ） s = 1 + t + 5 t ². 2. 圆的半径是 1 cm，假设半径增加 x cm 时，圆的面积增加 y cm². （1）写出 y 与 x 之间的函数关系表达式 . （2）当圆的半径分别增加 1 cm， cm，2 cm 时，圆的面积增加多少？ 定义中应该注意的几个问题： 小结 拓展 1. 定义：一般地，形如 y = ax ²+ bx + c （ a ， b ， c 是常 数， a ≠0）的函数叫做 x 的二次函数. y = ax ²+ bx + c （ a ， b ， c 是常数， a ≠0） 的几种不同表 示形式： （ 1 ） y = ax ² （ a ≠0， b = 0， c = 0 ）； （ 2 ） y = ax ²+ c （ a ≠0， b = 0， c ≠0 ）； （ 3 ） y = ax ²+ bx （ a ≠0， b ≠0， c = 0 ） . 2. 定义的实质： ax ²+ bx + c 是整式，自变量 x 的最高次数是二次，自变量 x 的取值范 围是全体实数. 第二章 二次函数 2 二次函数的图象与性质 （第 1 课时） 在二次函数 y = x 2 中， y 随 x 的 变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗? （ 1 ）观察 y = x 2 的表达式，选择适当的 x 值，并计算相应的 y 值，完成下表： 画二次函数 y = x 2 的图象. x … - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 … y = x 2 … 9   4   1   0   1  4  9   …   想一想 x y O -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 -2 （ 2 ） 在下面的直角坐标系中描点. y = x 2 （ 3 ） 用光滑的曲线连接各点，便得到函数 y = x 2 的图象. 议一议 对于二次函数 y = x 2 的图象. （ 1 ） 你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流. （ 2 ）图象与 x 轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？ （ 3 ）当 x < 0 时，随着 x 值的增大， y 的值如何变化？当 x > 0 呢？ （ 4 ）当 x 取什么值时， y 的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？ （ 5 ）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流. 这条抛物线关于 y 轴对称， y 轴就 是它的 对称轴 . 对称轴与抛物 线的交点叫做 抛 物线的 顶点 . 二次函数 y = x 2 的 图象形如物体抛射 时所经过的路线，我 们把它叫做 抛物线 . 当 x < 0 （在对称轴的左侧）时， y 随着 x 的增大而减小. 当 x > 0 （在对称轴的右侧）时, y 随着 x 的增大而增大. 抛物线 y = x 2 在 x 轴的上方（除顶点外），顶点是它的最低点，开口向上，并且向上无限伸展.当 x =0 时，函数 y 的值最小，最小值是0. 二次函数 y = - x 2 的图象是什么形状？先想一 想，再 画出它的图象．它与二次函数 y = x 2 的图 象 有什么关系？与同伴交流. 你能根据表格中的数据作出猜想吗？ x … - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 … y = - x 2 … - 9 - 4 - 1 0 - 1 - 4 - 9 … 做一做 x y O -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -10 -8 -6 -4 -2 2 描点，连线 y = - x 2 （1）完成下表： 画二次函数 y = 2 x 2 的图象. x … - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 … y = 2 x 2 … 18   8   2   0   2   8  18   …   （ 2 ）在图中画二次函数 y = 2 x 2 的图象. 下面接着讨论形如 y = a x 2 ， y = a x 2 + c 的图象和性质. y = 2 x 2 y x O 想一想 （ 3 ）二次函数 y = 2 x 2 的图象是什么形状？它与二次函数 y = x 2 的图象有什么不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ 画出二次函数 y = x 2 的图象，它与 y = x 2 ， y = 2 x 2 的图象有什么相同和不同？ 想一想 画出二次函数 y = 2 x 2 + 1 的图象，你是怎样画的？与同伴交流. 做一做 二次函数 y = 2 x 2 + 1 的图象与二次函数 y = 2 x 2 的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ 二次函数 y = 2 x 2 - 1 的图象呢？ 议一议 二次函数 y = 2 x 2 ， y = 2 x 2 + 1 ， y = 2 x 2 - 1 的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同.将函数 y = 2 x 2 的图象向上平移 1 个单位长度，就得到函数 y = 2 x 2 + 1 的图象；将函数 y = 2 x 2 的图象向下平移 1 个单位长度，就得到函数 y = 2 x 2 - 1 的图象. 1 .抛物线 y = a x 2 的顶点是原点，对称轴是 y 轴. 2 .当 a > 0 时，抛物线 y = a x 2 在 x 轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且向上无限伸展； 当 a < 0 时，抛物线 y = a x 2 在 x 轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并且向下无限伸展. 二次函数 y = a x 2 的性质 3. 当 a > 0 时，在对称轴的左侧， y 随着 x 的增大而减小；在对称轴右侧， y 随着 x 的增大而增大. 当 x = 0 时，函数 y 的值最小. 当 a 0 时，在对称轴的左侧， y 随着 x 的增大而减小；在对称轴右侧， y 随着 x 的增大而增大. 当 x = 0 时，函数 y 的值最小. 当 a 0，开口都向上. 顶点坐标是点（1，0）. 类似地，你能发现二次函数 y = 2（ x + 1） 2 的图象与 y = 2 x 2 的图象有什么关系吗? 当 x 取哪些值时，函数 y = 2（ x - 1） 2 的值随 x 值的增大而增大？ 当 x 取哪些值时，函数 y = 2（ x - 1） 2 的值随 x 的增大而减少？ 顶点是最低点，函数有最小值. 当 x = 1 时，最小值是 0. 二次函数 y = 2（ x - 1） 2 与 y = 2 x 2 的增减性类似. 在对称轴（直线： x = 1）的左侧，即 x 0 ） y = a （ x - h ） 2 + k （ a < 0 ） 顶点坐标 （ h ， k ） （ h ， k ） 对称轴 直线 x = h 直线 x = h 位置 由 h 和 k 的符号确定 由 h 和 k 的符号确定 开口方向 向上 向下 增减性 在对称轴的左侧， y 随着 x 的增大而减小； 在对称轴的右侧， y 随着 x 的增大而增大 在对称轴的左侧， y 随着 x 的增大而增大；在对称轴的右侧， y 随着 x 的增大而减小 最值 当 x = h 时，最小值为 k 当 x = h 时，最大值为 k 根据图形填表： 1. 指出下列函数图象的开口方向 、 对称轴和顶点坐标 ： （ 1 ） y = 2 （ x + 3 ） 2 - ； （ 2 ） y = - （ x + 1 ） 2 - 5 . 2. （ 1 ） 二次函数 y = 3 （ x + 1 ） 2 的图象与二次函数 y = 3 x 2 的图象有什么关系 ？ 它是轴对称图形吗 ？ 它的对称轴和顶点坐标分别是什么 ？ （ 2 ） 二次函数 y = - 3 （ x - 2 ） 2 + 4 的图象与二次函数 y = - 3 x 2 的图象有什么关系 ？ 对于二次函数 y = 3 （ x + 1 ） 2 ， 当 x 取哪些值时 ， y 的值随 x 值的增大而增大 ？ 当 x 取哪些值时 ， y 的值随 x 值的增大而减小 ？ 二次函数 y = 3 （ x + 1 ） 2 + 4 呢? 1. 相同点： （1）形状相同（图像都是抛物线，开口方向相同）. （2） 都是轴对称图形. （3） 都有最 （ 大或小 ） 值. 小结 拓展 二次函数 y = a （ x - h ） 2 + k 与 y = ax 2 的关系 （4）当 a >0 时 ， 开口向上 ， 在对称轴 的 左侧 ， y 都随 x 的增大而减小 ； 在对称轴 的 右侧 ， y 都随 x 的增大而增大. 当 a 0 时 ， 向右平移 ； 当 h 0 时 ， 向上平移 ； 当 k 0 时 ， 开口向上 ， 在对称轴 的 左侧 ， y 都随 x 的增大而减小 ； 在对称轴 的 右侧 ， y 都随 x 的增大而增大. 当 a 0 ，当 x = h 时， y 有最小值 k ； 若 a 0 ，当 x = 时， y 有最小值 ； 若 a 0 ），面积为 y cm 2 ，则这样的长方形中 y 与 x 的关系可以写为（  ） A. y = x 2 B. y = 12﹣ x 2 C. y = （12 - x ）• x D. y = 2（12 - x ） 知识小测 C 3. 如图，假设篱笆（虚线部分）的长度 为 16 m，则所围成矩形 ABCD 的最大面积是（  ） A. 60 m 2 B. 63 m 2 C. 64 m 2 D. 66 m 2 C 4. 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图的平面直角坐标系，其函数的关系式为 y = - x 2 ，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 m 时，这时水面的宽度 AB 为（  ） A. - 20 m B. 10 m C. 20 m D. - 10 m C 【例 1】某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长 69 米 的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为 3 米 的出入口，如图，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境： 知识点 1 求几何图形的最大面积问题 分析：（1）设 AB = x 米，根据等式 x + x + BC = 69+3，可以求出 BC 的表达式 . （2）得出面积关系式，根据所求关系式进行判断即可. 解：（1）设 AB = x 米， 则 BC = 69+3 - 2 x = 72 - 2 x . （2）小英的说法正确 . 矩形面积 S = x （72 - 2 x ） = - 2（ x - 18） 2 +648 . ∵72 - 2 x > 0，∴ x < 36，∴0 < x < 36， ∴当 x = 18 时， S 取最大值，此时 x ≠72 - 2 x ， ∴面积最大的不是正方形. 1. 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为 80 m 的围网在水库中围成了如图的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等. 设 BC 的长度为 x m，矩形区域 ABCD 的面积为 y m 2 . （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并注明自变量 x 的取值范围 . （2）当 x 为何值时， y 有最大值？ 最大值是多少？ 分析：（1）根据三个矩形的面积相等，得到矩形 AEFD 的面积是矩形 BCFE 的 面积的 2 倍，可得出 AE = 2 BE . 设 BE = a ，则 AE = 2 a ，表示出 a 与 2 a ，进而表示出 y 与 x 的关系式，并求出 x 的范围即可 . （2）利用二次函数的性质求出 y 的最大值，以及此时 x 的值即可. 【例 2】一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度 h （m）与足球被踢出后经过的时间 t （s）之间具有函数关系 h = at 2 +19.6 t . 已知足球被踢出后经过 4 s 落地，则足球距地面的最大高度是   m. 知识点 2 ：二次函数在生活中的应用 19.6 分析：首先由题意，得 当 t = 4 时， h = 0，然后代入函数关系 h = at 2 +19.6 t 可得 a 的值，最后利用函数解析式计算出 h 的最大值即可. 解析：由题意，得 当 t = 4 时， h = 0， 因此 0 = 16 a +19.6×4， 解得 a = - 4.9， ∴函数关系为 h = - 4.9 t 2 +19.6 t ， ∴ 足球距地面的最大高度是 = 19.6（m）. 2. 一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为 y （米）关于水平距离 x （米）的函数解析式为 y = - x 2 + x + ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为   米. 3 3. 如图，利用一面墙，用 80 米长的篱笆围成一个矩形场地，墙长为 30 m，围成鸡场的最大面积为（  ） A. 800 米 2 B. 750 米 2 C. 600 米 2 D. 2 400 米 2 B 4. 某幢建筑物从 16 m 高的窗口 A ，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直，如图），如果抛物线的最高点 M 离墙 1 m，离地面 18 m，则水流落地点 B 离墙的距离 OB 是 （  ） A. 2 m B. 3 m C. 4 m D. 5 m C 5. 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽 4 米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2 米，水面下降 1 米时，水面的宽度为     米. 6. 有长 24 m 的篱笆，一面利用长为 12 m 的围墙围成如图中间隔有一道篱笆的矩形花圃. 设花圃垂直于墙的一边长为 x m，面积为 S m 2 . 则 S 与 x 的函数关系式是     ， x 的取值范围为   . 4≤ x < 8 S = （24 - 3 x ） x 7. 如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽 AB = 1.6 m，涵洞顶点 O 到水面的距离 CO 为 2.4 m，在图中的直角坐标系内，涵洞 截面所在抛物线的解析式是     . y = - x 2 8. 某居民小区要在一块一边靠墙（墙长 15 米）的空地上修建一个矩形花园 ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长 40 米的栅栏围成（如图）. 若设花园的 BC 边长为 x 米，花园的面积为 y 米 2 . （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围 . （2）满足条件的花园面积能否达到 150 米 2 ？ 若能，请求出 x 的值；若不能，请说明理由 . （3）当 x 是多少时，矩形场地面积 y 最大？最大面积是多少？ 解：（1）由题意可知， BC 为 x 米， 则 AB = = 20 - . ∵矩形 ABCD 的面积为 AB BC ， ∴ y = （20 - ） x = 20 x - x 2 = - x 2 +20 x ， 自变量 x 的取值范围为 0 < x ≤15 . （2）能达到 . 由题意知，当 y = 150 时， - x 2 +20 x = 150， 解得 x 1 = 10， x 2 = 30（不符合题意，舍去）， 故 当 x = 10 时，花园面积能达到 150 米 2 . （3）∵ a = - < 0， 当 0 < x ≤15时， y 随 x 的增大而增大， ∴当 x = 15 时， y 取最大值， 最大值 是 - ×152+20×15 = 187.5 . 答：当 x 是 15 米时，矩形场地面积 y 最大，最大面积是 187.5 米 2 . 9. 一块草坪的护栏是由 50 段形状相同的抛物线组成，如图，为了牢固期间，每段护栏需按间距0.4 m 加设不锈钢管做成的立柱. 为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图的数据，则需要不锈钢管的总长度为    米. 80 10. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔 1 秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后 1.1 秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后 t 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则 t = ． 1.6 第二章 二次函数 4 二次函数的应用 （第 2 课时） 1. 求销售中的最大利润问题一般是运用“总利润 = 总售价 - ”或“总利润 = ×销售数量” 建立利润与价格之间的函数关系式 . 2. 求实际问题中的最值问题时，一般分为三步： （ 1 ）利用应用题中的已知条件和学过的有关数学公式列出关系式. （ 2 ） 把关系式转化为 的关系式. （ 3 ） 求二次函数的最大值或最小值. 关键视点 每件商品的利润 总成本 二次函数 3. 一个直角三角形的两条直角边长的和为 20 cm，其中一直角边长为 x cm，面积为 y cm 2 ，则 y 与 x 的函数的关系式是（  ） A. y = 20 x ÷2 B. y = x （20 - x ） C. y = x （20 - x ）÷2 D. y = x （10 - x ） 知识小测 C 4. 已知某商店铺第 17 届仁川亚运会吉祥物毛绒玩具每件的进价为 30 元，在某段时间内若以每件 x 元（30≤ x ≤50，且 x 为整数）出售，可卖出（50 - x ）件，若要使该店铺销售该玩具的利润最大，每件的售价为（  ） A. 35 元 B. 40 元 C. 45 元 D. 48 元 B 【例 1】大学生小张摆摊销售一批小家电，进价 40 元，经市场考察知，当销售进价为 52 元时，可售出 180 个，且定价 x （元）与销售减少量 y （个）满足关系式： y = 10（ x - 52），问： （1）若他打算获利 2 000 元，且投资尽量少，则应进货多少个？定价是多少？ （2）若他想获得最大利润，则定价及进货分别是多少？ 知识点 1 销售中的最大利润问题 分析：（1）利用每个小家电的利润×销售的个数 = 总利润，列方程解答即可 . （2）设利润为 w ，利用（1）的数量关系列出函数，运用配方法解决问题. 解：（1）设定价为 x 元， 则进货 180 - 10（ x - 52） = 180 - 10 x +520 = 700 - 10 x ， 所以（ x - 40）（700 - 10 x ） = 2 000， 解得 x 1 = 50， x 2 = 60. 因为投资尽量少，所以应进货 100 个，定价 60 元. 答：商店若准备获利 2 000 元，定价为 60 元，应进货 100 个. （2）设利润为 w 元， 则 w = （ x - 40）（700 - 10 x ） = - 10 x 2 +1 100 x - 28 000 = - 10（ x - 55） 2 +2 250， 因此当 x = 55 时， w 最大 = 2 250 . 答：当定价为 55 元时，获得的利润最大，最大利润是 2 250 元. 类 比 精 练 1. 某服装店购进单价为 15 元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为 25 元时，平均每天能售出 8 件，而当销售价每降低 2 元时，平均每天能多售出 4 件，则当每件的定价为     元时，该服装店平均每天的销售利润最大. 22 分析：根据“利润 = （售价 - 成本）×销售量”列出每天的销售利润 y （元）与销售单价 x （元）之间的函数关系式；把二次函数的解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答. 解析：设定价为 x 元 . 根据题意，得 y = （ x - 15）[8+2（25 - x ）] = - 2 x 2 +88 x - 870 = - 2（ x - 22）2+98. ∵ a = - 2 < 0， ∴抛物线开口向下， ∴当 x = 22 时， y 最大 = 98. 【例 2】某超市对进货价为 10 元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量 y （千克）与销售价 x （元/千克）存在一次函数关系，如图. 知识点 2 二次函数与一次函数的综合运用 （1）求 y 关于 x 的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围） . （2）应怎样确定销售价，使该品种苹果每天 的 销售利润最大？最大利润是多少？ 分析：（1）由图象过点（20，20）和（30，0），利用待定系数法求直线的解析式 . （2）每天的利润 = 每千克的利润×销售量. 据此列出表达式，运用函数性质解答. 解：（1）设 y = kx + b . 由图象可知， 解得 ∴ y = - 2 x +60 . （2） p = （ x - 10） y = （ x - 10）（ - 2 x +60） = - 2 x 2 +80 x - 600 . ∵ a = - 2 < 0，∴ p 有最大值， 当 x = - = 20 时， p 最大 = 200. 即当销售单价为 20元/千克时，每天可获得最大利润 200元. 2. 某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线 ABD ，线段 CD 分别表示该产品每千克生产成本 y 1 （单位：元），销售价 y 2 （单位：元）与产量 x （单位：kg）之间的函数关系. （1）请解释图中点 D 的横坐标、纵坐标的实际意义 . （2）求线段 AB 所表示的 y 1 与 x 之间的函数表达式 . （3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ 分析：（1）点 D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为 130 kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为 42 元 . （2）根据线段 AB 经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可 . （3）利用总利润 = 单位利润×产量列出有关 x 的二次函数，求得最值即可. 解：（1）点 D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为 130 kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为 42 元 . （2）设线段 AB 所表示的 y 1 与 x 之间的函数关系式为 y = k 1 x + b 1 . ∵ y = k 1 x + b 1 的图象过点（0，60）和（90，42）， ∴ 解得 ∴这个一次函数的表达式为 y = - 0.2 x +6 0 （0≤ x ≤90）. （3）设 y 2 与 x 之间的函数关系式为 y = k 2 x + b 2 . ∵经过点（0，120）和（130，42）， ∴ 解得 ∴这个一次函数的表达式为 y 2 = - 0.6 x +120（0≤ x ≤130） . 设当产量为 x kg 时，获得的利润为 W 元 . 当 0≤ x ≤90 时， W = x [（ - 0.6 x +120） - （ - 0.2 x +60）] = - 0.4（ x - 75） 2 +2 250， ∴当 x = 75 时， W 的值最大，最大值为 2 250 . 当 90≤ x ≤130 时， W = x [（ - 0.6 x +120） - 42] = - 0.6（ x - 65） 2 +2 535. 由 - 0.6 < 0 知，当 x > 65时， W 随 x 的增大而减小，∴ 当 90≤ x ≤130 时， W ≤2 160， ∴当 x = 90 时， W = - 0.6（90 - 65） 2 +2 535 = 2 160 . 因此，当该产品的产量为 75 kg 时，获得的利润最大，最大值为 2 250 元. 3. 某产品的进货单价为 9 元，按 10元一件售出时，能售 100 件，如果这种商品每涨价 1 元，其销售量就减少 10 件，设每件产品涨 x 元，所获的利润为 y 元，可得函数关系式为（  ） A. y = - 10 x 2 +110 x +10 B. y = - 10 x 2 +100 x C. y = - 10 x 2 +100 x +110 D. y = - 10 x 2 +90 x +100 D 4. 合肥市 2013 年的平均房价为 6 500元/m 2 .若 2014年和 2015 年房价的平均增长率为 x ，则预计 2015 年的平均房价 y （元/ m 2 ）与 x 之间的函数关系式为   . y = 6 500（1+ x ） 2 5. 天猫网某商铺销售新疆薄皮核桃，这种食品是健脑的佳品，经市场调查发现，该食品每天的销售利润 w （元）与销售价 x （元/千克）有如下关系： w = - ax 2 + bx - 1 600，当销售价为 22 元/千克时，每天的销售利润为 72 元，当销售价为 26 元/千克时，每天的销售利润为 168 元，则该食品每天的销售利润 w （元）与销售价 x （元/千克）的函数表达式是     . w = - 2 x 2 +120 x - 1 600 6. 某商店购进一种商品，每件商品进价 30 元. 试销中发现这种商品每天的销售量 y （件）与每件销售价 x （元）的关系数据如下表： （1）已知 y 与 x 满足一次函数关系，根据上表，求出 y 与 x 之间的关系式（不写出自变量 x 的取值范围） . （2）如果商店销售这种商品，每天要获得 150 元的利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？ （3）设该商店每天销售这种商品所获的利润为 w （元），求出 w 与 x 之间的关系式，并求出当每件商品的销售价定为多少元时利润最大 . 解：（1）设该函数的表达式为 y = kx + b . 根据题意，得 解得 故该函数的表达式为 y = - 2 x +100. （2）根据题意，得 （ - 2 x +100）（ x - 30） = 150， 解得 x 1 = 35， x 2 = 45. 故当每件商品的销售价定为 35 元或 45 元时日利润为 150 元. （3）根据题意，得 w = （ - 2 x +100）（ x - 30） = - 2 x 2 +160 x - 3 000 = - 2（ x - 40） 2 +200 . ∵ a = - 2 < 0 ， ∴ 抛物线的开口向下，函数有最大值， 即当 x = 40 时， w 的值最大， ∴当销售单价为 40 元时获得的利润最大. 7. 某公司生产的某种产品每件的成本为 40 元，经市场调查整理出如下信息： ①该产品 90 天内的日销售量（ m 件）与时间（第 x 天）满足一次函数关系，部分数据如下表： ②该产品 90 天内每天的销售价格与时间（第 x 天）的关系如下表： （1）求 m 关于 x 的一次函数表达式； （2）设销售该产品每天的利润为 y 元，请写出 y 关于 x 的函数表达式，并求出在 90 天内该产品哪天的销售利润最大，最大利润是多少； 【提示：每天销售利润 = 日销售量×（每件的销售价格 - 每件的成本）】 （3）在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于 5 400 元，请直接写出结果. 解：（1）∵ m 与 x 成一次函数， ∴设 m = kx + b . 将 x = 1， m = 198 和 x = 3， m = 194 分别代入， 得 解得 所以 m 关于 x 的一次函数表达式为 m = - 2 x +200. （2）设销售该产品每天的利润为 y 元，则 y 关于 x 的函数表达式为 当 1≤ x < 50 时， y = - 2 x 2 +160 x +4 000 = - 2（ x - 40） 2 +7 200 . ∵ - 2 < 0， ∴当 x = 40 时， y 有最大值，最大值是 7 200. 当 50≤ x ≤90 时， y = - 120 x +12 000. ∵ - 120 < 0，∴ y 随 x 的增大而减小， 即当 x = 50 时， y 的值最大，最大值是 6 000. 综上所述，当 x = 40 时， y 的值最大，最大值是 7 200，即在 90 天内该产品第 40 天的销售利润最大，最大利润是 7 200 元. （3）在该产品销售的过程中，共有 46 天销售利润不低于 5 400 元. 8. 某企业接到一批粽子生产任务，按要求在 15 天内完成，约定这批粽子的出厂价为每 只 6 元. 为了按时完成任务，该企业招收了新工人. 设新工人李明第 x 天生产的粽子数量为 y 只 ， y 与 x 满足如下关系： （1）李明第几天生产的粽子数量为 420 只？ （2）如图，设第 x 天每 只 粽子的成本是 p 元， p 与 x 之间的关系可用图中的函数图形来刻画. 若李明第 x 天创造的利润为 w 元，求 w 关于 x 的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润 = 出厂价 - 成本） 解：（1）设李明第 n 天生产的粽子数量为 420 只 . 由题意可知，30 n +120 = 420， 解得 n = 10. 答：第 10 天生产的粽子数量为 420 只. （2）由图象知，当 0≤ x ≤9 时， p = 4.1 . 当 9≤ x ≤15 时，设 P = kx + b . 把点（9，4.1）和（15，4.7）分别代入， 得 解得 ∴ p = 0.1 x +3.2. ①当 0≤ x ≤5 时， w = （6 - 4.1）×54 x = 102.6 x ， ∴ 当 x = 5 时， w 最大 = 513 . ② 当 5 < x ≤9 时， w = （6 - 4.1）×（30 x +120 ） = 57 x +228 . ∵ x 是整数， ∴当 x = 9 时， w 最大 = 741 . ③ 当 9 < x ≤15 时， w = （6 - 0.1 x - 3.2）×（30 x +120） = - 3 x 2 +72 x +336 . ∵ a = - 3 < 0， ∴当 x = 12 时， w 最大 = 768. 综上所述，当 x = 12 时， w 有最大值，最大值为 768元. 9. 某宾馆拥有客房 100 间，经营中发现：每天入住的客房数 y （间）与房价 x （ 元 ）（ 180≤ x ≤300 ） 满足一次函数关系，部分对应值如下表： x / 元 180 260 280 300 y / 间 100 60 50 40 （ 1 ）求 y 与 x 之间的函数表达式 ． （ 2 ） 已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用 100 元；每间空置的客房，宾馆每日需支出各种费用 60 元．当房价为多少元时，宾馆当日利润最大？求出最大利润． （宾馆当日利润 = 当日房费收入 - 当日支出） 第二章 二次函数 5 二次函数与一元二次方程 1 .经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系. 2 .理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不 相 等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根. 3 .理解一元二次方程的根就是二次函数与 x 轴交点的横坐标. 1. 一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的求根公式是什么？ 当 b 2 - 4 ac ≥0 时， 当 b 2 - 4 ac 0 有一个交点 有两个相等的实数根 b 2 - 4 ac = 0 没有交点 没有实数根 b 2 - 4 ac < 0 C 【跟踪训练】 1. 抛物线 y = x 2 +2 x - 3 与 x 轴的交点个数是 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 若关于 x 的一元二次方程 x 2 - x - n = 0 没有实数根，则抛物线 y = x 2 - x - n 的顶点在 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 A 3. 若抛物线 y = ax 2 + bx + c ， 当 a >0 ， c 0 时， - 1< x