沪科版九年级数学下册第24章测试题及答案

沪科版九年级数学下册第24章测试题及答案 ‎24.1 旋转 一．选择题（共16小题）‎ ‎1．下列各图，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是（　　）‎ ‎ ‎ A B C D ‎2．将数字“6”旋转180°，得到数字“9”；将数字“9”旋转180°，得到数字“6”．现将数字“69”旋转180°，得到的数字是（　　）‎ A．96 B．69 C．66 D．99‎ ‎3．观察下列图案，其中旋转角最大的是（　　）‎ ‎ ‎ A B C D ‎4．下列运动属于旋转的是（　　）‎ A．滚动过程中的篮球的滚动 B．钟表的钟摆的摆动 C．气球升空的运动 D．一个图形沿某直线对折的过程 ‎5．如图，在正方形网格中有△ABC，△ABC绕点O按逆时针旋转90°后的图案应该是（　　）‎ ‎ ‎ A B C D ‎ ‎6．如图，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC绕点A按逆时针的顺序旋转至△ADE处，使点B落在BC的延长线上的点D处，则∠BDE=（　　）‎ ‎（第6题图）‎ A．90° B．85° C．80° D．40°‎ ‎7．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转 60°得到△AED，若线段AB=3，则BE=（　　）‎ ‎（第7题图）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎8．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形EFGO绕点O旋转，若两个正方形的边长相等，则两个正方形的重合部分的面积（　　）‎ ‎（第8题图）‎ A．由小变大 B．由大变小 C．始终不变 D．先由大变小，再由小变大 ‎9．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形A′B′C′D′的位置，此时AC的中点恰好与点D重合，AB′交CD于点E．若AB=3，则△AEC的面积为（　　）‎ ‎（第9题图）‎ A．3 B．1.5 C． D．‎ ‎10．正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角的度数是（　　）‎ A．36° B．54° C．72° D．108°‎ ‎11．规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（　　）‎ A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正十边形 ‎12．下列说法，正确的是（　　）‎ A．相等的角是对顶角 B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C．同旁内角相等，两直线平行 D．平移、轴对称变换、旋转都不改变图形的形状和大小 ‎13．下列图案，可以看作是中心对称图形的是（　　）‎ ‎ ‎ A B C D ‎14．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，则该小正方形的序号是（　　）‎ ‎（第14题图）‎ A．④ B．③ C．② D．①‎ ‎15．如图，如果将其中的甲图变成乙图，那么经过的变换正确的是（　　）‎ ‎（第15题图）‎ A．旋转、平移 B．对称、平移 C．旋转、对称 D．旋转、旋转 ‎16．如图，两个三角形可以通过变换而相互得到，则需要通过的变换是（　　）‎ ‎（第16题图）‎ A．旋转 B．旋转和平移 C．平移 D．平移和轴对称 二．填空题（共8小题）‎ ‎17．钟表的分针匀速旋转一周需要60min，经过20min，分针旋转了　 　．‎ ‎18．钟表的时针匀速旋转一周需要12小时，经过2小时，时针旋转了　 　度．‎ ‎19．在下列图形：“角、射线、线段、等腰三角形、平行四边形”中，既是轴对称图形又是旋转对称图形的为　 　．‎ ‎20．在下列图形中：等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰梯形，其中有　 　个旋转对称图形．‎ ‎21．如图是一个标准的五角星，将它绕旋转中心旋转x°后能与自身重合，则x的最小值是　 　．‎ ‎（第21题图）‎ ‎22．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．将线段AB绕点B顺时针旋转90°，得线段A′B，点A的对应点为A′，连接AA′交线段BC于点D．‎ ‎（Ⅰ）作出旋转后的图形；‎ ‎（Ⅱ） =　 　．‎ ‎（第22题图）‎ ‎23．如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转　 　次，每次旋转　 　度形成的．‎ ‎（第23题图）‎ ‎24．观察图1和图2，请回答下列问题：‎ ‎（第24题图）‎ ‎（1）请简述由图1变成图2的形成过程：　 　．‎ ‎（2）若AD=3，DB=4，则△ADE和△BDF的面积的和为　 　．‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎25．如图，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标．‎ ‎（第25题图）‎ ‎26．在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别是A（﹣1，2）、B（﹣3，1）、C（0，﹣1）．‎ ‎（1）将△ABC向左平移4个单位长度，得到△A1B1C1，画出平移后的图形；‎ ‎（2）将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C，画出△A2B2C．并写出点A的对应点A2 的坐标．‎ ‎ （第26题图）‎ ‎27．如图，在4×4的正方形网格中有一个△ABC，请分别根据下列各小题的要求作图：‎ ‎（第27题图）‎ ‎（1）在图1中，画出△ABC沿直线MN翻折后所得的图形；‎ ‎（2）在图2中，画出△ABC绕顶点B旋转180°后所得的图形；‎ ‎（3）在图3中，画出△ABC先向右平移2格，再向上平移1格所得的图形．‎ ‎28．如图，试说明△A′B′C′是由△ABC通过怎样的图形变换或变换组合（平移、旋转、轴对称）得到的？‎ ‎（第29题图）‎ ‎29．怎样将图中△ABC变成右边的△A′B′C′？‎ ‎　 （第30题图）‎ 参考答案 一．1．D【解析】A、B、C中只能由旋转得到，不能由平移得到，只有D可经过平移，又可经过旋转得到．故选D．‎ ‎【点评】本题考查平移、旋转的性质：①平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．②旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心．‎ ‎2．B【解析】现将数字“69”旋转180°，得到的数字是69．故选B．‎ ‎【点评】此题主要考查了生活中的旋转现象，正确想象出旋转后图形是解题的关键．‎ ‎3．A【解析】A.旋转角是120°；B.旋转角是90°；C.旋转角是72°；D.旋转角是60°．故选A．‎ ‎【点评】根据旋转的定义来判断旋转的度数．如果把一个图形绕着某一点旋转180°后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称．‎ ‎4．B【解析】A、滚动过程中的篮球属于滚动，不是绕着某一个固定的点转动，不属于旋转；B、钟表的钟摆的摆动，符合旋转变换的定义，属于旋转；C、气球升空的运动是平移，不属于旋转；D、一个图形沿某直线对折的过程是轴对称，不属于旋转．故选B．‎ ‎【点评】本题考查旋转的概念．旋转变换：一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．　‎ ‎5．A【解析】根据旋转的性质和旋转的方向，得△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°后的图案是A.故选A．‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质，知道想要确定旋转后的图形①要确定旋转的方向；②要确定旋转的大小是解题的关键．‎ ‎6．C【解析】由旋转的性质可知，AB=AD，∠ADE=∠B=40°.在△ABD中，∵AB=AD，∴∠ADB=∠B=40°，∴∠BDE=∠ADE+∠ADB=80°．故选C．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了旋转的性质．关键是根据旋转时，对应边相等得出等腰三角形，对应角相等将角进行转化．‎ ‎7．B【解析】∵△ABC绕点A顺时针旋转 60°得到△AED，∴AB=AE，∠BAE=60°，∴△AEB是等边三角形，∴BE=AB.∵AB=3，∴BE=3．故选B．‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义．‎ 8． C【解析】∵四边形ABCD和四边形OEFG都是正方形，∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，‎ ‎∠BOC=∠EOG=90°，∴∠BON=∠MOC．在△OBN与△OCM中，，∴△OBN≌△OCM（ASA），∴四边形OMCN的面积等于三角形BOC的面积，即重叠部分的面积不变，总是等于正方形面积的．故选C．‎ ‎【点评】本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能推出四边形OMCN的面积等于三角形BOC的面积是解此题的关键．　‎ ‎9．D【解析】∵旋转后AC的中点恰好与点D重合，即AD=AC′=AC，∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，∴∠DAD′=60°，∴∠DAE=30°，∴∠EAC=∠ACD=30°，∴AE=CE.‎ 在Rt△ADE中，设AE=EC=x，则有DE=DC﹣EC=AB﹣EC=3﹣x，AD=BC=AB•tan30°=×3=.‎ 根据勾股定理，得x2=（3﹣x）2+（）2，解得x=2，∴EC=2，则S△AEC=EC•AD=.故选D．‎ ‎【点评】此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．‎ ‎10．C【解析】正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角的度数是=72度．故选C．‎ ‎【点评】考查图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．‎ ‎【链接】旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．　‎ ‎11．C【解析】‎ A、正三角形的最小旋转角是120°，故此选项错误；B、正方形的旋转角度是90°，故此选项错误；C、正六边形的最小旋转角是60°，故此选项正确；D、正十角形的最小旋转角是36°，故此选项错误.故选C．‎ ‎【点评】本题考查了旋转对称图形的知识，解答本题的关键是掌握旋转角度的定义，求出旋转角．‎ ‎12．D【解析】A．相等的角不一定是对顶角，故A错误；B．两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故B错误； C．同旁内角互补，两直线平行，故C错误； D．平移、轴对称变换、旋转都不改变图形的形状和大小，故D正确.故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查了对顶角的定义、平行线的性质与判定以及几何变换的概念，解题时注意：平移、轴对称、旋转不改变图形的形状和大小．‎ ‎13．C【解析】可以看作是中心对称图形的是第三个图案，故选C．‎ ‎【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．‎ ‎14．C【解析】应该将②涂黑．故选C．‎ ‎【点评】本题考查的是利用旋转设计图案，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．‎ ‎15．C【解析】观察图形，可得将甲图先轴对称变化，再逆时针旋转即可变成乙图.故选C．‎ ‎【点评】本题考查了几何变换的类型，用到的知识点是轴对称、旋转变化的性质：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心．‎ ‎16．D【解析】根据图形的位置和变换可得两个三角形可以通过平移和轴对称得到．故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查了几何图形的类型，解题的关键是熟记平移变换及轴对称变换．‎ 二．17．120°【解析】根据题意，得×360°=120°．‎ ‎【点评】本题考查了生活中的旋转现象，明确分针旋转一周，分针旋转了360°是解答本题的关键．‎ ‎18．60°【解析】∵钟表上的时针匀速旋转一周的度数为360°，钟表上的时针匀速旋转一周需要12小时，则钟表上的时针匀速旋转一小时的度数为360÷12=30°，那么小时，时针旋转了2×30°=60°．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了生活中的旋转现象，解答本题的关键在于求出钟表上的时针匀速旋转一小时的度数为30°．　‎ ‎19．线段【解析】线段是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；等腰三角形、角是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．射线既不是轴对称图形又不是中心对称图形，不符合题意；故既是轴对称图形又是中心对称图形的是：线段．‎ ‎【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．（1）如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．（2）如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．　‎ ‎20．4【解析】在等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰梯形只有等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形是旋转对称图形．‎ ‎【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．‎ ‎21．72°【解析】该图形被平分成五部分，最小的旋转角为=72°．‎ ‎【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．　‎ ‎22．【解析】（1）如答图.‎ ‎（2）如答图，以点B为原点建立坐标系，则A（﹣1，2），A′（2，1），C（2，2），B（0，0），‎ 设直线AA′的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，故直线AA′的解析式为y=﹣x+.∵C（2，2），B（0，0），∴直线BC的解析式为y=x，∴，‎ 解得，∴D（，），∴DB==，CD==，‎ ‎∴==．‎ ‎（第22题答图）‎ ‎【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键．‎ ‎23．7；45【解析】如图的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转7次，每次旋转45度形成的.‎ ‎【点评】本题主要考查利用旋转设计图案，关键是掌握把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．‎ 24． 图1中的△A′DE′绕点D顺时针旋转90°得到图2.‎ ‎【解析】（1）∵四边形DECF为正方形，∴∠EDF=90°，DE=DF，‎ ‎∴DA′绕点D顺时针旋转90度到DA的位置，DF′绕点D逆时针旋转90度到DE的位置，‎ ‎∴图1中的△A′DE′绕点D顺时针旋转90°得到图2；‎ ‎（2）由旋转的性质，旋转角∠EDF=∠ADA′=90°，AD=A′D=3，‎ ‎∴∠A′DB=180°﹣∠ADA′=180°﹣90°=90°，‎ ‎∴S△ADE+S△BDF=S△A′BD=×A′D×BD=×3×4=6，‎ ‎【点评】本题考查了几何变换的类型，利用旋转的性质得出∠EDF=∠ADA′=90°，AD=A′D=3是解题关键．‎ 三．25．解：如答图，△A1B1C1即为所求，‎ ‎（第25题答图）‎ A1（3，﹣2），B1（2，1），C1（﹣2，﹣3）．‎ ‎【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是熟练掌握中心对称的两点的坐标特点．‎ ‎26．解：（1）如答图，△A1B1C1即为所求；‎ ‎（第26题答图）‎ ‎（2）如答图，△A2B2C即为所求，点A的对应点A2 的 坐标为（3，0）．‎ ‎【点评】此题主要考查了平移变换和旋转变换，正确根据题意得出对应点的位置是解题的关键．　‎ ‎27．解：（1）如答图1，△A1BC即为所求；‎ ‎（第27题答图）‎ ‎（2）如答图2，△A2BC2即为所求；‎ ‎（3）如答图3，△A3B3C3即为所求．‎ ‎【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换、轴对称变换、平移变换，解题的关键是根据旋转变换、轴对称变换、平移变换的定义作出变换后的对应点．　‎ ‎28．解：通过旋转、平移得到．以B为中心，逆时针旋转90°，向下平移1个单位，再向右平移5个单位．‎ ‎【点评】本题考查几何变换的类型及几种几何变换的特点，解答此题的关键是掌握旋转、平移的性质并熟悉图形特征．‎ ‎29．解：△ABC通过绕点B顺时针旋转45°旋转变成右边的△A′B′C'．‎ ‎【点评】本题考查了几何变换的知识，掌握几种几何变换的特点是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎24.2 圆的基本性质 一．选择题（共15小题）‎ ‎1．如图，将大小两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2恰好在大量角器的圆周上．设它们圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为75°，那么点P在大量角器上对应的刻度为（　　）‎ ‎（第1题图）‎ A．75° B．60° C．45° D．30°‎ 2． 如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过点P且与AB垂直，点C为L与y轴的交点．若点A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，‎ ‎﹣5），其中a＜0，则a的值为多少？（　　）‎ ‎（第2题图）‎ A．﹣2 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣7‎ ‎3．如图，AB是⊙O的直径，AB=10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ=CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连结CD交AB于点E．点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CEP与△DEQ的面积和的变化情况是（　　）‎ ‎（第3题图）‎ A．一直减小 B．一直不变 C．先变大后变小 D．先变小后变大 ‎4．如图，⊙O经过菱形ABCO的顶点A、B、C，若OP⊥AB交⊙O于点P，则∠PAB的大小为（　　）‎ ‎（第4题图）‎ A．15° B．20° C．25° D．30°‎ ‎5．在半径为10cm的圆中，两条平行弦分别长为12cm，16cm，则这两条平行弦之间的距离为（　　）‎ A．28cm或4cm B．14cm或2cm C．13cm或4cm D．5cm或13cm ‎6．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧、、，如果+=，那么AB+CD与EF的大小关系是（　　）‎ ‎（第6题图）‎ A．AB+CD=EF B．AB+CD＞EF C．AB+CD＜EF D．不能确定 ‎7．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（　　）‎ ‎（第7题图）‎ A． B．1 C． D．a ‎8．下列说法正确的个数共有（　　）‎ ‎（1）如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等．‎ ‎（2）弦的中垂线一定是这条弦所在圆的对称轴．‎ ‎（3）平分弦的直径一定垂直于这条弦．‎ ‎（4）两条边相等的两个直角三角形一定全等．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．0或4个 ‎9．如图，等边三角形ABC的边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（　　）‎ ‎（第9题图）‎ A．△ADF≌△CGE B．△B′FG的周长是一个定值 C．四边形FOEC的面积是一个定值 D．四边形OGB'F的面积是一个定值 ‎10．下列命题，真命题的个数是（　　）‎ ‎①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎11．已知：点A（0，4），B（0，﹣6），C为x轴的正半轴上一点，且满足∠ACB=45°，则（　　）‎ ‎（第11题图）‎ A．△ABC外接圆的圆心在OC上 B．∠BAC=60°‎ C．△ABC外接圆的半径等于5 D．OC=12‎ ‎12．如图所示，在边长为1的单位正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在网格的交点上，则△ABC的外接圆的半径R为（　　）‎ ‎（第12题图）‎ A． B． C． D．‎ ‎13．如图，等边三角形内接于⊙O，点P在弧BC上，PA与BC相交于点D，若PB=3，PC=6，则PD=（　　）‎ ‎（第13题图）‎ A．1.5 B． C．2 D．‎ ‎14．如图，坐标平面上有A（0，a）、B（﹣9，0）、C（10，0）三点，其中a＞0．若∠BAC=95°，则△ABC的外心在第几象限？（　　）‎ ‎（第14题图）‎ A．一 B．二 C．三 D．四 ‎15．下列给定的三点能确定一个圆的是（　　）‎ A．线段AB的中点C及两个端点 B．角的顶点及角的边上的两点 C．三角形的三个顶点 D．矩形的对角线交点及两个顶点 二．填空题（共10小题）‎ ‎16．如图，大圆和圆的半径都分别是4cm和2cm，两圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始ABCDEFCGA的顺序沿着两圆圆周不断地爬行，其中各点分别是两圆周的四等分点，蚂蚁直到行走2010π cm后才停下来．则这只蚂蚁停在点　 　．‎ ‎（第16题图）‎ ‎17．如图，⊙M交x轴于B，C两点，交y轴于点A，弦CE⊥AB于点H，M的纵坐标为2，B（3，0），C（﹣，0），则圆心M的坐标为　 　，线段AF的长为　 　．‎ ‎（第17题图）‎ ‎18．如图，直径AB、CD所夹的锐角为60°，P为上的一个动点（不与点B、C重合），PM、PN分别垂直于CD、AB，垂足分别为M、N．若⊙O的半径为2cm，则在点P移动过程中，MN的长是否有变化　 　（填“是”或“否”），若有变化，写出MN的长度范围；若无变化，写出MN的长度　 　cm．‎ ‎（第18题图）‎ ‎19．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，AC、BD是⊙O的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，‎ ‎），则四边形ABCD的面积的最大值与最小值的差为　 　．‎ ‎（第19题图）‎ ‎20．如图，正方形ABCD的顶点A、B和正方形EFGH的顶点G、H在一个半径为5cm的⊙O上，点E、F在线段CD上，正方形ABCD的边长为6cm，则正方形EFGH的边长为　 　cm．‎ ‎（第20题图）‎ ‎21．如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD=15cm，AB=60cm，则这个摆件的外圆半径是　 　cm．‎ ‎（第21题图）‎ ‎22．如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，直径MN⊥BC于点D，与AC边相交于点E，若⊙O的半径为2，OE=2，则OD的长为　 　．‎ ‎（第22题图）‎ ‎23．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，， 的中点分别是M，N，P，Q．若MP+NQ=14，AC+BC=18，则AB的长是　 　．‎ ‎（第23题图）‎ ‎24．在平面直角坐标系中，已知A（3，0），B是以M（3，4）为圆心，1为半径的圆周上的一个动点，连结BO，设BO的中点为C，则线段AC的最小值为　 　．‎ ‎25．一个直角三角形的两条直角边长是方程x2﹣7x+12=0的两个根，那么这个直角三角形外接圆的半径等于　 　．‎ 三．解答题（共5小题）‎ ‎26．如图，已知OC是⊙O的半径，点P在⊙O的直径BA的延长线上，且OC⊥PC，垂足为C．弦CD垂直平分半径AO，垂足为E，PA=6．‎ 求：（1）⊙O的半径；‎ ‎（2）求弦CD的长．‎ ‎（第26题图）‎ ‎27．如图，AB是⊙O的直径，延长BA到点D，使DA=AO，AE垂直于弦AC，垂足为A，点E在DC上，求S△AEC：S△AOC．‎ ‎（第27题图）‎ ‎28．如图，⊙O的半径为10cm，G是直径AB上一点，弦CD经过点G，CD=16cm，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F，求AE﹣BF的值．‎ ‎（第28题图）‎ ‎29．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，‎ ‎（1）求CD的长；‎ ‎（2）若直线CD绕点E顺时针旋转15°，交⊙O于点C、D，直接写出弦CD的长．‎ ‎（第29题图）‎ 参考答案 一．1．D【解析】设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则∠APB=90°，∠ABP=75°，因而∠PAB=90°﹣75°=15°，在大量角器中弧PB所对的圆心角是30°，因而P在大量角器上对应的度数为30°．故选D．‎ ‎（第1题答图）‎ ‎【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角是90度．能把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．‎ 2． A【解析】连接AC，如答图.由题意，得BC=OB+OC=9.∵直线L通过点P且与AB垂直，∴直线L是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC=9.在Rt△AOC中，AO==2.∵a＜0，∴a=‎ ‎﹣2，故选A．‎ ‎（第2题答图）‎ ‎【点评】本题考查的是垂径定理、坐标与图形的性质以及勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．　‎ 2． C【解析】如答图，连接OC，OD，PD，CQ．设PC=x，OP=y．∵PC⊥AB，QD⊥AB，∴∠CPO=∠OQD=90°.∵PC=OQ，OC=OD，∴Rt△OPC≌Rt△DQO，∴OP=DQ=y，∴S阴=S四边形PCQD﹣S△PFD﹣‎ S△CFQ=（x+y）2﹣y2﹣x2=xy，观察图象可知xy的值先变大后变小．故选C．‎ ‎（第3题答图）‎ ‎【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分割法求面积，属于中考选择题中的压轴题．　‎ ‎4.A【解析】连接OB，如答图.∵四边形ABCO是菱形，∴OA=AB.∵OA=OB，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB=60°.∵OP⊥AB，∴∠BOP=∠AOB=30°.由圆周角定理得，∠PAB=‎ ‎∠BOP=15°.故选A．‎ ‎（第4题答图）‎ ‎【点评】本题考查的是菱形的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握菱形的性质、圆周角定理、垂径定理是解题的关键．‎ 5． B【解析】有两种情况：①如图，当AB和CD在点O的两旁时.过点O作MN⊥AB于点M，交CD于点N，连接OB，OD.∵AB∥CD，∴MN⊥CD，由垂径定理，得BM=AB=8（cm），DN=CD=6（cm）.∵OB=OD=10cm，由勾股定理，得OM==6（cm），同理ON=8cm，∴MN=8+6=14（cm）.‎ ‎②当AB和CD在点O的同旁时，MN=8﹣6=2（cm）.故选B．‎ ‎ ‎ ‎（第5题答图）‎ ‎【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是理解题意，能得出两种情况，题目比较典型，难度适中．注意要进行分类讨论．　‎ ‎6．B【解析】如图，在弧EF上取一点M使弧EM=弧CD，则弧FM=弧AB，∴AB=FM，CD=EM.‎ 在△MEF中，FM+EM＞EF，∴AB+CD＞EF．故选B．‎ ‎ ‎ ‎（第6题答图）‎ ‎【点评】本题主要考查对三角形的三边关系定理，圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线是解此题的关键．‎ ‎7．B【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=BD=a，∠CAB=∠ACB=60°.∵AB=BD，‎ ‎∴，∴∠AED=∠AOB.∵BC=AB=BD，∴∠D=∠BCD.∵四边形EABD内接于⊙O，∴∠EAB+∠D=180°，即∠EAC+60°+∠D=180°.又∵∠ECA+60°+∠BCD=180°，∴∠ECA=∠EAC，即△EAC是等腰三角形.在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC=∠AOB.∵AC=AB，∴△EAC≌△OAB；‎ ‎∴AE=OA=1．故选B．‎ ‎（第7题答图）‎ ‎【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大；能够发现并证得△EAC≌△OAB是解答此题的关键．　‎ ‎8．解：（1）在同圆或等圆中，如果圆心角相等，所对的弦相等，故本选项错误；（2）根据垂径定理推出弦的中垂线是这条弦所在圆的对称轴，故本选项正确；（3）平分弦（弦不是直径）的直径垂直于这条弦，故本选项错误；（4）如果有一条直角边和斜边相等，则这两个直角三角形不全等，故本选项错误；∴正确的有1个．故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查对圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定，垂径定理等知识点的理解和掌握，能正确运用性质进行判断是解此题的关键． ‎ 9． D【解析】A、连接OA、OC.∵点O是等边三角形ABC的外心，∴AO平分∠BAC，∴点O到AB、AC的距离相等，由折叠，得DO平分∠BDB'，∴点O到AB、DB'的距离相等，∴点O到DB'、AC的距离相等，∴FO平分∠DFG，∠DFO=∠OFG=（∠FAD+∠ADF），由折叠，得∠BDE=∠ODF=（∠DAF+∠AFD），∴∠OFD+∠ODF=（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）=120°，‎ ‎∴∠DOF=60°，同理可得∠EOG=60°，∴∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG，∴△DOF≌△GOF≌△GOE，‎ ‎∴OD=OG，OE=OF，∠OGF=∠ODF=∠ODB，∠OFG=∠OEG=∠OEB，∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，∴AD=CG，AF=CE，∴△ADF≌△CGE，故选项A正确；B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，‎ ‎∴DF=GF=GE，∴△ADF≌△B'GF≌△CGE，∴B'G=AD，∴△B'FG的周长=FG+B'F+B'G=FG+AF+CG=AC（定值），故选项B正确；C、S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE=S△OCF+S△OAF=S△AOC=（定值），故选项C正确；D、S四边形OGB'F=S△OFG+S△B'GF=S△OFD+△ADF=S四边形OFAD=S△OAD+S△OAF=S△OCG+S△OAF=S△OAC﹣S△OFG，过点O作OH⊥AC于点H，∴S△OFG=•FG•OH，由于OH是定值，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，故选项D不一定正确.故选D．‎ ‎（第9题答图）‎ ‎【点评】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、角平分线的性质和判定、三角形和四边形的面积及周长的确定以及折叠的性质，有难度，本题全等的三角形比较多，要注意利用数形结合，并熟练掌握三角形全等的判定，还要熟练掌握角平分线的逆定理的运用，证明FO平分∠DFG是本题的关键，‎ ‎10．C【解析】经过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，∴①错误；任意一个圆一定有内接三角形，并且有多个内接三角形，∴②错误；任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，∴③正确；三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，到三角形的三个顶点距离相等，∴④正确．故选C．‎ ‎【点评】本题考查了确定圆的条件和三角形的外接圆与外心的应用，主要考查学生运用性质进行说理的能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．‎ ‎11．D【解析】设线段BA的中点为E，∵点A（0，4），B（0，﹣6），∴AB=10，E（0，﹣1）．‎ 如答图，过点E在第四象限作EP⊥BA，且EP=AB=5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=5；以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C.∵∠BCA为⊙P的圆周角，∴∠BCA=∠BPA=45°，即则点C即为所求．过点P作PF⊥x轴于点F，则OF=PE=5，PF=OE=1，在Rt△PFC中，PF=1，PC=5，由勾股定理，得CF==7，∴OC=OF+CF=5+7=12.故选D．‎ ‎（第11题答图）‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查了坐标与图形性质、圆周角定理、勾股定理等知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造圆周角以及直角三角形，由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的突破口．　‎ ‎12．A【解析】作AC、AB的垂直平分线交于点O，则点O为△ABC的外接圆圆心，连接OA，‎ 则OA==，故选A．‎ ‎（第12题答图）‎ ‎【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外心的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．　‎ ‎13．C【解析】在PA上截取PE=PB，连接BE.∵△ABC是等边三角形，∠ACB=APB，∴∠ACB=∠APB=60°，AB=BC；∴△BEP是等边三角形，BE=PE=PB；∴∠ACB﹣∠EBC=APB﹣∠EBC=60°﹣∠EBC；∴∠ABE=∠CBP；∵在△ABE与CBP中，，∴△ABE≌△CBP；∴AE=CP；∴AP=AE+PE=PB+PC．∵PB=3，PC=6，∴PA=6+3=9.∵∠BAP=∠DAB（公共角），∠ABC=∠ACB=∠APB=60°，∴△ABD∽△APB，∴=，即=，∴AB=3BD.∵∠PBD=∠PAC，∠BPD=∠APC=60°，∴△BPD∽△APC，∴=，即PD=6×=2.故选C．‎ ‎（第13题答图）‎ ‎【点评】本题通过构造等边三角形，利用等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、求出某些线段的长度，再利用相似的判定定理和性质定理去求出未知线段的长度．　‎ ‎14．D【解析】∵∠BAC=95°，∴△ABC的外心在△ABC的外部，即在x轴的下方.∵外心在线段BC的垂直平分线上，即在直线x=上，∴△ABC的外心在第四象限.故选D．‎ ‎【点评】本题考查的是三角形的外心的确定，掌握外心的概念和外心与锐角、直角、钝角三角形的位置关系是解题的关键，锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部．‎ ‎15．C【解析】A、线段AB的端点A、B和线段AB的中点C不能确定一个圆，故本选项错误；‎ B、当角的两边上的一个点或两个点和角的顶点重合时就不能确定一个圆，故本选项错误；‎ C、经过三角形的三个顶点作圆，有且只有一个圆，故本选项正确；D、矩形的对角线的交点及两个顶点，如果这三个点在一条直线上，就不能确定一个圆，故本选项错误.故选C．‎ ‎【点评】本题考查了确定圆的条件的应用，注意：不在同一直线上的三个点确定一个圆．‎ 二．16．E【解析】从点A开始沿ABCDEFCGA的顺序转一周的路径长是8π+4π=12πcm，蚂蚁直到行走2010π cm所转的周数是2010π÷12π=167…6π．即转167周以后又走了6πcm．从点A到点B所得路径长是2π，再到C的路线长也是2π，从点C到点D，到点E的路线长是2π，则从点A行走6πcm到点E．‎ ‎【点评】本题主要考查了圆的周长的计算，正确而理解蚂蚁行走一周以后又回到A，是一个循环的过程，是解决本题的关键．‎ ‎17．（，2），4【解析】过点M作MN⊥BC于点N，连接CM.∵B（3，0），C（﹣，0），∴OB=3，OC=，∴BC=4.∵MN⊥BC，∴CN=BC=2，∴ON=，∴M（，2），Rt△CMN中，由勾股定理，得CM===4，∴∠MCN=30°，连接EB，∴∠CEB=∠CMN=60°，∴∠ABE=30°，连接AM、EM、AE，∴∠AME=2∠ABE=60°，∴△AME是等边三角形，∴AE=AM=4.∵∠EAB=∠ECB，∠AHE=∠AOC=90°，∴∠AEH=∠CFO.∵∠CFO=∠AFE，∴∠AFE=∠AEH，∴AF=AE=4．‎ ‎（第17题答图）‎ ‎【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、坐标与图形特点、勾股定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．‎ ‎18．否，【解析】‎ MN的长没有变化；理由如下，如答图，延长PN交圆于点E，延长PM交圆于点F，连接EF、OE、OF，作OH⊥EF于点H．根据垂径定理，PN=NE，PM=MF，∴MN∥EF且MN=EF.∵∠MON=120°，∠PNO=∠PMO=90°，∴∠P=60°，∴弦EF的长为定值，MN的长也为定值.在Rt△EOH中，易知∠EOH=60°，∵OE=2，∴EH=OE•sin60°=，∴EF=2，‎ ‎∴MN=EF=.‎ ‎（第18题答图）‎ ‎19．1【解析】（1）如图，连接OA、OD，作OE⊥AC，OF⊥BD，垂足分别为E、F．‎ ‎（第19题答图）‎ ‎∵AC⊥BD，∴∠EMF=∠OFB=∠OEM=90°，∴四边形OEMF为矩形.∵OA=OC=2，OM=√3，设圆心O到AC、BD的距离分别为d、h，则d2+h2=OM2=3．四边形ABCD的面积为：s=|AC|•（|BM|+|MD|）=|AC|•|BD|，从而s=2≤8﹣（d2+h2）=5，当且仅当d=h时取等号，故四边形ABCD的面积最大值为5．‎ ‎（2）四边形ABCD的面积s=2=2=2，‎ 当dh=0即d=0或h=0时（一条弦过原点），s最小，最小值为4．∴四边形ABCD面积最大值与最小值的差5﹣4=1．‎ ‎【点评】本题考查了垂径定理以及坐标与图形的变换，当对角线互相垂直时，四边形的面积等于对角线乘积的一半，这一性质要好好记忆，同时还要注意极值图形的选取方法．　‎ ‎20．2.8【解析】‎ 作OM⊥AB于点M，ON⊥HG于点N，连接OA、OH.∵正方形ABCD和正方形EFGH，∴M、O、N在同一条直线上.∵OM⊥AB，∴AM=AB=3，∴OM==4.设正方形EFGH的边长为x，则ON=x+2.∵ON⊥HG，∴NH=HG=x，则（x+2）2+（x）2=25，解得x=2.8．‎ ‎（第20题答图）‎ ‎【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理和正方形的性质，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．‎ ‎21．37.5【解析】如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC.∵CD=15cm，AB=60cm，CD⊥AB，∴OC⊥AB，∴AD=AB=30cm，∴设半径为rcm，则OD=（r﹣15）cm.根据题意，得r2=（r﹣15）2+302，解得r=37.5．∴这个摆件的外圆半径长为37.5cm.‎ ‎（第21题答图）‎ ‎【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．　‎ ‎22．2【解析】连接BO并延长交AC于点F，如图.∵BA=BC，∴=，∴BF⊥AC.∵直径MN⊥BC，∴BD=CD.∵∠BOD=∠EOF，∴Rt△BOD∽Rt△EOF，∴===.设OF=x，则OD=x，∵∠DBO=∠DEC，∴Rt△DBO∽Rt△DEC，∴=，即=，而BD=CD，‎ ‎∴DB2=x（x+2）=3x2+2x，在Rt△OBD中，3x2+2x+3x2=（2）2，解得x1=，x2=﹣（舍去），∴OD=x=2．‎ ‎（第22题答图）‎ ‎【点评】本题考查了三角形外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理．熟练应用相似比是解决问题的关键．‎ ‎23．13【解析】连接OP，OQ.∵DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，∴H、I是AC、BD的中点，∴OH+OI=（AC+BC）=9.∵MH+NI=AC+BC=18，MP+NQ=14，‎ ‎∴PH+QI=18﹣14=4，∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=9+4=13．‎ ‎ ‎ ‎（第23题答图）‎ ‎【点评】本题考查了中位线定理，解题的关键是正确的作出辅助线，题目中还考查了垂径定理的知识，难度不大．　‎ ‎24．2【解析】过B作BD∥AC交x轴于D.∵C是OB的中点，∴OA=AD，∴AC=BD，∴当BD取最小值时，AC最小，由图可知：当BD经过M时，线段BD的长最小，此时AC有最小值.‎ ‎∵A（3，0），∴D（6，0）.∵M（3，4），∴DM==5，∴BD=5﹣1=4，∴AC=BD=2，即线段AC的最小值为2；‎ ‎（第24题答图）‎ ‎【点评】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理，确定线段长的最值问题，可以利用本身垂线段最短或两点之间线段最短来确定，也可以利用另一量来确定，本题是利用BD的长度来解决问题，是中考填空题的压轴题．‎ ‎25．2.5【解析】解可得方程x2﹣7x+12=0得，x1=3，x2=4，∴斜边边长为5，即直角三角形外接圆的直径是5，∴半径等于2.5．‎ ‎【点评】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．　‎ 三．26．解：（1）设OC=x.‎ ‎∵弦CD垂直平分半径AO，‎ ‎∴OE=OA=x.‎ ‎∵PC⊥OC，CD⊥OP，‎ ‎∴∠PCO=∠CEO=90°，‎ ‎∴∠P+∠COP=90°，∠ECO+∠COP=90°，‎ ‎∴∠P=∠ECO，‎ ‎∴△CEO∽△PCO，‎ ‎∴，‎ ‎∴=，‎ x=6，‎ 则⊙O的半径为6；‎ ‎（2）由（1），得OC=6，OE=3，‎ 由勾股定理，得CE==3，‎ ‎∵CD⊥OA，‎ ‎∴CD=2CE=6．‎ ‎【点评】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．　‎ ‎27．解：作OF⊥AC于点F，延长OF交CD于点G，如答图.‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴F是AC的中点.‎ ‎∵AE垂直于弦AC，‎ ‎∴AE∥OG，‎ ‎∴G是EC的中点，‎ ‎∴GF=AE.‎ ‎∵AE∥OG，DA=OA，‎ ‎∴E是DG的中点，‎ ‎∴AE是△ODG的中位线，‎ ‎∴AE=OG，‎ ‎∴AE=（OF+GF）=（OF+AE），‎ ‎∴=.‎ ‎∵△AEC的面积=AE•AC，△AOC的面积=AC•OF，‎ ‎∴S△AEC：S△AOC==．‎ ‎（第27题答图）‎ ‎【点评】本题考查了垂径定理、平行线的判定与性质、三角形中位线定理、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定的难度，需要通过作辅助线运用三角形中位线的定理才能得出结果．　‎ ‎28．解：如图，连接OC，延长AE交⊙O于点H，连接BH；‎ 过点O作ON⊥BH于点N，交CD于点M；‎ 则HN=BN，CM=DM=CD=8，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠AHB=90°.‎ ‎∵AE⊥CD，‎ ‎∴CD∥BH.‎ ‎∵ON⊥BH，BF⊥CD，‎ ‎∴EH=MN=BF（设为x）.‎ ‎∵AO=B0，HN=BN，‎ ‎∴ON为△ABH的中位线，‎ ‎∴AH=2ON，‎ 即AE+x=2（OM+x），AE﹣x=2OM；‎ 由勾股定理，得 OM2=OC2﹣CG2=100﹣64=36，‎ ‎∴OM=6，2OM=12；‎ ‎∴AE﹣BF=12．‎ ‎（第28题答图）‎ ‎【点评】该命题以圆为载体，以垂径定理、勾股定理、三角形的中位线定理等几何知识点为考查的核心构造而成；对综合的分析问题、解决问题的能力提出了较高的要求．　‎ ‎29．解：（1）作OH⊥CD于点H，连接OD.‎ ‎∵AE=1cm，BE=5cm，E在直径AB上，‎ ‎∴AB=1cm+5cm=6cm，半径OD=3cm.‎ ‎∵在Rt△OHE中，OE=3cm﹣1cm=2cm，∠OEH=60°，‎ ‎∴OH=cm.‎ 在Rt△OHD中，由勾股定理，得HD=cm.‎ ‎∵OH⊥CD，‎ ‎∴由垂径定理，得DC=2DH=2cm；‎ ‎（2）作OH⊥CD于点H，连接OD.‎ ‎∵AE=1cm，BE=5cm，E在直径AB上，‎ ‎∴AB=1cm+5cm=cm6，半径OD=3cm.‎ ‎∵若直线CD绕点E顺时针旋转15°，‎ ‎∴∠OEH=60°﹣15°=45°.‎ 在Rt△OHE中，OE=3cm﹣1cm=2cm，∠OEH=45°，‎ ‎∴OH=cm，‎ 在Rt△OHD中，由勾股定理，得HD==（cm）.‎ ‎∵OH⊥CD，‎ ‎∴由垂径定理，得DC=2DH=2cm，‎ 即CD=2cm．‎ ‎【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形性质等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．‎ ‎　‎ ‎24.3 圆周角 一．选择题（共10小题）‎ ‎1．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（　　）‎ ‎（第1题图）‎ A．50° B．60° C．80° D．100°‎ ‎2．如图，A、B、C是⊙O上的三点，若∠A+∠C=75°，则∠AOC的度数为（　　）‎ ‎（第2题图）‎ A．150° B．140° C．130° D．120°‎ ‎3．如图，AB是⊙O的直线，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD=130°，则∠C的度数是（　　）‎ ‎（第3题图）‎ A．50° B．60° C．25° D．30°‎ ‎4．如图，已知AB是⊙O的直径，∠CBA=25°，则∠D的度数为（　　）‎ ‎（第4题图）‎ A．25° B．50° C．65° D．75°‎ ‎5．如图，点A、B、C是⊙O上的点，∠AOB=80°，则∠ACB的度数是（　　）‎ ‎（第5题图）‎ A．30° B．40° C．45° D．80°‎ ‎6．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上位于AB异侧的两个点，当点C把半圆三等分时，∠D的度数为（　　）‎ ‎（第6题图）‎ A．30° B．45° C．60° D．30°或60°‎ ‎7．如图，AB、BC是⊙O的弦，OM∥BC交AB于点M，若∠AOC=100°，则∠AMO的度数为（　　）‎ ‎（第7题图）‎ A．50° B．35° C．25° D．20°‎ ‎8．如图，△ABC⊙O，⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB=52°，D是上一点，则∠D的度数是（　　）‎ ‎（第8题图）‎ A．52° B．38° C．19° D．26°‎ ‎9．在半径为R的圆内，长为R的弦所对的圆周角为（　　）‎ A．30°或150° B．60°或120° C．60° D．30°‎ ‎10．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为（　　）‎ ‎（第10题图）‎ A．100° B．110° C．120° D．130°　‎ 二．填空题（共7小题）‎ ‎11．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，已知CP=3，PD=4，AP=2，那么AB=　 　．‎ ‎（第11题图）‎ ‎12．如图，⊙O中弦AB，CD相交于点P，已知AP=3，BP=2，CP=1，则DP=　 　．‎ ‎（第12题图）‎ ‎13．如图，点P为弦AB上的一点，连接OP，过点P作PC⊥OP，PC交⊙O于点C，若AP=9，BP=4，则PC=　 　．‎ ‎（第13题图）‎ ‎14．如图在⊙O中，弦AB、CD交于点P，如果CP=6，DP=3，AB=11，则AP=　 　．‎ ‎（第14题图）‎ ‎15．如图，在直径为6的半圆上有两动点M、N，弦AM、BN相交于点P，则AP•AM+BP•BN的值为　 　．‎ ‎（第15题图）‎ ‎16．如图，已知弦AB、CD交于⊙O内一点P，AP=6，PB=8，CP：DP=1：2，则弦CD的长为　 　．‎ ‎（第16题图）‎ ‎17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AP：PB=1：4，CD=8，则AB=　 　．‎ ‎（第17题图）‎ ‎　‎ 三．解答题（共4小题）‎ ‎18．如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，的度数为70°．求∠EOC的度数．‎ ‎（第18题图）‎ ‎19．已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于点D，BC于点E，连接ED，若ED=EC．‎ ‎（1）求证：AB=AC；‎ ‎（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．‎ ‎（第19题图）‎ ‎20．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．‎ ‎（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；‎ ‎（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．‎ ‎（第20题图）‎ ‎21．已知：如图1，在⊙O中，直径AB=4，CD=2，直线AD，BC相交于点E．‎ ‎（1）∠E的度数为　 　；‎ ‎（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求出∠E的度数；‎ ‎（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（第21题图）‎ 参考答案 一．1．D【解析】在圆上取一点A，连接AB，AD.∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°.故选D．‎ ‎（第1题答图）‎ ‎【点评】此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．‎ ‎2．A【解析】∵A、B、C是⊙O上的三点，∠A+∠C=75°，∴∠B=75°，∴∠AOC=2∠B=150°．故选A．‎ ‎【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．　‎ ‎3．C【解析】∵∠AOD=130°，∴∠C=90°﹣.故选C．‎ ‎【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．　‎ ‎4．C【解析】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°.∵∠CBA=25°，∴∠CAB=90°﹣∠CBA=65°，∴∠D=∠CAB=65°．故选C．‎ ‎【点评】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握直径所对的圆周角等于直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．‎ ‎5．B【解析】∵∠AOB=80°，∴∠ACB=∠AOB=40°．故选B．‎ ‎【点评】本题考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．‎ ‎6．D 【解析】连接OC，∵点C把半圆三等分，∴∠AOC=120°，∴∠D=60°或90°﹣60°=30°.故选D．‎ ‎（第6题答图）‎ ‎【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据圆周角定理解答．‎ ‎7．A【解析】∵∠AOC=2∠B，∠AOC=100°，∴∠B=50°.∵OM∥BC，∴∠AMO=∠B=50°，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理，并找到∠AMO与∠B的关系，已知角与∠B的关系，从而求出角的度数．　‎ ‎8．B【解析】∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°.∵∠ACB=52°，∴∠A=90°﹣∠ACB=38°，‎ ‎∴∠D=∠A=38°．故选B．‎ ‎【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．　‎ ‎9．A【解析∵半径为R，长度为R的弦，∴这条弦和两条半径组成了一个等边三角形，∴该弦所对的圆心角是60°，①当圆周角的顶点在优弧上时，得此圆周角等于30°；②当圆周角的顶点在劣弧上，得此圆周角等于150°.故选A．‎ ‎【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，注意：此类题一定要分情况考虑．即一条弦所对的圆周角有两种情况，且两种情况中的角是互补的关系．　‎ ‎10．B【解析】∵∠BOC=40°，∴∠AOC=180°﹣40°=140°，∴∠D=.故选B．‎ ‎【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据互补得出∠AOC的度数．　‎ 二．11．8【解析】由相交弦定理，得PA•PB=PC•PD，∴BP===6，‎ ‎∴AB=8.‎ ‎【点评】本题主要考查相交弦定理：圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等．　‎ ‎12．6【解析】由相交弦定理，得AP•BP=CP•DP，则DP==6，‎ ‎【点评】本题考查的是相交弦定理的应用，相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．　‎ ‎13．6【解析】延长CP交⊙O于点D.∵PC⊥OP，∴PC=PD.∵PC•PD=PA•PB，∴PC2=PA•PB.‎ ‎∵AP=9，BP=4，∴PC2=4×9.解得PC=6．‎ ‎（第13题答图）‎ ‎【点评】本题考查了相交弦定理与垂径定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．　‎ ‎14．2或9【解析】根据相交弦定理，得AP•PB=CP•DP.∵AB=11，∴AP（11﹣AP）=CP•DP，∴AP2﹣11AP+18=0，∴AP=2或9．‎ ‎【点评】此题主要是运用了相交弦定理．　‎ ‎15．36【解析】连接AN、BM.∵AB是直径，∴∠AMB=90°，∴BP2=MP2+BM2 ．∵AP•PM=BP•PN，‎ 原式=AP（AP+PM）+BP（BP+PN）=AP2+AP•PM+BP2+BP•PN ‎=AP2+BP2+2AP•PM ‎=AP2+MP2+BM2+2AP•PM ‎=BM2+（AP+PM）2=BM2+AM2=AB2=36．‎ ‎（第15题答图）‎ ‎【点评】本题利用了圆周角定理和相交弦定理，勾股定理求解．　‎ ‎16．6【解析】∵CP：DP=1：2，∴DP=2CP.∵PA•PB=PC•PD，∴6×8=PC×2PC.解得PC=2（舍去负值）∴CD=PC+PD=3PC=6．‎ ‎【点评】本题主要考查相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”的应用．‎ ‎17．10【解析】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=8，∴CP=4.根据相交弦定理，得16=AP×4AP，解得AP=2，∴AB=10．‎ ‎【点评】本题主要考查了垂径定理及相交弦定理．‎ 三、18.解：连接OE.‎ ‎∵的度数为70°，‎ ‎∴∠AOC=70°.‎ ‎∵CE∥AB，‎ ‎∴∠C=∠AOC=70°.‎ ‎∵OC=OE，‎ ‎∴∠C=∠E=70°，‎ ‎∴∠EOC=180°﹣70°﹣70°=40°．‎ ‎（第18题答图）‎ ‎【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握平行线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．‎ ‎19.（1）证明：∵ED=EC，‎ ‎∴∠EDC=∠C.‎ ‎∵∠EDC=∠B，（∠EDC+∠ADE=180°，∠B+∠ADE=180°，∴∠EDC=∠B）‎ ‎∴∠B=∠C，‎ ‎∴AB=AC.‎ ‎（2）方法一：‎ 解：连接AE.‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴AE⊥BC.‎ 由（1）知，AB=AC，‎ ‎∴BE=CE=BC=.‎ ‎∵△CDE∽△CBA，‎ ‎∴，‎ ‎∴CE•CB=CD•CA，AC=AB=4，‎ ‎∴•2=4CD，‎ ‎∴CD=．‎ 方法二：‎ 解：连接BD，‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴BD⊥AC，‎ 设CD=a.‎ 由（1）知AC=AB=4，‎ 则AD=4﹣a.‎ 在Rt△ABD中，由勾股定理，可得 BD2=AB2﹣AD2=42﹣（4﹣a）2‎ 在Rt△CBD中，由勾股定理，可得 BD2=BC2﹣CD2=（2）2﹣a2‎ ‎∴42﹣（4﹣a）2=（2）2﹣a2‎ 整理，得a=，‎ 即CD=．‎ ‎ ‎ ‎（第19题答图）‎ ‎【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎20.解：（1）∵AB是半圆O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°.‎ 又∵OD∥BC，‎ ‎∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，∠AOD=∠B=70°．‎ ‎∵OA=OD，‎ ‎∴∠DAO=∠ADO===55°，‎ ‎∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；‎ ‎（2）在直角△ABC中，BC===．‎ ‎∵OE⊥AC，‎ ‎∴AE=EC.‎ 又∵OA=OB，‎ ‎∴OE=BC=．‎ 又∵OD=AB=2，‎ ‎∴DE=OD﹣OE=2﹣．‎ ‎21.解：（1）如图1，连结OD，OC，BD.‎ ‎∵OD=OC=CD=2，‎ ‎∴△DOC为等边三角形，‎ ‎∴∠DOC=60°，‎ ‎∴∠DBC=30°，‎ ‎∴∠EBD=30°.‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∴∠E=90°﹣300=600，‎ ‎∠E的度数为600；‎ ‎（2）①如图2，直线AD，CB交于点E，连结OD，OC，AC．‎ ‎∵OD=OC=CD=2，‎ ‎∴△DOC为等边三角形，‎ ‎∴∠DOC=60°，‎ ‎∴∠DAC=30°，‎ ‎∴∠EBD=30°.‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∴∠E=90°﹣30°=60°，‎ ‎（3）如图3，连结OD，OC，‎ ‎ ‎ ‎（第21题答图）‎ ‎∵OD=OC=CD=2，‎ ‎∴△DOC为等边三角形，‎ ‎∴∠DOC=60°，‎ ‎∴∠CBD=30°，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∴∠BED=60°，‎ ‎∴∠AEC=60°．‎ ‎【点评】本题考查的是圆周角定理及其推论、等边三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形，利用直径所对的圆周角是直角进行解答．‎ ‎　‎ ‎24.4 直线与圆的位置关系 一．选择题（共8小题）‎ ‎1．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（　　）‎ ‎（第1题图）‎ A．20cm B．15cm C．10cm D．随直线MN的变化而变化 ‎2．以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若，且AB=10，则CB的长为（　　）‎ ‎ ‎ ‎（第2题图）‎ A． B． C． D．4‎ ‎3．以正方形ABCD的BC边为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB边于点E．则三角形ADE和直角梯形EBCD的周长之比为（　　）‎ ‎（第3题图）‎ A．3：4 B．4：5 C．5：6 D．6：7‎ ‎4．设H为锐角△ABC的三条高AD、BE、CF的交点，若BC=a，AC=b，AB=c，则AH•AD+BH•BE+CH•CF等于（　　）‎ A．（ab+bc+ca） B．（a2+b2+c2） C．（ab+bc+ca） D．（a2+b2+c2）‎ ‎5．如图，圆的半径等于正三角形ABC的高，此圆在沿底边AB滚动，切点为T，圆交AC、BC于M、N，则对于所有可能的圆的位置而言，的度数为（　　）‎ ‎（第5题图）‎ A．从30°到60°变动 B．从60°到90°变动 C．保持30°不变 D．保持60°不变 ‎6．如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（　　）‎ ‎（第6题图）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎7．如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（　　）‎ ‎（第7题图）‎ A．30° B．35° C．40° D．45°‎ ‎8．如图，菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，AO=10，则⊙O的半径等于（　　）‎ ‎（第8题图）‎ A．5 B．6 C．2 D．3　‎ 二．填空题（共9小题）‎ ‎9．如图，某机械传动装置在静止状态时，连杆PA与点A运动所形成的⊙O交于点B，现测得PB=4cm，AB=5cm，⊙O的半径R=4.5cm，此时P点到圆心O的距离是　 　cm．‎ ‎ ‎ ‎（第9题图）‎ ‎10．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，连接AB，并在其延长线上取点P，过点P作⊙O1、⊙O2的切线PC、PD，切点分别为C、D，若PC=6，则PD=　 　．‎ ‎（第10题图）‎ ‎11．已知四边形ABCD是圆内接四边形，两组对边延长后分别交于点E，F，且EA•ED=25，FC•FD=144，则EF=　 　．‎ ‎12．如图，在△ABC中，∠B=36°，∠ACB=128°，∠CAB的平分线交BC于点M，△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于点N，则△ANM的最小角等于　 　．‎ ‎（第12题图）‎ ‎13．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为　 　．‎ ‎（第13题图）‎ ‎14．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，‎ 使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，‎ 则CF的长为　 　．‎ ‎（第14题图）‎ ‎15．如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT=40°，则∠ATB=　 　．‎ ‎（第15题图）‎ ‎16．如图，已知∠AOB=30°，在射线OA上取点O1，以O1为圆心的圆与OB相切；在射线O1A上取点O2，以O2为圆心，O2O1为半径的圆与OB相切；在射线O2A上取点O3，以O3为圆心，O3O2为半径的圆与OB相切；…；在射线O9A上取点O10，以O10为圆心，O10O9为半径的圆与OB相切．若⊙O1的半径为1，则⊙O10的半径长是　 　．‎ ‎（第16题图）‎ ‎17．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y=﹣x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是　 　．‎ ‎（第17题图）‎ 三．解答题（共23小题）‎ ‎18．如图，已知P是⊙O外一点，PS，PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A、B两点，并交ST于点C．‎ 求证：．‎ ‎（第18题图）‎ ‎19．如图，Rt△BDE中，∠BDE=90°，BC平分∠DBE交DE于点C，AC⊥CB交BE于点A，△ABC的外接圆的半径为r．‎ ‎（1）若∠E=30°，求证：BC•BD=r•ED；‎ ‎（2）若BD=3，DE=4，求AE的长．‎ ‎（第19题图）‎ ‎20．如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F．AD，BE相交于点G，连接BD．‎ ‎（1）求BD的长；‎ ‎（2）求∠ABE+2∠D的度数；‎ ‎（3）求的值．‎ ‎ （第20题图）‎ ‎21．如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交于CA的延长线于点E，∠EBC=2∠C．‎ ‎（1）求证：AB=AC；‎ ‎（2）当=时，①求tan∠ABE的值；②如果AE=，求AC的值．‎ ‎（第21题图）‎ ‎22．如图，⊙Ol和⊙O2内切于点P，过点P的直线交⊙Ol于点D，交⊙O2于点E，DA与⊙O2相切，切点为C．‎ ‎（1）求证：PC平分∠APD；‎ ‎（2）求证：PD•PA=PC2+AC•DC；‎ ‎（3）若PE=3，PA=6，求PC的长．‎ ‎（第22题图）‎ 参考答案 一．1．A【解析】∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，D是其中的一个切点，AD=10cm，∴设E、F分别是⊙O的切点，故DM=MF，FN=EN，AD=AE，∴AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20（cm）．故选A．‎ ‎（第1题答图）‎ ‎【点评】此题主要考查了切线长定理，得出AM+AN+MN=AD+AE是解题的关键．‎ ‎2．A【解析】如图，若 ‎，且AB=10，∴AD=4，BD=6，作AB关于直线BC的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，可得A、C、A′三点共线.∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称，∴AB=A′B，∴AC=A′C，AD=A′D′=4，A′B=AB=10．而A′C•A′A=A′D′•A′B，即A′C•2A′C=4×10=40．则A′C2=20.又∵A′C2=A′B2﹣CB2，∴20=100﹣CB2，∴CB=4．‎ 故选A．‎ ‎（第2题图）‎ ‎【点评】此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，要善于观察图形的特点，然后做出解答．‎ ‎3．D【解析】根据切线长定理，得BE=EF，DF=DC=AD=AB=BC．设EF=x，DF=y，则在直角△AED中，AE=y﹣x，AD=CD=y，DE=x+y．根据勾股定理，可得（y﹣x）2+y2=（x+y）2，∴y=4x，∴三角形ADE的周长为12x，直角梯形EBCD的周长为14x，∴两者周长之比为12x：14x=6：7．‎ 故选D．‎ ‎【点评】此题考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出EB=EF，DF=DC，从而求解．‎ ‎4．B【解析】AH•AD=AC•AE=AC•AB•cos∠BAE=（b2+c2﹣a2），同理BH•BE=（a2+c2﹣b2），CH•CF=（a2+b2﹣c2），故AH•AD+BH•BE+CH•CF=（a2+b2+c2）．故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查了切割线定理，理解H、D、C、E四点共圆是解决本题的关键．‎ ‎5．D【解析】过点O作OH∥AC，交AB与点H，交BC于点Z，过点O作OE∥BC，交AB的延长线于点E，连接OM，ON，过点M作MG⊥OH于点G，作NK⊥OE于点K.∵△ACB是等边三角形，∴∠A=∠ACB=∠ABC=60°．∵OE∥BC，∴∠ACB=∠CZO=60°．∴∠HZB=60°．∵OE∥CB，∴∠EOH=∠HZB=60°．∵OC∥AB，∴四边形AHOC是平行四边形，∴∠A=∠COZ=60°，∴△OZC是等边三角形.∵MG⊥OH，NK⊥OH，∴MG，NK均为△OZC的高，∴MG=NK．在Rt△OMG与Rt△ONK中，∵，∴△OMG≌△ONK（HL），∴∠MOG=∠KON，∴∠MON=60°，∴的度数为60°．故选D．‎ ‎（第5题答图）‎ ‎【点评】本题考查的是切线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形及等边三角形，利用圆心角与弧的关系求解是解答此题的关键．　‎ ‎6．C【解析】连接DG、AG，作GH⊥AD于点H，连接OD，如图.∵G是BC的中点，∴AG=DG，∴GH垂直平分AD，∴点O在HG上.∵AD∥BC，∴HG⊥BC，∴BC与圆O相切.∵OG=OD，∴点O不是HG的中点，∴圆心O不是AC与BD的交点.而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，∴AF与DE的交点是圆O的圆心；∴（1）错误，（2）（3）正确．故选C．‎ ‎（第6题答图）‎ ‎【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了矩形的性质．‎ ‎7．D【解析】∵直线AB是⊙O的切线，C为切点，∴∠OCB=90°.∵OD∥AB，∴∠COD=90°，‎ ‎∴∠CED=∠COD=45°.故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理．‎ ‎8．C【解析】如图作DH⊥AB于点H，连接BD，延长AO交BD于点E．‎ ‎（第8题答图）‎ ‎∵菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∴AB•DH=320，∴DH=16.在Rt△ADH中，AH==12，∴HB=AB﹣AH=8.在Rt△BDH中，BD==8.设⊙O与AB相切于F，连接OF．∵AD=AB，OA平分∠DAB，∴AE⊥BD.∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°，‎ ‎∴∠OAF=∠BDH，∵∠AFO=∠DHB=90°，∴△AOF∽△DBH，∴=，∴=，‎ ‎∴OF=2．故选C．‎ ‎【点评】本题考查切线的性质、菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．‎ 二．9．7.5【解析】连接PO交圆于点C，并延长PO交圆于点D.∵PB=4cm，AB=5cm，∴PA=9cm；‎ 由割线定理，得PB•PA=PC•PD；设点P到圆心的距离是xcm，则有（x﹣4.5）（x+4.5）=36，‎ 解得x=7.5cm．故P到O点的距离为7.5cm．‎ ‎（第9题答图）‎ ‎【点评】此题要通过作辅助线构造割线，然后运用割线定理列方程求解．‎ ‎10．6【解析】∵依题意，可得PC2=PB•PA，PD2=PA•PB，∴PC2=PD2.∵PC=6，∴PC=PD=6．‎ ‎【点评】注意：切割线定理和割线定理必须在同一个圆中运用；这里借助割线PBA建立了两条切线长的相等关系．　‎ ‎11．13【解析】∵∠A=∠BCF=∠CFE+∠CE∴在∠A内作∠EAG交EF于点G，使∠EAG=∠DFE，则∠FAG=∠FEB.在△EAG和△EFD中，∠EAG=∠DFE，∠AEG=∠FED，则△EAG∽△EFD，∴EA：EF=EG：ED，即EG×EF=EA×ED（1）.在△EFB和△AFG中，∠FAG=∠FEB，∠AFG=∠EFB，‎ 所以△EFB∽△AFG，∴AF：EF=FG：FB，即FG×EF=AF×BF （2），（1）+（2），得EG×EF+FG×EF=EA×ED+AF×BF，EF×（EG+FG）=EA×ED+AF×BF，即EF2=EA×ED+AF×BF，由割线定理，得到AF×BF=FC×FD，∴EF2=EA×ED+FC×FD=25+144=169，因此EF=13．‎ ‎（第11题答图）‎ ‎【点评】本题巧妙地从△EAG∽△EFD和△EFB∽△AFG得到的结论，同切割定理结合起来，从而解得．　‎ ‎12．44°【解析】∵∠B=36°，∠ACB=128°，AM为∠CAB的平分线，∴∠CAM=∠MAB=×（180°﹣36°﹣128°）=8°.∵∠AMC=36°+8°=44°，又AN为切线，∴∠NAC=∠B=36°，∠NAM=44°，∴∠N=180°﹣44°﹣44°=92°，∴△ANM的最小角为44°．‎ ‎【点评】本题考查了切线的性质、三角形的内角和定理是基础知识比较简单．　‎ ‎13．3或4【解析】如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=x．‎ ‎ ‎ ‎（第13题答图）‎ 在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，∴x2=42+（8﹣x）2，∴x=5，∴PC=5，BP=BC﹣PC=8﹣5=3．‎ 如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．‎ ‎∴PM=PK=CD=2BM，∴BM=4，PM=8，在Rt△PBM中，PB==4．综上所述，BP的长为3或4．‎ ‎【点评】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．‎ ‎　‎ ‎14．4【解析】连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，则∠OEB′=∠OHB′=90°.‎ ‎∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，∴∠B′=∠B′CD′=90°，AB=CD=5、BC=B′C=4，∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE=OD=OC=2.5，∴B′H=OE=2.5，‎ ‎∴CH=B′C﹣B′H=1.5，∴CG=B′E=OH===2.∵四边形EB′CG是矩形，∴∠OGC=90°，即OG⊥CD′，∴CF=2CG=4．‎ ‎（第14题答图）‎ ‎【点评】本题主要考查圆的切线的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、垂径定理等知识点．‎ ‎15．50°【解析】∵AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，∴∠BAT=90°.∵∠ABT=40°，∴∠ATB=50°.‎ ‎【点评】本题考查切线的性质，解题的关键是根据切线的性质求出∠ATB=90°，本题属于基础题型．‎ ‎16．29【解析】作O1C、O2D、O3E分别⊥OB.∵∠AOB=30°，∴OO1=2CO1，OO2=2DO2，OO3=2EO3.‎ ‎∵O1O2=DO2，O2O3=EO3，∴圆的半径呈2倍递增，∴⊙On的半径为2n﹣1 CO1.∵⊙O1的半径为1，‎ ‎∴⊙O10的半径长=29，‎ ‎（第16题答图）‎ ‎【点评】本题考查了圆切线的性质，考查了30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中找出圆半径的规律是解题的关键．‎ ‎17．2【解析】如图，作AP⊥直线y=﹣‎ x+3，垂足为P，作⊙A的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小.∵A的坐标为（﹣1，0），设直线与x轴，y轴分别交于C，B，∴B（0，3），C（4，0），∴OB=3，AC=5，∴BC==5，∴AC=BC，在△APC与△BOC中，，∴△APC≌△BOC，∴AP=OB=3，∴PQ==2．∵PQ2=PA2﹣1，此时PA最小，所以此时切线长PQ也最小，最小值为2．‎ ‎（第17题答图）‎ ‎【点评】本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．　‎ 三．18．证明：连PO交ST于点D，则PO⊥ST，连接SO，作OE⊥PB于E，则E为AB中点，‎ 于是.‎ 因为C、E、O、D四点共圆，‎ 所以PC•PE=PD•PO.‎ 又因为Rt△SPD∽Rt△OPS，‎ 所以，‎ 即PS2=PD•PO，‎ 而由切割线定理知，PS2=PA•PB，‎ 所以.‎ 即.‎ ‎（第18题答图）‎ ‎【点评】本题主要考查了切割线定理以及三角形相似的证明，注意对比例式的变形是解题关键．　‎ ‎19．（1）证明：取AB中点O，△ABC是Rt△，AB是斜边，O是外接圆心，连接CO，‎ ‎∴BO=CO，∠BCO=∠OBC.‎ ‎∵BC是∠DBE平分线，‎ ‎∴∠DBC=∠CBA，‎ ‎∴∠OCB=∠DBC，‎ ‎∴OC∥DB，（内错角相等，两直线平行），‎ ‎∴，把比例式化为乘积式，得BD•CE=DE•OC.‎ ‎∵OC=r，‎ ‎∴BD•CE=DE•r．‎ ‎∵∠D=90°，∠E=30°，‎ ‎∴∠DBE=60°，‎ ‎∴∠CBE=∠DBE=30°，‎ ‎∴∠CBE=∠E，‎ ‎∴CE=BC，‎ ‎∴BC•BD=r•ED．‎ ‎（2）解：BD=3，DE=4，根据勾股定理，BE=5.‎ 设圆的半径长是r，则OC=OA=r.‎ ‎∵OC∥DB，‎ ‎∴△OCE∽△BDE，‎ ‎∴==，即==，‎ 解得OE=r，CE=r，CH==r.‎ ‎∵BC平分∠DBE交DE于点C，则△BDC≌△BHC，‎ ‎∴BH=BD=3，则HE=2．‎ ‎∴CD=CH=r．‎ 在直角△CHE中，根据勾股定理，得CH2+EH2=CE2，‎ 即（r）2+22=（r）2，解得r=，‎ 则AE=BE﹣2r=5﹣=．‎ ‎ ‎ ‎（第19题答图）‎ ‎【点评】本题考查的是切割线定理，切线的性质定理，勾股定理．　‎ ‎20．解：（1）连接OC，BD.∵AB是小圆的切线，C是切点，‎ ‎∴OC⊥AB，‎ ‎∴C是AB的中点．‎ ‎∵AD是大圆的直径，‎ ‎∴O是AD的中点．‎ ‎∴OC是△ABD的中位线．‎ ‎∴BD=2OC=10．‎ ‎（2）连接AE．‎ 由（1）知，C是AB的中点．‎ 同理F是BE的中点．‎ 即AB=2BC，BE=2BF，‎ 由切线长定理，得BC=BF．‎ ‎∴BA=BE．‎ ‎∴∠BAE=∠E．‎ ‎∵∠E=∠D，‎ ‎∴∠ABE+2∠D=∠ABE+∠E+∠BAE=180°．‎ ‎（3）连接BO.在Rt△OCB中.‎ ‎∵OB=13，OC=5，‎ ‎∴BC=12．‎ 由（2）知，∠OBG=∠OBC=∠OAC．‎ ‎∵∠BGO=∠AGB，‎ ‎∴△BGO∽△AGB．‎ ‎∴．‎ ‎（第20题答图）‎ ‎【点评】在解本题的过程中要用到切线长定理，中位线定理，相似三角形的判定等知识，要求学生熟练掌握和应用．　‎ ‎21．（1）证明：∵BE切⊙O于点B，‎ ‎∴∠ABE=∠C．‎ ‎∵∠EBC=2∠C，即∠ABE+∠ABC=2∠C．‎ ‎∴∠ABC=∠C．‎ ‎∴AB=AC．‎ ‎（2）解：①如图，连接AO，交BC于点F.‎ ‎∵AB=AC，∴，‎ ‎∴AO⊥BC，且BF=FC．‎ ‎∵，∴∴；‎ 设AB=m，BF=2m，‎ 由勾股定理，得AF==；‎ ‎∴tan∠ABE=tan∠ABF=．‎ ‎②在△EBA和△ECB中，‎ ‎∵∠E=∠E，∠EBA=∠ECB，∴△EBA∽△ECB，‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴EB=EA.※‎ 由切割线定理，得EB2=EA×EC=EA（EA+AC）.‎ 将（※）式代入上式，得EA2=EA（EA+AC）；‎ ‎∵EA≠0，‎ ‎∴AC=EA=×=4．‎ ‎（第21题答图）‎ ‎【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，对应边的比相等，以及切割线定理．　‎ ‎22．解：（1）过点P作两圆的公切线PT.‎ 根据弦切角定理，得∠PCD=∠PBC，∠PCB=∠PDC.‎ ‎∴∠DPC=∠APC，‎ ‎∴PC平分∠APD；‎ ‎（2）∵AC•DC=PC•CF，‎ ‎∴PC2+AC•DC=PC2+PC•CF=PC（PC+CF）=PC•PF．‎ ‎∵△PDC∽△PFA，‎ ‎∴PC•PF=PD•PA，‎ ‎∴PD•PA=PC2+AC•DC；‎ ‎（3）∵△PCA∽△PEC，‎ ‎∴=，‎ 即PC2=PA•PE.‎ ‎∵PE=3，PA=6，‎ ‎∴PC=3．‎ ‎（第22题答图）‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、弦切角定理等知识，综合性强，难度较大．‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　24.5 三角形的内切圆 一．选择题（共9小题）‎ ‎1．已知在△ABC中，∠C=90°，BC=a，CA=b，AB=c，⊙O与三角形的边相切，则下列选项，⊙O的半径为的是（　　）‎ ‎ ‎ A B ‎ ‎ C D ‎2．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC=（　　）‎ ‎（第2题图）‎ A．100° B．75° C．115° D．105°‎ ‎3．△ABC的三边长分别为6、8、10，则其内切圆和外接圆的半径分别是（　　）‎ A．2，5 B．1，5 C．4，5 D．4，10‎ ‎4．如图，⊙O是△ABC内切圆，切点分别是D、E、F，已知∠B=50°，则∠DFE的度数是（　　）‎ ‎（第4题图）‎ A．55° B．60° C．65° D．70°‎ ‎5．在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，点O是内心，则∠BOC的度数是（　　）‎ A．105° B．115° C．120° D．130°‎ ‎6．如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则点O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心为点O）是（　　）‎ ‎（第6题图）‎ A．2m B．3m C．6m D．9m ‎7．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE的度数是（　　）‎ ‎（第7题图）‎ A．55° B．60° C．65° D．70°‎ ‎8．如图⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F；若∠ABC=40°，∠ACB=60°，连接OE、OF，则∠EOF为（　　）‎ ‎（第8题图）‎ A．80° B．100° C．120° D．140°‎ ‎9．等边三角形的周长为18，则它的内切圆半径是（　　）‎ A．2 B．3 C． D．　‎ 二．填空题（共9小题）‎ ‎10．如图所示，设I是△ABC的内心（三条角平分线的交点），AI的延长线交BC边于点D，交△ABC的外接圆于点E，若IE=4，AE=8，则线段DE的长是　 　．‎ ‎（第10题图）‎ ‎11．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，∠OAB=90°，⊙P1是△OAB的内切圆，且P1的坐标为（3，1），则OB的长为　 　．‎ ‎（第11题图）‎ ‎12．Rt△ABC的两条直角边长分别为3cm、4cm，则该三角形的内切圆的面积为　 　．‎ ‎13．已知O为△ABC的内心，且∠BOC=130°，则∠A=　 　．‎ ‎（第13题图）‎ ‎14．如图，⊙I是直角△ABC的内切圆，切点为D、E、F，若AF=10，BE=3，则△ABC的面积为　 　．‎ ‎（第14题图）‎ ‎15．已知，在△ABC中，∠C=90°，斜边的长为7.5，两条直角边的长分别是关于x的方程x2﹣3（m+）x+9m=0的两个根，则△ABC的内切圆面积是　 　．‎ ‎16．如图，点I是△ABC的内切圆的圆心，若∠BIC=130°，则∠A的度数是　 　．‎ ‎（第16题图）‎ ‎17．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．则△ABC的内切圆的半径r=　 　．‎ ‎（第17题图）‎ ‎18．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC=　 　度．‎ ‎（第18题图）‎ 三．解答题（共3小题）‎ ‎19．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．‎ ‎（1）求CE的长；‎ ‎（2）求证：△ABC为等腰三角形．‎ ‎（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．‎ ‎ （第19题图）‎ ‎20．如图，⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、E、F、若AB=5，AC=6，BC=7，求AD、BE、CF的长．‎ ‎ （第20题图）‎ ‎21．如图，O是△ABC的内切圆的圆心，∠BAC=80°，求∠BOC的度数．‎ ‎　 （第21题图）‎ 参考答案 一．1．D【解析】①∵⊙O是△ABC的内切圆，∴⊙O的半径=，∴A不正确；②∵⊙O与AB，BC相切，∴r2+（c﹣a）2=（b﹣r）2，∴r=，∴B不正确；③∵⊙O与AC，BC相切，圆心在AB上，∴=，∴r=，∴C正确，④∵⊙O与AB，AC相切，圆心在BC 上，∴（a﹣r）2=r2+（c﹣b）2，∴r=，∴D不正确．故选D.‎ ‎【点评】本题考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理的应用，正确弄清圆与三角形的位置关系是解决本题的关键．　‎ ‎2．C【解析】∵⊙O是△ABC的内切圆，∴∠OBC=∠ABC=25°，∠OCB=∠ACB=40°．∴∠BOC=180°﹣25°﹣40°=115°．故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查的是三角形的内切圆与内心，明确三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点是解题的关键．　‎ ‎3．A【解析】∵62+82=102，∴△ABC为直角三角形，∴△ABC的内切圆的半径==2，‎ ‎△ABC的外接圆的半径==5．故选A．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了勾股定理的逆定理．记住直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为 ‎．　‎ ‎4．C【解析】∵⊙O是△ABC内切圆，D、E是切点，∴∠ODB=∠OEB=90°，∴∠DOE=360°﹣∠ODB﹣∠OEB﹣∠B=130°，∴∠DFE=∠DOE=65°.故选C．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、圆周角定理、四边形内角和定理；熟练掌握圆周角定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．‎ ‎5．B【解析】∵点O是内心，∠ABC=50°，∠ACB=80°，∴∠OBC=∠ABC=25°，∠OCB=∠ACB=40°，∴∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣25°﹣40°=115°.故选B．‎ ‎【点评】本题考查了对三角形的内切圆与内心的应用，注意：三角形的内心是三角形的三个内角的角平分线的交点．‎ ‎6．C【解析】在直角△ABC中，BC=8m，AC=6m．则AB===10．∵中心O到三条支路的距离相等，设距离是r．△ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积，即AC•BC=AB•r+BC•r+AC•r，即6×8=10r+8r+6r∴r==2．故点O到三条支路的管道总长是2×3=6m．故选C．‎ ‎（第6题答图）‎ ‎【点评】本题主要考查了三角形的内心的性质，三角形的内心到三角形的各边的距离相等，利用三角形的面积的关系求解是解题的关键．‎ ‎7．C【解析】∵∠A=100°，∠C=30°，∴∠B=50°.∵∠BDO=∠BEO，∴∠DOE=130°，∴∠DFE=65°．故选C．‎ ‎【点评】熟练运用三角形的内角和定理、四边形的内角和定理以及切线的性质定理、圆周角定理．　‎ ‎8．B【解析】∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，∴∠A=80°，∴∠EOF=180°﹣80°=100°．故选B．‎ ‎【点评】此题要熟练运用切线的性质定理、四边形的内角和定理以及三角形的内角和定理．　‎ ‎9．C【解析】如答图，连接OB，OD.∵等边△ABC是⊙O的内接圆，△ABC的周长为18，∴∠ABC=60°，BC=6，∴OD⊥BC，∠OBD=∠ABC=×60°=30°，BD=BC=3，∴OD=BD•tan∠OBD=3×=．∴它的内切圆半径是．故选C．‎ ‎（第9题答图）‎ ‎【点评】此题考查了正三角形的性质与三角形内接圆的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．　‎ 二．10．2【解析】连接IB，如答图.∵I是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBD.又∵∠BIE=∠BAD+∠ABI=∠CAD+∠IBD=∠IBD+∠DBE=∠IBE，∴BE=IE.在△BED和△AEB中，∠EBD=∠CAD=∠BAD，∠BED=∠AEB，∴△BED∽△AEB，∴.∵IE=4，AE=8，∴BE=4，即DE=.‎ ‎（第10题答图）‎ ‎【点评】本题考查三角形的内心与外心、三角形相似，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．‎ ‎11．5【解析】如答图，设切点分别为E、Q、H，连接P1H，P1Q，P1E．则P1H⊥OB，P1Q⊥AO，P1E⊥AB．∵⊙P1是△OAB的内切圆，且P1的坐标为（3，1），∴P1H=P1Q=P1E=1，OQ=OH=3，BH=BE.∵∠OAB=90°，∴四边形AQP1E为正方形，∴AQ=AE=P1Q=1，∴AO=OQ+AQ=3+1=4.在Rt△ABO中，OB2=OA2+AB2，∴（3+BH）2=42+（1+BH）2，解得BH=2，∴OB=OH+BH=3+2=5.‎ ‎ ‎ ‎（第11题答图）‎ ‎【点评】本题考查了圆的综合题：熟练运用圆的切线性质和切线长定理进行几何证明；会运用勾股定理进行几何计算；常用三角形全等解决线段相等的问题．‎ 12． πcm2【解析】斜边==5，则该三角形的内切圆的半径==1，所以该三角形的内切圆的面积为π•12=π（cm2）．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．记住直角三角形的内切圆的半径=（a、b为直角边，c为斜边）．　‎ ‎13．80°【解析】∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=180°﹣130°=50°，而∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=50°，∴∠ABC+∠ACB=100°，∴∠BAC=180°﹣100°=80°．‎ ‎【点评】本题考查了三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．　‎ ‎14．30【解析】∵⊙I是直角△ABC的内切圆，∴BD=BE，AF=AD.∵AF=10，BE=3，∴BD=3，AD=10.设CE=x，则CF=x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴（x+10）2+（x+3）2=132，解得x1=﹣15，x2=2，∴CE=2，∴BC=5，AC=12，∴S△ABC=AC•BC=×5×12=30．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，以及切线长定理，勾股定理，熟记切线长定理的内容是解题的关键．　‎ ‎15．π【解析】设两直角边长分别为a、b.∵两条直角边的长分别是关于x的方程x2﹣3（m+）x+9m=0的两个根，∴a+b=3（m+），ab=9m.∵直角三角形的斜边为7.5，∴a2+b2=7.52，∴（a+b）2﹣2ab=，∴9（m+）2﹣18m=，解得m=﹣2或3，经检验m=﹣2不合题意，即m只能为3，∴a+b=‎ ‎.∵直角三角形的内切圆的半径r=（a+b+c），∴r=，∴△ABC的内切圆的面积为π.‎ ‎【点评】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理，根与系数的关系的应用，能求出m的值是解此题的关键．　‎ ‎16．80°【解析】∵点I是△ABC的内切圆的圆心，∴∠IAB+∠IBA=（∠BAC+∠CBA），∵∠BIC=130°，∴∠IAB+∠IBA=180°﹣∠BIC.∵∠BIC=130°，∴∠BAC+∠CBA=2（∠IAB+∠IBA）=100°，∴∠A=180°﹣100°=80°，‎ ‎【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心的定义，是基础知识比较简单．‎ ‎17．【解析】如答图.在Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8；根据勾股定理AB==10；‎ 四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，∴四边形OECF是正方形；由切线长定理，得AD=AF，BD=BE，CE=CF；∴CE=CF=（AC+BC﹣AB），即r=（6+8﹣10）=2．‎ ‎（第17题答图）‎ ‎【点评】此题主要考查直角三角形内切圆的性质及半径的求法．‎ ‎18．【解析】∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（50°+80°）=65°，∴∠BOC=180°﹣65°=115°．‎ ‎【点评】本题通过三角形的内切圆，考查切线的性质．‎ 三．19．（1）解：∵AD是边BC上的中线，‎ ‎∴BD=CD.‎ ‎∵CE∥AD，‎ ‎∴AD为△BCE的中位线，‎ ‎∴CE=2AD=6；‎ ‎（2）证明：∵CE∥AD，‎ ‎∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE，‎ 而∠BAD=∠CAD，‎ ‎∴∠ACE=∠E，‎ ‎∴AE=AC，‎ 而AB=AE，‎ ‎∴AB=AC，‎ ‎∴△ABC为等腰三角形．‎ ‎（3）如答图，连接BP、BQ、CQ.‎ 在Rt△ABD中，AB==5，‎ 设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，‎ 在Rt△PBD中，（R﹣3）2+42=R2，解得R=，‎ ‎∴PD=PA﹣AD=﹣3=.‎ ‎∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ=S△ABC，‎ ‎∴•r•5+•r•8+•r•5=•3•8，解得r=，‎ 即QD=，‎ ‎∴PQ=PD+QD=+=．‎ 答：△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为．‎ ‎（第19题图）‎ ‎【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆．　‎ ‎20．解：假设AD=x.‎ ‎∵⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、E、F；‎ ‎∴根据切线长定理得出AD=AF，BD=BE，EC=FC，‎ ‎∴AF=x.‎ ‎∵AB=5，AC=6，BC=7，‎ ‎∴BE=BD=AB﹣AD=5﹣x，FC=EC=AC﹣AF=6﹣x，‎ ‎∴BC=BE+EC=5﹣x+6﹣x=7，‎ 解得x=2.‎ ‎∴AD=2，BE=BD=5﹣2=3，CF=AC﹣AF=6﹣2=4．‎ ‎【点评】此题主要考查了切线长定理以及三角形内切圆的性质，用已知数和未知数表示所有的切线长，再进一步列方程求解是解题关键．　‎ ‎21．解：∵∠BAC=80°，‎ ‎∴∠ABC+∠ACB=180°﹣80°=100°.‎ ‎∵点O是△ABC的内切圆的圆心，‎ ‎∴BO，CO分别为∠ABC，∠BCA的角平分线，‎ ‎∴∠OBC+∠OCB=50°，‎ ‎∴∠BOC=130°．‎ ‎【点评】此题主要考查了三角形的内切圆与内心，准确运用三角形内心的性质，是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎24.6 正多边形与圆 一．选择题（共14小题）‎ ‎1．正六边形的外接圆的半径为2，则它的内切圆的半径为（　　）‎ A． B． C．2 D．1‎ ‎2．如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（　　）‎ ‎（第2题图）‎ A．△OAB是等边三角形 B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长 C．OC平分弦AB D．∠BAC=30°‎ ‎3．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（　　）‎ A． B．2 C．3 D．2‎ ‎4．如图，边长为a的六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心点O所经过的路径长为（　　）‎ ‎（第4题图）‎ A．6a B．5a C．2aπ D．‎ ‎5．已知正六边形的周长是12a，则该正六边形的半径是（　　）‎ A．6a B．4a C．2a D．‎ ‎6．正六边形的边心距与边长之比为（　　）‎ A．：3 B．：2 C．1：2 D．：2‎ ‎7．如图，已知边长为2的正三角形ABC的顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A的下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为（　　）‎ ‎（第7题图）‎ A．3 B．4﹣ C．4 D．6﹣2‎ ‎8．如图，MN是⊙O的直径，∠A=20°，∠PMQ=50°，以PM为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是（　　）‎ ‎（第8题图）‎ A．正七边形 B．正八边形 C．正六边形 D．正十边形 ‎9．半径相等的圆的内接正三角形和正方形，正三角形与正方形的边长之比为（　　）‎ A．1： B．： C．3：2 D．1：2‎ ‎10．一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系正确的是（　　）‎ ‎ ‎ ‎（第10题图）‎ A．a4＞a2＞a1 B．a4＞a3＞a2 C．a1＞a2＞a3 D．a2＞a3＞a4‎ ‎11．中心角为60°的正多边形的边数是（　　）‎ A．3 B．6 C．8 D．12‎ ‎12．如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（　　）‎ ‎（第12题图）‎ A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长 B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长 C．‎ D．∠BAC=30°‎ ‎13．一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是（　　）‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎14．如图，把正△ABC的外接圆对折，使点A与劣弧的中点M重合，若BC=5，则折痕在△ABC内的部分DE的长为（　　）‎ ‎（第14题图）‎ A． B． C． D．‎ 二．填空题（共10小题）‎ ‎15．正五边形的中心角的度数是　 　．‎ ‎16．已知正六边形的边心距为，则这个正六边形的边长为　 　．‎ ‎17．若正六边形的边长为2，则此正六边形的边心距为　 　．‎ ‎18．如图，正方形ABCD内接于半径为的⊙O，E为DC的中点，连接BE，则点O到BE的距离等于　 　．‎ ‎（第18题图）‎ ‎19．正六边形的半径与边长的比为　 　．‎ ‎20．△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A，B与它的中心O为顶点的三角形，若△OAB的一个内角为70°，则该正多边形的边数为　 　．‎ ‎21．设A0，A1，…，An﹣1依次是面积为整数的正n边形的n个顶点，考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形的面积之和是231，那么n的最大值是　 　，此时正n边形的面积是　 　．‎ ‎22．如图，已知在⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP上，并且∠POM=45°，则AB的长为　 　．‎ ‎（第22题图）‎ ‎23．一元钱的硬币的直径约为24mm，则它完全覆盖住的正三角形的边长最大不能超过　 mm（保留根号）．‎ ‎24．边长为6的正六边形外接圆的半径是　 　．‎ 三．解答题（共1小题）‎ ‎25．已知圆的半径为R，试求圆内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比．‎ ‎　‎ 参考答案 一．1．【解析】如答图.连接OA，OB，OG.∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴∠OAB=60°，∴OG=OA•sin60°=2×=，∴半径为2的正六边形的内切圆的半径为．故选A．‎ ‎（第1题答图）‎ ‎【点评】本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正多边形的性质，证明△OAB是等边三角形是解决问题的关键．　‎ ‎2．【解析】∵OA=AB=OB，∴△OAB是等边三角形，故选项A正确，∴∠AOB=60°.∵OC⊥AB，‎ ‎∴∠AOC=∠BOC=30°，AC=BC，弧AC=弧BC，∴=12，∠BAC=∠BOC=15°，∴选项B、C正确，选项D错误.故选D．‎ ‎【点评】本题考查了正多边形的性质、垂径定理、圆周角定理以及等边三角形的判定和性质，要熟练应用．　‎ ‎3．【解析】如答图.∵正六边形的边心距为，∴OB=，AB=OA.∵OA2=AB2+OB2，∴OA2=（OA）2+（）2，解得OA=2．故选B．‎ ‎（第3题答图）‎ ‎【点评】本题主要考查了正六边形和圆，注意：外接圆的半径等于正六边形的边长．‎ ‎4．【解析】如答图.∵正六边形的内角为120°，∴∠BAF=120°，∴∠FAF′=60°，∴==‎ πa，∴六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心点O所经过的路径长为πa×6=2aπ．故选C．‎ ‎（第4题答图）‎ ‎【点评】此题考查了正六边形与弧长公式等知识．解答此题的关键是抓住圆心O的运动路线相当于6个弧FF′的长．注意数形结合思想的应用．‎ ‎5．【解析】∵正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，而三角形的边长就是正六边形的半径.又∵正六边形的周长为12a，∴正六边形边长为2a，∴正六边形的半径等于2a．‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题，解题的关键是利用了等边三角形的性质及三角形的面积公式．‎ ‎6．【解析】如答图，设六边形的边长是a，则半径也是a；经过正六边形的中心O作边AB的垂线OC，则AC=AB=a，∴OC==a，∴正六边形的边心距与边长之比为a：a=：2．故选B．‎ ‎（第6题答图）‎ ‎【点评】此题考查了正多边形和圆的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．　‎ ‎7．【解析】如答图.当点E旋转至y轴上时DE最小.∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点，‎ ‎∴AD⊥BC.∵AB=BC=2，∴AD=AB•sin∠B=.∵正六边形的边长等于其半径，正六边形的边长为2，∴OE=OE′=2.∵点A的坐标为（0，6），∴OA=6，∴DE′=OA﹣AD﹣OE′=4﹣.‎ 故选B．‎ ‎（第7题答图）‎ ‎【点评】本题考查了正多边形的计算及等边三角形的性质，解题的关键是从图形中整理出直角三角形．‎ ‎8．【解析】连接QO，PO，如答图.∵QO=PO，∴∠OPQ=∠OQP.∵∠PMQ=50°，∴∠POQ=100°，‎ ‎∴∠OPQ+∠OQP=180°﹣100°=80°，∴∠OPQ=∠OQP=40°，∴∠A+∠APO=∠POM=20°+40°=60°.∵PO=OM，∴△POM是等边三角形，∴PM=OP=OM，∴以PM为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是正六边形．故选C．‎ ‎（第8题答图）‎ ‎【点评】此题主要考查了正六边形的性质以及圆周角定理和外角的性质等知识，根据已知得出△POM是等边三角形是解题关键．‎ ‎9．【解析】设其半径是R，则其正三角形的边长是 R，正方形的边长是R，则它们的比是：．故选B．‎ ‎【点评】能够构造一个由正多边形的半径、边心距和半边组成的直角三角形．该正多边形的半径即是圆的半径，其半边所对的角是它的中心角的一半，即．‎ ‎10．【解析】设等边三角形的边长是a，则等边三角形的周率a1==3.设正方形的边长是x，由勾股定理，得对角线是 x，则正方形的周率是a2==2≈2.828.设正六边形的边长是b，过点F作FQ∥AB交BE于点Q，得到平行四边形ABQF和等边三角形EFQ，直径是b+b=2b，‎ ‎∴正六边形的周率是a3==3，圆的周率是a4==π，∴a4＞a3＞a2．故选B．‎ ‎（第10题答图）‎ ‎【点评】本题主要考查对正多边形与圆，多边形的内角和定理，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，理解题意并能根据性质进行计算是解此题的关键．　‎ ‎11．【解析】∵360°÷60°=6，∴中心角为60°的正多边形的边数是6．故选B．‎ ‎【点评】本题考查了正多边形和圆，熟记正多边形的边数和圆心角的关系是解题的关键．‎ ‎12．【解析】A、因为OA=OB，OA=AB，所以OA=OB=AB，所以△ABO为等边三角形，∠AOB=60°，以AB为一边可构成正六边形，故A正确；B、因为OC⊥AB，根据垂径定理可知，=；再根据A中结论，弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长，故B正确；C、根据垂径定理，=，故C正确；D、根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半，∠BAC=∠BOC=×∠BOA=×60°=15°，故D错误．故选D．‎ ‎【点评】此题主要考查正多边形和圆的计算问题，属于常规题，要注意圆周角定理的应用．‎ ‎13．【解析】设多边形的边数为n．因为正多边形的内角和为（n﹣2）•180°，正多边形的外角和为360°，根据题意，得（n﹣2）•180°=360°×2，n﹣2=2×2，n=6．故正多边形为六边形．边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，所以正多边形的半径等于2.故选A．‎ ‎【点评】本题考查学生对正多边形的概念的掌握和计算的能力，要注意利用特殊角的正多边形，以简化计算．　‎ ‎14．【解析】如答图.连接AM，与DE、BC分别交于点F、点S，则点F是圆心，又是三角形的内心.∵S是BC的中点，F是DE的中点，则有DE∥BC，∴AF：AS=DE：BC=2：3，∴DE=．故选C．‎ ‎（第14题答图）‎ ‎【点评】本题利用了圆的内接正三角形的内心到每个顶点的距离是等边三角形的高的的性质，进行求解．‎ 二．15．72°【解析】正五边形的中心角为=72°．【点评】此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．　‎ ‎16．2【解析】如答图.∵正六边形的边心距为，∴OB=，∠OAB=60°，∴AB===1，∴AC=2AB=2．‎ ‎（第16题答图）‎ ‎【点评】此题主要考查正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．　‎ ‎17．【解析】如答图.连接OA、OB、OC、OD、OE、OF.∵正六边形ABCDEF，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF，∴∠AOB=×360°=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2.∵OM⊥AB，∴AM=BM=1.在△OAM中，由勾股定理，得OM==．‎ ‎（第17题答图）‎ ‎【点评】本题主要考查对正多边形与圆，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出OA、AM的长是解此题的关键．‎ ‎18．【解析】如答图，连接EO，BO，作OF⊥BE.由正方形ABCD内接于半径为的⊙O，可得CD=AD=BC=2.∵E是CD中点，∴DE=CE=1.在△BCE中由勾股定理，得BE=，则BE×OF=OE×CE×FO=1×1，解得OF=.‎ ‎（第18题答图）‎ ‎【点评】此题主要考查了垂径定理，勾股定理，正方形的性质等知识点，关键是求出EC，BE的长．‎ ‎19．1：1【解析】正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，∴正六边形的半径=边长，∴正六边形的半径与边长的比为1：1.‎ ‎【点评】本题考查了正多边形和圆，解答此题的关键是正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形．‎ ‎20．9【解析】当∠OAB=70°时，∠AOB=40°，则多边形的边数是360÷40=9；当∠AOB=70°时，360÷70结果不是整数，故不符合条件．‎ ‎【点评】此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题．‎ ‎21．23，1【解析】用找规律找出P与n的关系式， 不难发现，P与n有下表所列的关系.‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎5 ‎ ‎6 ‎ ‎1 ‎ ‎（0+1）=（3﹣3）×3÷2+1 ‎ ‎3 ‎ ‎（2+1）=（4﹣3）×4÷2+1 ‎ ‎6 ‎ ‎（5+1）=（5﹣3）×5÷2+1 ‎ ‎10 ‎ ‎（6+3+1）=（6﹣3）×6÷2+1 ‎ 因此，P=（n﹣3）•n÷2+1，即P=n2﹣n+1．P=n2﹣n+1可以化为P=（n﹣）2+，‎ 由于n≥3，故P值越大，n取值越大． 在凸多边形面积之和为231时，由于正n边形的面积为整数，故其面积取最小值1时，P值最大代入各值，得231÷1=n2﹣n+1，整理，得n2﹣3n﹣460=0 解得n=23或n=﹣20（不合题意，舍去） 故n=23为最大值，此时正23边形的面积为1． ‎ ‎【点评】本题考查了正多边形和圆以及面积及等积变换．解题的关键是得出P与n的关系式，确定面积取最小值1时，P的值最大．‎ ‎22．【解析】如答图.∵∠POM=45°，∠DCO=90°，∴∠DOC=∠CDO=45°，∴△CDO为等腰直角三角形，那么CO=CD．连接OA，可得到直角三角形OAB，∴AB=BC=CD=CO，BO=BC+CO=BC+CD=2AB，那么AB2+OB2=52，∴AB2+（2AB）2=52，∴AB的长为．‎ ‎（第22题答图）‎ ‎【点评】解决本题的关键是构造直角三角形，注意先得到OB=2AB．　‎ ‎23．12 【解析】如答图.已知此圆的半径为12，则OB=12mm．在直角△OBD中，BD=OB•sin60°=6 mm．则可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正三角形的边长最大．‎ ‎（第23题答图）‎ ‎【点评】此题所求结果有些新颖，要注意题目问题的真正含义．　‎ ‎24．6【解析】正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，∴边长为6的正六边形外接圆半径是6．‎ ‎【点评】正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形．　‎ 三．25．解：如答图①.连接O1 A，作O1 E⊥AD于点E.‎ ‎∵O1 A=R，∠O1 AE=45°，‎ ‎∴AE=O1 A•cos45°=R，‎ ‎∴AD=2AE=R.‎ 如答图②.连接O2 A，O2 B，则O2 B⊥AC.‎ ‎∵O2 A=R，∠O2 AF=30°，∠AO2 B=60°，‎ ‎∴△AO2 B是等边三角形，AF=O2A•cos30°=R，‎ ‎∴AB=R，AC=2AF=R；‎ ‎∴圆内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比R：R：R=：：1．‎ ‎ ‎ ‎（第25题答图）‎ ‎【点评】本题考查的是正多边形和圆、解直角三角形，熟知正三角形、正方形和正六边形的性质是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎24.7 弧长与扇形面积 一．选择题（共10小题）‎ ‎1．下列各结论，正确的为（　　）‎ A．圆心角相等的两个扇形相同 B．圆心角相等的两个扇形的面积相等 C．两个面积相等的扇形的圆心角相等 D．同圆或等圆中面积相等的两个扇形的圆心角相等 ‎2．若一个扇形的面积是相应圆的面积的，则它的圆心角为（　　）‎ A．150° B．120° C．90° D．60°‎ ‎3．如果圆锥的高为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（　　）‎ A．16πcm2 B．20πcm2 C．28πcm2 D．36πcm2‎ ‎4．扇形的周长为16，圆心角为120°，则扇形的面积为（　　）‎ A．16 B．32 C．64 D．16π ‎5．一条圆弧所对的圆心角等于240°，它的长度等于半径为4cm的圆的周长，则这条弧所在的半径为（　　）‎ A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm ‎6．圆锥的轴截面是一个等腰三角形，它的面积是10cm2，底边上的高线是5cm，则圆锥的侧面展开图的弧长等于（　　）‎ A．8π cm B．4π cm C．8 cm D．4 cm ‎7．若圆锥的侧面积为12π cm2，它的底面半径为3cm，则此圆锥的母线长为（　　）‎ A．4π cm B．4 cm C．2π cm D．2 cm ‎8．如图，半径为1cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（　　）‎ ‎（第8题图）‎ A．πcm2 B．πcm2 C．cm2 D．cm2‎ ‎9．一个圆锥和一个圆柱的底面半径相等，且它们的高都等于它们的底面半径，那么它们的侧面积之比为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．两个圆锥，其中一个底面圆的半径为4m，高为3m，另一个底面圆的半径为3m，高为4m，那么这两个圆锥的侧面积（　　）‎ A．相等 B．底面圆的半径大的侧面积大 C．底面圆的半径小的侧面积大 D．不能确定　‎ 二．填空题（共15小题）‎ ‎11．若一扇形的面积为100πcm2，此扇形所在圆的半径为50cm，则扇形的圆心角的度数 为　 　°．‎ ‎12．如图，阴影部分的图形叫　 　，若圆的半径是1，估计它的面积约为　 　（结果用π表示）‎ ‎（第12题图）‎ ‎13．圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，则它的侧面展开图的圆心角等于　 　，表面积为　 　；‎ ‎14．填表：‎ 半径r 圆心角的度数n 弧长l ‎10‎ ‎36°‎ ‎5‎ ‎2π ‎120°‎ ‎12π ‎（圆周率用π表示即可）‎ ‎15．一个圆柱的侧面积为120πcm2，高为10cm，则它的底面圆的半径为　 　．‎ ‎16．若一个扇形的弧长是8πcm，扇形的面积为48πcm2，则半径是　 　．‎ ‎17．如图，在⊙O中，∠AOB=60°，AB=3cm，则劣弧AB的长为　 　cm．‎ ‎（第17题图）‎ ‎18．如图，将一个半径为4cm的半圆绕直径AB的一个端点A旋转40°，那么图中阴影部分的面积为　 　cm2．‎ ‎（第18题图）‎ ‎19．若面积为54πcm2的扇形的半径为18cm，则该扇形的圆心角的度数是　 　．‎ ‎20．弧长的计算：如果弧长为l，圆心角的度数为n，圆的半径为r，那么弧长l=　 　．‎ ‎21．一条弧所对的圆心角是90°，半径是R，则这条弧长为　 　．‎ ‎22．扇形的圆心角的度数为60°，面积为6π，则扇形的周长为　 　．‎ ‎23．如果圆弧的度数扩大2倍，半径为原来的，则弧长与原弧长的比为　 　．‎ ‎24．如图，正方形ABCD边长为a，那么阴影部分的面积S是　 　．‎ ‎（第24题图）‎ ‎25．填表：‎ ‎ 半径r 圆心角的度数n ‎ 弧长l ‎ ‎ 扇形面积s ‎10‎ ‎36°‎ ‎6‎ ‎6π ‎2‎ ‎6π π ‎4π 三．解答题（共7小题）‎ ‎26．如图，半圆的半径为2cm，点C，D三等分半圆，求阴影部分的面积．‎ ‎（第26题图）‎ ‎27．如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA=4，AB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，连接AC，求阴影部分的面积．‎ ‎（第27题图）‎ ‎28．已知：如图，半圆O的直径AB=12cm，C，D是这个半圆的三等分点．求∠CAD的度数及弦AC，AD和 围成的图形（图中阴影部分）的面积S．‎ ‎（第28题图）‎ ‎29．如图所示，一个半径为的圆过一个半径为2的圆的圆心，则图中阴影部分的面积是多少？‎ ‎（第29题图）‎ ‎30．圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD按如图所示的方式叠放在一起，连结AC，BD．若AO=3cm，OC=1cm，求阴影部分的面积．‎ ‎（第30题图）‎ ‎31．如图所示，C，D是以AB为直径的半圆上的三等分点，半径为R，求图中阴影部分的面积．‎ ‎ ‎ ‎（第31题图）‎ ‎32．牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如图所示，请你算出要搭建这样一个蒙古包至少需要多少平方米的蓬布？（π取3.14，结果保留一位小数）‎ ‎（第32题图）‎ 参考答案 一．1．D【解析】因为不是在同一个圆中的扇形的面积和圆心角都无法比较，故可以排除A，B，C， 而对于同一个圆中，扇形的面积为s=lα2，其中l为圆的半径，α为圆心角.故选D．‎ ‎【点评】本题涉及圆和圆心角的相应知识，难度一般．‎ ‎2．C【解析】设圆的面积=πr2，则扇形的面积==，解得n=90°．故选C．‎ ‎【点评】本题主要是利用扇形的面积是相应圆的面积的关系，列出等式，求得圆心角的度数．‎ ‎3．B【解析】圆锥的高为3cm，母线长为5cm，由勾股定理，得底面半径为4cm，底面周长为8πcm，侧面展开图的面积为×8π×5=20πcm2．故选B．‎ ‎【点评】本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形的面积公式求解．‎ ‎4．A【解析】根据题意，得l=≈2R.∵扇形的周长为16，∴l+2R=16，即4R=16，R=4，∴l=8，∴S=×4×8=16.故选A．‎ ‎【点评】本题考查了扇形的面积公式S=（其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径）或S=lR，l为扇形的弧长，R为半径．同时考查了弧长公式．‎ ‎5．D【解析】设这条弧所在的半径为xcm，则=2π×4，解得x=6.故选D．‎ ‎【点评】此题主要考查了弧长公式以及圆的周长公式，根据弧长相等得出等式是解题的关键．　‎ ‎6．B【解析】∵等腰三角形的面积是10cm2，底边上的高线是5cm，∴底边长为4cm，∴圆锥底面圆的直径为4cm，∴侧面展开图的弧长为4πcm.故选B．‎ ‎【点评】本题考查了圆锥的计算，重点是知道圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长．　‎ ‎7．B【解析】设母线长为R，底面半径是3cm，则底面周长=6π，侧面积=3πR=12π，∴R=4cm．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．‎ ‎8．C【解析】如答图，过点C作CD⊥OB，CE⊥OA.∵OB=OA，∠AOB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形.∵OA是直径，∴∠ACO=90°，∴△AOC是等腰直角三角形.∵CE⊥OA，∴OE=AE，OC=AC，在Rt△OCE与Rt△ACE中，∵，∴Rt△OCE≌Rt△ACE.∵S扇形OEC=S扇形AEC，∴与弦OC围成的弓形的面积等于与弦AC所围成的弓形面积，同理可得，与弦OC围成的弓形的面积等于与弦BC所围成的弓形面积，∴S阴影=S△AOB=×1×1=cm2．故选C．‎ ‎（第8题答图）‎ ‎【点评】本题考查的是扇形面积的计算与等腰直角三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形得出S阴影=S△AOB是解答此题的关键．‎ ‎9．D【解析】设圆锥的底面半径为1，则圆柱的底面半径，圆锥的高都为1，∴圆锥的母线长为=，∴圆柱的侧面积=2π×1×1=2π，圆锥的侧面积为×2π×=π，∴圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为.故选D．‎ ‎【点评】考查圆锥和圆柱侧面积的计算，熟记相应的公式是解决本题的关键．用到的知识点为：圆锥的底面半径，母线长，高组成以母线长为斜边的直角三角形．‎ ‎10．B【解析】一个底面圆的半径为4m，高为3m，由勾股定理得，母线长为5，则它的底面周长为8π，侧面面积为×8π×5=20π；一个底面圆的半径为3m，高为4m，由勾股定理得，母线长为5，则它的底面周长为6π，侧面面积为×6π×5=15π.∵20π＞15π，∴底面圆的半径大的侧面积大．故选B．‎ ‎【点评】本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．‎ 二．11．14.4°【解析】∵扇形的面积公式为S=LR，∴L=，∴L=4π.∵弧长公式为L=θR，∴θ=，∴θ=π=14.4°.‎ ‎【点评】本题考查了扇形面积的计算和弧长的计算公式的运用．‎ ‎12．π【解析】阴影部分的图形为扇形．扇形的圆心角大约是90度，所以它的面积约为=π．‎ ‎【点评】一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形．扇形的面积公式为．‎ ‎　‎ ‎13．216°，96π【解析】圆锥的底面周长为2π•6=12πcm，扇形的面积为×10•12π=，解得n=216°.∵圆锥的表面积=圆锥的底面积+侧面积（扇形的面积），∴圆锥的表面积为36π+60π=96π．‎ ‎【点评】本题考查了圆锥的计算，注意：正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆的周长是扇形的弧长．圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2的应用．　‎ ‎14．2π，72°，18【解析】1）弧长l==2π；‎ ‎（2）∵l=，∴圆心角的度数n==72°；‎ ‎（3）∵l=，∴半径r==18．‎ ‎【点评】本题主要考查了弧长的计算公式，是需要熟练掌握的内容．‎ ‎15．6【解析】设圆柱的底面圆的半径为r，那么侧面积为2πr×10=120π，r=6cm．‎ 故圆柱的底面圆的半径为6cm．‎ ‎【点评】圆柱的计算要注意侧面积的计算公式为底面圆的周长×圆柱的高=圆柱的侧面积．　‎ ‎16．12【解析】设半径是r.∵一个扇形的弧长是8πcm，扇形的面积为48πcm2，∴48π=‎ ‎×8π×r，∴r=12．‎ ‎【点评】此题考查了扇形的面积公式．此题比较简单，解题的关键是熟记扇形的公式．‎ ‎17．π【解析】∵∠AOB=60°，AB=3cm，∴三角形OAB是等边三角形，∴圆的半径是3厘米，‎ 则劣弧AB的长为=π（cm）.答：劣弧AB的长为πcm．‎ ‎【点评】本题考查了弧长的计算，关键是先判断出三角形为等边三角形，再利用圆的弧长公式解答．‎ ‎18．【解析】结合图形，得阴影部分的面积为=（cm2）．‎ ‎【点评】能够结合图形发现阴影部分的面积即为圆心角为40°，AB为半径的扇形的面积．‎ ‎19．60【解析】设该扇形的圆心角的度数是n°.根据题意，得54π=，∴n=60．‎ ‎∴该扇形的圆心角的度数是60°．‎ ‎【点评】此题考查了扇形面积公式的应用．此题比较简单，难度不大，解题的关键是注意熟记扇形面积公式．　‎ ‎20．l=【解析】弧长的公式为l=．‎ ‎【点评】本题考查了弧长的公式l=，是基础知识比较简单，要识记．‎ ‎21．【解析】l===．‎ ‎【点评】本题考查了弧长的计算公式，运用公式解题时，需注意公式中n的值在代入计算时不能带有度数．‎ ‎22．12+2π【解析】由题意，得6π=，解得R=6，则l==2π，故扇形的周长为12+2π．‎ ‎【点评】本题考查了扇形的面积计算及弧长的计算，解答本题的关键是熟练记忆扇形的面积公式及弧长的计算公式．‎ ‎23．3【解析】设原弧长为，则扩大后的弧长是=3×，弧长与原弧长的比为3×：=3．‎ ‎【点评】主要考查了弧长的计算．牢记弧长公式：c=．其中n是弧所对的圆心角的度数，r是半径．　‎ 24． ‎【解析】根据题意，得S阴影部分=S扇形BAC﹣S半圆BC.∵S扇形BAC==，‎ S半圆BC=π（a）2=，∴S阴影部分=﹣=．‎ ‎【点评】本题考查了扇形的面积公式：S=，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径）或S=lR，l为扇形的弧长，R为半径．‎ ‎25．10π；60°；6π；8，22.5°【解析】（1）S==10π；S=lR=10π，l=‎ ‎2π.‎ ‎（2）6π=，解得n=60，即圆心角为60°；S=lR=6π，l=2π.‎ ‎（3）S=×2×6π=6π；S==6π，n=540°.‎ ‎（4）4π=×π×R，解得R=8.‎ ‎∴4π=，解得n=22.5，即圆心角为22.5°．‎ 填表如下：‎ 半径r 圆心角度数n ‎ 弧长l ‎ 扇形面积s ‎10‎ ‎36°‎ ‎2π ‎10π ‎6‎ ‎60°‎ ‎2π ‎6π ‎2‎ ‎540°‎ ‎6π ‎6π ‎8‎ ‎22.5°‎ π ‎4π ‎【点评】本题考查了扇形的面积公式S=，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径）或S=lR，l为扇形的弧长，R为半径．　‎ 三．26．解：如答图，连接CD．‎ ‎∵AB为半圆的直径，点C、D三等分半圆，‎ ‎∴∠AOC=∠COD=∠BOD=×180°=60°，而OC=OD，‎ ‎∴△OCD为等边三角形，‎ ‎∴∠OCD=60°，‎ ‎∴CD∥AB，‎ ‎∴S△BCD=S△OCD，‎ ‎∴S阴影=S扇形OCD==π（cm）2．‎ ‎（第26题答图）‎ ‎【点评】本题考查了扇形的面积公式：S=（n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径）以及弧与圆心角之间的关系以及等边三角形的性质，根据已知得出阴影部分的面积=S扇形OCD是解题关键．　‎ ‎27．解：连接OB，OC，如答图.‎ ‎∵AB是圆O的切线，‎ ‎∴∠ABO=90°.‎ 在直角△ABO中，OB=2，OA=4，‎ ‎∴∠OAB=30°，∠AOB=60°.‎ ‎∵OA∥BC，‎ ‎∴∠CBO=∠AOB=60°，且S阴影部分=S扇形△BOC，‎ ‎∴△BOC是等边三角形，边长是2，‎ ‎∴S阴影部分=S扇形△BOC==，即图中阴影部分的面积是．‎ ‎（第27题答图）‎ ‎【点评】本题主要考查了三角形的面积的计算，以及切线的性质，正确证明△BOC是等边三角形是解题的关键．　‎ ‎28．解：连接CO，OD，CD，如答图.‎ ‎∵C，D是这个半圆的三等分点，‎ ‎∴CD∥AB，∠COD=60°，‎ ‎∴∠CAD的度数为30°.‎ ‎∵OC=OD，∴△OCD是等边三角形，CD=OC=AB=6，‎ ‎∴△OCD与△CDA是等底等高的三角形，‎ ‎∴S阴影=S扇形OCD=π×62=6πcm2．‎ 答：阴影部分的面积S是6πcm2．‎ ‎（第28题答图）‎ ‎【点评】本题主要考查了扇形面积公式的应用，关键是判断出△OCD与△CDA是等底等高的三角形，且△OCD是等边三角形，利用扇形的面积公式求解．　‎ ‎29．解：如答图.⊙O的半径为2，⊙C的半径为，点O在⊙C上，连OA，OB，OC.‎ ‎∵OA=2，CA=CB=，即22=（）2+（）2，‎ ‎∴OA2=CA2+CB2，‎ ‎∴△OCA为直角三角形，‎ ‎∴∠AOC=45°，‎ 同理可得∠BOC=45°，‎ ‎∴∠AOB=90°，‎ ‎∴AB为⊙C的直径．‎ ‎∴S阴影部分=S半圆AB﹣S弓形AB=S半圆AB﹣（S扇形OAB﹣S△OAB）=π×（）2﹣+×2×2=2．‎ ‎（第29题答图）‎ ‎【点评】本题考查了扇形的面积公式：S=，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径）或S=lR，l为扇形的弧长，R为半径．也考查了勾股定理以及90度的圆周角所对的弦为直径．　‎ ‎30．解：由题图可知，将△OAC顺时针旋转90°后可与△ODB重合，‎ ‎∴S△OAC=S△OBD.‎ 因此S阴影=S扇形OAB+S△OBD﹣S△OAC﹣S扇形OCD=S扇形OAB﹣S扇形OCD=π×（9﹣1）=2π cm2．‎ 即阴影部分的面积是2π cm2．‎ ‎【点评】本题中阴影部分的面积可以看作是扇形AOB与扇形COD的面积差，求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．‎ 31． 解：如答图，连接OC,OD.‎ ‎∵C，D是以AB为直径的半圆上的三等分点，‎ ‎∴∠COD=60°.‎ ‎∵△ACD的面积等于△OCD的面积，‎ ‎∴都加上CD之间弓形的面积得出S阴影=S扇形OCD，‎ ‎∴=（提示：连接CO，DO，S阴影=S扇形COD）．‎ ‎（第31题答图）‎ ‎【点评】本题的关键是仔细观察图形，从图中看出S阴影=S扇形COD．‎ ‎32．解：由题图知，底面直径为5米，所以底面半径为2.5米，‎ ‎∴圆锥的母线长=≈2.77（米），‎ ‎∴圆锥的侧面积=×5π×2.77≈21.74（平方米）；‎ 圆柱的侧面积=5π×1.8≈28.26（平方米）．‎ ‎∴故需要蓬布21.76+28.26≈50.0（平方米）．‎ ‎【点评】本题利用了勾股定理，圆面积公式，扇形的面积公式，矩形的面积公式求解．‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎