沪科版九年级数学下册第24章圆

第 24 章 圆 24.1 旋转 扇叶 水轮 齿轮 第 1 课时 旋转 地球自转 荡秋千 旋转的运动 （１）上面情景中的转动现象，有什么共同的特征？ （２）钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢？ 旋转角 旋转中心 在平面内，一个图形绕着一个定点，旋转一定的角度（ ），得到另一个图形的变换，叫做旋转。定点 O 叫做旋转中心， α 叫做旋转角。原图形上一点 A 旋转后成为点 B ，这 样的两个点叫 做 对应点。 A o B α 旋转的三要素 旋转中心 旋转方向 旋转角度 将等边△ ABC 绕着点 C 按某个方向旋转 90 0 后得到△ A ´ B ´ C A B C A ´ B ´ △ ABC 在旋转过程中，哪些发生了变化？ 归纳 各点的位置发生变化。 点 A ′ 点 A 点 B ′ 点 B 点 C ′ 点 C 从而，各线段、各角的位置发生变化。 OA=OA′ OB=OB′ OC=OC′ 边的相等关系： AB=A′B′ BC=B′C′ CA=C′A′ 对应边相等 △ABC在旋转过程中，哪些没有改变？ 角的相等关系： ∠ABC=∠A′B′C′ ∠AOA ′=∠BOB ′=∠COC ′ ∠BCA=∠B′C′A′ ∠CAB=∠C′A′B′ 对应角相等 = 旋转角 注：图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同 样大小的角度。 对应点到旋转中心的距离 相等。 对应点与旋转中心所连线段的夹角 等于旋转角。 旋转前、后的图形 全等 。 图形的旋转是由 旋转中心 和 旋转角 决定。 图形的旋转不改变图形的形状、大小，只改变图形的 位置 。 知识要点 旋转的基本性质 有哪些证明方法？ 如图，如果把钟表的指针看做四边形 AOBC ，它绕 点 O 旋转得到四边形 DOEF. 在这个旋转过程中： （ 1 ）旋转中心是什么 ? （ 2 ）经过旋转，点 A 、 B 分别移动到什么位置？ （ 3 ）旋转角是什么？ （ 4 ） AO 与 DO 的长有什么关系？ BO 与 EO 呢？ （ 5 ）∠ AOD 与∠ BOE 有什么大小关系？ 旋转中心是点 O 点 D 和点 E 的位置 AO=DO ， BO=EO ∠AOD=∠BOE ∠AOD 和∠ BOE 都是旋转角 B A C O D E F 旋转的基本性质 （１）旋转不改变图形的大小和形状； （２）任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角，旋转角相等； （３）对应点到旋转中心的距离相等. 平移 和旋转的 异同 1 、相同：都是一种运动；运动前后 不改变图形的形状和大小 . 2 、不同 运动方向 运动量的衡量 平移 直线 移动一定的距离 旋转 顺时针或逆时针 转动一定的角度 思考 : 图形的旋转是由什么决定的 ? 图形的旋转是由旋转 中心、旋转方向和 旋转 的角度决定 . 在平面内，将一个图形绕着一个 定点 沿某个方向 转动 一定的角度 ，这样的图形运动称为 旋转 . 旋转的概念： 旋转的性质： 1 、旋转不改变图形的大小和形状． 2 、任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角，旋转角相等． 3 、对应点到旋转中心的距离相等 . 课堂小结 第 2 课时 中心对称 复习 : 1. 什么是轴对称呢？ 2. 关于轴对称的两个图形有哪些性质？ 把一个图形沿着某一条直线折叠能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称或轴对称 . 1). 两个图形是全等形 . 2). 对称轴是对称点连线的垂直平分线 . (1) 把其中一个图案绕点 O 旋转 180°. 你有什么发现 ? 重 合 重 合 (2) 线段 AC,BD 相交于点 O,OA=OC,OB=OD. 把 △OCD 绕点 O 旋转 180°. 你有什么发现 ? O A Ｏ D B C 把一个图形绕着某一个定点旋转 180 ° , 如果旋转后的图形能和原来的图形重合 , 那么这个图形叫做 中心对称图形 , 这个定点就是 对称中心 , 这两个图形 中的 对应点 , 叫做 关于中心的对称点 . A D E A C B 中心对称的定义 : 观察 :C 、 A 、 E 三点的位置关系怎样 ? 线段 AC 、 AE 的大小关系呢 ? C 、 A 、 E 三点在一条直线上或 ∠CAE= 180° AC=AE 汉代铜镜 —— 中心对称图形 旋转三角板，画关于点 O 对称的两个三角形： 第一步， 画出 △ABC ； 第二步， 以三角板的一个顶点 O 为中心，把三角板旋 转 180° ，画出 △A′B′ C′ ； A’ B’ C’ O A B C 第三步 ，移开三角板 . 分别连接 AA’,BB’,CC’ 。点 O 在线段 AA′ 上吗？如果在，在什么位置？ △ABC 与 △ A′B′ C ′ 有什么关系？ (1) 点 O 是线段 AA ′ 的中点 ( 为什么 ?) （ 2 ） △ABC≌△A′B′C′ ( 为什么 ?) O A’ B ’ C’ C B A 很显然画出的 △ABC 与 △A’B’C’ 关于点 O 对称 . 下图中 △A′ B′C′ 与 △ABC 关于点 O 是成中心对称的 , 你能从图中找到哪些等量关系 ? A’ B’ C’ A B C O （ 1 ） OA=OA′ 、 OB=OB′ 、 OC=OC′ （ 2 ） △ABC≌△A′B′C′ 中心对称与轴对称有什么区别 ? 又有什么联系 ? 轴对称 中心对称 有一条对称轴 --- 直线 有一个对称中心 — 点 图形沿对称轴对折 ( 翻折 180 ° ) 后重合 图形绕对称中心旋转 180 ° 后 重合 对称点的连线被对称轴垂直平分 对称点的连线经过对称中心 , 且被对称中心平分 轴对称 中心对称 1 有一条对称轴 —— 直线 有一个对称中心 —— 点 2 图形沿轴对折（翻转 180° ） 图形绕中心旋转 180° 3 翻转后和另一个图形重合 旋转后和另一个图形重合 A B C C 1 A 1 B 1 O 中心对称图形的定义 : 把一个图形绕着某一个定点旋转 180 0 , 如果旋转后的图形能和原来的图形重合 , 那么这个图形叫做中心对称图形。 下面哪个图形是中心对称图形？ 判断下列图形是不是中心对称图形？ 中心对称与中心对称图形是两个既有联系又有 区别的概念 . 区别 : 中心对称指两个全等图形的相互位置关系 中心对称图形指一个图形本身成中心对称 联系 : (1) 如果将成中心对称的两个图形看成一个整体 , 那么它们是中心对称图形 (2) 如果将中心对称图形的对称的部分看 成是两个图形 , 那么 它们关于中心对称。 观察图形，并回答下面的问题： （ 1 ）哪些只是轴对称图形？ （ 2 ）哪些只是中心对称图形？ （ 3 ）哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？ （１） （３） （２） （４） （５） （６） （ 3 ）（ 4 ）（ 6 ） （ 1 ） （ 2 ）（ 5 ） 第 24 章 圆 24.2 圆的基本性质 第 1 课时 感知圆的世界 情境导入 如图 24-14 ，在平面内线段 OP 绕着它固定的一个端点 O 旋转一周，则另一个端点 P 所形成的封闭曲线叫做 圆 . 情境导入 圆的概念 : r O P 固定的端点 O 叫做 圆心 ，线段 OP 的长为 r 叫做 半径 . 以点 O 为圆心的圆，记作 "⊙O" ，读作“圆” . 图 24-14 从图 24-14 画图的过程中，你能说出圆上的点有什么特性吗？ （ 1 ）圆上各点到定点（圆心 O ）的距离都等于定长（半径 r ）； （ 2 ）平面内到定点（圆心 O ）的距离都等于定长（半径 r ）的所有点都在同一个圆上 . 因此，圆可以看 成平 面内到定点（圆心 O ）的距离等于定长（半径 r ）的所有点组成的图形 . 思考 : 注意 : (1) 圆是一条封闭曲线 ( 而不是一个圆面 ) ； (2) 圆是由圆心和半径确定的 , 圆心确定圆的位置 , 半径确定圆的大小 ). 知识精讲 交流： 平面上有一个圆，这个平面上的点，除了在圆上外，与圆还有几种位置关系，这些关系根据什么来确定？ 知识精讲 点与圆的位置关系 符号 读作等价于 . 它表示从符号的左边可以推出右边；同时从符号的右边也可以推出左边 . （2）若点A在⊙O 内 （3）若点A在⊙O外 （ 1 ）若 点 A 在 ⊙ O 上 知识精讲 知识精讲 圆上任意两点间的部分叫做 圆弧 ，简称 弧 ，用符号 ⌒ 表示 . 以 A,B 为端点的弧记作 AB ，读作 弧 AB . 与圆有关的概念 连接圆上的任意两点的 线段叫做 弦 ，经过圆心的 弦叫做 直径 . 注意：同圆中所有半径都相等 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆 . 大于半圆的 弧一叫做 优弧，小于半圆的弧叫做劣弧 , 知识精讲 与圆有关的概念 由弦及其所对的弧组成的图形叫做 弓形 . 能够重合的两个圆叫做等圆 ，等圆 的半径相 等 . 在同圆或者等圆中，能够互相重合的弧叫做等 弧 . 证明 : 连接 AC,DB. 知识精讲 例题分析： 例 1 已知：如图 24-17 ， AB,CD 为⊙ O 的直径 . 求证： AD//CB. 图 24-17 ∵ AB,CD 为⊙ O 的直径 ∴ OA=OB ， OC=OD ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形 . ∴ AD//CB 合作与交流 1 . 如图，请正确的方式表示出以点 A 为端点的优弧及劣弧 . 2. 选择题 （ 1 ）下列 说法， 正确的是（ ）。 ①线段是弦；②直径是弦；③经过圆心的弦是直径；④经过圆上一点有无数条直径。 A 、①② B 、②③ C 、②④ D 、③④ 合作与交流 答案： B （ 2 ）如图 ，在⊙ O 中，点 A 、 O 、 D 以及点 B 、 O 、 C 分别在一条直线上，图中弦的条数为（ ）。 A 、 2 B 、 3 C 、 4 D 、 5 答案： B 合作与交流 巩固提高 1. 从树木的年轮，可以很清楚的看出树生长的年龄。如果一棵 20 年树龄的红杉树的树干直径是 23cm, 这棵红杉树的半径平均每年增加多少？ 23÷20=1.15 1.15÷2=0.575 小结 定义一： 在同一平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫圆。固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径。 从 运动和集合的观点理解圆的定义： 定义二：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 第 2 课时 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 情境导入 问题 ：你知道赵州桥吗 ? 它的主桥是圆弧形 , 它的跨度 ( 弧所对的弦的长 ) 为 37.4m, 拱高 ( 弧的中点到弦的距离 ) 为 7.2m ，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 我们知道，等腰三角形，平行四边形，矩形，菱形，正方形等图形都具有对称性 . 那么圆是否具有对称性呢？根据它的对称性又能推出圆的哪些性质呢？ 情境导入 1. 在纸上任意画一个⊙ O ，以⊙ O 的一条直径为折痕，把⊙ O 折叠，如图 24-18 ，你发现了什么？ 圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过圆心的直线 . 垂 径分弦 知识精讲 A （ B ） D C 图 24-18 知识精讲 A B D C O E 图 24-19 2. 在折叠⊙ O 后，用针在半圆上刺一个小孔，得两个重合的点 A,B, 如图 24-18. 把折叠的圆摊平，那么折痕 CD 是直径，点 A,B 是关于直线 CD 的一对对应点 . 连接 AB ，得弦 AB ，如图 24-19 ，这时直径 CD 与弦 AB 有怎么的位置关系？ 图 24-18 A （ B ） D C 知识精讲 3. 直径 CD 把劣 弧 分成 与 两 部分，把优弧 分 成 与 两 部分，这 时 与 , 与 各 有怎样的关系？ A B D C O E 图 24-19 知识精讲 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦对的两条弧 . 垂径定理 · O A B D E 图 24-20 C CD 为⊙ O 的直径 CD⊥AB 条件 结论 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AE=BE AC=BC AD=BD 圆心到弦的距离叫弦心距 . 例 2 如图 24-21 ，⊙ O 的半径为 5cm 中，弦 AB 的长为 6cm ，求圆心 O 到 AB 的距离 . 知识精讲 平分弦 （不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 垂 径定理的推论 1: E A B . O 图 24-21 知识精讲 例 3 赵州桥（图 24-22 ）建于 1400 年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，它的跨度 ( 弧所对的弦的长 ) 为 37.4m, 拱高 ( 弧的中点到弦的距离 ) 为 7.2m ，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 图 24-22 知识精讲 解：如图，设半径为 R ， 在Ｒ t⊿AOD 中，由勾股定理， 解得 R≈27.9 （ m ） . 答：赵州桥的主桥拱半径约为 27.9m. D 37.4 7.2 AB =37.4, CD =7.2 R 18.7 R-7.2 得 合作与交流 8cm 1 ．半径为 4cm 的⊙ O 中，弦 AB=4cm, 那么圆心 O 到弦 AB 的距离是 。 2 ．⊙ O 的直径为 10cm ，圆心 O 到弦 AB 的 距离为 3cm ，则弦 AB 的长是 。 3 ．半径为 2cm 的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是 。 A B O E A B O E O A B E 巩固提高 1. 如图 , 在⊙ O 中 , 弦 AB 的长为 8cm, 圆心到 AB 的距离为 3cm, 则⊙ O 的半径为 . · A B O ∟ C 5 cm 2. 弓形的弦长 AB 为 24cm ，弓形的高 CD 为 8cm ，则这弓形所在圆的半径 为 . (1) 题 (2) 题 12 8 13 cm 小结 方法归纳 : 1. 垂径定理 经常和 勾股定理 结合使用。 2. 解决有关弦的问题时，经常 （ 1 ） 连结半径 ； （ 2 ） 过圆心作一条与弦垂直的线段 等辅助线，为应用垂径定理创造条件。 请围绕以下两个方面小结本节课： 1 、从知识上学习了什么？ ２、从方法上学习了什么？ 小结 圆的轴对称性；垂径定理及其推论 （１）垂径定理和勾股定理结合 . （２）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线 —— 过圆心作垂直于弦的线段； —— 连接半径 . 第 3 课时 情境导入 圆是中心对称图形吗 ? 它的对称中心在哪里 ? 复习引课 圆是中心对称图形， 它的对称中心是圆心 . 情境导入 N O 把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度 ， N O N'  把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度 ， 情境导入 N O N'  定理：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆 重合。 把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度 ， 由 此可以看出，点 N' 仍落在圆上 . 圆心角 ，弧，弦，弦心距间的关系 知识精讲 · 圆心角 ：我们把顶点在圆心的角叫做 圆心角 . O B A 如 图， ∠ AOB 就是一个圆心角， OC 就是弦心距 . C 弦心距 ：从圆心到弦的距离叫做 弦心距 . 知识精讲 将 圆心角∠ AOB 绕圆心 O 旋转到∠ A’OB’ 的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 探究 知识精讲 根据旋转的性质，将圆心角∠ AOB 绕圆心 O 旋转到∠ A ′ OB′ 的位置时，显然 ∠ AOB ＝∠ A′OB′ ，射线 OA 与 OA′ 重合， OB 与 OB′ 重合．而同圆的半径相等， OA=OA′ ， OB=OB′ ，从而点 A 与 A ′ 重合， B 与 B′ 重合． 因此，弧 AB 与 弧 A ′ B ′ 重合， AB 与 A′B′ 重合 ． ⌒ AB ⌒ A ′ B ′ = 同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角 _____ ， 所对的弦 ______ ； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角 ______ ，所对的弧 ______ ． 知识精讲 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 ，所对的 弦 也相等． 相等 相等 相等 相等 同圆或等圆中， 两个圆心角 、 两条 弧、两 条 弦中有 一组 量 相 等 ，它 们 所 对 应的 其余各 组 量也 相等 ． 定理与例题 知识精讲 1 ° 弧 n ° 1 ° n° 弧 ∵ 把圆心角等分成 360 份 , 则每一份的圆心角是 1º. 同时整个圆也被分成了 360 份 . 则每一份这样的弧叫做 1º 的弧 . 这样 ,1º 的圆心角对着 1º 的弧 , 1º 的弧对着 1º 的圆心角 . n º 的圆心角对着 nº 的弧 , n º 的弧对着 nº 的圆心角 . 性质 : 弧的度数和它所对圆心角的度数相等 . 性质 知识精讲 证明： ∵ = ∴ AB=AC , △ ABC 等腰三角形． 又∠ ACB =60° ， ∴ △ ABC 是等边三角形， AB=BC=CA. ∴ ∠ AOB ＝∠ BOC ＝∠ AOC . A B C O 例 4 如图，在 ⊙ O 中 ， = ，∠ ACB= 60° ， 求证 :∠ AOB= ∠ BOC= ∠ AOC . 合作与交流 例 5 在 图中，画出 ⊙ O 的两条直径，一次连接这两条直径的端点，得到一个四边形 . 判断这个四边形的形状，并说明理由 . 解：这个四边形是矩形 . 理由 : 如图， AC 、 BD 为⊙ O 的 两条直径，则 AC = BD ，且 AO = BO = CO = DO . 连接 AB 、 BC 、 CD 、 DA ，则四边形 ABCD 为矩形 . A O C D B 巩固提高 如图， AB 是⊙ O 的径， ， ∠ COD= 35° ，求∠ AOE 的度数． · A O B C D E 解 ： ⌒ BC ⌒ CD = = ⌒ DE ⌒ BC ⌒ CD = = ⌒ DE 第 4 课时 情境导入 复习引课 类比确定直线的条件 : 经过一点可以作无数条直线； 经过两点只能作一条直线 . ●A ●A ●B 知识精讲 确定 圆的条件 思考 1. 作圆 , 使它过已知点 A. 你能作 出 几 个这样的圆 ? ● O ● A ●O ● O ● O ● O 2. 作圆 , 使它过已知点 A,B. 你能作出几个这样的圆 ? 有何特点？ ● A ● B ● O ● O ● O ● O 3 . 经过 A,B ,C . 能不能作圆 ? 知识精讲 2. 过已知点 A,B 作圆 , 可以作无数个圆 . 经过两点 A,B 的圆的圆心在线段 AB 的垂直平分线上 . 以线段 AB 的垂直平分线上的任意一点为圆心 , 这点到 A 或 B 的距离为半径作圆 . 你准备如何 ( 确定圆心 , 半径 ) 作圆？ 其圆心的分布有什么特点 ? 与线段 AB 有什么关系？ ● A ● B ● O ● O ● O ● O 知识精讲 3. 作圆 , 使它过已知点 A,B,C(A,B,C 三点不在同一条直线上 ), 你能作出几个这样的圆 ? 老师提示 : 能否转化为 2 的情况 : 经过两点 A,B 的圆的圆心在线段 AB 的垂直平分线上 . 你准备如何 ( 确定圆心 , 半径 ) 作圆？ 其圆心的位置有什么特点 ? 与 A,B,C 有什么关系？ ┓ ● B ● C 经过两点 B,C 的圆的圆心在线段 AB 的垂直平分线上 . ┏ ● A 经过三点 A,B,C 的圆的圆心应该这两条垂直平分线的交点 O 的位置 . ● O 知识精讲 请你作圆 , 使它过已知点 A,B,C(A,B,C 三点不在同一条直线上 ). 以 O 为圆心 ,OA( 或 OB, 或 OC) 为半径 , 作⊙ O 即可 . 请你证明你做得圆符合要求 . ● B ●C ● A ●O 证明 :∵ 点 O 在 AB 的垂直平分线上， ∴⊙O 就是所求作的圆 , ┓ E D ┏ G F ∴OA=OB. 同理 ,OB=OC. ∴OA=OB=OC. ∴ 点 A,B,C 在以 O 为圆心的圆上 . 这样的圆可以作出几个 ? 为什么 ? 知识精讲 定 理 : 不 在一条直线上的三个点确定一个圆 . 在上面的作图过程中 . 老师期望 : 将这个结论及其证明作为一种模型对待 . ∵ 直线 DE 和 FG 只有一个交点 O, 并且点 O 到 A,B,C 三个点的距离相等 , ∴ 经过点 A,B,C 三点可以作一个圆 , 并且只能作一个圆 . ●B ● C ● A ● O ┓ E D ┏ G F 知识精讲 分别作出锐角三角形 , 直角三角形 , 钝角三角形的外接圆 , 并说明与它们外心的位置情况 锐角三角形的外心位于三角形内 , 直角三角形的外心位 于 直 角三角形斜边中点 , 钝角三角形的外心位于三角形外 . 老师期望 : 作三角形的外接圆是必备基本技能 , 定要熟练掌握 . A B C ● O A B C C A B ┐ ● O ● O A B C 过如下三点能不能作圆 ? 为什么 ? 过什么样的三点能作圆呢 ? 为什么 ? 合作与交流 合作与交流 假设 过同一直线上三点 A 、 B 、 C 能作圆则 AB 的垂直平分线与 BC 的垂直平分线交于一点 E 这与过一点只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，所以过同一直线上三点能不能作圆 . A B C E 过如下三点能不能作圆 ? 为什么 ? 不在同一直线上的三点确定一个圆 合作与交流 A B C 2 、 已知△ ABC ，能用直尺和圆规作出过点 A 、 B 、 C 的 圆 . 合作与交流 已知△ ABC ，用直尺和圆规作出过点 A 、 B 、 C 的 圆 . O A B C 解答提示： 1 、作 AB 的垂直平分线 EF ； 2 、作 BC 的垂直平分线 MN 交 EF 于 O ； 3 、以 O 为圆心 OA 为半径作圆，则过 A 、 B 、 C. 巩固提高 如图， AB 是⊙ O 的直径 ， ， ∠ COD= 35° ，求∠ AOE 的度数． · A O B C D E 解 ： ⌒ BC ⌒ CD = = ⌒ DE ⌒ BC ⌒ CD = = ⌒ DE 小结 （ 1 ）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定。 （ 2 ）经过一个已知点能作无数个 圆。 （ 3 ）经过两个已知点 A 、 B 能作无数个圆！这些圆的圆心在线段 AB 的垂直平分线上。 （ 4 ）不在同一直线上的三个点确定一个圆。 （ 5 ）外接圆，外心的概念。 第 24 章 圆 24.3 圆周角 第 1 课时 情境导入 复习引课 1. 圆心角的定义 ? . O B C 答：在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有其中的一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。 答 : 顶点在圆心的角叫圆心角。 2. 上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？ 知识精讲 A B C 一个三角形，当它内接于一个圆时，它的任一个角都与圆有着特殊的位置关系 . 如 图， ∆ ABC 内接于⊙ O ，这时∠ A 的定点在圆上，∠ A 的两边 AB,AC 分别与圆还有另一个公共点 . 像这样，定点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角 . 知识精讲 类比圆心角探知圆周角 在同圆或等圆中 , 同弧或等弧所对的圆心角相等 . 在同圆或等圆中 , 同弧或等弧所对的圆周角有什么关系？ 为了解决这个问题 , 我们先探究同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系 . 你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗 ? 知识精讲 圆周角和圆心角的关系 教师提示 : 注意圆心角与圆周角的位置关系 . （ 1 ） 折痕是圆周角的一条边， （ 2 ） 折痕在圆周角的内部， （ 3 ） 折痕在圆周角的外部． 知识精讲 如图 , 观察圆周角∠ ABC 与圆心角∠ AOC, 它们的大小有什么关系 ? 说说你的想法 , 并与同伴交流 . ● O A B C ● O A B C ● O A B C 知识精讲 我们得到以下几种情况 . ①∠ABC 的一边 BC 经过 圆心 O 。 ②∠ABC 的两边都不经过圆心 O 。 ③∠ABC 的两边都不经过圆心 O 。 B A O C ① A B C O ② B A C O ③ 请问∠ ABC 与∠ AOC 它们 的大小有什么关系？说说 你的想法，并与同伴进行 交流。 知识精讲 下面我们首先考虑同学们列举的一种特殊情况，即∠ ABC 的一边 BC 经过圆心 O. B A O C ∵ ∠AOC 是△ ABO 的外角， ∴ ∠AOC=∠ABO+∠BAO. ∵ OA=OB ， ∴ ∠ABO=∠BAO. ∴ ∠AOC=2∠ABO ， ∴ ∠ABC= ∠AOC. 1 - 2 那么当∠ ABC 的两边都不经过圆心 O 时，∠ ABC 与∠ AOC 又有怎样的大小关系呢？ A B C O B A C O 我们可以考虑把这两种情况分别转化成刚才的特殊情形来考虑 . 也就是借用直径，连接 BO 并延长，与圆相交于点 D. 知识精讲 （此时我们得到与图①同样的情形） A B C O D 1 3 2 B A O C ① 5 4 ∵ ∠1 是△ ABO 的 外角， ∴ ∠1=∠2+∠3. ∵ OA=OB ， ∴ ∠2=∠3. ∴ ∠1=2∠2 . 知识精讲 B A C O B A O C ① 如图，连接 BO 并延长，与圆相交于点 D 。（此时我们得到与图①同样的情形） D ∵ ∠AOD 是△ ABO 的 外角 , ∴ ∠AOD=∠A+∠ABO. ∵ OA=OB , ∴ ∠A=∠ABO. ∴ ∠AOD=2∠ABD , 知识精讲 如图，连接 BO 并延长，与相交于点 D 。（此时我们得到与图①同样的情形） B A C O B A O C ① D ∵ ∠AOD 是△ ABO 的 外角 , ∴ ∠ABD=∠A+∠ABO. ∵ OA=OB , ∴ ∠A=∠ABO. ∴ ∠AOD=2∠ABD , 知识精讲 B A C O B A O C ① 如图，连接 BO 并延长，与圆 O 相交于点 D 。（此时我们得到与图①同样的情形） D ∵ ∠AOD 是△ ABO 的 外角 , ∴ ∠ABD=∠A+∠ABO. ∵ OA=OB , ∴ ∠A=∠ABO. ∴ ∠AOD=2∠ABD , 知识精讲 通过对三种情形的证明，同学们再认真观察图形，你会得到什么结果？ B A O C A B C O B A C O 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 。 一半 知识精讲 知识精讲 由定理可得 推论 1 在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等（图 24-36 ） . 推论 2 半圆或直径所对的圆周角是直角； 90° 的圆周角所对的弦是直径（图 24-37 ） . 例 1 如图 24-38 ， AB 为⊙ O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P ，∠ ACD=60° ，∠ ADC=70° ，求∠ APC 的度数 . 解：连接 BC ，则∠ ACB=90°, ∠DCB=∠ACB-∠A C D=30°. ∴ ∠APC =∠BAD+∠ADC=30°+70°=100°. 合作与交流 分析：∠ APC 等于圆周角∠ BAD 与∠ ADC 之和 . 又 ∵ ∠ BAD=∠DCB=30° ， A O C B 如图，在⊙ O 中，∠ BOC=50 ° ， 则∠ BAC= 。 25 ° 变化题 2 ：如图，∠ BAC=40 ° ，则∠ OBC= 。 A B C O 变化题 1 ：如图，点 A ， B ， C 是⊙ O 上的三点， ∠ BAC=40 ° ，则∠ BOC= 。 50 ° 80 ° 合作与交流 如 图， OA ， OB ， OC 都是⊙ O 的半径，∠ AOB=2∠ BOC ，∠ ACB 与∠ BAC 的大小有什么关系？为什么？ A B C O 解：∠ ACB=2∠BAC. 理由 : ∵ ∠AOB=2∠ ACB, ∠BOC=2∠ BAC, ∠AOB=2∠ BOC, ∴ 2∠ACB =2 （ 2∠BAC ） . ∴∠ACB=2∠BAC. 巩固提高 到 目前为止 , 我们学习到和圆有关的角有几个 ? 它们各有什么特点 ? 相互之间有什么关系 ? 答 : 和圆有关的角有圆心角和圆周角 . 圆心角顶点在圆心 ; 圆周角顶点在圆上，角的两边和圆相交。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 小结 第 2 课时 情境导入 复习巩固 A B C O 1. 如图，∠ BOC 是 角，∠ BAC 是 角 . 若∠ BOC=80 ° ，∠ BAC= . 圆心 圆周 40 ° 2. 如图，点 A ， B ， C 都 在⊙ O 上，若∠ ABO=65 ° ，则∠ BCA= （ ） 25 ° B.32.5 ° C. 30 ° D.45 ° A B C O A 1. 如图， A ， B ， C ， D 是⊙ O 上的四点， AC 为⊙ O 的直径，请问∠ BAD 与∠ BCD 之间有什么关系？为什么？ A B C O D 解：∠ BAD 与∠ BCD 互补。 ∵ AC 为直径， ∴∠ ABC=90°, ∠ ADC=90° 。 ∵ ∠ ABC+ ∠ BCD+ ∠ ADC+ ∠ BAD=360° ， ∴ ∠ BAD+ ∠ BCD=180° 。 ∴ ∠ BAD 与∠ BCD 互补。 情境导入 知识精讲 一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做 圆的内接多边形 ，这个圆叫做这个 多边形的外接圆 . 如图 24-39 ，四边形 ABCD 内接于⊙ O ，这时，它的每一个角都成为圆周角 . 利用圆周角定理，我们来研究圆内接四边形的角之间的关系 . A B C O D E 图 24-39 知识精讲 定理： 圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角 . 例 在圆内接四边形 ABCD 中，∠ A ，∠ B ，∠ C 的度数之比是 2:3:6 ，求这个四边形各角的度数 . 解：设∠ A ，∠ B ，∠ C 的度数分别等于 2x°,3x°,6x°. ∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°. ∵ 四边形ABCD内接于圆， ∵ 2x+6x=180°， ∴ x=22.5°. ∴ ∠A=45°，∠B=67.5°，∠C=135°，∠D=180°-67.5°=112.5°. 合作与交流 在圆内接四边形 ABCD 中，∠ A 与∠ C 的度数之比为 4:5 ，求∠ C 的度数 . 解 :∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形， ∴∠ A+ ∠ C=180° （圆内角四边形的对角互补） . ∵∠ A:∠C=4:5 ， ∴ . 即∠ C 的度数为 100° . 合作与交流 1. 如图，在⊙ O 中，∠ BOD=80° ，求∠ A 和∠ C 的度数 . A B C O D 解：∵ ∠ BOD =80° ， ∴ . （圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半） . ∵四边形 ABCD 是圆内接四边形， ∴ ∠ DAB+∠BCD=180°. ∴∠ BCD=180°-40°=140° （圆内接四边形的对角互补） . 2. 如 图， OA,OB,OC 都是⊙ O 的半径， ∠AOB=2∠BOC， ∠ ACB与∠BAC 的大小有什么关系？为什么？ A B C O 解：∠ ACB=2∠BAC. 理由 : ∵ ∠AOB=2∠ ACB, ∠BOC=2∠ BAC, ∠AOB=2∠ BOC, ∴ 2∠ACB =2 （ 2∠BAC ） , ∴∠ACB=2∠BAC. 巩固提高 小结 1. 要理解圆周角定理的推论 . 2. 构造直径所对的圆周角是解答圆中问题的常用方法 . 3. 要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的圆周角也是常用方法之一 . 4. 圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系，而同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系，因此，圆中的角（圆周角和圆心角）、弦、弧等的相等关系可以互相转化 . 但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁，如由弦相等只能得弧或圆心角相等，不能直接得圆周角相等 . 第 24 章 圆 24.4 直线与圆的位置关系 点和圆的位置关系有几种？ 点到圆心的距离为 d ，圆的半径为 r ，则： 点在圆外 d>r; 点在圆上 d=r ； 点在圆内 d 5cm d = 5cm 0cm ≤ d < 5cm 2 1 0 例： 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？ ( 1 ) r=2cm； ( 2 ) r=2.4cm；(3)r=3cm． B C A 4 3 分析：要了解AB与⊙C的位置关系，只要知道圆心C到AB的距离d与r的关系．已知r，只需求出点C到AB的距离d即可。 D d 解：过点 C 作 CD⊥AB ，垂足为 D 在△ ABC 中， AB= 5 根据三角形的面积公式有 ∴ 即圆心 C 到 AB 的距离 d=2.4cm 所以 (1) 当 r=2cm 时 , 有 d>r, 因此⊙ C 和 AB 相离。 B C A 4 3 D d （2）当r=2.4cm时, 有d=r, 因此⊙C和AB相切。 （3）当r=3cm时， 有d