华东师大版九年级数学下册第27章圆

第 27 章 圆 27.1 圆的认识 第 1 课时 问题引入 一石激起千层浪 奥运五环 大家见过这些吗？知道它是什么图形吗？ 回顾思考 据统计，某个学校的同学上学方式是，有 的同学步行上学，有 的同学坐公 共汽车上学，其他方式上学的同学有 ，请 你用扇形统计图反映这个学校学生的上学 方式 . 我们是用圆规画出一个圆，再将 圆划分成一个个扇形，如右图 27.1.1 就是反映学校学生上学 方式的扇子形统计图。 圆是如何形成的？ 请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何 形成的 . 如图，线段 OA 绕着它固定的一个端点 O 旋转 一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形 . O A C B 1. 如图 , 半径有 :____________ OA 、 OB 、 OC 若 ∠ AOC=60 ° ， 则 △ AOC 是 __ 等边 ___ 三角形 . 2. 如图 , 弦有 :______________ AB 、 BC 、 AC 在圆中有长度不等的弦， 直径 是圆中 最长的弦 . ● O B C A 1. 如图 , 弧有 :______________ ⌒ AB ⌒ BC ⌒ ABC ⌒ ACB ⌒ BCA 它们一样么？ ⌒ AB ⌒ BC 2 . 劣弧 有： 优弧 有： ⌒ A CB ⌒ BA C 你知道优弧与劣弧的区别么？ 判断 ： 半圆是弧，但弧不一定是半圆 .( ) 探索与实践 如图，在 ⊙O 中， AC=BD ， , 求 ∠2 的度数。 你会做吗？ 解： ∵ AC=BD （已知） ∴ ∴ AB=CD ∴ AC-BC=BD-BC （等式的性质） ∠1=∠2=45° （在同圆中，相等的弧 所对的圆心角相等） 课堂练习 1 、直径是弦吗？弦是直径吗？ 2 、半圆是弧吗？弧是半圆吗？ 3 、半径相等的两个圆是等圆，而两段弧相等 需要什么条件呢？ 4 、比较下图中的三条弧，先估计它们所在圆 的半径的大小关系，再用圆规验证你的结 论是否正确 . 5 、说出上右图中的圆心角、优弧、劣弧 . 6 、直 径是圆中最长的弦吗？为什么？ ● C B A D O 思考 : 在 ⊙O 中 ,AB 、 CD 是直径 .AD 与 BC 平行吗 ? 说说你的理由 . 四边形 ACBD 是矩形么 ? 为什么 ? 温馨提示： 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 . 思 考 小结 今天你学到了什么？ 1. 在同一个圆 中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等、所对的弦相等 , 所对的弦的弦心距也相等 . （或等圆） （或等圆） 2. 在同一 个圆 中，如果弧相等，那么所对的圆心角 _____ 、所对的弦 ______ ， 所对的弦的弦心距 _____. 相等 3. 在同一个圆 中，如果弦相等，那么所对的圆心角 _____ 、所对 的弧 ______, 所对的弦的弦心距 _____. 相等 （或等圆） 相等 相等 相等 相等 第 2 课时 情境导入 同学们自己动手画两个等圆，并把其中一个圆剪下， 让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转， 可以发现，两个圆都是互相重合的。如果沿着任意一 条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会 完全重合 . 由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪一点？圆不仅是中心对称圆形，而且还是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。 实践与探索 1 、同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对 的弦相等 . 实验 1 、将图形 2 7 .1.3 中的扇形 AOB 绕点 O 逆时针 旋转某个角度，得到图 2 7 .1.4 中的图形，同学们可以通过比较前后两个图形，发现 实质上 ， 确定了 扇形 AOB 的大小， 所以 在同一个圆中， 如果圆心角相等，那么它所对的弧 相等，所对的弦相等 . 实践与探索 问题： 在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦是否相等呢？在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧是否相等呢？ 例 1 如图 27.1.5 ，在⊙ O 中，弧 AC= 弧 BD ，求 的度数 . 解：因为 弧 AC= 弧 BD ， 所以 弧 AC- 弧 BC= 弧 BD- 弧 BC. 所以 弧 AB= 弧 CD. 所以 （在同一个圆中，如果弧相等， 那么它们所对的圆心角相等） 探索新知 我们知道 圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，由此我们可以如图 2 7 .1.6 那样十分简捷地将一个圆 2 等分、 4 等分、 8 等分 . 试一试 如 图 , 如果 在图形纸片上任意画一条垂直于直径 CD 的弦 AB ，垂足为 P ，再将纸片沿着直径 CD 对折，比较 AP 与 PB 、 弧 DB 与 弧 CB ， 你能 发现什么结论？你的结论是： ______________ ____________ 这就是我们这节课要研究的问题 . 垂径定理 ： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 . 探索新知 类似上面的证明，我们还可以得到 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条线，并且平分这条弦所对的两条弧； 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦 . (1) 平分弦 （不是直径） 的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧； (2) 弦的垂直平分线经过圆心 , 并且平分弦所对的两条弧 ; ( 3) 平分弦所对的一条弧的直径 , 垂直平分弦 , 并且平分弦所对的另一条弧 ; ( 4) 平分弧的直径垂直于平分这条弧所对的弦 . 推论 尝试运用 例 1 、如图已知以点 O 为公共圆心的两个同心圆 , 大圆的弦 AB 交小圆于点 C 、 D （ 1 ）试说明线段 AC 与 BD 的大小关系 ; （ 2 ）若 AB=8 ， CD=4 ，求圆环的面积 . 尝试运用 例 2 、在直径为 10 的圆柱形油桶内装入 一些油后，截面如 图， 如果油面宽 AB=8 ，那么油的最大深度是 . 垂径定理及其推论 1 的实质是把 (1) 直线 MN 过圆心 ; (2) 直线 MN 垂直 AB; (3) 直线 MN 平分 AB; (4) 直线 MN 平分弧 AMB; (5) 直线 MN 平分弧 ANB 中的两个条件进行了 四种 组合 , 分别推出了其余的三个结论 . 这样的组合还有 六种 ，由于时间有限 , 课堂上未作进一步的推导 , 同学们课下不妨试一试 . 回味引伸 小结 本节课我们通过实验得到了圆不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，而由圆的对称性又得出许多圆的许多性质，即（ 1 ）同一个圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等 . （ 2 ）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等 . （ 3 ）在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧相等 . 第 3 课时 问题情境 如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有 什么样的特征？（顶点在圆心，两边与圆 相交的角叫做圆心角），今天我们要学习 圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆 周角 . 实践与探索 1 . 圆周角 究竟什么样的角是圆周角呢？像图（ 3 ）中的解就 叫做圆周角，而图（ 2 ）、（ 4 ）、（ 5 ）中的角都 不是圆周角。同学们可以通过讨论归纳如何判断一 个角是不是圆周角。（顶点在圆上，两边与圆相交 的角叫做圆周角） 练习：试找出图中所有相等的圆周角 . 2 . 圆周角 的度数 探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？而 的圆周角所对的弦是否是直径 ? 数学理论 如图 27.1.9 ，线段 AB 是 ⊙ O 的直径， 点 C 是 ⊙ O 上任意一点 （除点 A 、 B ）， 那 么，∠ ACB 就是直径 AB 所对的 圆周角 . 想想看，∠ ACB 会是怎么样 的角？为什么呢？ 证明 ： 因为 OA ＝ OB ＝ OC ， 所以 △ AOC 、 △ BOC 都是 等腰三角形 ， 所以 ∠ OAC ＝ ∠ OCA ， ∠ OBC ＝ ∠ OCB . 又∠ OAC ＋∠ OBC ＋∠ ACB ＝ 180° ，所以 ∠ ACB ＝∠ OCA ＋∠ OCB ＝ ＝ 90°. 因此，不管点 C 在⊙ O 上何处（除点 A 、 B ），∠ ACB 总等于 90°. 数学运用 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于 90° （直角）。反过来也是成立的，即 90° 的 圆周角所对的弦是圆的直径 3. 同 一条弧所对的圆周角和圆心角的关系 (1) 分别量一量图 27.1.10 中弧 AB 所 对的两个圆周角的度数比较一下 . 再 变动点 C 在圆周上的位置，看看圆周 角的度数有没有变化 . 你发现其中有 什么规律吗？ 数学运用 (2) 分别量出图 27.1.10 中弧 AB 所对的圆周角和 圆心角的度数，比较一下，你发现什么？ 我们可以发现，圆周角的度数没有变化 . 并且圆周角的 度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半。由上述操 作可以猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周 角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。为了验证这 个猜想，如下图所示，可将圆对折，使折痕经过圆 心 O 和圆周角的顶点 C ，这时可能出现三种情况： a 折痕是圆周角的一条边， b 折痕在圆周角的内部， c 折痕在圆周角的外部 . 1. 如图 (1), 在 ⊙O 中 ,∠BAC=50°, 求 ∠C 的大小 . 2. 如图 (2), 在 ⊙O 中 ,∠B,∠D,∠E 的大小有什么关系 ? 为什么 ? 3. 如图 (3),AB 是直径 , 你能确定 ∠C 的度数吗 ? ● O ● O C A B D B A C D E ● O A B C (1) (2) (3) 课堂练习 （ 3 ）圆心在 外部（略） 由此我们可以得到： 圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等 . 由圆周角定理，我们可以得到以下推论 推论 1 90 度的圆周角所对的弦是直径 （如图 27.1.12 ） 如果一个圆经过一个多边形的各顶点，这个圆就叫 做这个多边形的 外接圆， 这个多边形叫做这个 圆的 内接多边形 . 对于圆内接四边形，有另一个推论： 推论 2 圆内接四边形的对角互补（如图 27.1.13 ） 思考 图 27.1.14 是一个圆形零件，你能找到它的 圆心值吗？你有什么简捷的办法？ 第 27 章 圆 27.2 与圆有关的位置关系 1 . 点 与圆的位 置关系 情境导入 同学们看过奥运会的射击比赛吗？射击的 靶子是由许多圆组成的，射击的成绩是由 击中靶子不同位置所决定的；右图是一位 运动员射击 10 发子弹在靶上留下的痕迹 . 你知道这个运动员的成绩吗？请同学们算一算 . ( 击中最里面的圆的成绩为 10 环，依次为 9 、 8 、 … 、 1 环 ) 这一现象体现了平面上的点与圆的位 置关系，如何判断点与圆的位置关系呢？ 这就是本节课研究的课题。 实践与探索 1. 点 与圆的位置关系 我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径， 若点在圆上，那么这个点到圆心的距离等于半径，若 点在圆外，那么这个点到圆心的距离大于半径，若点 在圆内，那么这个点到圆心的距离小于半径 . 如图 27.2.1 ，设 ⊙ O 的 半径为 r ， A 点在 圆内， B 点在圆上， C 点在圆外，那 OA ＜ r ， OB ＝ r ， OC ＞ r ．反过来也成立，即 若点 A 在 ⊙ O 内 若点 A 在 ⊙ O 上 若点 A 在 ⊙O 外 思考与练习 ⊙ O 的半径 ， 圆心 O 到直线的 AB 距离 . 在 直线 AB 上有 P 、 Q 、 R 三点， ， ， .P 、 Q 、 且有 R 三点对于 ⊙O 的位置各是怎么样的？ 2. 不在 一条直线上的三点确定一个圆 实践与探索 问题与思考：平面上有一点 A ，经过 A 点的圆有几个？ 圆心在哪里？平面上有两点 A 、 B ，经过 A 、 B 点的圆 有几个？圆心在哪里？平面上有三点 A 、 B 、 C ，经过 A 、 B 、 C 三点的圆有几个？ 圆心在哪里？ 从以上的图形可以看到， 经过平面上一点的圆有无数个，这些圆的圆心分布在整个平面；经过平面上两点的圆也有无数个，这些圆的圆心是在线段 AB 的垂直平分线上 . 经过 A 、 B 、 C 三点能否画圆呢？同学们想一想，画圆的要素是什么？（圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小），所以关键的问题是定其加以和半径 . 如图 27.2.4 ，如果 A 、 B 、 C 三点不在一条直线上，那么经过 A 、 B 两点所画的圆的圆心在线段 AB 的垂直平分线上，而经过 B 、 C 两点所画的圆的圆心在线段 BC 的垂直平分线上，此时，这两条垂直平分线一定相交，设交点为 O ，则 OA ＝ OB ＝ OC ，于是以 O 为圆心， OA 为半径画圆，便可画出经过 A 、 B 、 C 三点的圆． 思考： 如果 A 、 B 、 C 三点在一条直线上，能画出经过 三点的圆吗？为什么？ 实践与探索 即有： 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 也就是说，经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且 只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心． 这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心 就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形 三个顶点的距离相等 . 思考： 随意画出四点，其中任何三点都不在同一条直线上， 是否一定可以画一个圆经过这四点？请举例说明 . 判断题： 1 、过三点一定可以作圆 （ ） 2 、三角形有且只有一个外接圆 （ ） 3 、任意一个圆有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形 （ ） 4 、三角形的外心就是这个三角形任意两边垂直平分线的交点 （ ） 5 、三角形的外心到三边的距离相等 （ ） 错 对 错 对 错 课堂练习 经过四个点是不是一定能作圆？ 分类 1 、 A B C D 2 、 A B C D 所以经过四点不一定能作圆 . D 4 、 A B C A B C D 3 、 B A C D 思考题： 课堂 小结 1 、这堂课你学到了什么？ 2 、给你留下印象最深的是什么？ 3 、你还有什么疑惑？ 2. 直线 与圆的 位置关系 点和圆的位置关系有几种？ 知识回顾 ⑴ 点在圆内 ⑵ 点在圆上 ⑶ 点在圆外 dr · · · 用数量关系如何来判断？ ( 地平线 ) ( 地平线 ) ● O ● O ● O 1. 观察三幅太阳升起的照片 , 太阳与地平 线会有几种位置关系 ? 探测猜想 动手试一试 ● O 作一个圆 , 把直尺边缘看成一条直线，固定圆 , 平移直尺 , 你能发现直线与圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？ ● O ● O .O l .O 直线和圆没有公共点， 叫做直线和圆 相离 . l 直线和圆有唯一的公共点， 叫做直线和圆 相切 . 这时的直线叫切线，唯一的公共点叫 切点 。 .O l 直线和圆有两个公共点， 叫直线和圆 相交 . 这时的直线叫做圆的 割线 . 一、直线和圆的位置关系有以下三种 ● P A ● ● B 知识归纳 二、直线和圆的位置关系与圆心到直线的距离和圆的半径的关系 ．Ｏ l 1 、直线与圆相离 ┐ ┐ d r d > r ．ｏ l 2 、直线与圆相切 d r d = r ． O l 3 、直线与圆相交 d < r d ┐ r 0 1 d>r 无 割线 无 d=r 切点 切线 2 d 5cm d = 5cm d < 5 cm 0cm≤ 4 、已知： ⊙O 的半径为 5cm, 圆心 O 与直线 AB 的距离为 d, 根据条件填写 d 的范围 : 1) 若 AB 和 ⊙O 相离 , 则 2) 若 AB 和 ⊙O 相切 , 则 例题 1 ： 在 Rt△ABC 中， ∠ C=90 ° ， AC=3cm ， BC=4cm ，以 C 为圆心， r 为半径的圆与 AB 有怎样的位置关系？为什么？ （ 1 ） r=2cm ； （ 2 ） r=2.4cm ； （ 3 ） r=3cm ． 解：过 C 作 CD⊥AB ，垂足为 D 在 △ABC 中， AB= 5 根据三角形的面积公式有 所以 即圆心 C 到 AB 的距离 d=2.4cm 所以 (1) 当 r=2cm 时 , 有 d>r, 因此 ⊙C 和 AB 相离 . B C A 4 3 D （ 2 ）当 r=2.4cm 时 , 有 d=r, 因此 ⊙C 和 AB 相切 . （ 3 ）当 r=3cm 时， 有 d