华东师大版九年级数学下册第26章二次函数

第 26 章 二次函数 26.1 二次函数 知识回顾 1. 一元二次方程的一般形式是什么？ 2. 一次函数的定义是什么？ ax 2 + bx + c =0 形如 y = kx + b ( 其中 k , b 为常数且 k ≠0) 的函数叫做 x 的 一次函数。 ( a ≠0) 图片欣赏 用总长为 20 m 的 铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃。怎样 围， 才能使花圃的面积最大？ 1. 设 矩形靠墙的一边 AB 的 长为 x ｍ ，矩形的 面积为 y ｍ 2 ．能 用含 x 的代数式来表示 y 吗？ 2. 试 填下面的 表。 3. x 的值可以任意取？有限定范围吗？ 4 . 我们 发现 y 是 x 的函数，试写出这个函数的关系式 。 x x 20-2 x B C D A 问题 1 AB 的长 x （ｍ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC 的长（ｍ） 12 面积 y （ｍ ２ ） 48 y = x (20-2 x ) = - 2 x 2 +20 x ( 0﹤ x ﹤10) 18 18 32 14 42 16 10 50 8 48 6 42 4 32 18 0﹤ x ﹤10 2 1. 设 矩形靠墙的一边 AB 的 长 x ｍ ，矩形的面积 y ｍ 2 ． 能用含 x 的代数式来表示 y 吗？ 2 . 试 填下面的 表。 3 . x 的值可以任意取？有限定范围吗？ 4 . 我们 发现 y 是 x 的函数，试写出这个函数的关系式 。 能 某商店将 每件进 价为 8 元的商品按 每件 10 元出售，一天可售出 100 件。该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。经市场调查，发现这种商品单价每降低 0.1 元，其销售量可增加约 10 件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？ 1 . 设 每件商品降低 x 元（ 0≤ x ≤2 ），该商品每天的利润为 y ， y 是 x 的函数吗？填写下 表 。 2 . 怎样 写出该关系式？ 每天利润 = 单件利润 × 每天销量 问题 2  单件利润（元）  每天销量（件）   每天利润（ y 元 ) 降价 x 元前 降价 x 元后 100 （ 10 - 8 ） ×100 10-8 10- x -8 (10- x -8)(100+100 x ) 100+100 x y =(10- x -8)(100+100 x ) 即 y =-100 x 2 +100 x +200 ( 0≤ x ≤2) 1 . 设 每件商品降低 x 元（ 0≤ x ≤2 ），该商品每天的利润为 y 元， y 是 x 的函数吗？填写下表 . 2 . 怎样 写出该关系式？ 得到的两个函数关系式有什么特点 ? (1) 右边都是关于 x 的整式 . (2) 自变量 x 的最高次数是 2. 即都是自变量的二次整式！ 探索 y = - 2 x 2 +20 x (0﹤ x ﹤10) y =- 100 x 2 +100 x +200( 0≤ x ≤2) 对比一次函数归纳二次函数的 定义。 形如 y = ax ²+ bx + c （ a ， b ， c 是常数， a ≠ 0 ）的函数叫做 二次函数 。 提问： 2. 对于二次函数 y = ax 2 + bx + c 中的 b 和 c 可否为 0 ？若 b 和 c 各自为 0 或均为 0 ，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？ 1 ．上述概念中的 a 为什么不能是 0 ？ 思考： 判断一个函数是否是二次函数的关键是：看二次项的系数是否为 0 。 1. 由问题 1 和 2 你认为判断二次函数的关键是什么？ 2. 二次函数的一般式 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c （ a ≠ 0 ）与一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 （ a ≠ 0 ）有什么联系和区别？ 联系： (1) 等式一边都是 ax 2 ＋ bx ＋ c 且 a ≠ 0 ； (2) 方程 ax 2 ＋ bx ＋ c =0 可以看成是函数 y = ax 2 ＋ bx ＋ c 中 y =0 时得到的 . 区别 : 前者是 函数，后者 是 方程 。 等式 另一边前者是 y , 后者是 0 。 1 、下列 函数， 哪些是二次函数？ (1) y =3 x -1 （ ） (2) y =3 x 2 （ ） (3) y =3 x 3 +2 x 2 （ ） (4) y =2 x 2 -2 x +1 （ ） (5) y = x -2+ x （ ） (6) y = x 2 - x (1+ x ) （ ） × √ 知识运用 × × × √ m 2 -2 m -1=2 ， m +1 ≠0 ， 2 、 m 取何值时， 函数 是二次函数？ 解 : 由 题意，得 ∴ m =3 。 第 26 章 二次函数 26.2 二次函数的图像与性质 第 1 课时 函数 y=ax²+bx+c (a,b,c 是常数 ,a ≠0) 叫做 x 的 二次函数。 什么叫二次函数 ? 我们学过用什么方法画 函数的 图象 ? 主要有哪些步骤 ? 观察 y= x 2 的表达式 , 选择 适当的 x 的值 , 并计算相应的 y 值 , 完成下表： 用描点法画二次函数 y=x 2 的图象 x               y=x 2                 0 1 2 3 … -1 -2 -3 … 0 1 4 9 … 1 4 9 … x y O -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 -2 描点 , 连线 y = x 2 ? 观察图象 , 回答问题串 (1) 你能描述图象的形状吗 ? 与同伴进行交流 . (2) 图象是轴对称图形吗？如果是 , 它的对称轴是什么 ? 请你找出几对对称点 , 并与同伴交流 . (3) 图象 与 x 轴有交点吗？如果有 , 交点坐标是什么 ? (4) 在对称轴左侧 , 随着 x 值的增大 , y 的值如何变化 ？在 对称轴右侧呢？ (5) 当 x 取什么值时 , y 的值最小 ? 最小值是 什么？ 你是如何知道的？ 这条抛物线关于 y 轴对称 , y 轴就 是 它的对称轴 . 对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点 . 二次函数 y = x 2 的 图象形如物体 抛射 时所经过的路线 , 我 们把它叫做 抛物线 . ( １ ) 二次函数 y =-x 2 的图象是什么形状？ (2) 它与二次函数 y=x 2 的图象有什么关系？你能根据表格中的数据作出猜想吗？ x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=- x 2 … -9   -4   -1   0   -1   -4   -9   …                   y=x 2               x 0 1 2 3 … -1 -2 -3 … 0 1 4 9 … 1 4 9 … x y 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -10 -8 -6 -4 -2 2 -1 描点 , 连线 y =- x 2 抛物线 顶点 坐标 对称轴 位置 开口 方向 增减性 最值 y=x 2 y= -x 2 （ 0 ， 0 ） （ 0 ， 0 ） y 轴 y 轴 在 x 轴的上方 ( 除顶点外 ) 在 x 轴的下方 ( 除顶点外 ) 向上 向下 当 x=0 时 , 最小值为 0. 当 x=0 时 , 最大值为 0. 在对称轴的左侧 ,y 随着 x 的增大而减小 . 在对称轴的右侧 , y 随着 x 的增大而增大 . 在对称轴的左侧 ,y 随着 x 的增大而增大 . 在对称轴的右侧 , y 随着 x 的增大而减小 . 函数 y=ax 2 (a≠0) 的图象和 性质 １ . 顶点坐标与对称轴 ２ . 位置与开口方向 ３ . 增减性与最值 1. 抛物线 y=ax 2 的顶点是原点 , 对称轴是 y 轴 . 2. 当 a>0 时，抛物线 y=ax 2 在 x 轴的上方 ( 除顶点外 ), 它的开口向上 , 并且向上无限伸展； 当 a0 时 , 在对称轴的左侧 ,y 随着 x 的增大而减小；在对称轴右侧 ,y 随着 x 的增大而增大 . 当 x=0 时函数 y 的值最小 . 当 a0 时 , 抛物线 y=ax 2 在 x 轴 的上方（除顶点外） , 它的开口向上 , 并且向上无限伸展； 当 a 0 时 , 在对称轴的左侧 , y 随着 x 的 增大而减小； 在对称轴右侧 , y 随着 x 的 增大而增大 . 当 x =0 时 函数 y 的 值 最小。 当 a 0 时 ，抛物线 y=ax 2 在 x 轴的上方 ( 除顶点外 ), 它 的开口向上 , 并且向上无限伸展； 当 a0 时 , 在对称轴的左侧 ,y 随着 x 的增大而减小；在对称轴右侧 ,y 随着 x 的增大而增大 . 当 x=0 时函数 y 的值最小 . 当 a0, 开口都 向上 2 x y O 顶点坐标 是点 (2,0) . 直线 x=2 2 x y O 在对称轴 ( 直线 :x=2 ) 左侧 ( 即 x0 时 , 抛物线在 x 轴的上方 ( 除顶点外 ), 它的开口向上 , 并且向上无限伸展； 当 a0 时 , 在对称轴 (x=h) 的左侧 ,y 随着 x 的增大而减小 ; 在对称轴 ( x=h) 右侧 ,y 随着 x 的增大而增大 ; 当 x=h 时函数 y 的值最小 ( 是 0). 当 a0) y=a(x-h) 2 (a0 时 , 向右平移 ; 当 h0 时向上平移 ; 当 k0) y=a(x-h) 2 +k (a0 时 , 向右平移 ; 当 h0 时向上平移 ; 当 k0 时 , 开口向上 , 在对称轴左侧 ,y 都随 x 的增大而减小 , 在对称轴右侧 ,y 都随 x 的增大而增大 . a0 a0 B.abc>0 C.a+b+c=0 D.a-b+c