冀教版九年级数学下册第31章随机事件的概率

第三十一章 随机事件的概率 31.1 确定事件和随机事件 在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一名优秀数学家的作用超过 10 个师的兵力．这句话有一个非同寻常的来历． 1943 年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间，德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额． 为此，有位美国海军将领专门去请教了一位数学家，数学家们运用概率论分析后认为，舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，从数学角度来看这一问题，它具有 情景导入 一定的规律性． 一定数量的船编队规模越小，编次就越多，编次越多，与敌人相遇的概率就越大． 美国海军接受了数学家的建议，命令舰队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口．结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的 25 ％降为 1 ％，大大减少了损失，保证了物资的及时供应． 学校举行演讲比赛， 10 名同学参加了比赛，现在用抽签的方式决定每个人的出场顺序 . 签桶中有 10 个形状、大小相同的签，上面分别有出场的序号 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 、 10. 小军首先抽签，他在看不到纸签上的数字的情况下从签桶中随机（任意）地取一个纸签 . 推进新课 回答下列问题： （ 1 ）抽到的序号有几种可能的结果；（ 2 ）抽到的序号会是 3 吗？（ 3 ）抽到的序号会是 0 吗？（ 4 ）抽到的序号小于 11 吗？ 摸球实验 实验 1 ： A 盒中有 10 个外形完全相同的红球，搅匀 后从中任意摸出一球 . 事先能肯定摸到红球吗？ 能摸到黄球吗？ 实验 2 ： B 盒中有 10 个外形完全相同的球，其中 6 个是红球， 4 个是黄球，搅匀后从中任意摸出一球 . 事先能肯定摸到红球吗？能肯定摸到黄球吗？ 实验 3 ： C 盒中有 10 个外形完全相同的球，分别标号为 0 ， 1 ， … ， 9 ，搅匀后从中任意摸出一球 . 摸到球的号码有多少种可能的结果？事先能肯定摸到球的号码是几吗？ 举出三个生活中现象： (1) 肯定会发生的； (2) 肯定不会发生的； (3) 可能发生也可能不发生的； 前面同学们所举的例子有必然发生的，不可能发生的、可能发生也可能不发生的（即随机发生的），我们把 必然发生，不可能发生，随机发生的事情都叫做 事件。 必然事件 在一定条件下必然要发生的事件． 比如：“导体通电时发热”“抛一石块，下落”．再如 ,“ 在灯光的照射下 , 物体会留下影子”都是必然事件 . 在一定条件下不可能发生的事件． 比如：“在常温下，铁能熔化”“在标准大气压下且温度低于 0℃ 时，冰融化”，再如 ,“ 掷一枚骰子 , 正面向上数字为 7”, 都是不可能事件． 不可能事件 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件． 比如“李强射击一次，中十环”，“掷一枚硬币，出现反面”都是随机事件． 随机事件 必然事件和不可能事件在实验中是否发生能够确定，统称为 确定事件 . 实验中某些结果有时发生有时不发生，事先不能确定，结果的发生与否具有随机性的事件称为不 确定事件或随机事件 . (1) 石头孵出小鸡 . (2) 明年 6 月 13 日我市要下雨 . (3) 地球绕着太阳转 . (4) 人的生命会无限延长 . 1. 下列事件是确定事件还是不确定事件，如果是确定事件的明确指出是必然事件还是不可能事件 . 巩固提升 必然事件 不可能事件 不确定事件 不可能事件 (5) 一枚硬币向上抛出，落下后有国徽的这面朝上 . (6) 任意画一个三角形，其内角和为 180°. (7) 在一标准大气压下，水在 100℃ 时沸腾 . (8) 明天的最高气温是 15℃. 不确定事件 必然事件 必然事件 不确定事件 （ 1 ） “ 从地面往上抛的硬币会落下”是随机事件 . （ ） （ 2 ）“用 1 cm ， 2 cm ， 3 cm 长的线段可组成三角形 . ”是不可能事件 . （ ） （ 3 ）“买一张彩票中大奖”是必然事件 . （ ） （ 4 ）“明天会下雨”是随机事件 . （ ） 2. 判断下列说法是否正确： √ × × √ 3. 填空： （ 1 ）骑自行车时车胎被玻璃扎破”是 _______ 事件； （ 2 ）“太阳从东方升起”是 ______ 事件； （ 3 ）“清明时节雨纷纷”是 ______ 事件； （ 4 ）“高可摘星辰”是 _________ 事件； 随机 必然 随机 不可能 （ 3 ） 10 只鸟关在 3 个笼子里，至少有一个笼子关的鸟超 过 3 只 . （ 2 ）在一副扑克牌中任意抽 10 张牌，其中有 4 张 A. （ 1 ）在没有氧气的瓶子，蜡烛能燃烧 . 4. 指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件 . 不可能事件 随机事件 必然事件 （ 4 ）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 . （ 5 ）明天太阳从西边出来 . （ 6 ）拨打电话给同学时正好遇到忙音 . （ 7 ）马路上接连驶过的两辆汽车 , 它们的牌照尾数都是奇数 . （ 8 ）掷一枚均匀的硬币 1000 次都是正面向上 。 必然事件 不可能事件 随机事件 随机事件 随机事件 事件 确定事件 随机事件（或不确定事件） 必然事件 不可能事件 课堂小结 必然事件 ：事先能肯定它一定 会 发生 的事情 . 不可能事件 ：事先能肯定它一定 不会 发生的事件 确定事件 不确定事件 ：事先 无法 肯定它会不会发生 的事件 第三十一章 随机事件的概率 31.2 随机事件的概率 问题提出 1. 日常生活中，有些问题是能够准确回答的 . 例如，明天太阳一定从东方升起吗？明天上午第一节课一定是八点钟上课吗？等等，这些事情的发生都是必然的 . 同时也有许多问题是很难给予准确回答的 . 例如，你明天什么时间来到学校？明天中午 12 ： 10 有多少人在学校食堂用餐？你购买的本期福利彩票是否能中奖？等等，这些问题的结果都具有偶然性和不确定性 . 2. 从辨证的观点看问题，事情发生的偶然性与必然性之间往往存在有某种内在联系 . 例如，西安地区一年四季的变化有着确定的、必然的规律，但西安地区一年里哪一天最热，哪一天最冷，哪一天降雨量最大，哪一天下第一场雪等，都是不确定的、偶然的 . 3. 数学理论的建立，往往来自于解决实际问题的需要 . 对于事情发生的必然性与偶然性，及偶然性事情发生的可能性有多大，我们将从数学的角度进行分析与探究 . 知识回顾：必然事件、不可能事件和随机事件 思考 1 ： 考察下列事件： （ 1 ）导体通电时发热； （ 2 ）向上抛出的石头会下落； （ 3 ）在标准大气压下水温升高到 100°C 会沸腾 . 这些事件就其发生与否有什么共同特点？ 思考 2 ： 我们把上述事件叫做必然事件，你指出必然事件的一般含义吗？ 思考 3 ： 你能列举一些必然事件的实例吗？ 思考 4 ： 考察下列事件： （ 1 ）在没有水分的真空中种子发芽； （ 2 ）在常温常压下钢铁融化； （ 3 ）服用一种药物使人永远年轻 . 这些事件就其发生与否有什么共同特点？ 在条件 S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件 S 的必然事件 . 思考 5 ： 我们把上述事件叫做不可能事件，你指出不可能事件的一般含义吗？ 在条件 S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件 S 的不可能事件 思考 6 ： 你能列举一些不可能事件的实例吗？ 思考 7 ： 考察下列事件： （ 1 ）某人射击一次命中目标； （ 2 ）马林能夺取北京奥运会男子乒乓球单打冠军； （ 3 ）抛掷一个骰字出现的点数为偶数 . 这些事件就其发生与否有什么共同特点？ 思考 8 ： 我们把上述事件叫做随机事件，你指出随机事件的一般含义吗？ 在条件 S 下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件 S 的随机事件 . 思考 9 ： 你能列举一些随机事件的实例吗？ 思考 10 ： 必然事件和不可能事件统称为确定事件，确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母 A ， B ， C ， … 表示 . 物体的大小常用质量、体积等来度量，学习水平的高低常用考试分数来衡量 . 对于随机事件，它发生的可能性有多大，我们也希望用一个数量来反映 . 知识探究：事件 A 发生的频率与概率 思考 1 ： 在相同的条件 S 下重复 n 次试验，若某一事件 A 出现的次数为 n A ，则称 n A 为事件 A 出现的频数，那么事件 A 出现的频率 f n (A) 等于什么？频率的取值范围是什么？ 抛掷次数 正面向上次数 频率 2 048 1 061 0.518 1 4 040 2 048 0.506 9 12 000 6 019 0.501 6 24 000 12 012 0.500 5 30 000 14 984 0.499 6 72 088 36 124 0.501 1 思考 2 ： 历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表所示： 在上述抛掷硬币的试验中，正面向上发生的频率的稳定值为多少？ 0.5 思考 3 ： 某农科所对某种油菜籽在相同条件下的发芽情况进行了大量重复试验，结果如下表所示： 在上述油菜籽发芽的试验中，每批油菜籽发芽的频率的稳定值为多少？ 每批粒数 2 5 10 70 130 310 700 1 500 2 000 3 000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 282 639 1 339 1 806 2 715 发芽的频率 1 0.8 0.9 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 0.905 0.9 思考 4 ： 上述试验表明，随机事件 A 在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率呈现出一定的规律性，这个规律性是如何体现出来的？ 事件 A 发生的频率较稳定，在某个常数附近摆动 . 思考 5 ： 既然随机事件 A 在大量重复试验中发生的频率 f n (A) 趋于稳定，在某个常数附近摆动，那我们就可以用这个常数来度量事件 A 发生的可能性的大小，并把这个常数叫做事件 A 发生的概率，记作 P （ A ） . 那么在上述抛掷硬币的试验中，正面向上发生的概率是多少？在上述油菜籽发芽的试验中，油菜籽发芽的概率是多少？ 思考 6 ： 在实际问题中，随机事件 A 发生的概率往往是未知的（如在一定条件下射击命中目标的概率），你如何得到事件 A 发生的概率？ 通过大量重复试验得到事件 A 发生的频率的稳定值，即 概率 . 思考 7 ： 在相同条件下，事件 A 在先后两次试验中发生的频率 f n (A) 是否一定相等？事件 A 在先后两次试验中发生的概率 P （ A ）是否一定相等？ 频率具有随机性，做同样次数的重复试验，事件 A 发生的频率可能不相同；概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关 . 思考 8 ： 必然事件、不可能事件发生的概率分别为多少？概率的取值范围是什么？ 思考 9 ： 概率为 1 的事件是 什么事件 ？概率为 0 的事件是 什么事件 ？ 思考 10 ： 怎样理解“ 4 月 3 号某地区的降水概率为 0.6” 的含义？ 例 2 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示： （ 1 ）填写表中击中靶心的频率； （ 2 ）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？ 0.90 射击次数 n 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数 m 8 19 44 92 178 455 击中靶心的频率 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91 小结作业 1. 概率是频率的稳定值，根据随机事件发生的频率只能得到概率的估计值 . 2. 随机事件 A 在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率逐渐稳定在区间 [0 ， 1] 内的某个常数上（即事件 A 的概率），这个常数越接近于 1 ，事件 A 发生的概率就越大，也就是事件 A 发生的可能性就越大；反之，概率越接近于 0 ，事件 A 发生的可能性就越小．因此，概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量 . 3. 任何事件的概率是 0 ～ 1 之间的一个确定的数，小概率（接近 0 ）事件很少发生，大概率（接近 1 ）事件则经常发生，知道随机事件的概率的大小有利于我们作出正确的决策 . 第三十一章 随机事件的概率 31.3 用频率估计概率 确定事件（ 必然事件与不可能事件 ） 0 ½(50%) 1(100%) 不可能事件 随机事件 必然事件 随机事件 ( 不确定事件 ) 知识回顾 1. 概率的概念 ：我们用 一个数 刻画随机事件A发生的可能性大小，这个数称为事件A的概率.记作P(A). 如果一个试验有 n 种等可能的结果，事件A包含其中的 k 种结果，那么事件A发生的概率为 P(A)=k/n. 2. 频率 的概念 ：做n次重复试验，如果事件A发生了m次，那么数m叫做事件A发生的频数， 比值m/n 叫做事件A发生的频率. 思考： 1.掷一枚质地均匀的硬币，落地后，“正面朝上”和“反面朝上”的概率是多少？ 2.一位篮球运动员一次投篮命中的概率是多少？ 3.中央电视台早间新闻的收视率是多少？ 用频率估计概率 对于现实生活中的一些随机事件，我们能够算出它的概率；也有一些随机事件需要做大量的重复试验，用事件的频率去估计概率。 频率与概率有什么关系呢？让我们走进今天的课堂去一探究竟吧！ 活动：掷硬币 活动之前，同学们先求出“正面向上”的概率是多少？ 把全班分成 12 个小组。每组掷20次，统计正面向上的次数，并填写表格。课本72页。 （正面向上发生的次数为频数） 求出“正面向上”的频率。 画出折线统计图，观察频率的变化。 体会频率与概率的关系。 数学史实  事实上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总是在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性。 瑞士数学家雅各布 · 伯努利（ 1654 － 1705 ）被公认为是概率论的先驱之一，他最早阐明了随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近。 归纳： 一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率 会稳定在某个常数 p 附近，那么事件 A 发生的概率 P(A)=p 。 投篮次数（ n ） 50 100 150 200 250 300 500 投中次数（ m ） 28 60 78 104 123 152 251 投中频率 练习： 下表记录了一名球员在罚球线上的投篮结果。 （ 1 ）计算表中的投中频率（精确到 0.01 ）； （ 2 ）这个球员投篮一次，投中的概率大约是多少？（精确到 0.1 ） 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.5 1 0.50 约为0.5   某林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率 , 应 采用什么具体做法 ?   观察在各次试验中得到的幼树成活的频率，谈谈 你的看法． 估计移植成活率 是实际问题中的一种概率 , 可理解为成活的概率 . 移植总数（ n ） 成活数（ m ） 10 8 成活的频率 0.8 ( ) 50 47 270 235 0.870 400 369 750 662 1500 1335 0.890 3500 3203 0.915 7000 6335 9000 8073 14000 12628 0.902 0.94 0.923 0.883 0.905 0.897   由下表可以发现，幼树移植成活的频率在＿＿＿＿左右摆动， 并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显 .   所以估计幼树移植成活的概率为＿＿＿＿＿． 0.9 0.9 移植总数（ n ） 成活数（ m ） 10 8 成活的频率 0.8 ( ) 50 47 270 235 0.870 400 369 750 662 1500 1335 0.890 3500 3203 0.915 7000 6335 9000 8073 14000 12628 0.902 0.94 0.923 0.883 0.905 0.897   由下表可以发现，幼树移植成活的频率在＿＿＿＿左右摆动， 并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显 .   所以估计幼树移植成活的概率为＿＿＿＿＿． 0.9 0.9 移植总数（ n ） 成活数（ m ） 10 8 成活的频率 0.8 ( ) 50 47 270 235 0.870 400 369 750 662 1500 1335 0.890 3500 3203 0.915 7000 6335 9000 8073 14000 12628 0.902 0.94 0.923 0.883 0.905 0.897 1. 林业部门种植了该幼树 1000 棵 , 估计能成活 _______ 棵 . 2. 我们学校需种植这样的树苗 500 棵来绿化校园 , 则至少 向林业部门购买约 _______ 棵 . 900 556 概率伴随你我他 1. 在有一个 10 万人的小镇 , 随机调查了 2000 人 , 其中有 250 人看中央电视台的早间新闻 . 在该镇随便问一个人 , 他看早间新闻的概率大约是多少 ? 该镇看中央电视台早间新闻的大约是多少人 ? 解 : 根据概率的意义 , 可以认为其概率大约等于 250/2000=0.125. 该镇约有 100000×0.125=12500 人看中央电视台的早间新闻 . 试一试 一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1 000尾，一渔民通过多次捕获实验后发现：鲤鱼、鲫鱼出现的频率是31%和42%，则这个水塘里约有鲤鱼_______尾,鲢鱼_______尾. 310 270 某厂打算生产一种中学生使用的笔袋，但无法确定各种颜色的产量，于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了5 000名中学生，并在调查到1 000名、2 000名、3 000名、4 000名、5 000名时分别计算了各种颜色的频率，绘制折线图如下： 试一试 (1) 随着调查次数的增加，红色的频率如何变化？ （2)你能 估计 调查到10 000名同学时，红色的频率是多少吗？ 估计调查到 10 000 名同学时，红色的频率大约仍是 0.4 左右 . 随着调查次数的增加，红色的频率基本稳定在 0.4 左右 . (3) 若你是该厂的负责人 , 你将如何安排生产各种颜色的产量？ 红、黄、蓝、绿及其它颜色的生产比例大约为 4:2:1:1:2 课堂小结 2.了解了一种方法--- 用多次试验频率去估计概率 1.弄清了一种关系--- 频率与概率的关系   当 试验次数足够多 时,一件事件发生的 频率 与相应的 概率 会非常接近.此时,我们可以用一件事件发生的 频率 来估计这一事件发生的 概率 . 第三十一章 随机事件的概率 31.4 用列举法求简单事件的概率 游戏一 辨雌雄 寓教于乐 鸡蛋孵化后，雏鸡为雌与雄的概率相同。如果两个鸡蛋全部孵化成功，则两只都为雌的概率是多少？ 解： 列表如下： 一号 二号 雌 雌 雄 雄 雄雄 雌雄 雄雌 雌雌 P( 两只都为雌 )= 雌雌 游戏二 鸡蛋孵化后，雏鸡为雌与雄的概率相同。如果三个鸡蛋全部孵化成功，则三只都为雌的概率是多少？ 解： 画树状图如图 . 一号 雌 雄 二号 三号 雌 雌 雌 雄 雄 雄 雄 雄 雄 雌 雌 雌 由图可知所有等可能的结果为： （雄雄雄），（ 雄雄雌），（ 雄雌雄），（ 雄雌雌）， （雌雄雄），（ 雌雄雌），（ 雌雌雄），（ 雌雌雌） . P( 三只都为雌 )= 在用树形图时，必须将树形图与具体的结果写下来，这也是中考的要求。 请同学们通过对以上两个游戏的思考完成下表： 用列举法求概率的方法 使用对象 使用目的 列表法 画树形图法 一次试验涉及 两个因素 时（二步事件） 一次试验涉及 3 个因素或 3 个以上的因素 时（三步事件或多步事件） 一次试验可能出现的结果较多时，为能 不重复不遗漏 地列出所有可能的结果。 某班毕业联欢会设计了即兴表演节目的模球游戏，游戏采用一个不透明的盒子，里面装有五个分别标有数字 1 、 2 、 3 、 4 、 5 的乒乓球 , 这些球除数字外，其他完全相同，游戏规则是：参加联欢会的 50 名同学，每人将盒子里的五个乒乓球摇匀后，闭上眼睛从中随机地 一次摸出两个球 （每位同学必须且只能摸一次） . 若两个球上的数字之和为偶数，就给大家即兴表演一个节目；否则，下一个同学接着做摸球游戏，依次进行 . 例 1 （ 1 ）用列表法或画树状图法求参加联欢会的某位同学即兴表演节目的概率； （ 2 ）估计本次联欢会上有多少名同学即兴表演节目？ 解： 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) 一 二 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) 填写表格过程中，注意数对的有序性。 （ 1 ） P( 参加联欢会的同学即兴表演节目 )= 5 2 (2) 因为参加联欢会的 50 名同学，参加联欢会的某位同学即兴表演节目的概率为五分之二。所以估计本次联欢会上即兴表演节目的同学为 50×2 ／ 5=20( 人 ) 例 2 九年级二班在课外活动时进行乒乓球练习，体育委员根据场地情况，将同学分成 3 人一组，每组用一个球台，甲乙丙三位同学用“手心，手背”游戏（游戏时，手心向上简称“手心”，手背向上简称“手背”）来决定那两个人首先打球，游戏规则是：每人每次随机伸出一只手，出手心或者手背，若出现“两同一异”（即两手心、一手背或者两手背一手心）的情况，则出手心或手背的两个人先打球，另一人裁判，否则继续进行，直到出现“两同一异”为止。 （ 1 ）请你列出甲、乙、丙三位同学运用“手心、手背”游戏，出手一次出现的所有等可能的情况（用 A 表示手心， B 表示手背）；（ 2 ）求甲、乙、丙三位同学运用“手心、手背”游戏，出手一次出现“两同一异”的概率。 解： （ 1 ） 甲 B A A A A A A B B B B B 乙 丙 A B 甲、乙、丙三位同学运用“手心、手背”游戏，出手一次出现的所有等可能的情况为： (AAA) (AAB) (ABA) (ABB) (BAA) (BAB) (BBA) (BBB). P( 甲、乙、丙三位同学运用“手心、手背”游戏，出手一次出现“两同一异” )= （ 2 ） 4 3 在用树形图时，必须将树形图与具体的结果写下来，这也是中考的要求。 1. 甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是 3 、 4 、 5 、 6 的 4 张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这 4 张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌 放回 ，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于 45 ，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由． 强化演练 帮帮你 3 4 5 6 3 4 5 6 个 十 33 34 35 36 43 44 45 46 63 64 65 66 53 54 55 56 填写表格过程中，注意数对的有序性 。 2. 小刚上学的路上要经过三个红绿灯路口。假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家随时出发到学校，至少遇到一次红灯的概率是多少？不遇红灯的概率是多少？ 解： 一号路口 二号路口 三号路口 红灯用字母“ R” 表示，绿灯用字母“ G” 表示。 G R G G G G G R R R R R G R 在用树形图时，必须将树形图与具体的结果写下来，这也是中考的要求。 用列举法求概率时存在的问题： 2 、搞不清几步事件（各因素）之间的关系。 3 、弄不清什么情况下用列表法，什么情况下用画树形图法。 1 、无法正确鉴别一次试验中是否涉及 2 个、 3 个或更多个因素。 反思 列表法 : 画树形图法： 常用于一次试验涉及 两个因素 时（二步事件） 一次试验涉及 3 个因素或 3 个以上的因素 时（三步事件或多步事件） 课后小结 1 、 刚才老师提出一个问题有很多同学举手想来回答， ①如果老师就从甲、乙、丙三位同学中随机地选择一位来回答，那么选中丙同学的概率是多少？ ②如果老师想从甲和乙两位同学中选择一位同学回答，且由甲和乙两位同学以猜拳一次（剪刀、锤子、布）的形式谁获胜就谁来回答，那么你能用列表法求得甲同学获胜的概率吗？ 当堂检测 2. 小明和小丽都想去看电影 , 但只有一张电影票 . 小明提议 : 利用这三张牌 , 洗匀后任意抽一张 , 放回 , 再洗匀抽一张牌 . 连续抽的两张牌结果为一张 5 一张 4 小明去 , 抽到两张 5 的小丽去 , 两张 4 重新抽 . 小明的办法对双方公平吗 ?