青岛版九年级数学下册第5章对函数的再探索

第 5 章 对函数的再探索 5.1 函数与它的表示法 5.1 函数和它的 表示法 （1） ------ 函数的三种表示方法 一次函数 ： 1.了解函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），知道三种表示方法各自的优、缺点; 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法表示函数。 一、表示函数关系的方法 （3）用数学式子表示函数的方法叫做解析法 例如：观察与思考问题（3） （2）用表格表示函数关系的方法叫做列表法 例如：观察与思考问题（2） （1）用图象表示函数关系的方法叫做图象法 例如：观察与思考问题（1） 【互助学习】 以 小组为单位互相讲解观察与思考问题（5）、（6） 小试牛刀 1.一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度分别如图甲、乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示（至少开一个水口）。给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水②3点到4点不进水只出水③4点到6点不进水不出水，则一定能确定正确的论断序号是 。 蓄水量 6 5 4 3 2 1 丙 乙 甲 0 1 2 3 4 5 6 时间 1 0 2 出水量 0 1 1 时间 进水量 时间 ① 例1：某种笔记本的单价是 2 元，买 x （ ）个笔记本需要 y 元．试用三种表示法表示函数. 解析： 1.解析法： 2.列表法： 个数x 1 2 3 4 5 花费y/元 2 4 6 8 10 二、典型例 题： 3.图像法 小试牛刀 2.用边长为1的等边三角形拼成图形，如图所示,用y表示拼成的图形的周长，用n表示其中等边三角形的数目，显然拼成的图形的周长y是n的函数。 n 1 2 3 4 5 6 7 8 … y （1）填表 （2）用解析法表示这个函数.当n=1000时，求周长y. （3）用图象法表示这个函数. 3 4 5 6 7 8 9 10 y=n+2 1002 教材练习 1、2题 一、表示函数关系的方法 （3）用数学式子表示函数的方法叫做解析法 （2）用表格表示函数关系的方法叫做列表法 （1）用图象表示函数关系的方法叫做图象法 二、三种函数表示法的优缺点比较 5.1 函数和它的表示方法（2） ------ 函数概念及确定自变量的取值范围 回忆上一节课的三个例子，思考下列问题： （1） 在这些问题中，自变量可以取值的范围 分别是什么 ？ （2） 对于自变量在它可以取值的范围内每取 一个值,另一个变量是否都 有唯一 确定的 值与它对应 ？ （ 3 ） 由此你对函数有了哪些进一步的认识？ 与同学交流 . 1. 进一步了解函数的概念； 2. 能根据简单的函数表达式和问题情境，确定自变量可以取值的范围。 一、 函数的定义 在同一个变化过程中,有两个变量 x , y . 如果对于变量 x 在 可以取值的范围 内每取 一个确定得值,变量 y 都有一个 唯一确定 的值与它对应,那么就说 y 是 x 的函数. 注意： （1）自变量 “可以取值的范围” ； （2）对应关系：自变量每一个确定的 值，对应一个 唯一 确定的函数值。 小试 牛刀 解： 由题意可知 是 是 否 2. 例1： 求下列函数中自变量x可以取值的范围： (1) y =3 x -2 (2) y = (3) y = (4) y = x 取任意实数 x ≥1 x< 小试 牛刀 3 . 求 下列函数中自变量x可以取值的范围： (1) y =3 x 2 +1 (2) y = (3) y = (4) y = x 取任意实数 x ≥-2 解： 由题意可知当x为任意实数 时， ； 则有一元二次方程 无 解，故 ，解得 解： 由题意可知当x为任意实数时， ； 变形 ，因 故 教材课后 练习1、2、3题 一、函数定义 在同一个变化过程中,有两个变量 x , y . 如果对于变量 x 在 可以取值的范围 内每取 一个确定得值,变量 y 都有一个 唯一确定 的值与它对应,那么就说 y 是 x 的函数. 注意 （1）自变量 “可以取值的范围” ； （2）对应关系：自变量每一个确定的值，对应一个 唯一 确定的函数值。 二、函数自变量取值范围的确定 （1）表达式为整式，自变量取 全体实数 ； （2）表达式为分式，要考虑 分母不为零 ； （3）表达式为二次根式，要考虑 被开方数应为非负数 ； （4）表达式为以上综合式子时，要充分考虑 以上三种情况。 5.1 函数和它的表示方法（3） ------分段函数 认识分段函数，会根据简单分段函数的表达式或图象求出函数值 . 一、 分段 函数的定义 像教材观察与思考问题一及引例这样，函数关系是分段给出的，我们称它叫做 分段函数 . 二、分段函数的表示方法 形如： 注意 ： （1）分段函数是 一个 函数,不要把它误认为 是“几个函数”； （2）分段函数的自变量取值范围是各分段 取值范围的 全体 ； （3）每段函数表达式自变量的取值范围之间 没 有公共点 。 小试牛刀 1.若分段函数 （1）当 时，求 y的值；(2)当y=8时，求x的值. 2.在国内投寄外埠平信，每封信不超过20付邮资80分，超过20不超过40付邮资160分，超过40不超过60付邮资240分，以此类推，每封的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式. 三、典型例 题： 解: 由图可知点A（0,96）B（2,80） C（4,72），该函数为直线型分段函数： 图象 分为AB,BC两段，运用待定系数法 分别将A、B；B、C代入一次函数解析式， 可分别求得两段函数。 由于15人接水30L，因此余水量为66L，小于80L，故应将66代入y=-4x+88，求得x=5.5min. 温馨提示： 解决该问题的关键是能根据题意及图形准确的 求出分段函数解析式 ，并能判断出要解决的问题应 代入哪个解析式 。 小试牛刀 3 . 某 城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示: (1)y是x的函数吗？若是请写出该函数解析式？ (2)分别求当x=10,16,20时的函数值． 答案：函数解析式为： 解析： 由图易得，生产服装总件数s与生产时间t之间的函数关系： 显然，1--3月每月生产a件，4、5月份停产。 故选 D B 教材课后 练习1. 一、分段函数 二、分段函数的表示方法 注意 ： （1）分段函数是 一个 函数,不要把它误认为 是“几个函数”； （2）分段函数的自变量取值范围是各分段 取值范围的 全体 ； （3）每段函数表达式自变量的取值范围之间 没 有公共点 。 第 5 章 对函数的再探索 5.2 反比例函数 5. 2 反比例 函数（1） ------反比例函数的概念 想一想： 把一张面值100元的人民币换成面值50元的人民币，可得几张？如果换成面值20元的人民币，可得几张？如果换成10元、5元的人民币呢？ 设所换成的面值为 x 元，相应的张数为 y 元 : X （元） 50 20 10 5 2 1 x y( 元 ) 100/x ① 你会用含 x 的代数式表示 y 吗？ ② 当换成的面值 x 变化时，相应的张数 y 会怎样变化？ ③ 变量 y 是 x 的函数吗？为什么？ 2 5 10 20 50 100 1. 理解反比例函数的概念； 2. 能依据已知条件确定反比例函数表达式。 一、反比例函数的概念 一般地，形如 的函数叫做 反比例函数 。 注意：对于函数 变量与是 成反比例的量 。 二、反比例函数的三种表达形式 小试牛刀 1. 下列函数是反比例函数吗？若是，并指出 K 的值 . (1) 是， (2) 是， -5 (3) 是， -1 (4)不是 三、典型例 题： 点拨： 只要两个变量的积是一个非零定值即为反比例函数。 2.写出下列各题中所要求的两个相关量之间的函数关系式，并指出函数的类别． (1)商场推出分期付款购电脑活动，每台电脑12000元，首付4000元，以后每月付y元，x个月全部付清，则y与x的关系式为____________，是______函数． (2)某种灯的使用寿命为1000小时，它的使用天数y与平均每天使用的小时数x之间的关系式为__________________，是______函数． (3)设三角形的底边、对应高、面积分别为a、h、S． 当S＝18时，a与h的关系式为__________，是 函数． (4)某工人承包运输粮食的总数是w吨，每天运x吨，共运了y天，则y与x的关系式为______，是______函数． 小试牛刀 温馨提示： 解决求函数表达式的基本方法是 待定系数法 。 解： 用待定系数法，首先设出反比例函数解析式y=k/x将x=2，y=-3 代入即可求得y=-6/x. 小试牛刀 3.已知点A（﹣2，4）在反比例函数 的图象上，则k的值. x ... 1 2 3 ... y ... 3 2 1 ... x ... 1 2 3 ... y ... 10 5 2 ... x ... -3 -2 -1 ... y ... 2 3 6 ... 表2 表1 表3 解： 由反比例函数表达式 xy=k(k ≠0) 易知： 表1中，1×3≠2×2，故不是反比例函数。 表2中，1×10≠3×2，故不是反比例函数。 表3中，k=xy=-6，故是反比例函数，表达式为： 4.下列 数表分别 给出了变量y与变量x之间的对应关系，其中是反比例函数关系的是( )． 小试牛刀 教材课后 练习1、2题. 知识小结： 1.反比例函数的概念 2.反比例函数的三种表达式 方法小结： 1.求反比例函数解析式的方法--- 待定系数法 ； 2.确定是否为反比例函数的方法--- xy=k判定 。 5. 2 反比例 函数（2） ------反比例函数的图象及性质 你还记得一次函数的图象与性质吗 ? 一次函数 y = kx + b ( k ≠0) 的图象是一条直线 , 称 直线 y = kx + b . y 随 x 的增大而增大 ; x y o x y o y 随 x 的增大而减小 . b0 b =0 b0 b =0 当 k >0 时 , 当 k 0 时 , 两支曲线各在哪个象限？每个象限内， y 随 x 的增大有什么变化？ ② 当 k 0 时 , 图象的两个分支分别在第一、三象限内。 y 随 x 的增大而减小 2. 当 k 0) y = ax 2 + k ( a> 0) y = ax 2 ( a< 0) y = ax 2 + k ( a< 0) 向上 向上 向下 向下 y 轴 y 轴 y 轴 y 轴 （ 0 ， 0 ） （ 0 ， k ） （ 0 ， 0 ） （ 0 ， k ） 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y = ax 2 ( a > 0 ) y = a ( x-h ) 2 ( a > 0 ) y = ax 2 ( a < 0 ) y = a ( x + h ) 2 ( a < 0 ) 向上 向上 向下 向下 y 轴 x = -h y 轴 y = h （ 0 ， 0 ） （ h ， 0 ） （ 0 ， 0 ） （ -h ， 0 ） y = ax 2 y = ax 2 + k y = a ( x – h ) 2 上下平移 左右平移 上下平移，上加下减 左右平移，左加右减 5.4 二次函数的图象和性质 第 3 课时 1. 会画 y= a ( x-h ) 2 +k 的图象； 2. 了解 y=a ( x-h ) 2 +k 的图象与 y=ax 2 的关系，能结合图象理解 y=a ( x-h ) 2 +k 的性质 . 观察图象 , 回答问题 函数 y= 3 ( x -1) 2 的图象与 y= 3 x 2 的图象有什么关系 ? 它是轴对称图形吗 ? 它的对称轴和顶点坐标分别是什么 ? 在同一坐标系中作出二次函数 y= 3 x ² 和 y= 3( x- 1) ² 的图象． 1 2 3 -1 -2 -3 0 1 2 3 4 -1 x y 5 y= 2 ( x -1) 2 + 1 y= 2( x -1) 2 y= 2 x 2 观察这三个图象是如何平移的 . 二次函数 y = 0.5 x ² ， y = 0.5 ( x +1 ) 2 和 y = 0.5 ( x + 1 ) 2  1 的 图象 有什么关系 ? 它们的开口方向、对称轴和顶点坐标分别 是什么 ? 【 例 1】 画出函数 y =  0.5 ( x +1) ²  1 的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点，抛物线 y= 0.5 x ² 经过怎样的变换可以得到抛物线 y =-0.5 ( x +1 ) ²-1 ？ 思考： 二次函数 y=- ( x+ 1) 2 -1 的 图象可以看作是抛物线 y=- x 2 先沿着 x 轴向 左 平移 1 个单位 , 再沿直线 x =-1 向 下 平移 1 个单位后得到的 . 二次函数 y = 0.5 ( x +1 ) 2  1 的图象 和抛物 线 y =  0.5 x ² ， y =-0.5 ( x +1 ) 2 有什么关系 ? 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别 是什么 ? 对称轴仍是平行于 y 轴的直线 ( x =-1). 顶点是 (-1,-1) . 开口向下 , 当 x =-1 时 y 有 最大值，且 最大值是 -1. y x y =- x ² y =- ( x + 1)² -1 1. 在同一坐标系中作出二次函数 y =- 3( x - 1) 2 + 2 , y =- 3( x -1) 2 -2, y=- 3 x ² 和 y =- 3 ( x -1) 2 的图象 . 二次函数 y =- 3( x -1) 2 +2 与 y =- 3 ( x - 1 ) 2 - 2 和 y =- 3 x ² , y =- 3 ( x -1 ) 2 的图象有什么关系 ? 它是轴对称图形吗 ? 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么 ? 当 x 取哪些值时， y 的值随 x 值的增大而增大 ? 当 x 取哪些值时， y 的值随 x 值的增大而减小 ? 对称轴仍是平行于 y 轴的直线 ( x =1). 顶点分别是 (1,2) 和 (1,-2) . 二次函数 y =-3( x -1) 2 +2 与 y =-3( x -1) 2 -2 的图象可 以看作是抛物线 y =-3 x 2 先沿着 x 轴向右平移 1 个 单位 , 再沿直线 x =1 向上 ( 或向下 ) 平移 2 个单位后 得到的 . 开口向下 , 当 x =1 时 y 有 最大值 : 且 最大值 = 2 ( 或最大值 =-2). y x =1 与 y =-3 x ² 有关 二次函数 y =-3( x -1) 2 +2 与 y =-3( x -1) 2 -2 的图象 和抛物线 y =-3 x ² , y =-3( x -1) 2 有什么关系 ? 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么 ? 【 规律方法 】 二次函数 y = a ( x-h ) ² + k 与 y=ax ² 的关系 一般地 , 由 y=ax ² 的图象便可得到二次函数 y=a(x-h) ² + k 的图象 . y=a ( x-h ) ² +k ( a ≠0) 的图象可以看成 y=ax ² 的图象先沿 x 轴整体向左 ( 右 ) 平移 | h | 个单位 ( 当 h >0 时 , 向右平移 ; 当 h 0 时向上平移；当 k< 0 时 , 向下平移 ) 得到的 . 因此 , 二次函数 y=a(x-h) ²+ k 的图象是一条抛物线 , 它的开口方向、对称轴和顶点坐标与 a ， h ， k 的值有关 . 抛物线 y=a ( x-h ) ²+ k 有如下特点： （ 1 ）当 a ＞ 0 时 ， 开口向上；当 a ＜ 0 时，开口向下 ； （ 2 ）对称轴是直线 x=h ； （ 3 ）顶点坐标是 （ h ， k ） . 点（ 1 ， 3 ）是顶点，知道 h =1 ， k =3 ，求出 a 就可以了 ! y x 【 例 2】 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖立安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线型水柱在与池中心的水平距离为 1m 处达到最高，高度为 3m ，水柱落地处离池中心 3m ，水管应多长？ 点（ 3 ， 0 ）在抛物线上，求 a 没问题 . 解析：如图建立直角坐标系，点（ 1 ， 3 ） 是顶点，设抛物线的解析式为 y = a ( x -1) 2 +3 （ 0≤ x ≤3 ） ， ∵ 点 （ 3 ， 0 ） 在抛物线上， ∴ 0= a (3-1) 2 +3 ， ∴ a =-0.75 ， ∴ y =-0.75( x -1) 2 +3(0≤ x ≤3) , 当 x =0 时 ， y =2.25 ， 即水管应长 2.25m. 1. 向空中发射一枚炮弹，经 x 秒后的高度为 y 米，且时间与高度的关系为 y=ax 2  bx+c （ a ≠0 ） . 若此炮弹在第 7 秒与第 14 秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ） A ．第 8 秒 B ．第 10 秒 C ．第 12 秒 D ．第 15 秒 B 2. 某旅行社组团去外地旅游， 30 人起组团，每人单价 800 元 . 旅行社对超过 30 人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低 10 元 . 当一个旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？ 解析：设一个旅行团有 x 人时，旅行社营业额为 y 元 . 则 y =[800-10( x -30)] · x =-10 x 2 +1 100 x =-10( x -55) 2 +30 250 ∴ 当 x =55 时 ， y 最大 =30 250 答：一个旅行团有 55 人时，旅行社可获最大营业额 30 250 元 1 ．如图，点 A ， B 的坐标分别为（ 1, 4 ）和（ 4, 4 ） , 抛物线 y=a(x-m) 2 + n 的顶点在线段 AB 上运动，与 x 轴交于 C 、 D 两点（ C 在 D 的左侧），点 C 的横坐标最小值为 -3 ，则点 D 的横坐标最大值为 ( ) y x O A ．－ 3 B ． 1 C ． 5 D ． 8 【 解析 】 选 D. 当 C 点横坐标最小时，抛物线顶点必为 A （ 1 ， 4 ），根据此时抛物线的对称轴，可判断出 CD 间的距离；当 D 点横坐标最大时，抛物线顶点为 B （ 4 ， 4 ），再根据此时抛物线的对称轴及 CD 的长， 可判断出 D 点横坐标的最大值． 2. 如图，两条抛物线 y 1 = - 0.5 x 2 + 1 、 y 2 =-0.5 x 2 -1 与分别经过点（ -2 ， 0 ），（ 2 ， 0 ）且平行于 y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（ ） A ． 8 B ． 6 C ． 10 D ． 4 A 3. 某广场有一喷水池，水从地面喷出．如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 y =- ( x -2) 2 +4 （单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是 ( ) A ． 4 米 B ． 3 米 C ． 2 米 D ． 1 米 x ( 米 ) y ( 米 ) 【 解析 】 选 A. 抛物线的顶点坐标（ 2,4 ）， 所以水喷出的最大高度 是 4 米 . 4. 已知二次函数的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是 ( ) A. 有最小值 0 ，有最大值 3 B. 有最小值 -1 ，有最大值 0 C. 有最小值 -1 ，有最大值 3 D. 有最小值 -1 ，无最大值 【 解析 】 选 C ．因为图象顶点的纵 坐标为－１，最高值为３．故选Ｃ ． 5. 把抛物线 y =- x 2 先向上平移 2 个单位，再向右平移 100 个单位，那么所得抛物线与 x 轴的两个交点之间的距离是 ______ 【 解析 】 先由平移规律求出新抛物线的解析式为 y = - （ x -100 ） 2 +2 ，然后求出抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，利用坐标轴上两点间距离公式即可求得距离 . 答案： 二次函数 y = a(x-h) 2 + k 的图象和性质 y=a(x-h) ² +k 开口方向 对称轴 顶点坐标 a>0 向上 x=h （ h ， k ） a0,∴ 开口向上 ; 对称轴 : 直线 x=1 ; 顶点坐标 :(1,2). 再根据顶点式确定开口方向 、 对称轴 、 顶点坐标 . x= 1 ● (1 ， 2) 通过图象你能看出当 x 取何值时 y 随 x 的增大而减小， 当 x 取何值时， y 随 x 的增大而增大吗？ 当 x 1 时， y 随 x 的增大而增大 . 在对称轴的左边图象从左到右斜向下，在对称轴的右边图象从左到右斜向上 . 同学们，你想到了什么？ 画出 y ＝ x 2 － 6 x ＋ 21 的图象 . 配方得： y = x 2 － 6 x ＋ 21 = ( x － 6) 2 ＋ 3. 由此可知，抛物线 的顶点 是（ 6 ， 3 ），对称轴是直线 x ＝ 6. y ＝ x 2 － 6 x ＋ 21 抛物线的顶点式 二次函数 y = ax ² + bx + c 的图象是一条抛物线 . y = a ( x + ) 2 + . 2 a b 4 a 4 ac - b 2 它的顶点是（ - ， ） . 2 a b 4 a 4 ac-b 2 对称轴是 x =3 ，顶点坐标是（ 3 ， -5 ） 对称轴是 x =8 ，顶点坐标是（ 8,1 ） 对称轴是 x =0 ，顶点坐标是（ 0 ， 12 ） 利用公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 请你总结函数 y = ax 2 + bx + c(a ≠0 ) 的图象和性质 . 想一想，函数 y = ax 2 + bx + c 和 y = ax 2 的图象之间的关系是什么？ 二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠0) 的图象和性质 抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值 y = ax 2 + bx + c ( a >0 ) y=ax 2 +bx+c(a0 时，开口向上，在对称轴左侧 ， y 都随 x 的增大而减小 . 在对称轴右侧 ， y 都随 x 的增大而增大 . a< 0 时，开口向下，在对称轴左侧， y 都随 x 的增大而增大 . 在对称轴右侧 ， y 都随 x 的增大而减小 . 二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠0) 与 y = ax ² 的关系 2. 不同点 : (1) 位置不同 . ( 2 ) 顶点不同 : 分别是 __________ 和 ( 0,0 ). (3) 对称轴不同 : 分别是 ___________ 和 y 轴 . (4) 最值不同 : 分别是 _______ 和 0 . 3. 联系 : y= a ( x - h ) ²+ k ( a ≠ 0 ) 的图象可以看成 y = ax ² 的图象先沿 x 轴整体左 ( 右 ) 平移 |____ | 个单位 ( 当 ___> 0 时 , 向右平移 ; 当 ___ 0 时向上平移 ; 当 _____< 0 时 , 向下平移 ) 得到的 . 1. 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（ ） A ． ac 0 C ． b=-4a D ．关于 x 的方程 ax 2 +bx+c =0 的根是 x 1 =-1, x 2 =5 - 1 y x 5 x =2 2 O B 2 ．二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A ． a 0 B ． a >0 ， b 0 ， b 2 － 4 ac 0 ， b 2 － 4 ac >0 y x O D 3 ． 如图，二次函数 y ＝ a x 2 － bx ＋２的大致图象如图所示，则 函数 y ＝－ ax+b 的图象 不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2 O x y A 4. 已知函数 y =( x - a )( x - b )( 其中 a>b ) 的图象 如图所示，则函数 y = ax + b 的图象 可能正确的是（ ） y x 1 1 O （ A ） y x 1 -1 O （ B ） y -1 -1 O （ C ） 1 -1 y O （ D ） 【 解析 】 选 D. 由二次函数的图象可知一元二次方程 （ x-a)(x-b ） = 0 的解 为 x 1 = a ， x 2 = b ，则 a =1 ， b ＜ -1. 所以可以得到函数的图象与 y 轴的交点在点 （ 0 ， -1 ）的下方，与 x 轴的交点在点（ 1,0 ）的右边，故选 D. x x 5. 已知抛物线 y = ax 2 + bx + c . 在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确 的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【 解析 】 选 D. ∵ 抛物线开口向下 ∴ a ＜ 0 ， ∵ 对称轴在 y 轴的 右边 ，∴ b ＞ 0 ， ∵ 抛物线与 y 轴交与正半轴， ∴ c ＞ 0 ， ∵ 当 x =1 时 ， y ＞ 0 ， 即 a + b+c ＞ 0. 6 ．已知二次函数 y =- x 2 + bx + c 的图象如图所示，它与 x 轴的一个交点坐标为（－ 1 ， 0 ），与 y 轴的交点坐标为（ 0 ， 3 ） . ⑴ 求出 b,c 的值，并写出此时二次函数的解析式； ⑵根据图象，写出函数值 y 为正数时，自变量 x 的取值范围 . x y 3 － 1 O 解析： ⑴根据题意 得 , 解得 所以抛物线的解析式为 ⑵令 解得 根据图象可得当函数值 y 为正数时，自变量 x 的取值范围是 1. 根据抛物线的开口方向判断 a 的符号 . 答：抛物线开口向上，所以 a ＞ 0. 2. 图中顶点横坐标 符号怎样？再结合 a 的符号判断 b 的符号 . 答： ＞ 0 ，其中 a ＞ 0 ，∴ b ＜ 0. 3. 顶点 横坐标 ＞ 0 时 ， b 与 a 的符号有何关系 ? ＜ 0 时， b 与 a 的符 号有何关系？ 答： ＞ 0 时 ， b 的符号与 a 的符号相异 ； ＜ 0 时， b 的符号与 a 的符号相同 . b 2 a - b 2 a - b 2 a - b 2 a - b 2 a - 4. 抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 y 轴的交点坐标是多少 ? 结合此坐标在 y 轴的位置判断 c 的符号 . 答 : 抛物线 y = ax 2 + bx+c 与 y 轴的交点坐标是 (0, c ), ∵ 该点在 y 轴 的负半轴上， ∴ c ＜ 0. 5 . a+b+c 是 x 为何值时 y = ax 2 + bx + c 的值？据此判断本题中 a+b+c 的符号？ 答： a+b+c 是 x =1 时 y = ax 2 + bx + c 的值，据此判断本题中 a+b+c ＜ 0. 第 5 章 对函数的再探索 5.5 确定二次函数的表达式 学习目标 1 、 会利用待定系数法求二次函数的表达式；（重点） 2 、能根据已知条件，设出相应的二次函数的表达式的形式，较简便的求出二次函数表达式。（难点） 复习提问： 1. 二次函数表达式的一般形式是什么 ? 二次函数表达式的顶点式是什么 ? 3. 若二次函数 y=ax²+bx+c( a≠0 ) 与 x 轴两交点为 (x 1 ,0),(x 2 ,0) 则其函数表达式可以表示成什么形式 ? y=ax²+bx+c (a,b,c 为常数 , a ≠0 ) y=a(x - h) 2 +k ( a ≠0 ) y=a(x - x 1 )(x - x 2 )( a ≠0 ) 例 题 选 讲 解： 所以设 所求的二次函数为  y=a(x ＋ 1) 2 -6 由条件得： 点 ( 2 , 3 ) 在抛物线上， 代入上式，得 3=a （ 2+1 ） 2 -6, 得 a=1 所以这个 抛物线表达式为 y=(x ＋ 1) 2 -6 即： y=x 2 +2x － 5 一般式： y=ax 2 +bx+c 交点式： y=a(x-x 1 )(x-x 2 ) 顶点式： y=a(x-h) 2 +k 例 1 例题 封面 因为二次函数图像的顶点坐标是 （－ 1 ，－ 6 ）， 已知抛物线的顶点为（－ 1 ，－ 6 ），并且图像经过点（ 2 ， 3 ）求抛物线的表达式？ 一般式： y=ax 2 +bx+c 交点式： y=a(x-x 1 )(x-x 2 ) 顶点式： y=a(x-h) 2 +k 解： 设所求的二次函数为  y=ax 2 +bx+c 将 A 、 B 、 C 三点坐标 代入 ， 得 a-b+c=6 16a+4b+c=6 9a+3b+c=2 解得： 所以这个 二次函数表达式为： a=1, b=-3, c=2 y=x 2 -3x+2 已知点 A （－ 1,6 ）、 B （ 4,6 ）和 C （ 3,2 ）， 求经过这三点的二次函数表达式。 例 2 例题 封面 解： 所以设所求的二次函数为 y=a(x ＋ 1)(x － 1 ） 由条件得： 已知抛物线与 X 轴交于 A （－ 1 ， 0 ）， B （ 1,0 ） 并经过点 M （ 0,1 ），求抛物线的表达式？ y o x 点 M( 0,1 ) 在抛物线上 所以 a (0+1)(0-1)=1 得 a=-1 故所求的抛物线表达式为 y= - (x ＋ 1)(x-1) 即 y = － x 2 +1 一般式： y=ax 2 +bx+c 交点式： y=a(x-x 1 )(x-x 2 ) 顶点式： y=a(x-h) 2 +k 例题 例 3 封面 因为函数过 A （－ 1 ， 0 ）， B （ 1,0 ） 两点 ： 例 4. 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象过点 A(0,5 ),B (5,0) 两点，它的对称轴为直线 x=3 ，求 这个二次函数的解析式。 解 : ∵ 二次函数的对称轴为直线 x= 3 ， ∴ 设二次函数表达式为 y=a(x- 3 ) 2 + k 。 ∵ 图象 过点 A(0,5),B(5,0) 两点 ∴ 5=a(0- 3 ) 2 +k 0=a(5- 3 ) 2 +k 解得： a= 1 k=-4 ∴  二次函数的 表达式 为 y = (x-3) 2 -4 即 y =x 2 -6x+5 小结 : 已知顶点坐标 （ h,k ） 或对称轴方程 x=h 时   优先选用顶点式。   例 5. 已知一个二次函数的图象经过点 (4,-3) ，并且当 x=3 时有最大值 4 ，试确定这个二次函数的解析式。 解法 1 ： （利用一般式） 设二次函数解析式为： y=ax 2 +bx+c (a≠0) 由题意知 16a+4b+c = -3        -b/2a = 3      (4ac-b 2 )/4a = 4 解 方程组 ， 得 a= -7 b= 42 c= -59 ∴  二次函数的解析式 为 y = -7x 2 +42x-59 解法 2 ： （利用顶点式） ∵  当 x=3 时，有最大值 4∴  顶点坐标为 (3,4) 设二次函数解析式为： y=a(x- 3 ) 2 + 4 ∵  函数图象过点（ 4 ， - 3 ） ∴  a(4 - 3) 2 +4 = - 3 ∴  a= -7 ∴  二次函数的解析式为： y= -7(x-3) 2 +4 选择最优解法，求下列二次函数解析式 ： 1 、已知抛物线的图象经过点 (1,4) 、 (-1,-1) 、 (2,-2) ，设抛物线解析式为 __________. 2 、已知抛物线的顶点坐标 (-2,3) ，且经过点 (1,4) , 设抛物线解析式为 ____________. 3 、已知二次函数有最大值 6 ，且经过点 (2, 3) ， (-4,5) ，设抛物线解析式为 _________. 4 、已知抛物线的对称轴是直线 x=-2 ，且经过点 (1,3) ， (5,6) ，设抛物线解析式为 ________. 5 、已知抛物线与 x 轴交于点 A( － 1 ， 0) 、 B(1 ， 0) ，且经过点 (2,-3), 设抛物线解析式为 _______. 做一做 小试牛刀 1 、根据下列条件，求二次函数的解析式。 (1) 、图象经过 (0 ， 0) ， (1 ， -2) ， (2 ， 3) 三点； (2) 、图象的顶点 (2 ， 3) ， 且经过点 (3 ， 1) ； (3) 、图象经过 (-1 ， 0) ， (3 ， 0) ，（ 0, 3 ）。 小组探究 1 、 已知二次函数对称轴为 x=2 ，且过（ 3 ， 2 ）、（ -1,10 ）两点，求二次函数的表达式。 2 、 已知二次函数极值为 2 ，且过（ 3 ， 1 ）、 （ -1,1 ）两点，求二次函数的表达式。 解：设 y=a(x-2) 2 -k 解：设 y=a(x-h) 2 +2 例 题 选 讲 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度 为 16m ，跨度为 40m ．现把它的图形放在坐标系里 ( 如图所示 ) ，求抛物线的表达式． 例 6 设抛物线的表达式为 y=ax 2 ＋ bx ＋ c ， 解： 根据题意可知 抛物线经过 (0 ， 0) ， (20 ， 16) 和 (40 ， 0) 三点 可得方程组 通过利用给定的条件 列出 a 、 b 、 c 的三元 一次方程组，求出 a 、 b 、 c 的值，从而确定 函数的解析式． 过程较繁杂， 评价 封面 练习 例 题 选 讲 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度 为 16m ，跨度为 40m ．现把它的图形放在坐标系里 ( 如图所示 ) ，求抛物线的表达式． 例 4 设抛物线为 y=a(x-20) 2 ＋ 16 解： 根据题意可知 ∵ 点 (0 ， 0) 在抛物线上， 通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点式求解，方法比较灵活 评价 ∴ 所求抛物线表达式为 封面 练习 例 题 选 讲 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度 为 16m ，跨度为 40m ．现把它的图形放在坐标系里 ( 如图所示 ) ，求抛物线的表达式． 例 6 设抛物线为 y=ax(x-40 ） 解： 根据题意可知 ∵ 点 (20 ， 16) 在抛物线上， 选用两根式求解，方法灵活巧妙，过程也较简捷 评价 封面 练习 课 堂 小 结 求二次函数表达式的一般方法：  已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式  已知图象的顶点坐标、对称轴或和最值 通常选择顶点式  已知图象与 x 轴的两个交点的横 x 1 、 x 2 ， 通常选择交点式。 y x o 封面 确定二次函数的表达式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。 1 、 求二次函数的解析式的一般步骤： 一设、二列、三解、四还原 . 2 、求二次函数解析 式 得 常用 方法： （ 1 ）已知图象上三点或三点的对应值，通常选择一般式 . （ 2 ）已知图像的顶点坐标或对称轴和最值，通常选择顶点式 . （ 3 ）已知图像与 x 轴两个交点坐标，通常选择交点式 . 小结 用待定系数法求函数表达式的一般步骤 : 1 、设出适合的函数表达式； 2 、把已知条件代入函数表达式中，得到关于待定系数的方程或方程组； 3 、 解方程（组）求出待定系数的值； 4 、 写出一般表达式。 第 5 章 对函数的再探索 5.6 二次函数与一元二次方程 （ 0 ， 2 ） （ 1 ， 0 ） x y O 根据 函数 的图像填空 ① 开口方向确定 a____0; ___0 ② 对称轴位置确定 b____0; ③ 与 y 轴交点坐标 , 确定 c =____; ④ 有 最 ___ 值 ; 在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而 _____; ⑤ 特殊的值所得到的特殊的式子 : 当 x=1 时， a+b+c___0, 当 x=-1 时， a-b+c___0 . ⑥ 与 x 轴公共点个数为 ____ 个。 当 y=____ 时，可求出公共点的 坐标。 -1 < < < 2 大 减小 = ＞ 2 0 观察抛物线 思考下列问题： (1) 抛物线 与 x 轴有几个公共点？ 交点的坐标分别是什么？ （ 2 ）当 x 取何值时， 函数 的值是 0 ？ 探究一 （ 3 ）一元二次方程 有没有根？如果有根，它的根是什么？ （ 4 ）一元二次方程 的根和抛物线 与 x 轴的公共点的横坐标有什么关系？ （ 5 ） 猜想一元二次方程的实数根和抛物线与 x 轴公共点的横坐标的关系 ? 观察抛物线 思考 下列问题： （ 6 ） 你能根据下列函数的图象，说出抛物线与 x 轴的交点坐标吗？它与一元二次方程的根有何关系？ 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象与 x 轴交点的 横坐标 是一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 的 根 1 、抛物线 y=ax ²+bx+c 与 x 轴的两个交点的坐标分别为（ -1,0 ）、（ -5,0 ），那么一元二次方程 ax²+bx+c=0 的根为 ______________. 2 、一元二次方程 ax²+bx+c=0 的根分别为 -3 和 -5 ，则二次函数 y=ax²+bx+c 的图像与 x 轴交点坐标为 __________________. 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象与 x 轴公共点的个数 与一元二次方程 ax 2 +bx+c= 0 根的关系 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象与 x 轴公共点的数 一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 的根 b 2 -4ac 的符号 有两个交点 有两个不相等的实数根 b 2 -4ac > 0 有一个公共点 有两个相等的实数根 b 2 -4ac = 0 没有公共点 没有实数根 b 2 -4ac < 0 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象与 x 轴交点的 横坐标 是一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 的 根 1 、抛物线 y=ax ²+bx+c 与 x 轴有两个交点，则 b ²-4ac _____0 （ ） A ﹥ B ﹤ C ＝ D 不确定 2 、已知 b ²-4ac ﹤0 ，那么抛物线 y=ax ²+bx+c 与 x 轴有 ________ 个公共点。 A 0 3 、抛物线 y=ax ²+bx+c 与 x 轴的只有一个公共点的坐标为（ 1,0 ），那么一元二次方程 ax²+bx+c=0 的根为 ____________. 4 、 判断下列函数图象与 x 轴是否有公共点 , 并说明理由。 (1) (2) (3) 练一练 5 、 若函数 图象与 x 轴只有 一个公共点 , 求 m 的值 . 若与 x 轴有两个公共点呢 ？ 若与 x 轴有没有公共点呢 ？ 你能求出函数 的 图象与 x 轴的交点坐标吗？ 解：当 y=0 时， 解 得 所以函数 的 图象与 x 轴的交点坐标为 （ -3 ， 0 ） 和 （ 2 ， 0 ） . 已知二次函数 的 图象，利用图象回答问题： (1) 方程 的解是什么？ （ 2 ） x 取什么值时， y> 0 ？ （ 3 ） x 取什么值时， y< 0 ？ (4) 由图像你还能获得那些信息？ 1 、二次函数         的图像的一部分如图所示，图像过点 A(3,0) ，对称轴为     , 下列结论正确的个数为（  ）      ０  １   ３     ｘ ｙ ①ｂ ² －４ａｃ﹥０ ②ｂｃ﹤０ ③２ａ＋ｂ＝０ ④ａ＋ｂ＋ｃ＝０ ⑤方程         有两个大于１的实数根 ⑥当ｘ﹥１时，ｙ随ｘ的增大而增大 A.1 B.2 C.3 D.4 B 3 、如果关于 x 的一元二次方程 x 2 － 2 x + m =0 有两个相等的实数根，则 m = ＿＿＿，此时抛物线 y=x 2 － 2 x + m 与 x 轴有＿＿个交点 . 6 、（ 1 ）已知抛物线， 当 k= 时，抛物线与 x 轴相交于两点． （ 2 ）已知二次函数 的图象的最低点在 x 轴上，则 a= ． 4 、已知抛物线 y = x 2 – 8 x + c 的与 x 轴有且只有一个交点，则 c = ＿＿ 5 、一元二次方程 3 x 2 + x － 10=0 的两个根是 x 1 = － 2 ， x 2 =5/3 ，那么二次函数 y = 3 x 2 + x － 10 与 x 轴的交点坐标是＿＿＿＿＿＿＿＿ . 本节 课 学到 了 什么 ？ 想一想 第 5 章 对函数的再研究 5.7 二次函数的应用 5.7 二次函数 的应用 第 1 课时 1. 二次函数 y=2(x-3) 2 +5 的对称轴是 ，顶点坐标是 . 当 x= 时， y 有最 值 , 是 . 2. 二次函数 y=-3(x+4) 2 -1 的对称轴是 ，顶点坐标是 . 当 x= 时，函数有最 ___ 值，是 . 3. 二次函数 y=2x 2 -8x+9 的对称轴是 ，顶点坐标是 . 当 x= 时，函数有最 ___ 值 . 课前复习 掌握现实生活中应用二次函数关系式求最值 问题。 问题： 用篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，已知篱笆的长度为 40m ，应该怎样设计才使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 分析：若设矩形菜园的宽为x（m），则菜园的长为 ，面积为y（m 2 ） . 根据题意，y与x之间的函数表达式为： 思考一下：宽x的取值范围？ 一般地，因为抛物线 y=ax 2 +bx+c 的顶点是最低（高）点， 所以 当 时， 二次函数 y=ax 2 +bx+c 有最小（大）值 . 变式练习： 用篱笆围成一个一边靠墙中间隔有一道篱笆的的矩形菜园，已知篱笆的长度为 60 m ，应该怎样设计才使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 拓展： 若墙的最大可利用面积为20m，那么x的取值范围？菜园的面积最大时，菜园的宽x等于多少？、 如图，ABCD是一块边长为2m的正方形铁板，在边AB上选取一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板材.当AM的长为何值时，截取的板材面积最小？ 分析：截取板材面积 = 正方形 AMPQ 面积 + 正方形 MBEF 面积 . 由已知可以构造二次函数，利用二次函数性质解决 …… 2 A B D M x Q P F E C 1 、 教材挑战 自我。 2 、 教材练习 1. 解函数应用题的一般步骤 : 设未知数 ( 确定自变量和函数 ); 找等量关系 , 列出函数关系式 ; 化简 , 整理成标准形式 ( 一次函数、二次函数等 ); 求自变量取值范围； 利用函数知识，求解（通常是最值问题）； 写出答案。 5.7 二次函数 的应用 第 2 课时 2 . 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象是一条 ，它的对称 轴是 ，顶点坐标是 . 当 a>0 时，抛 物线开口向 ，有最 点，函数有最 值，是 ；当 a