青岛版九年级数学下册第7章空间图形的初步认识

第 7 章 空间图形的初步认识 7.1 几种常见的几何体 学习目标： 1. 会将常见的几何体（棱柱、棱锥）进行分类 . 2. 知道多面体的概念 . 3. 了解多面体的棱、顶点和面数之间的关系 . ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) 思考 1 ：这些几何体可以分成几类 ? (1) (2) (4) (7) 第一类： (3) (5) (6) (8) 第二类： 棱柱 棱锥 棱柱的分类 三棱柱 四棱柱 五棱柱 根据棱柱底面多边形的边数， 棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、 …… 把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、 …… 棱柱 还可分为： 直棱柱 和 斜棱柱 棱锥的分类： 按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、 …… 思考：仿照棱柱，说出棱锥的分类 棱锥的分类 三棱镜 魔方 我们周围的几何体 螺杆的头部 埃及卡夫拉王金字塔 墨西哥太阳金字塔 还有一类几何体也是我们常见的，我们把这类几何体称为 棱台 棱柱 棱锥 思考 2 ：这些几何体各有多少个 面面 都是什么图形？ (3) (5) (6) (8) (1) (2) (4) (7) 由若干个平面多边形围成的几何体叫做 多面体 . 棱柱 、 棱锥、棱台都是由一些平面多边形围成的几何体 . 食盐晶体 明矾晶体 石膏晶体 多面体 围成多面体的各个多边形叫做多面体的 面 . 相邻两个面的公共边叫做多面体的 棱 . 棱与棱的公共点叫做多面体的 顶点 . 面 棱 顶点 侧面 底面 侧棱 顶点 底面 顶点 侧面 侧棱 思考 3 ：下面这些几何体是多面体吗 ? 他们有什么共同的特点？ 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数 a 棱数 b 面数 c 观察上表中的结果，你能发现 a 、 b 、 c 之间有什么关系吗？ 请写出关系式． a + c - b =2 8 15 18 7 6 6 9 5 12 10 12 8 思考 3 ：你学习过哪些几何体的表面积公式和体积公式？你能用字母表示他们吗？ 四种常见几何体表面积与体积公式 1. 长方体 表面积 =2 （ ab+bc+ca ） 体积 =abc （ a 、 b 、 c 分别长、宽、高） 2. 正方体 表面积 =6 体积 = （这里 a 为正方体的棱长） 3. 圆柱体 体积 =πR 2 h （这里 R 表示圆柱体底面圆的半径， h 表示圆柱的高） 4. 圆锥体 体积 = πR 2 h （这里 R 、 l 、 h 表示圆锥体底面圆的半径、母线长和高） 例题讲解 第 7 章 空间图形的初步认识 7.2 直棱柱的侧面展开图 学习目标： 1. 知道棱柱的相关元素和结构特征 . 2. 知道棱柱的表示方法 . 3. 知道棱柱的侧面展开图是矩形 . 4. 能够利用侧面展开图解决简单问题 . 棱柱的分类 根据棱柱底面多边形的边数 ， 棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、 …… 把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、 …… 复习回顾 三棱柱 四棱柱 五棱柱 棱柱的每个面都是多边形，棱柱是多面体 棱柱的分类 按侧棱与底面是否垂直可分为： （ 1 ） 侧棱不垂直于底的棱柱叫做 斜棱柱 。 （ 2 ）侧棱垂直于底的棱柱叫做 直棱柱 。 斜棱柱 直棱柱 我们只研究直棱柱 通常用表示底面各顶点的字母来表示棱柱 . B C D A B C D A 1 A 1 A 1 B 1 B 1 B 1 C 1 C 1 C 1 D 1 D 1 E 1 A B C A E 棱柱 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 棱柱的表示方法 棱柱的相关元素和结构特征 . 底面 侧棱 侧面 平行且全等 平行且相等 矩形 侧面（棱）数 = 底面边数 棱柱的侧面展开图 甲 展开 展开 展开 五棱柱 展开 六棱柱 棱柱的侧面展开图 —— 矩形 动手做做 典型例题 当堂训练 1. 如图是一个立方体纸盒的展开图，使展开图沿虚线折叠成正方体后相对面上的两个数互为 相反数 , 求 : c 7 -1 b a 2 -2 -7 1 2. 利 胜 持 是 就 坚 “坚”在下，“就”在后，胜利在哪里？ “胜”在上， “利”在前！ 3. 下列的三幅平面图是 三棱柱 的表面展开图的有（ ） 甲 乙 丙 4. 5. 如图，长方体的长为 15cm ，宽为 10cm ，高为 20cm ，点 B 到点 C 的距离为 5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从 A 点爬到 B 点，需要爬行的最短距离是多少？ 20 10 15 B C A 6. 作业布置 课本习题 7.2 第 7 章 空间图形的初步认识 7.3 圆柱的侧面展开图 7.3 圆柱的侧面展开图 第 1 课时 1 ．使学生了解圆柱的特征，了解圆柱的侧面、底面、 高、轴、母线、过轴的截面等概念，了解圆柱的侧面 展开图是矩形． 2 ．使学生会计算圆柱的侧面积或全面积． 油桶 铅笔、圆形柱子 圆形大厦 在生活中常遇的圆柱形物体，如：油桶、铅笔、圆形柱子等．那么圆柱有哪些特征？ B C D A 矩形 ABCD ，绕直线 AB 旋转一周得到的图形是什么？ 矩形 ABCD 绕直线 AB 旋转一周所得的图形是一个圆柱，直线 AB 叫做圆柱的轴，圆柱侧面上平行于轴的线段 CD 叫做圆柱的母线．矩形的另一组对边 AD ， BC 是上、下底面的半径．圆柱一个底面上任意一点到另一底面的垂线段叫做圆柱的高 . 圆柱的特征 : ① 圆柱的轴通过上、下底面的圆心，且垂直于上、下底；②圆柱的母线平行于轴且长都相等，等于圆柱的高；③ 圆柱的底面圆平行且相等 ． 将圆柱的侧面沿母线剪开，得到什么图形？你能想象出圆柱的展开图吗？ 圆柱的侧面展开图与圆柱元素之间的关系？ ① 圆柱的侧面展开图为矩形； ②一边是圆柱的母线（高），一边是圆柱底面圆的周长； ③ S 圆柱侧 = 底面圆周长 × 圆柱母线（ S 圆柱侧 = 底面周长 × 高）． 例 1. 如图，要用钢板制作一个无盖的圆柱形水箱，它的高为 2.5 m ，容积为 10 m 3 ，求需用钢板的面积（不计加工余量， 精确到 0.1 m 2 ） . 解：由题意可知， h =2.5 m , V =10 m 3 . 设水箱底面半径为 r ( m ) , 所以，供需钢板约 21.8 m 2 例题 解 1. 一个圆柱形水池的底面半径为 4 米，池深 1.2 米 . 在 池的 内壁与底面抹上水泥，抹水泥部分的面积是 _____ 平方米 . 2 、已知一个圆柱的底面半径为 3 米，高都为 4 米 . 则 S 柱侧 =______ 平方米。 25.6 π 24π 3. 一个圆柱侧面展开图是正方形，这个图形的高 是底面半径的（  ） A ． 2 倍 B ． 3 倍 C ． 2π 倍 C 4. 一个圆柱的底面半径是 3 厘米，侧面展开后是一个正方形， 这个圆柱的侧面积是多少平方厘米，体积是多少立方厘米？ 解：这个圆柱的底面周长是： 3.14×3×2=18.84 （厘米）所以高也是 18.84 厘米，侧面积是： 18.84×18.84=354.945 6 （平方厘米），体积是： 3.14×32×18.84=532.418 4 （立方厘米） . 1. 圆柱的形成、圆柱的概念、圆柱的性质、圆柱的侧面展开图及其面积计算． 2. 思想：“转化思想”，求圆柱的侧面积（立体问题）求矩形的面积（平面问题） . 7.3 圆柱的侧面展开图 第 2 课时 B D A C 1. 了解圆柱的侧面展开图是矩形； 2. 使学生会计算圆柱的侧面积或全面积； 3. 利用“转化思想”，求有关 圆柱体的实际 问题 . 1. 圆柱的侧面展开图为矩形； 2. 一边是圆柱的母线（高），一边是圆柱底面圆的周长； 3.S 圆柱侧 = 底面圆周长 × 圆柱母线 （ S 圆柱侧 = 底面周长 × 高 ）． 如图，一个圆柱体的底面周长为 24 厘米，母线 AB 为 4 厘米， BC 是 上底的直径 . 一只蚂蚁从下底面的点 A 处 出发爬行到上底面的点 C 处 . （ 1 ）如果它沿圆柱体的侧面爬行，其最短路径长是多少（精确到 0.1 厘米）？ （ 2 ）如果将蚂蚁“沿圆柱体的侧面”改为“沿圆柱体的表面”，（ 1 ）的答案还是最短路径吗？ （ 3 ）当圆柱体底面半径 r 变化，而母线长 h 不变时，试比较沿圆柱体侧面由 A 处爬行到 C 处的最短路径与沿母线 AB 再沿上底 面直径 BC 爬行到 C 处的路径的长短 . B D A C 解（ 1 ）将圆柱体的侧面沿母线 AB 剪开，得到它的侧面展开图矩形 ABB 1 A 1 由于圆柱的侧面展开图是平面图形， A ， C 是该平面内的两点， 在 A ， C 两点的连线 中 ， 线段 AC 最短 . 所以 , 蚂蚁从点 A 沿着圆柱体侧面爬行到点 C 时，如果沿着路径 AC 爬行，爬行的路径最短，最短路径约为 12.6 cm . A B A 1 B 1 D C . 6 12 12 4 . cm 4 . 12 2 1 . 24 2 2 2 2 1 1 cm . BC AB AC AB ABC Rt cm BC BB BC cm BB » + = + = = = \ = = 由勾股定理，得 中， △ 在 ， 由已知 Q Q (2) 因为底面圆的周长为 24 cm ，所以底面圆的直径 所以如果 将蚂蚁“沿圆柱侧面”改为“沿圆柱的表面”， （ 1 ）中的答案不是最短路径 . B D A C (3) 当圆柱体底面半径 r 变化，圆柱体母线长 h 不变时，设沿圆柱体侧面从 A 处到 C 处的最短路径长为 l 1 ，可知 设路径 A-B-C 的长为 l 2 . 1. 有一圆形油罐底面圆的周长为 24 m ，高为 6 m ，一只蚂蚁从距底面 1 m 的 A 处爬行到对角 B 处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？ 分析： 由于蚂蚁是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形 . 根据两点之间线段最短，可以发现 A 、 B 分别在圆柱侧面展开图的宽 1 m 处和长 24 m 的中点处，即 AB 长为最短路线 .( 如图 ) A B B A C AC = 6 – 1 = 5 ， BC = 24 × = 12 ， 由勾股定理得 AB 2 = AC 2 + BC 2 =169, ∴ AB= 13 m . 2. 一个圆柱体的表面积和长方形的面积相等，长方形的长等于 圆柱体的底面周长，已知长方形的面积是 251.2 平方厘米，圆柱 体的底面半径是 2 厘米．圆柱体的高是多少厘米 ？ 解： 251.2-3.14× （ 2+2 ） ×2=251.2-3.14×8=251.2-25.12=226.08 （平方厘米） 226.08÷ （ 3.14×2×2 ） =226.08÷12.56=18 （厘米）答：圆柱体的高是 18 厘米． 分析 ：根据圆柱的底面半径是 2 厘米，可求圆柱的底面积，用长 方形的面积减去圆柱的 2 个底面积，即可得出圆柱的侧面积， 据此利用侧面积除以圆柱的底面周长，即可求出圆柱的高． 1. 圆柱的形成、圆柱的概念、圆柱的性质、圆柱的侧面展开图及其面积计算． 2. 思想：“转化思想”，求圆柱的侧面积（立体问题）求矩形的面积（平面问题） . 3. 利用“转化思想”，求有关圆柱体实际问题 . 第 7 章 空间图形的初步认识 7.4 圆锥的侧面展开图 7.4 圆锥 的侧面展开图 第 1 课时 1. 了解圆锥的侧面展开图是扇形； 2. 能利扇形的面积公式计算圆锥的侧面积及 表面积 . 圆的周长公式 圆的面积公式 C=2 π r S = π r 2 弧长的计算公式 扇形面积计算公式 180 n R l p = 2 360 n R S p = 1 2 S lR = 或 1. 圆锥是由 一个底面 和 一个侧面 围成的 , 它的 底面是一个圆 , 侧面是一个曲面 . 2. 把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点 的连线叫做 圆锥的母线 3. 连接顶点与底面圆心的线段 叫做 圆锥的高 . 图中 R 是圆锥的母线 h 就是圆锥的高 问题：圆锥的母线有几条？ R h r r 是底面圆的半径 R h r 圆锥的底面半径、高线、 母线长三者之间有什么 关系？ 把圆锥模型沿着母线剪开， 观察圆锥的侧面展开图 ．   A B O C 2. 侧面展开图扇形的半径 = 母线的长 3. 侧面展开图扇形的弧长 = 底面周长 1. 圆锥的侧面展开图是扇形 圆锥的侧面积和全 ( 表）面积 圆锥的 底面周长 就是其侧面展开图 扇形的弧长 ， 圆锥的 母线 就是其侧面展开图 扇形的半径 . n 即： 360 r = nR 2 360 n R s p = 侧 R 已知一个圆锥的轴截面△ ABC 是等边三角形，它的表面积为 75 cm 2 , 求这个圆锥的底面半径和母线的长 . O B A C C O B A 解：∵轴截面△ ABC 是等边三角形 ∴ AC= 2 OC 由题意，得 答：圆锥的底面半径为 5 cm ，母线长为 10 cm. p p p 75 2 = · + · · OC AC OC p p 75 3 2 = × \ OC ) ( 5 cm OC = \ ) ( 10 5 2 2 cm OC AC = ´ = = 1. 根据下列条件求值（其中 r 、 h 、 R 分别是圆锥的底面半径、高线、母线长） （ 1 ） R = 2 ， r =1 则 h =_______ (2) h =3 , r= 4 则 R =_______ (3) R = 10, h = 8 则 r =_______ 5 6 R 4π 6 C 2. 一个圆锥的底面圆的周长是 4π cm ，母线长是 6 cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的 度数是 ( ) (A)40° (B)80° (C)120° (D)150° 8 cm 4π 3. 现有一个圆心角为 90° ，半径为 8 cm 的扇形纸片，用 它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计） . 该圆锥底 面圆的半径为 cm ． 2 r h R 4. 根据下列条件求圆锥侧面积展开图的圆心 角 （ r 、 h 、 R 分别是圆锥的底面半径、高线、母线长） （ 1 ） R = 2 ， r = 1 ， 则 =________ ( 2 ) h =3, r =4 ， 则 =__________ 180° 288° 本节课我们认识了圆锥的侧面展开图，学会计算圆锥的侧面积和全面积，在认识圆锥的侧面积展开图时，应知道圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长 . 圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径，这样在计算侧面积和全面积时才能做到熟练、准确 . 7.4 圆锥的侧面展开图 第 2 课时 1. 了解圆锥的侧面展开图是扇形； 2. 能利扇形的面积公式计算圆锥的侧面积及表面积 . ( r 表示圆锥底面的半径 , l 表示圆锥的母线长 ) 圆锥的侧面积与底面积的和叫做圆锥的全面积 ( 或表面积 ). rl S p = 侧 2 S S S rl r p p = + = + 侧 全 底 弧长与扇形面积计算 圆锥的侧面积计算 l R l r 2π r rl S p = B C A D 解：过 C 点作 ，垂足为 D 点 所以 答：这个几何体的全面积为 2 1020 ( ) 13 cm p 底面周长为 60 120 2 13 13 p p · = 2 1020 ( ) 13 cm p = · + 5 13 120 2 1 p · 所以 S 全面积 · = 13 120 2 1 p · 已知：在 Rt Δ ABC , 求以 AB 为轴旋转一周所得到的几何体的全面积 . cm BC cm AB C 5 , 13 , 90 = = = Ð o 新疆哈萨克民族是一个游牧民族，喜爱居住毡房，毡房的顶部是圆锥形 . 如图所示，为了防雨需要在毡房顶部铺上防雨布已知圆锥的底部直径是 5.7 米，母线长是 3.2 米 , 问：铺满毡房顶部至少需要防雨布多少平方米 ? （精确到 1 米） 析：所求的侧面面积 = 12× 底面周长 × 母线长 解：底面直径为 5.7 米，则底面周长为 2π×5.7=11.4π m ， 侧面面积 = ×11.4π×3.2≈57.2 米 如图，从一个半径为 1 的圆形铁皮中剪下一个圆心角为 90 0 . 的扇形 BAC . （ 1 ）求这个扇形的面积；（ 2 ）若将扇形 BAC 围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面直径是多少？能否从最大的余料③中剪出一个圆做该圆锥的底面？请说明理由 . （ 1 ）∵∠ A 为直角， BC=2 ， （ 2 ）设围成圆锥的底面半径为 r ，则   ∴ 不能从最大的余料③中剪出一个圆做该圆锥的底面 . 延长 AO 分别交弧 BC 和⊙ O 于 E 、 F ， 而 解： ∴ 扇形半径为 1 、若圆锥的底面半径 r =4 cm ，高线 h =3 cm ，则它的 侧面展开图 中扇形的圆心角是 度 . 2. 如图，若圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个展开图的圆 心角是 度；圆锥底面半径 r 与母线 a 的比 r ： a = . 288 180 1:2 结论：当圆锥底面半径 r 与母线 a 的比为 1 ： 2 时，圆锥的侧面展开图为半圆 . l r h S B A O 50 30 3. 已知圆锥的底面半径是 3 cm ，母线长为 6 cm ，则侧面积为 ________cm 2 ． 4. 已知圆锥的高是 30 cm ，母线长是 50 cm ，则圆锥的侧面积是     ________m 2 . 5. 如图，圆锥的底面半径为 1 ，母线长为 3 ，一只蚂蚁要从 底面圆周上一点 B 出发，沿圆锥侧面爬到过母线 AB 的轴截面上另一母线 AC 上，问它爬行的最短路线是多少？ A B C A B C 将圆锥沿 AB 展开成扇形 ABB ´ 解： 熟练运用圆锥的侧面展开图的有关知识，解决生活中 的有关问题 .