湘教版九年级数学下册第2章测试题及答案

湘教版九年级数学下册第2章测试题及答案 ‎2．1　圆的对称性 一、选择题 ‎1．下列语句中，不正确的有(　　)‎ ‎①过圆上一点可以作无数条圆中最长的弦；‎ ‎②长度相等的弧是等弧；‎ ‎③圆上的点到圆心的距离都相等；‎ ‎④同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长.‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎2．如图K－10－1所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在同一条直线上，图中弦的条数为(　　)‎ 图K－10－1‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎3．若⊙O的半径为4 cm，点A到圆心O的距离为3 cm，则点A与⊙O的位置关系是 (　　)‎ A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O外 D．不能确定 ‎4．半径为5的圆的弦长不可能是(　　)‎ A．3 B．5 C．10 D．12‎ ‎5．已知MN是⊙O的一条非直径的弦，则下列说法中错误的是(　　)‎ A．M，N两点到圆心O的距离相等 B．MN是圆的一条对称轴 C．在圆中可画无数条与MN相等的弦 D．圆上有两条弧，一条是优弧，一条是劣弧 ‎6．如图K－10－2所示，方格纸上一圆经过(2，6)，(－2，2)，(2，－2)，(6，2)四点，则该圆圆心的坐标为(　　)‎ 图K－10－2‎ A．(2，－1) B．(2，2) C．(2，1) D．(3，1)‎ ‎7.形如半圆型的量角器直径为4 cm，放在如图K－10－3所示的平面直角坐标系中(量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上)，连接60°和120°刻度线的一个端点P，Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为(　　)‎ 图K－10－3‎ A．(－1，) B．(0，) C．(，0) D．(1，)‎ 二、填空题 ‎8．战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于________．‎ ‎9．已知⊙O的半径为10 cm，点P到圆心的距离为 d cm.‎ ‎(1)当d＝8 cm时，点P在⊙O______；‎ ‎(2)当d＝10 cm时，点P在⊙O______；‎ ‎(3)当d＝12 cm时，点P在⊙O______．‎ ‎10．如图K－10－4所示，三圆同心于点O，AB＝4 cm，CD⊥AB于点O，则图中阴影部分的面积为________cm2. ‎ 图K－10－4‎ ‎11．如图K－10－5所示，在矩形ABCD的顶点A处拴了一只小羊，在B，C，D处各有一筐青草，要使小羊至少能吃到一个筐子里的草，且至少有一个筐子里的草吃不到．如果AB＝5，BC＝12，那么拴羊的绳长l的取值范围是________．‎ 图K－10－5‎ 三、解答题 ‎12．如图K－10－6所示，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO，并延长CO，BO分别交弦AB，AC于点E，F，∠B＝∠C.求证：CE＝BF.‎ 图K－10－6‎ ‎13．如图K－10－7，点O是同心圆的圆心，大圆半径OA，OB分别交小圆于点C，D.‎ 求证：AB∥CD.‎ 图K－10－7‎ ‎14．如图K－10－8，在△ABC中，AB＝AC＝6 cm，∠BAC＝120°，M，N分别是AB，AC的中点，AD⊥BC，垂足为D，以D为圆心，3 cm为半径画圆，判断A，B，C，M，N各点和⊙D的位置关系.‎ 图K－10－8‎ ‎15．图K－10－9，D是△ABC 的边BC 的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，垂足为E，EF与AB 的延长线相交于点F，点O在AD上，AO ＝ CO，BC∥EF.‎ 求证：(1)AB＝AC; ‎ ‎(2)A，B，C三点在以点O为圆心的圆上．‎ 图K－10－9‎ 参考答案 ‎1．[解析] B　①②不正确．‎ ‎2．A ‎3．[解析] A　d＝3 cm＜4 cm＝r，所以点A在⊙O内．‎ ‎4．[解析] D　圆中弦的长度小于或等于圆的直径．‎ ‎5．B　6.B ‎7．[解析] B　连接OQ，PO，则∠POQ＝120°－60°＝60°.∵PO＝OQ，∴△POQ是等边三角形，∴PQ＝PO＝OQ＝×4＝2(cm)，∠OPQ＝∠OQP＝60°.∵∠AOQ＝90°－60°＝30°，∴∠QAO＝180°－60°－30°＝90°，∴AQ＝OQ＝1 cm.∵在Rt△AOQ中，由勾股定理，得OA＝＝，∴点A的坐标是(0，)．故选B.‎ ‎8．半径 ‎9．(1)内　(2)上　(3)外 ‎10．[答案] π ‎[解析] 根据圆是轴对称图形，得阴影部分的面积＝大圆的面积＝π(4÷2)2＝π(cm2)．‎ ‎11．[答案] 5≤l＜13‎ ‎[解析] 根据题意画出图形如图所示：‎ AB＝CD＝5，AD＝BC＝12，根据矩形的性质和勾股定理得到：‎ AC＝＝13.‎ ‎∵AB＝5，BC＝12，AC＝13，而B，C，D中至少有一个点在⊙A内或上，且至少有一个点在⊙A外，∴点B在⊙A内或上，点C在⊙A外，∴要使小羊至少能吃到一个筐子里的草，且至少有一个筐子里的草吃不到，拴羊的绳长l的取值范围是5≤l＜13.‎ ‎12．证明：∵OB，OC是⊙O的半径，‎ ‎∴OB＝OC.‎ 又∵∠B＝∠C，∠BOE＝∠COF，‎ ‎∴△EOB≌△FOC，‎ ‎∴OE＝OF，‎ ‎∴CE＝BF.‎ ‎13．证明：∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，‎ ‎∴∠OCD＝(180°－∠O)．‎ ‎∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，‎ ‎∴∠OAB＝(180°－∠O)，‎ ‎∴∠OCD＝∠OAB，‎ ‎∴AB∥CD.‎ ‎14．解：连接DM，DN.‎ ‎∵在△ABC中，AB＝AC＝6 cm，∠BAC＝120°，‎ ‎∴∠B＝∠C＝30°.‎ ‎∵AD⊥BC，‎ ‎∴AD＝AB＝3 cm，BD＝CD＝3 cm.‎ ‎∵M，N分别是AB，AC的中点，‎ ‎∴DM＝DN＝AB＝3 cm，‎ ‎∴点A，M，N在⊙D上，点B，C在⊙D外．‎ ‎15．证明：(1)∵AE⊥EF, EF∥BC，‎ ‎∴AD⊥BC.‎ ‎∵BD＝CD，‎ ‎∴AD是BC的垂直平分线，‎ ‎∴AB＝AC.‎ ‎ (2)如图，连接BO，‎ ‎∵AD是BC的垂直平分线，‎ ‎∴BO＝CO.‎ 又∵AO＝CO，‎ ‎ ∴AO＝BO＝CO，‎ ‎∴A，B，C三点在以点O为圆心的圆上．‎ ‎2.2 圆心角、圆周角 一、选择题 ‎1.如图，在⊙O中，∠ACB＝34°，则∠AOB的度数是（    ）． ‎ A. 17°                                       B. 34°                                      ‎ ‎ C. 56°                   D. 68°‎ ‎2.如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC＝25°，则∠CAD的度数是（  ） ‎ A. 25°                                       B. 60°                                       C. 65°                                       D. 75°‎ ‎3.如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（　　）   ‎ A. 25°                                       B. 30°                                      C. 40°                                      D. 50°‎ ‎4.如图，△ABC内接于⊙O，∠C= 45º，AB=4，则⊙O的半径为（    ） ‎ A. 2                                      B. 4                                      C. 2                                      D. 4‎ ‎5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CM切⊙O于点C，∠BCM=60°，则∠B的正切值是（　　） ‎ A.                                        B.                                        C.                                        D. ‎ ‎6.如图，⊙O的内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E=α，∠F=β，则∠A等于（　　） ‎ A. α+β                               B.                              C. 180°﹣α﹣β                             D. ‎ ‎7.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC＝40，则∠AOC的度数为 ‎ ‎  ‎ A. 20                                    B. 40                                    C. 60                                    D. 80‎ ‎8.如图，圆心角∠BOC=100°，则圆周角∠BAC的度数为（    ） ‎ A. 100°                                     B. 130°                                     C. 80°                                     D. 50°‎ ‎9.如图，AB是⊙O的直径，∠C=30°，则∠ABD等于（　　） ‎ A. 30°                                       B. 40°                                       C. 50°                                       D. 60°‎ ‎10.如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD=（   ） ‎ A. 32°                                       B. 42°                                       C. 58°                                       D. 64°‎ 二、填空题 ‎11.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB=OA=OB，则∠C等于________ ° ‎ ‎12.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD＝30°，则∠BCD＝________ °． ‎ ‎13.如图，点P为弦AB上的一点，连接OP，过点P作PC⊥OP，PC交⊙O于C，若AP=9，BP=4，则PC=________  ‎ ‎14.圆内接四边形ABCD，两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E=40°，∠F=60°，求∠A=________ °． ‎ ‎15.如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒，点E在量角器上对应的读数是________度. ‎ ‎16.如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第35秒时，点E在量角器上对应的读数是________度． ‎ ‎17.如图，点A、B、C在⊙O上，∠A=36°，则∠O=________． ‎ 三、解答题 ‎18.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=． （1）求AC的长度； （2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号） ‎ ‎19.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=120°，点E在上． （1）求∠AED的度数； （2）若⊙O的半径为2，则的长为多少？ （3）连接OD，OE，当∠DOE=90°时，AE恰好是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值． ‎ ‎20.如图，四边形ABCD为正方形，⊙O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB、AD于点F、E． ‎ ‎（1）求证：DE=AF； （2）若⊙O的半径为， AB=+1，求的值． ‎ ‎21.如图，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O为△ABC的外接圆，D为上一点，CE⊥AD于E，求证：AE=BD+DE． ‎ 参考答案 一、选择题 ‎1. D 2. C 3.A 4.A 5.B 6.D 7.D 8.D 9.D 10.A ‎ 二、填空题 ‎11.30 12.105 13.6 14.40 15.144 16.140 17. 72° ‎ 三、解答题 ‎18.解：（1）∵OF⊥AB， ∴∠BOF=90°， ∵∠B=30°，FO=， ∴OB=6，AB=2OB=12， 又∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴AC=AB=6； （2）∵由（1）可知，AB=12， ∴AO=6，即AC=AO， 在Rt△ACF和Rt△AOF中， ∴Rt△ACF≌Rt△AOF， ∴∠FAO=∠FAC=30°， ∴∠DOB=60°， 过点D作DG⊥AB于点G， ∵OD=6，∴DG=， ∴S△ACF+S△OFD=S△AOD=×6×3=9， ‎ 即阴影部分的面积是9． ‎ ‎19.解：（1）连接BD，如图1所示： ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BAD+∠C=180°， ∵∠C=120°， ∴∠BAD=60°， ∵AB=AD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD=60°， ∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠AED+∠ABD=180°， ∴∠AED=120°； （2）∵∠AOD=2∠ABD=120°， ∴的长= =； （3）连接OA，如图2所示： ∵∠ABD=60°， ∴∠AOD=2∠ABD=120°， ∵∠DOE=90°， ∴∠AOE=∠AOD﹣∠DOE=30°， ∴n==12． ‎ ‎20.（1）证明：连接EP、FP，如图， ∵四边形ABCD为正方形， ‎ ‎∴∠BAD=90°，∠BPA=90° ∴∠FPE=90°， ∴∠BPF=∠APE， 又∵∠FBP=∠PAE=45°， ∴△BPF≌△APE， ∴BF=AE， 而AB=AD， ∴DE=AF； （2）解：连EF， ∵∠BAD=90°， ∴EF为⊙O的直径， 而⊙O的半径为， ∴EF=， ∴AF2+AE2=EF2=（）2=3①， 而DE=AF， DE2+AE2=3； 又∵AD=AE+ED=AB， ∴AE+ED=+1②， 由①②联立起来组成方程组，解之得：AE=1，ED=或AE=，ED=1， 所以：=或= 提示：（1）连接EF、EP、FP，可证明△AEP≌△BFP （2）设：AE=x，ED=AF=y 可得：x+y=和x2+y2=3， 解得x=，y=1或x=1，y=， 所以：=或=． ‎ ‎21.证明：如图，在AE上截取AF=BD，连接CF，CD； 在△ACF和△BCD中 ∴△ACF≌△BCD， ∴CF=CD， ∵CE⊥AD于E， ∴EF=DE， ∴AE=AF+EF=BD+DE． ‎ ‎2.3　垂径定理　‎ 一、选择题 ‎1．下列命题错误的是(　　)‎ A．平分弧的直径平分这条弧所对的弦 B．平分弦的直径平分这条弦所对的弧 C．垂直于弦的直径平分这条弦 D．弦的垂直平分线经过圆心 ‎2．2018·菏泽如图K－14－1，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA的度数是(　　)‎ 图K－14－1‎ A．64° B．58° C．32° D．26°‎ ‎3．过⊙O内一点M的最长弦长为10 cm，最短弦长为8 cm，则OM的长为(　　)‎ A．9 cm B．6 cm C．3 cm D. cm ‎4．2017·泸州如图K－14－2所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝‎ ‎1，则弦CD的长是 (　　) ‎ 图K－14－2‎ A. B．2 C．6 D．8‎ ‎5.2017·金华如图K－14－3，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为(　　)‎ 图K－14－3‎ A．10 cm B．16 cm ‎ C．24 cm D．26 cm ‎6．如图K－14－4，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝8，则CD的长为(　　)‎ 图K－14－4‎ A．4 B．8 C．8‎ D．16‎ ‎7．如图K－14－5，在等边三角形ABC中，AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN＝1，那么△ABC的面积为(　　)‎ 图K－14－5‎ A．3 B. C．4 D. ‎8．2017·襄阳模拟⊙O的半径为5 cm，弦AB∥CD，AB＝6 cm，CD＝8 cm，则AB和CD间的距离是(　　)‎ 图K－14－6‎ A．7 cm B．8 cm ‎ C．7 cm或1 cm D．1 cm 二、填空题 ‎9．如图K－14－6，OD是⊙O的半径，弦AB⊥OD于点E，若∠O＝70°，则∠A＋∠C＝________°.‎ ‎10．如图K－14－7，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3.若P是AB上的一动点，则OP 的取值范围是________．‎ 图K－14－7‎ ‎11．2017·孝感已知半径为2的⊙O中，弦AC＝2，弦AD＝2 ，则∠COD的度数为________．‎ 三、解答题 ‎12．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图K－14－8所示)．‎ ‎(1)求证：AC＝BD；‎ ‎ (2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长. ‎ 图K－14－8‎ ‎13．如图K－14－9所示，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A(0，2)，B(4，‎ ‎2)，C(6，0)，解答下列问题：‎ ‎(1)请在图中确定该圆弧所在圆圆心D的位置，并写出点D的坐标为________；‎ ‎(2)连接AD，CD，求⊙D的半径(结果保留根号)．‎ 图K－14－9‎ ‎14．如图K－14－10，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M＝∠D.‎ ‎(1)判断BC，MD的位置关系，并说明理由；‎ ‎(2)若AE＝16，BE＝4，求线段CD的长；‎ ‎(3)若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．‎ 图K－14－10‎ ‎15．如图K－14－11，有一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度为20米．‎ ‎ (1)求桥拱的半径；‎ ‎(2)现有一艘宽60米，船舱顶部为长方形并高出水面9米的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过吗？并说明理由．‎ 图K－14－11‎ 素养提升 探究性问题如图K－14－12，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是弧AB上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E.‎ ‎(1)当BC＝6时，求线段OD的长．‎ ‎(2)探究：在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．‎ 图K－14－12‎ 参考答案 ‎1．B ‎2．[解析] D　∵OC⊥AB，∴＝.∠ADC是所对的圆周角，∠BOC是所对的圆心角，∴∠BOC＝2∠ADC＝64°，∴∠OBA＝90°－∠BOC＝90°－64°＝26°.故选D.‎ ‎3．[解析] C　由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，如图所示．直径ED⊥AB于点M，则ED＝10 cm，AB＝8 cm，由垂径定理知M为AB的中点，‎ ‎∴AM＝4 cm.‎ ‎∵半径OA＝5 cm，‎ ‎∴OM2＝OA2－AM2＝25－16＝9，‎ ‎∴OM＝3(cm)．‎ ‎4．B ‎5．[解析] C　如图，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D.∵CD＝8 cm，OD＝13 cm，∴OC＝5 cm.‎ 又∵OB＝13 cm，∴在Rt△BCO中，BC＝＝12 cm，∴AB＝2BC＝24 cm. ‎ ‎6．[解析] B　∵∠A＝22.5°，∴∠BOC＝2∠A＝45°.∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝OC＝4 ，∴CD＝2CE＝8 .故选B.‎ ‎7．[解析] B　∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，‎ ‎∴M，N分别是AB，AC的中点，‎ ‎∴MN是等边三角形ABC的中位线．‎ ‎∵MN＝1，∴AB＝AC＝BC＝2MN＝2，‎ ‎∴S△ABC＝×2×2×sin60°＝2×＝.‎ ‎8．C ‎9．[答案] 55　‎ ‎[解析] 连接OB.∵OA＝OB，∴∠A＝∠ABO.‎ 又∵OD是⊙O的半径，弦AB⊥OD于点E，∠AOD＝70°，‎ ‎∴＝，∠AOB＝140°，‎ ‎∴∠C＝∠AOD＝35°，∠A＝∠ABO＝20°，‎ ‎∴∠A＋∠C＝55°.故答案是55.‎ ‎10．[答案] 3≤OP≤5　‎ ‎[解析] 连接OA，作OC⊥AB于点C，则AC＝AB＝4.由勾股定理，得OA＝＝5，则OP的取值范围是3≤OP≤5.‎ ‎11．[答案] 150°或30°‎ ‎[解析] 如图所示，连接OC，过点O作OE⊥AD于点E.∵OA＝OC＝AC，∴∠OAC＝60°.∵AD＝2 ，OE⊥AD，∴AE＝，OE＝＝，∴∠OAD＝45°，∴∠CAD＝∠OAC＋∠OAD＝105°或∠CAD＝∠OAC－∠OAD＝15°，∴∠COD＝360°－2×105°＝150°或∠COD＝2×15°＝30°.故答案为150°或30°.‎ ‎12．解：(1)证明：过点O作OE⊥AB于点E，‎ 则CE＝DE，AE＝BE，‎ ‎∴AE－CE＝BE－DE，‎ 即AC＝BD.‎ ‎(2)连接OA，OC，由(1)可知OE⊥AB且OE⊥CD，‎ ‎∴CE＝＝＝2 ，‎ AE＝＝＝8，‎ ‎∴AC＝AE－CE＝8－2 .‎ ‎13．(1)确定点D的位置略　(2，－2)‎ ‎(2)⊙D的半径为2 ‎14．解：(1)BC∥MD.‎ 理由：∵∠M＝∠D，∠M＝∠C，‎ ‎∴∠D＝∠C，∴BC∥MD.‎ ‎(2)∵AE＝16，BE＝4，‎ ‎∴OB＝＝10，∴OE＝10－4＝6.‎ 连接OC，如图①.‎ ‎∵CD⊥AB，∴CE＝CD.‎ 在Rt△OCE中，∵OE2＋CE2＝OC2，‎ 即62＋CE2＝102，‎ ‎∴CE＝8，∴CD＝2CE＝16.‎ ‎(3)如图②，∵∠M＝∠BOD，∠M＝∠D，‎ ‎∴∠D＝∠BOD.‎ 又∵AB⊥CD，∴∠D＝×90°＝30°.‎ ‎15．解：(1)如图①，设E是桥拱所在圆的圆心，过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交⊙E于点D，则F是AB的中点，AF＝FB＝AB＝40米，‎ EF＝ED－FD＝AE－DF.‎ 由勾股定理知AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(AE－DF)2.‎ 设⊙E的半径是r，则r2＝402＋(r－20)2，‎ 解得r＝50.‎ 即桥拱的半径为50米．‎ ① ② ‎(2)这艘轮船能顺利通过这座拱桥．‎ 理由：如图②，设MN与DE交于点G，‎ GM＝30米．在Rt△GEM中，‎ GE＝＝＝40(米)．‎ ‎∵EF＝50－20＝30(米)，‎ ‎∴GF＝GE－EF＝40－30＝10(米)．‎ ‎∵10米＞9米，‎ ‎∴这艘轮船能顺利通过这座拱桥．‎ ‎[素养提升]‎ 解：(1)∵OD⊥BC，∴BD＝BC＝×6＝3.‎ ‎∵∠BDO＝90°，OB＝5，BD＝3，‎ ‎∴OD＝＝4，‎ 即线段OD的长为4.‎ ‎ ‎ ‎(2)存在，DE的长度保持不变．理由：连接AB，如图．‎ ‎∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝5，‎ ‎∴AB＝＝5.‎ ‎∵OD⊥BC，OE⊥AC，‎ ‎∴D和E分别是线段BC和AC的中点，‎ ‎∴DE＝AB＝，其长度保持不变．‎ ‎2.4　过不共线三点作圆 一、选择题 ‎1．已知O为△ABC的外心，若∠A＝80°，则∠BOC的度数为(　　)‎ A．40° B．80° C．120° D．160°‎ ‎2．下列说法错误的是(　　)‎ A．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 B. 三角形的外心到三角形三边的距离相等 C. 三角形的外心一定在三角形一边的垂直平分线上 D. 三角形任意两边的垂直平分线的交点，是这个三角形的外心 ‎3．下列命题中正确的有(　　)‎ ‎①过两点可以作无数个圆；②经过三点一定可以作圆；③任意一个三角形都有外接圆，而且只有一个外接圆；④任意一个圆有且只有一个内接三角形．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎4．若一个三角形的外心在这个三角形的一边上，则这个三角形是(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 ‎5．小颖同学在手工制作中，把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为(　　)‎ A．2 cm B．4 cm ‎ C．6 cm D．8 cm ‎6．A，B，C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则(　　)‎ A．可以画一个圆，使点A，B，C都在圆周上 B. 可以画一个圆，使点A，B在圆周上，点C在圆内 C. 可以画一个圆，使点A，C在圆周上，点B在圆外 D. 可以画一个圆，使点A，C在圆周上，点B在圆内 ‎7．2017·仙桃如图K－15－1所示，坐标平面上有A(0，a)，B(－9，0)，C(10，0)三点，其中a＞0，若∠BAC＝100°，则△ABC的外心在(　　)‎ 图K－15－1‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题 ‎8．在联欢晚会上，有A，B，C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩一个游戏要求在他们中间放一个木凳，使他们抢坐到凳子的机会相等，则凳子应放在△ABC的三条________线的交点最适当. ‎ ‎9．若AB＝4 cm，则过点A，B且半径为3 cm的圆有________个．‎ ‎10．由正方形的四个顶点和它的中心这五个点能确定________个不同的圆．‎ ‎11．已知一个等边三角形的外接圆的半径为1，则圆心到三角形的边的距离为________．‎ ‎12．如图K－15－2，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，分别以点A，C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧分别交于点E，F，直线EF与AD相交于点O，若OA＝2，则△ABC的外接圆的面积为________．‎ 图K－15－2‎ ‎13．2017·宁夏如图K－15－3，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过点A，B，C的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为________．‎ 图K－15－3‎ 三、解答题 ‎14．某市要承办一项大型比赛，在市内有三个体育馆承接所有比赛，现要修建一个运动员公寓，使得运动员公寓到三个体育馆的距离相等，若三个体育馆的位置如图K－15－4所示，那么运动员公寓应建立在何处？请你作出图形并加以说明．‎ 图K－15－4‎ ‎15．如图K－15－5所示，等腰三角形ABC的顶角∠A＝120°，BC＝12 cm，求它的外接圆的直径．‎ ‎ 图K－15－5‎ ‎16．2017·临沂如图K－15－6，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.‎ ‎(1)求证：DE＝DB；‎ ‎(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．‎ 图K－15－6‎ ‎17．如图K－15－7，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC，BD交于点E，延长DA，CB交于点F，且∠CAD＝60°，DC＝DE.‎ 求证：(1)AB＝AF；‎ ‎(2)点A为△BEF的外心(即△BEF外接圆的圆心)．‎ 图K－15－7‎ 素养提升　　　　　　　　　　　‎ 联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫作此三角形的准外心．例：已知PA＝PB，则点P为△ABC的准外心(如图K－15－8①)．‎ ‎(1)如图②，CD为等边三角形ABC的边AB上的高，准外心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度数；‎ ‎(2)如图③，若△ABC为直角三角形，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，准外心P在AC边上，试求PA的长．‎ 图K－15－8‎ 参考答案 ‎1．[解析] D　∵O为△ABC的外心，∠A＝80°，∴∠BOC＝2∠A＝160°.故选D.‎ ‎2．[解析] B　三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以到三个顶点的距离相等．‎ ‎3．[解析] B　①③正确，②缺少“不在同一直线上的三点”的条件，④任意一个圆有无数个内接三角形．‎ ‎4．B　5.B ‎6．[解析] D　∵A，B，C是平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，∴AB＋BC＝AC，∴可以画一个圆，使点A，C在圆上，点B在圆内．‎ ‎7．[解析] D　∵B(－9，0)，C(10，0)，‎ ‎∴△ABC的外心在直线x＝上．‎ ‎∵∠BAC＝100°，‎ ‎∴△ABC的外心在三角形的外部，‎ ‎∴△ABC的外心在第四象限．‎ ‎8．垂直平分 ‎9．[答案] 2‎ ‎[解析] 这样的圆能画2个．如图，作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3 cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以3 cm为半径作圆，则⊙O1和⊙O2为所求圆．‎ ‎10．5‎ ‎11．[答案] 0.5　‎ ‎[解析] 如图，连接OC.‎ ‎∵△ABC是圆的内接正三角形，∴∠OCD＝30°.‎ 又∵OD⊥BC，OC＝1，‎ ‎∴OD＝OC＝0.5.‎ ‎12．[答案] 4π ‎[解析] ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，‎ ‎∴AD垂直平分BC.‎ ‎∵分别以点A，C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧分别交于点E，F，‎ ‎∴EF垂直平分AC.‎ ‎∵直线EF与AD相交于点O，‎ ‎∴点O为△ABC外接圆的圆心，‎ ‎∴AO为△ABC外接圆的半径，‎ ‎∴△ABC的外接圆的面积为4π.‎ ‎13．[答案] 5‎ ‎[解析] 如图，分别作AB，AC的中垂线，两直线的交点为O，‎ 以O为圆心、OA长为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的圆．‎ 由图可知，⊙O还经过点D，E，F，G，H这5个格点．‎ 故答案为5.‎ ‎14．解：连接AB，AC，分别作AB，AC的垂直平分线MN，FD，交点G即为运动员公寓所建立的位置．图略．‎ ‎15．解：如图，过点A作直径AD，交BC于点E，连接OC.‎ ‎∵AB＝AC，∴＝，‎ ‎∴AD垂直平分BC，‎ ‎∴EC＝BC＝6 cm.‎ ‎∵∠BAC＝120°，‎ ‎∴∠OAC＝60°.‎ 又∵OA＝OC，‎ ‎∴△OAC为等边三角形，‎ ‎∴∠AOC＝60°.‎ 在Rt△OEC中，sin∠EOC＝，‎ ‎∴OC＝＝4 (cm)，‎ ‎∴它的外接圆的直径为8 cm.‎ ‎16．解：(1)证明：∵BE平分∠ABC，AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴∠DBC＝∠BAE.‎ ‎∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE，‎ ‎∴∠DBE＝∠DEB，‎ ‎∴DE＝DB.‎ ‎(2)连接CD，如图所示．‎ 由(1)得＝，‎ ‎∴CD＝BD＝4.‎ ‎∵∠BAC＝90°，‎ ‎∴BC是直径，‎ ‎∴∠BDC＝90°，‎ ‎∴BC＝＝4 ，‎ ‎∴△ABC外接圆的半径＝×4 ＝2 .‎ ‎17．证明：(1)因为DC＝DE，‎ 所以∠DEC＝∠ACD，‎ 则∠ABF＝∠ADC＝120°－∠ACD＝120°－∠DEC＝120°－(60°＋∠ADE)＝60°－∠ADE，‎ 而∠F＝60°－∠ACF.‎ 因为∠ACF＝∠ADE，‎ 所以∠ABF＝∠F，所以AB＝AF.‎ ‎(2)四边形ABCD内接于⊙O，‎ 所以∠ABD＝∠ACD.‎ 又DE＝DC，所以∠ACD＝∠DEC＝∠AEB，‎ 所以∠ABD＝∠AEB，所以AB＝AE.‎ 又因为AB＝AF，所以AB＝AF＝AE，‎ 即点A是△BEF的外心．‎ ‎[素养提升]‎ 解：(1)①若PB＝PC，连接PB，‎ 则∠PCB＝∠PBC.‎ ‎∵CD为等边三角形ABC的高，‎ ‎∴AD＝BD，∠PCB＝30°，‎ ‎∴∠PBD＝∠PBC＝30°，‎ ‎∴PD＝DB＝AB.‎ 与已知PD＝AB矛盾，‎ ‎∴PB≠PC.‎ ‎②若PA＝PC，连接PA，则∠PCA＝∠PAC.‎ ‎∵CD为等边三角形ABC的高，‎ ‎∴AD＝BD，∠PCA＝30°，‎ ‎∴∠PAD＝∠PAC＝30°，‎ ‎∴PD＝DA＝AB.‎ 与已知PD＝AB矛盾，‎ ‎∴PA≠PC.‎ ‎③若PA＝PB，由PD＝AB，得PD＝BD，‎ ‎∴∠BPD＝45°，故∠APB＝90°.‎ ‎(2)①若PB＝PA，设PA＝x.‎ ‎∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，‎ ‎∴AC＝12，则CP＝12－x，‎ ‎∴x2＝(12－x)2＋52，‎ 解得x＝，即PA＝.‎ ‎②若PA＝PC，则PA＝6.‎ ‎③若PC＝PB，由图知，在Rt△PBC中，不可能存在此种情况．‎ 综上所述，PA＝或PA＝6.‎ ‎2.5直线与圆的位置关系 一、选择题(每题3分，共24分)‎ ‎1．已知圆的半径为6 cm，如果一条直线和圆心的距离为6 cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是(　　)‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相离 ‎2．如图3－G－1，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，切点为A，PO＝26，PA＝24，则⊙O的半径为(　　)‎ 图3－G－1‎ A．9 B．8 C．10 D．12‎ ‎3．如图3－G－2，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠ABO＝20°，则∠C的度数是(　　)‎ 图3－G－2‎ A．70° B．50° C．45° D．20°‎ ‎4．如图3－G－3，已知△ABC的内心为I，∠BIC＝130°，则∠A的度数为(　　)‎ 图3－G－3‎ A．60° B．65° C．80° D．70°‎ ‎5.如图3－G－4，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，若∠OAB＝30°，则∠APB的度数为(　　)‎ 图3－G－4‎ A．60° B．90° C．120° D．无法确定 ‎6．已知⊙O的半径为1，圆心O到直线l的距离为2，过直线l上任一点A作⊙O的切线，切点为B，则线段AB长的最小值为(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ ‎7．如图3－G－5所示，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD，AB＝2，OD＝3，则BC的长为(　　)‎ 图3－G－5‎ A. B. C. D. ‎8．如图3－G－6，点P在⊙O的直径BA的延长线上，PC与⊙O相切，切点为C，点D在⊙O上，连接PD，BD，已知PC＝PD＝BC.下列结论：①PD与⊙O相切；②四边形PCBD是菱形；③PO＝AB；④∠PDB＝120°.其中正确的个数是(　　)‎ 图3－G－6‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ 二、填空题(每题4分，共24分)‎ ‎9．已知点M到直线m的距离是3 cm.若⊙M与直线m相切，则⊙M的直径是________．‎ ‎10．如图3－G－7，△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，AB是⊙O的直径，要使EF为⊙O的切线，还需要添加一个条件：________(写出一个即可)．‎ 图3－G－7‎ ‎11．如图3－G－8所示，∠MAB＝30°，P为AB上的点，且AP＝6，⊙P与AM相切，切点为M，则⊙P的半径为________．‎ 图3－G－8‎ ‎12．如图3－G－9，已知⊙O是△ABC的内切圆，分别切BC，AC，AB于点D，E，F，△ABC的周长为24 cm，BC＝10 cm，则AE＝________cm.‎ 图3－G－9‎ ‎13．如图3－G－10，在三角板ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，O为AB上一点，⊙O的半径为1，现将三角板平移，使AC与⊙O相切，则AO＝________.‎ 图3－G－10‎ ‎14．如图3－G－11，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A，B，点A的坐标为(，0)，⊙M的切线OC与直线AB交于点C，则∠ACO＝________°.‎ 图3－G－11‎ 三、解答题(共52分)‎ ‎15．(10分)如图3－G－12，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，以R为半径画圆，若⊙C与AB相交，求R的取值范围．‎ 图3－G－12‎ ‎16．(10分)如图3－G－13，已知AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E.‎ 求证：(1)DE是⊙O的切线；‎ ‎(2)CD2＝CE·CB.‎ 图3－G－13‎ ‎ 17．(10分)如图3－G－14，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D.‎ ‎(1)求证：△ADC∽△CDB；‎ ‎(2)若AC＝2，AB＝CD，求⊙O的半径．‎ 图3－G－14‎ ‎18．(10分)如图3－G－15，已知I是△ABC的内心，延长AI交BC于点D，交外接圆O于点E.‎ 求证：(1)IE＝EC；‎ ‎(2)IE2＝ED·EA.‎ 图3－G－15‎ ‎19．(12分)如图3－G－16所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边交于点D，E为BC边的中点，连接DE.‎ ‎(1)求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎(2)连接OE，AE，当∠CAB为多少度时，四边形AOED是平行四边形？请说明理由，并在此条件下求出sin∠CAE的值．‎ 图3－G－16‎ 参考答案 ‎1．B　2.C　3.B　4.C ‎5．A　[解析] ∵∠OAB＝30°，∴∠PAB＝90°－30°＝60°.又∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∴∠APB＝180°－60°－60°＝60°.‎ ‎6．C ‎7．A　[解析] ∵BC∥OD，∴∠B＝∠DOA.又∵∠ACB＝∠DAO＝90°，∴△ABC∽△DOA，∴＝，解得BC＝.‎ ‎8．A　[解析] ①连接CO，DO，∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO＝90°.在△PCO和△PDO中，‎ ‎∵∴△PCO≌△PDO(SSS)，∴∠PCO＝∠PDO＝90°，又∵点D在⊙O上，∴PD与⊙O相切，故①正确；‎ ‎②由①得∠CPB＝∠DPB，‎ 在△CPB和△DPB中，‎ ‎∵，∴△CPB≌△DPB(SAS)，∴BC＝BD，∴PC＝PD＝BC＝BD，∴四边形PCBD是菱形，故②正确；‎ ‎③连接AC，∵PC＝CB，∴∠CPB＝∠CBP.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.在△PCO和△BCA中，∵∴△PCO≌△BCA(ASA)，∴AC＝CO，∴AC＝CO＝AO，∴∠COA＝60°，∴∠CPO＝30°，∴CO＝PO＝AB，∴PO＝AB，故③正确；‎ ‎④∵四边形PCBD是菱形，∠CPO＝30°，∴DP＝DB，∴∠DPB＝∠DBP＝30°，∴∠PDB＝120°，故④正确．正确的有4个，故选A.‎ ‎9．6 cm　[解析] ∵点M到直线m的距离是3 cm，⊙M与直线m相切，∴⊙M的半径是3 cm，∴⊙M 的直径是6 cm.‎ ‎10．答案不唯一，如∠CAE＝∠B ‎11．3　[解析] 连接PM，在Rt△APM中，PM＝AP＝3.‎ ‎12．2　[解析] ∵⊙O是△ABC的内切圆，分别切BC，AC，AB于点D，E，F，设AF＝AE＝x，BD＝BF＝y，CE＝CD＝z，根据题意，得解得x＝2，∴AE＝2 cm.‎ ‎13.　[解析] 设AC与⊙O相切于点D，连接OD.在Rt△ABC中，∠A＝90°－∠B＝90°－30°＝60°.∵AC是⊙O的切线，∴OD⊥AC，且OD＝1.在Rt△OAD中，sinA＝，∴OA＝＝＝.‎ ‎14．30　[解析] ∵AB＝2，OA＝，∴cos∠BAO＝＝，∴∠OAB＝30°，∴∠OBA＝60°.∵OC是⊙M的切线，∴∠BOC＝∠BAO＝30°，∴∠ACO＝∠OBA－∠BOC＝30°.‎ ‎15．解：过点C作CD⊥AB于点D.‎ ‎∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，‎ ‎∴由勾股定理得AB＝＝＝5.‎ 由三角形面积公式得AC·BC＝AB·CD，‎ ‎∴CD＝＝＝2.4，‎ ‎∴当2.4＜R＜4时，⊙C与AB相交．‎ ‎16．证明：(1)连接OD.‎ ‎∵D是AC的中点，O是AB的中点，‎ ‎∴OD∥BC，‎ ‎∴∠CED＝∠ODE＝90°，∴OD⊥DE.‎ 又∵OD是⊙O的半径，‎ ‎∴DE是⊙O的切线．‎ ‎(2)连接DB.∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB＝∠CDB＝90°.‎ 在△CDB和△CED中，∠C＝∠C，∠CDB＝∠CED＝90°，∴△CDB∽△CED，‎ ‎∴＝，∴CD2＝CE·CB.‎ ‎17．解：(1)证明：连接CO.‎ ‎∵CD与⊙O相切于点C，‎ ‎∴∠OCD＝90°.‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠ACO＝∠BCD.‎ ‎∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAD，‎ ‎∴∠CAD＝∠BCD.‎ 在△ADC和△CDB中， ‎∴△ADC∽△CDB.‎ ‎(2)设CD＝x，则AB＝x，OC＝OB＝x.‎ ‎∵∠OCD＝90°，∴OD＝＝＝x，‎ ‎∴BD＝OD－OB＝x－x＝x.‎ 由(1)知△ADC∽△CDB，∴＝，‎ 即＝，解得CB＝1，‎ ‎∴AB＝＝，‎ ‎∴⊙O的半径是.‎ ‎18．证明：(1)连接IC.∵I是△ABC的内心，‎ ‎∴∠ACI＝∠BCI，∠BAE＝∠CAE.‎ 又∵∠BAE＝∠BCE，∴∠CAE＝∠BCE.‎ ‎∴∠CAE＋∠ACI＝∠ICB＋∠BCE.‎ ‎∴∠EIC＝∠ICE.∴IE＝EC.‎ ‎(2)由(1)可知∠CAE＝∠BCE.‎ 又∵∠AEC＝∠DEC，∴△DCE∽△CAE.‎ ‎∴＝.∴EC2＝ED·EA.‎ ‎∵IE＝EC，∴IE2＝ED·EA.‎ ‎19．解：(1)证明：连接OD，BD.‎ 易知△BDC是直角三角形，且E为BC的中点，‎ ‎∴ED＝EB，‎ ‎∴∠EDB＝∠EBD.‎ 又∵OD＝OB，且∠EBD＋∠DBO＝90°，‎ ‎∴∠EDB＋∠ODB＝90°，即OD⊥DE.‎ 又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．‎ ‎(2)当∠CAB＝45°时，四边形AOED是平行四边形．‎ 理由如下：∵OA＝OD，∠CAB＝45°，∴∠ADO＝45°，∴∠AOD＝90°.‎ 由(1)知∠ODE＝90°，∴DE∥AO.‎ ‎∵O，E分别为AB，BC的中点，∴OE∥AD，‎ ‎∴四边形AOED是平行四边形．‎ 过点E作EH⊥AC于点H.设BC＝2k，‎ 易得EH＝k，AE＝k，‎ ‎∴sin∠CAE＝＝.‎ ‎2.6 弧长与扇形面积 一、选择题 ‎1.如图，某商标是由三个半径都为R的圆弧两两外切得到的图形，则三个切点间的弧所围成的阴影部分的面积是（    ） ‎ A. （-π）R2                B. （+π）R2                C. （-π）R2                D. （+π）R2‎ ‎2.如图是小李上学用的自行车，型号是24英吋（车轮的直径为24英吋，约60厘米），为了防止在下雨天骑车时的泥水溅到身上，他想在自行车两轮的阴影部分两侧装上挡水的铁皮（两个阴影部分分别是以C、D为圆心的两个扇形），量出四边形ABCD中∠DAB=125°、∠ABC=115°，那么预计需要的铁皮面积约是（　　） ‎ A. 942平方厘米                 B. 1884平方厘米                 C. 3768平方厘米                 D. 4000平方厘米 ‎3.钟面上的分针的长为1，从3点到3点30分，分针在钟面上扫过的面积是（  　） ‎ A.                                           B.                                           C.                                           D. ‎ ‎4.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，以AB为直径的⊙O与CD相切于E，与BC相交于F，若AB=4，AD=1，则图中两阴影部分面积之和为（　　） ‎ A.                                      B. 2-1                                     C.                                      D. ‎ ‎5.如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=，以BC的中点E为圆心的弧MPN与AD相切，则图中阴影部分的面积为（       ） ‎ A. π                                      B. π                                      C. π                                      D. ‎ ‎6.用半径为6cm、圆心角为120°的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（   ） ‎ A. 2cm                                     B. 3cm                                     C. 4cm                                     D. 6cm ‎7.如图，⊙O的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A，B，C，D不重合），过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为（    ） ‎ A.                                          B.                                          C.                                          D. ‎ ‎8.一个圆锥的侧面展开图形是半径为8 cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（   ） ‎ A. cm                                  B. cm                                  C. 3 cm                                  D. cm ‎9.若一个扇形的半径是18 cm，且它的弧长是12π cm，则此扇形的圆心角等于（   ） ‎ A. 30°                                      B. 60°                                      C. 90°                                      D. 120°‎ ‎10.一个钢管放在V形架内，如图是其截面图，测得P点与钢管的最短距离PB=25cm，最长距离PA=75cm．若钢管的厚度忽略不计，则劣弧的长为（　　） ‎ A. πcm                            B. 50πcm                            C. πcm                            D. 50πcm 二、填空题 ‎11.已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则它的半径为________． ‎ ‎12.如图，用一个半径为R，圆心角为90°的扇形做成一个圆锥的侧面，设圆锥底面半径为r，则R：r=________  ‎ ‎13.已知扇形的圆心角是120°，半径是6，则它的面积是________ ‎ ‎14.已知扇形的圆心角为120°,弧长等于一个半径为5cm的圆的周长,则扇形面积为________cm2 ． ‎ ‎15.圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为________  ‎ ‎16.如图，半径为6的⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则劣弧BD的长是________ （结果保留π）． ‎ ‎17.以A为圆心，半径为9的四分之一圆，与以C为圆心，半径为4的四分之一圆如图所示放置，且∠ABC=90°，则图中阴影部分的面积为________． ‎ ‎18.已知扇形的圆心角为120°，弧长为10πcm，则扇形的半径为________cm． ‎ 三、解答题 ‎19.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A=30°，BC=2，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F． （1）求劣弧PC的长；（结果保留π） （2）求阴影部分的面积．（结果保留π）． ‎ ‎20.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）． （1）画出△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1OB1 ． （2）填空：点A1的坐标为               ． （3）求出在旋转过程中，线段OB扫过的扇形面积． ‎ ‎21.如图，秋千拉绳长AB为3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面2米（左右对称），请计算该秋千所荡过的圆弧长（精确到0.1米）？ ‎ ‎22.如图，在△ABC中，AB=AC．分别以B、C为圆心，BC长为半径，BC下方画弧，设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD．若BC=6，∠BAC=50，求弧ED，弧FD的长度之和（结果保留π）． ‎ 参考答案 一、选择题 ‎1.A 2.B 3.A 4.D 5.D 6.A 7.C 8.A 9.D 10.A ‎ 二、填空题 ‎11. 9 12.4：1 13.12π 14.75π 15.18 16. 17.π﹣36 18. 15 ‎ 三、解答题 ‎19.解：（1）∵点D是AB的中点，PD经过圆心， ∴PD⊥AB， ∵∠A=30°， ∴∠POC=∠AOD=60°，OA=2OD， ∵PF⊥AC， ∴∠OPF=30°， ∴OF=OP， ∵OA=OC，AD=BD， ∴BC=2OD， ∴OA=BC=2， ∴⊙O的半径为2， ∴劣弧PC的长==； （2）∵OF=OP， ∴OF=1， ∴PF=， ∴S阴影=S扇形﹣S△OPF=﹣×1×=﹣． ‎ ‎20.解：（1）△A1OB1如图所示； ‎ ‎ （2）点A1（-2，3）； （3）由勾股定理得，OB=， ∴线段OB扫过的扇形面积=． ‎ ‎21.解：由题意得，BE=2m，AC=3m，CD=0.5m， 作BG⊥AC于G，则AG=AD﹣GD=AC+CD﹣BE=1.5m， 由于AB=3，所以在Rt△ABG中，∠BAG=60°， 根据对称性，知∠BAF=120°， 故秋千所荡过的圆弧长是=2π≈6.3（米）． ‎ ‎22.解：∵AB=AC，∠BAC=50°， ∴∠ABC=∠ACB=65°， ∵BD=CD=BC， ∴△BDC为等边三角形， ∴∠DBC=∠DCB=60°， ∴∠DBE=∠DCF=55°， ∵BC=6，∴BD=CD=6， ∴弧ED的长度=弧FD的长度==； ∴弧ED，弧FD的长度之和为+=． ‎ ‎2.7正多边形与圆 一．选择题 ‎1．（2015•广州）已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（　　）‎ A．3 B． 9 C． 18 D． 36‎ ‎2．（2015•成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（　　）‎ A．2， B． 2，π C． ， D． 2，‎ ‎（2） （3） （4） （6） （7）‎ ‎3．（2015•杭州）如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．（2015•随州）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（　　）‎ A．R2﹣r2=a2 B． a=2Rsin36° C． a=2rtan36° D． r=Rcos36°‎ ‎5．（2015•包头）已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（　　）‎ A．2 B． 3 C． 4 D． 6‎ ‎6．（2015•金华）如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于G、H，则的值是（　　）‎ A． B． C． D． 2‎ ‎7．（2015•肥城市一模）如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（　　）‎ A． cm B． cm C． cm D． 1cm ‎8．（2015•雅安校级一模）已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（　　）‎ A．1：2： B． 2：3：4 C． 1：：2 D． 1：2：3‎ 二．填空题 ‎9．（2015•营口）圆内接正六边形的边心距为2，则这个正六边形的面积为　　　cm2．‎ ‎10．（2015•宁夏）如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣1，0），则点C的坐标为　　　　　　．‎ 11． ‎（2015•铁岭）如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为　　　　　　．‎ ‎（10） （11） （13）‎ ‎12．（2015•普陀区一模）正八边形的中心角等于　　　　　　度．‎ ‎13．（2015•江宁区一模）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠CAD=　　　　　　度．‎ 三．解答题 ‎14．（2012秋•合川区校级期末）如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半径．‎ ‎15．（2013秋•吴中区校级期末）如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧上（不与C点重合）．‎ ‎（1）求∠BPC的度数；‎ ‎（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．‎ ‎16．（2013秋•钦南区校级月考）已知：如图，⊙O的半径为2，正方形ABCD，A′B′C′D分别是⊙O的内接正方形和外切正方形．求两正方形的面积比S内：S外．‎ ‎17．（2013秋•雁塔区校级月考）将正六边形纸片按下列要求分割（每次分割纸片不得剩余）‎ 第一次：将正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形．（后面就依次用剩下的正六边形按上述方法分割…）‎ ‎（1）请画出第一次分割示意图；‎ ‎（2）若原正六边形的面积为a，请你将第一次，第二次，第三次分割后所得的正六边形的面积填入下表：‎ 分割次数（n）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ 正六边形的面积S ‎（3）猜想：分割后所得的正六边形的面积S与分割次数n有何关系？（S用含a和n的代数式表示）‎ 参考答案 一．选择题 ‎1．C．2．D．3．B．4．A．5．B．6．C．7．A．8．D．‎ 二．填空题 ‎9．　24　10．（，﹣）　．11．　54°　12．　45　13．　36‎ 三．解答题 ‎14．解：过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，‎ ‎∵正三角形ABC内接于⊙O，∴点O即是三角形内心也是外心，‎ ‎∴∠OBD=30°，BD=CD=BC=AB=，‎ ‎∴cos30°===，解得：BO=2，‎ 即⊙O的半径为2cm．‎ ‎（14） （15） （16）‎ ‎15．解：（1）连接OB，OC，‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，∴∠BOC=90°，∴∠P=∠BOC=45°；‎ ‎（2）过点O作OE⊥BC于点E，‎ ‎∵OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OBE=45°，∴OE=BE，‎ ‎∵OE2+BE2=OB2，‎ ‎∴BE===4‎ ‎∴BC=2BE=2×4=8．‎ ‎16．解：如图，连接OA，作OM⊥AD于点M．‎ ‎∵⊙O的半径为2，‎ ‎∴OA=2，‎ ‎∴OM=OA=，‎ ‎∴AB=2OM=2，A′B′=2OA=4，‎ ‎∴S内：S外=AB2：A′B′2=（AB：A′B′）2=（2：4）2=（）2=．‎ ‎17．解：‎ ‎；‎ ‎（2）S1=a S2=a S3=a；‎ ‎（3）Sn=（）n a．‎