湘教版九年级数学下册第2章圆

第 2 章 圆 2.1 圆的对称性 观察下面图形，它们有什么特点 这就是圆的一种原型． 圆 是到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形 . 探究学习 1、什么是圆？ · O A 定长叫作 半径 . 这个定点叫作 圆心 . 圆 也可以看成是一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形，定点叫作 圆心 . 定点与动点的连线段叫作 半径 . 如图 , 点 O 是圆心 . 以点 O 为圆心的圆叫作圆 O ，记作 ⊙ O . E F 2、圆中有关概念： · O D C 连结圆上任意两点的线段叫作 弦 . 如图，线段 CD 是一条弦 . 经过圆心的弦叫作 直径 . 如 图线段 EF 是⊙ O 的一条直径，线段 EF 的 长 度 也称为 直径 . 直径是最长的弦 · O A B M · 圆上任意两点间的部分叫作 圆弧， 简称 弧 . 如图圆 O 上两点 A ， B 间的小于半圆的部分 叫作 劣弧， 用符号 “⌒” 表示 . 记作： AB A ， B 间的大于半圆的部分叫作 优弧， 记作： AMB 其中M是圆上一点 。 A 3、点与圆的位置关系： · O P M B A 观察点B、P、M与圆的位置回答问题： （1）点与圆的位置关系有几种情况？ （2）用图形怎么叙述？ （3）用数量怎么叙述？ 设点和圆心距离为 d ，圆的半径为 r （1） 点 P 在 圆内 （2）点 B 在圆上 （3）点 M 在圆外 dr 1 、用一块硬纸板和一张薄的白纸分别画一个圆，它们的半径相等，把白纸放在硬纸板上面，使两个圆的圆心重合，观察这两个圆是否重合？ 能够重合 的两 个圆 叫作相等 的圆， 或等圆 4、圆的对称性： 现在用一根大头针穿过这两个圆的圆心，让硬纸板保持不动，让白纸绕圆心旋转任意角度，观察旋转后，白纸上的圆是否仍然与硬纸板上的圆重合？ 这体现圆具有什么样的性质？ 圆是旋转对称图形，即圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合 . 特别 地，圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 . 2. 在白纸的圆上面画任意一条直径，把白纸沿着这条直径所在的直线折叠．观察圆的两部分是否互相重合？ · O A B C D E 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴 这体现圆具有什么样的性质？ 思考： 弦AB与直径CD有什么关系？ 如图， CD 是⊙ O 的任意一条直径， A 是⊙ O 上任意一点， 过点 A 作 CD 的垂线，与⊙ O 交点 B ， A 和 B 关于 CD 对称。 直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线． 1.下述命题是否正确？为什么？ （ 1 ）平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦； （ 2 ）圆只有一条对称轴 . 正确 错 课时练习 （3）圆的任意一条弦是圆的对称轴。 错 （4）圆的直径是弦，圆中任意弦也是圆的直径。 错 （5）圆既是中心对称图形，又是轴对称图形。 正确 2、自行车的车轮是圆形，为什么？ 车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的 半径，坐车 的人会感觉到非常 平稳 , 这 是车轮都做成圆形的数学道理． 3、已知⊙ O 的半径是5cm，线段OA=6cm，则A点 在⊙ O 。 4、已知Rt ∆ABC，∠C=90º，BC=3cm，AB=5cm， 以C为圆心，4cm长为半径作 ⊙C，则顶点A在圆 。 外 上 6、已知 ⊙ O 的半径为 5 cm ，弦 AB 的 长 为6 cm ，求圆心到 AB 的 距离 . 圆心到 AB 的距离为 4 ㎝ 5、在 ∆ ABC 中，∠ ACB =90º，∠ A =40º， 以 C 为圆心， BC 为半径的圆交 AB 于 D 点， 则∠ ACD = . 7、已知半径为 3 cm 的⊙ O 中 ， 有一条AC与直径AB成 60º的角， 试求点O到弦AC的距离及AC的长。 8、如图，一水平放置的圆形水管内水面的宽度是16分米，水的最大深度是4分米，求水管的直径。 40º · A B O D · B A C D · C B A D O A B C D · 课堂小结 1 、圆的概念是什么？ 到 一定点 的距离等于 定长 的 所有点 组成的图形叫做圆 。 一个动点绕一个定点 旋转一周 所形成的图形，叫做圆。 2、圆对称性： 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 圆是轴对称图形，对称轴是圆的任意一条直径。 圆还是旋转对称图形。 因为圆绕着圆心旋转 任意一 个角度，都与自身重合。 3、点与圆的位置关系： 设点 P 和 圆心距离为 d ，圆的半径为 r （1） 点 P 在 圆内 （2） 点 P 在 圆上 （3） 点 P 在 圆外 dr 第 2 章 圆 2.2 圆心角、圆周角 本节内容 2.2.1 圆心角 知识回顾 1 、圆的概念是什么？ 2、 圆的对称性 ： C · O A B 圆上任意两点间的部分叫作 圆弧， 简称 弧 . 如图圆 O 上两点 A ， B 间的小于半圆的部分 叫作 劣弧， 用符号 “⌒” 表示 . 记作： AB A ， B 间的大于半圆的部分叫作 优弧， 记作： AMB 其中M是圆上一点 。 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 · O A B 如图，∠ AOB 是怎样构成的？ ∠ AOB 叫作AB所对的 圆心角. AB叫作圆心角∠ AOB 所对的弧． 两条半径所形成的角叫 圆心角 。 在生活中，我们常遇到圆心角， 如飞靶中有圆心角，还有手表中的 时针与分针所成的角也是圆心角． 下面所示的 角， 哪个是圆心角？ · A · B · C · D 概念学习 合作探究 圆心角、弦、弧的关系 1、实验操作： 在两张透明的纸上，分别作半径相等的⊙ O 和⊙ O ' ， 在 ⊙ O 和⊙ O ' 中，作圆心角 ∠ AOB 和∠ A ' O ' B ' ， 连接 AB 和 A'B', 将两张纸重叠， 使 ⊙ O 和⊙ O ' 重合。 当 ∠ AOB =∠ A ' O ' B ' 时 ，弦 AB A 'B' ， 2、探究思考： · O A B · O' A' B' AB A 'B' = = 3、在同一圆中，∠ AOB= ∠ COD 由旋转不变性得：AB=CD， AB=CD ∠ AOB= ∠ COD AB=CD AB=CD 结论： 在同圆或等圆中，如果圆心角相等， 那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等. · O C B D A · O C B A D 议一议 在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弧相等吗？你能讲出道理吗？ 在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弦也相等吗？你能讲出道理吗？ ∠ AOB= ∠ COD AB=CD AB=CD ∠ AOB= ∠ COD AB=CD AB=CD 在 同圆或等圆 中， 如果两个 圆心角 ，两条 弧 ，两条 弦 中有 一组量相等 ， 那么它们所对应的其余 各组都分别相等 。 n º 的圆心角对着 n º 的弧， n º 的弧对着 n º 的圆心角。 圆心角的度数与它所对弧的度数相等。 小知识 2、已知⊙ O 的半径是 5 cm ，弦 AB 长是 5 cm ， 则圆心角∠ AOB= . 60 º 3、在 ∆ABC中， ∠ A CB=90 º，以C为圆心，CA为半径 的圆交AB于D，且AD= 70 º，则 ∠B= . 35 º 例1 、如图在 ∆ABC中， ∠C=90 º， ∠B=28 º， 以C为圆心，CA为半径的圆交AB于D， 交BC于E，求AD，DE的度数。 解 ：连结CD , ∠A=90 º- 28 º= 62 º ∠ACD=180 º - 62 º×2= 56 º ∠ECD=34 º ∴AD= 56 º， DE= 34 º · E D C B A 4、如图， AB 是⊙ O 的直径 ，D，C 是 AB 的三等分点， 连结 AD、DC、CB, 求∠ DCB 的大小。 提示：证明 ∆ AOD 、∆ DOC 、∆ COB 是 等边三角形， ∠ DCB= 120 º 5、如图，已知 AB 、 CD 是⊙ O 的两条直径， BE 是⊙ O 的一条弦，点 C 是 AE 的中点， 且 BE = BD ，求∠ AOD 的度数。 7 4 ∠ EOB= 40 º， ∠ AOC= ∠ COE= ∠ DOB= 70 º ∠ AOD =110 º · C D B A O · E D C B A O 6、如图，已知 CD 是⊙ O 直径，圆心角∠ AOB= 30 º， 弦 CA // OB ，求 ∠ BOD 的度数 。 7、如图， AB 是⊙ O 直径， AC = CD ，∠ COD= 60 º， （1）求证：∆ AOC 是等边三角形 。 （2）求证： OC//BD · C D B A O · C D B A O 由CA//OB， ∠ AOB= 30 º， 得 ∠ CAO= ∠ ACO= 30 º ∴∠ AOC= 120 º ∴∠ AOD= 60 º ∴∠ BOD= 30 º （1）仿第4题得证 （2）∆ AOC≌ ∆ BOD ∴∠ AOC= ∠ DBO= 60 º ∴ OC//BD 1. 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 2. 在 同圆或等圆 中， 如果两个 圆心角 ，两条 弧 ，两条 弦 中有 一组量相等 ， 那么它们所对应的 其余各组都 分别 相等 。 课堂小结 3 . 圆心角 的度数与它所对弧的度数相等。 练 习 巩 固： 练习第 1 、 2 题 作 业 布 置 ： 习题 2.2 第 1 、 2 题 圆周角 (1) 本节内容 2.2.2 3、如图，已知∠BOC=80° ， ① 求AB弧的度数 ； ② 延长BO交⊙O于点A，连结AC，求∠C的度数。 80° 40° 1. 圆心角的定义 ? 顶点在圆心的角叫圆心角. O B C · 2. 圆心角、弧、弦三个量之间关系 在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦 有 一 组量相等，那么它们所对应的其余两 个 量 都分别相等。 O B C · A 动脑筋 圆心角的顶点发生变化时 , 我们得到几种情况 : O B C · O B C · A A A 圆周角 回忆 你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗 ? O B C · A 顶点在圆上 , 并且 两边都和圆相交 的角叫 圆周角 . 特征： ① 角的顶点在圆上 . ② 角的两边都与圆相交 . 辨一辨 判别下列各图形中的角是不是圆周角，为什么？ · O · O · O · O · O 不是 不是 不是 不是 是 指出图中的圆周角。 找一找 · A B C D E O A 圆周角性质定理： 1、画一个圆心角,然后再画同弧所对的圆周角. 2 、一 条弧所对的圆周角有多少个 ? 圆心角呢 ? 一条弧所对的圆周角有 无数个 。 圆心角只有 一个 。 O B C · A A A 圆周角 与同弧所对的 圆心角 有什么关系？ 结论 : 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 . 圆周角的度数就等于所对弧度数的一半。 例题与练习 1 、如 图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB =______ 。 2 、 如图，在直径为 AB 的半圆中， O 为圆心， C 、 D 为半圆上的两点，∠ COD=50 0 ，则∠ CAD=_________ 3 、 在圆 O 中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为 (2x+100) 0 和 (5x-30) 0 ，则这条弧的度数为 ____ 4 、 如图，已知∠ACB=20°， 则∠AOB= ，∠OAB= 。 · O A B C 40 ° 70 ° 130° 25° 140 ° 5 . 如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC. · O C B A ∠ BAC= 0.5 ∠BOC ∠ AOC=2∠BOC ∠ ACB=2∠BAC 证明： ∠ ACB= 0.5∠ AOB 6 、 已知，⊙ O 的弦 AB 长等于圆的半径，求该弦所对的圆心角和圆周角的度数。 · O C B A ∠AOB=60° ∠ACB=30° D ∠ A D B =150° 7 、 如图 ，在⊙ O 中 ， AB 是直径 ， 半径CO⊥AB, D是CO的中点 ， DE // AB ， 求 ∠ABE的度数. · A B E O D C ∠ABE=15 ° 8 、 AB、AC为⊙O的两条弦 ，延长 CA到D，使AD=AB ，如果 ∠ADB=35°，求∠BOC的度数。 · O D C B A 9 、 如图，在⊙O中，BC=2DE， ∠ BOC=84°，求∠ A的度数。 ⌒ ⌒ · O D C B A E ∠A=21 ° ∠BOC=140 ° 课堂小结 1 、 圆周角的定义 。 顶点在圆上 , 并且 两边都和圆相交 的角叫 圆周角 . 特征： ① 角的顶点在圆上 . ② 角的两边都与圆相交 . 2 、圆周角定理及其定理应用。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 . 方法上主要学习了圆周角定理的证明，渗透 了 “ 特殊到一般 ” 的思想方法和 分类讨论 的思想方法。 本节内容 2.2.2 圆周角 (2) 1 、 圆周角的定义 。 顶点在圆上 , 并且 两边都和圆相交 的角叫 圆周角 . 特征： ① 角的顶点在圆上 . ② 角的两边都与圆相交 . 2 、圆周角定理及其定理应用。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 . 知识回顾 1. 如图，在⊙ O 中，∠ BAC=32º ，则∠ BOC=________ 。 64º 130º A O C B A O C B 2、如图，⊙O中，∠ACB = 1 15 º， 则∠AOB=______。 问题1 、如图，在 ⊙ O 中, ∠B、∠D、∠E 的 大小有什么关系?为什么? B A C D E O ∠B = ∠ AOC 2 1 ∠B=∠D=∠E 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 ； 反之 ，相等的圆周角所对的弧也相等。 ∠ D= ∠ AOC 2 1 ∠ E= ∠ AOC 2 1 问题 2 、 如图 ， BC 是 ⊙ O 的直径 ， A 是 ⊙ O 上任一点 ， 你能确定 ∠ BAC 的度数吗 ? · O A C B ∠B O C= 180 º 2 1 ∠BAC = ∠ B O C =90º 问题 3 、 如图，圆周角∠ BAC =90 º ， 弦 BC 经过圆心 O 吗？为什么？ 直径（或半圆）所对的圆周角是直角； 90° 的圆周角所对的弦是直径。 1 、如图，点 A 、 B 、 C 、 D 在同一个圆上，四边形的 对角线把 4 个 内角 分成 8 个 角，这些角中哪些是相等的角？ · D C B A 8 5 6 3 2 4 7 1 ∠ 2=∠7 ∠ 1=∠4 ∠ 3=∠6 ∠ 5=∠8 2、如图，⊙ O 直径 AB 为10cm，弦 AC 为6cm，∠ ACB 的平分线交⊙ O 于 D ，求 BC、AD、BD 的长． · O D C B A ∵ AB 是直径， ∴ ∠ ACB = ∠ ADB =90 ° 在Rt△ ABC 中，由勾股定理BC=8cm ∵ CD 平分∠ ACB ，∠ ACD = ∠ BCD ∴ AD=BD= AB = 5 √ 2 cm √2 2 3.如图，你能设法确定一个圆形纸片 的圆心 吗？你有多少种方法？与同学交流一下．   4、在⊙ O 中，∠ CBD =30 °,∠ BDC =20°, 求∠ A. · O D C B A ∠BAC=∠BDC ∠DAC=∠DBC ∠ A = ∠BAC+∠DAC =∠BDC+∠DBC = 2 0° + 3 0 ° =5 0° 5、已知：如图，在△ABC中，AB=AC ， 以AB为直径的圆交BC于D ， 交AC于E ， 求证： BD=DE ⌒ ⌒ · A B C E D 证明 ： 连结 AD. ∵ AB 是圆的直径 ∴∠ ADB=90° ， ∴ AD⊥BC ∵ AB=AC ， ∴ AD 平分∠ BAC ，即∠ BAD=∠CAD ， ⌒ ⌒ ∴ BD = DE （同圆或等圆中，相等的圆周角 所对弧相等） 。 课外练习 1 、如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD 、BD 分别交⊙O于E、F，比较∠ BAC 与 ∠ BDC 的大小， 并说明理由。 · O A B C D F E 连结 CF ， ∠ B F C 是△CDF的一个外角。 ∴∠ B FC > ∠ BDC ， 又 ∠ BAC = ∠ B F C ∴∠ B AC > ∠ BDC ， 也可连结FC，证法相同 2、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，那么你能得到什么结论？ A B C D O E （ 1 ） AE = BE ， AC = BC ， AD = BD （ 2 ） AC = BC ，∠ CAB = ∠ABC = ∠ADC ， ∠ ACE =∠BCE =∠DAB （ 3 ） BC 2 = AC 2 = CE · CD ， AD 2 = DE · DC BE 2 = AE 2 = DE · CE 课堂小结 一、知识点： 圆周角 顶点在圆上 两边都和圆相交 圆周角性质定理 一条弧所对的圆周角，等于该弧所对的圆心角的一半。 推论： 1、在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。 2、直径或半圆所对的圆周角是直角； 90º 的圆周角的所对的弦是直径。 二、体现的数学思想： 由 特殊到一般 和 分类讨论 的思想。 三、方法思考 ： 1 、证明题的思路寻找方法 ； 2 、等积式的证明方法 ； 3 、添辅助线的方法。 第 2 章 圆 2.3 垂径定理（ 1 ） 回顾导入 1 、什么叫轴对称图形？ 2 、圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 圆 是 轴对称图形 ，其 对称轴 是任意一条 直径 （过圆心的直线）。 1300 多年前 , 我国隋朝建造的赵州石拱桥 ( 如图 ) 的桥拱是圆弧形 , 它的 跨度 ( 弧所对的弦的长 ) 为 37.4m, 拱高 ( 弧的中点到弦的距离 , 也叫弓形高 ) 为 7.2m, 求桥拱的半径 ( 精确到 0.1m). 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD ，使CD⊥AB，垂足为E． 你能发现图中有那些相等 的线段 和弧？为什么？ CD 为⊙ O 的 直径 CD ⊥AB 条件 结论 AE=BE ⌒ ⌒ AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦 ，并且 平分弦对的两条弧。 应用垂径定理的书写步骤 ∵ CD是 直径 , CD ⊥AB, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. · O A B C D E · O A B C D └ M 是否符合垂径定理的条件，主要看两点 ： 一 是直径 ； 二 是要与弦垂直。 注意几个基本图形： (1)、(2)、(3)、(4) 在下列图形，符合垂径定理的条件吗？ E O A B D C (1) E O A B C (2) E O A B D (3) E O A B (4) E O A B D C (5) E O A B D C (6) E O A B D C (7) 例 1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。 解： 连结OA ∴AE= AB=4 2 1 ∵OE AB于E. ┴ OE=3 由勾股定理得： ∴OA= √ AE 2 +OE 2 = 5 圆心到弦的距离、半径、弦的一半 构成 直角 三角形 ，便将问题转化为直角三角形的问题。 E · A B O 37.4 7.2 D C B A O 18.7 R-7.2 R 解决“赵州桥”问题： 如图，OA=OC= R ， OD=OC - CD= R - 7.2 AB=18.7 AD 2 +OD 2 =OA 2 即：18.7 2 +(R-7.2) 2 =R 2 R ≈27.9(m) 答：赵州桥的主桥拱半径约为 27.9m. 3、已知：如图所示，在以O为圆心的两个同心圆中 ， 大圆 的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC=BD. · · A B C D O 证明 ： 过O点，作OE AB ┴ E ∴AE=BE，CE= DE , AE-CE=BE- DE , ∴AC=BD 4、已知⊙ O 的半径为13cm，该圆的弦AB ∥ CD，且AB=10cm，CD=24cm，求弦AB和弦CD之间的距离。 O · A B C D E F 解： 如图，过 O 作OF AB ，交AB于F， 交CD于 E， ┴ ∴AB ∥ CD ∴OE CD ┴ 在Rt ∆OCE中，OE=5cm 在Rt ∆OAF中，OF=12cm ∴EF=OF-OE=7cm C D E 弦AB、CD在圆心两侧时，EF=OE+OF=17cm 1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是 。 2 √3cm 2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 。 8cm 3．半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是 。 2 √3cm 4.弓形的弦长AB为24cm，弓形 的高CD 为8cm，则这弓形所在圆的半径为      . 13cm 巩固练习 E B A O E B A O E O A B 12 8 6、如图，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，若AB=10cm，PB=4cm，OP=5cm，则⊙O的半径等于 cm。 7、已知， M 是⊙ O 内一点，已知过点 M 的 ⊙ O 最长的弦为10cm，最短的弦长为8cm ， 则 OM =_____ cm. C 7 3 5、如图，AC⊥BO ， AC=8cm，BA=5cm， 则⊙ O 的半径为 ， AC 的弦心距为 。 6 25 cm 6 7 cm C D B A 9、求证：同圆中，两平行弦所夹得弧相等。 · O D C B A 已知， AB , CD 是⊙O的两条弦， 且AB ∥ CD，求证：AC=BD 8、在直径为650毫米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示。若油面宽AB＝600毫米，求油的最大深度。 · B A 课堂小结 请围绕以下两个方面小结本节课： 1 、 从知识上学习了什么？ 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧。 2 、 从方法上学习了什么？ （1 ）垂径定理是圆中一个重要的结论,叙述语言要准确, 一条直线只要 满足①过圆心；②垂直于弦； 则可得 ③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 （2 ) 垂 径定理 和 勾股定理 有机结合计算弦长、半径、弦心 距等 问题 的方法，构造直角三角形 （3）解决有关弦的问题时，经常 ① 连结半径； ② 过圆心作一条与弦垂直的线段 等辅助线，为应用 垂径 定理创造 条件 。 第 2 章 圆 2.3 垂径定理（ 2 ） 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 结论 （ 3 ）平分弦 （ 4 ）平分弦所对的优弧 （ 5 ）平分弦所对的劣弧 回顾导入 条件 （ 1 ）过圆心 （ 2 ）垂直于弦  CD⊥AB,  CD 是直径 , 条件  AM=BM, 结论 ⌒ ⌒ AD =BD. ⑤ ⌒ ⌒ AC =BC, ④ ● O A B C D └ M 探究 一、 AB 是⊙ O 的一条弦（非直径 ），且 AM = BM ，过点 M 作 直径 CD . 你发现图中有哪些等量关系 ? 说说你的想法和理由 . ② CD ⊥ AB , 由 ① CD 是直径 ③ AM = BM 可推得 ⌒ ⌒ ④ AC = BC , ⌒ ⌒ ⑤ AD = BD . ● O C D M A B ┗ · Ｏ A B D C （ E ） （不是直径） 连接 OA , OB , 则 OA = OB . ∴△ OAM ≌△ OBM . ∴∠ AMO = ∠ BMO . ∴ CD ⊥ AB ∵⊙ O 关于直径 CD 对称 , ⌒ ⌒ AC 和 BC 重合 , ⌒ ⌒ AD 和 BD 重合 . ⌒ ⌒ ∴ AC = BC , ⌒ ⌒ AD = BD , 平分弦 的 直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧． 推论1： 探究二： AB是⊙O的一条弦,且AM=BM。且CD⊥AB 于点M，CD与圆心有何位置关系？还有什么结论？ 为什么？ ②CD⊥AB于M, ① CD 是直径 ③ AM=BM 可推得 ⌒ ⌒ ④ AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤ AD=BD. 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 推论2： 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备 （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分 弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论 找到本质： ● O C M A B ┗ D 1、判断正误： （ 1 ）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 （ 2 ）平分弦的直线，必定过圆心。 （ 3 ）一条直线平分弦（这条弦不是直径 ）， 那么这条 直线垂直这条弦。    · A B C D O (1) · A B C D O (2) · A B C D O (3) （ 4 ）弦 的垂直平分线一定是圆的直径。 （ 5 ）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。 （ 6 ）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。    · A B C O (4) · A B C D O (5) · A B C D O (6) E 2.已知A、B、C是⊙O上三点，且AB=AC，圆心O 到BC 的距离 为 3 厘米，圆的半径为5厘米，求AB长。 D D · O C B A C · O B A 3.如图，已知圆O的直径AB与弦CD相交于G，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，且圆O的半径为10㎝，CD=16 ㎝，求AE-BF的长。 · O G F E D C B A OD=3 OB=5 BD=4 AD=8 AB=4 √5 AB=2 √5 M 解：连结OC，过点O作OM⊥CD于M， 则CM=MD∵CD=16，CM=8， 在Rt△OMC中，因OC=10∴OM=6 ∵ AE⊥CD ， BF⊥CD ， OM⊥CD ，∴ AE∥OM∥BF AE OM AG OG = BF OM BG OG = AE-BE OM AG-BG OG = = 2OG OG =2 AE-BF=2OM=12 4 . 如图，某地有一圆弧形拱桥，桥下水面宽为7.2米 ，拱顶 高出水面2.4米。现有一艘宽3米、船舱顶部 为长方形 并高出水面2米的货船要经过这里，此货船 能顺利 通过这座拱桥吗？ N M B A O D C F E H r 如图，将问题转化为数学问题。 AB=7.2，CD=2.4 由垂径定理：AD=3.6 HN=1.5 设圆弧的半径OA为r，OD=r-2.4 在Rt△OAD中，由勾股定理，得: r ≈3.9（m） 在Rt△ONH中，由勾股定理，得 ：OH= √ON 2 -NH 2 = √3.9 2 -1. 5 2 = 3.6 ∴ DH=OH-OD=3.6-1.5=2.1>2 ∴此货船能顺利通过这座拱桥 . 1、判断： (1) 垂直 于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的 两条弧. （ ） (2) 平分 弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所 对的另一条弧. （ ） (3) 经过 弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ） (4) 圆 的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. (5) 弦 的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ） 2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD, 直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F. 图中相等的线段有 : . 图中相等的劣弧有 : . .  √ √  √ · O D C B A N M E F AE=EB CF=FD ⌒ ⌒ CN=ND. ⌒ ⌒ AC=BD. ⌒ ⌒ AM=BM. 3、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点，且OP=3cm, 则过P点的弦中， （1）最长的弦= cm （2）最短的弦= cm （3）弦的长度为整数的共有（ ） A、2条 B 、3条 C、4条 D、5条 · O P B A D C C 4、如图，⊙O的直径为10，弦AB=8, P为AB上的一个动点，那么OP长 的 取值范围 是 。 3cm≤OP≤5cm 5、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8, 点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）, 连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于E, OF⊥BP于F ，EF = 。 · O B A P C 4 F · O B A E P 10 8 6、已知⊙O的半径为5cm，弦AB的 长为 8cm，求此弦的中点到这条弦所 对的 弧的中点的距离。 · O B A E D E 7、如图所示,⊙O的直径长4cm， C是AB的中点，弦AB、CD交于点P， CD=2 √3cm ， 求∠APC的度数。 · O E B A C D P F 8、如图，CD为圆O的直径，弦AB交 CD于E，∠ CEB=30°，DE=9㎝， CE=3㎝，求弦AB的长。 · O E D C B A F DE=2cm 8cm ∠APC = ∠ COF=60° 由条件：DC=12，OC=6，OE=OC - EC=3 ∠ CEB=30°=∠ FEO OF=1.5 2 3 √15 AF= √OA 2 - OF 2 = √6 2 - 1. 5 2 = 3 √15 AB=2AF= 9.如图,圆O与矩形ABCD交 于E、F、G、H,EF=10 ， HG=6 ， AH=4 ， 求BE的长. · O D C B A F H G E N M 10、如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦 ， C 、D是直线AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等腰三角形。 E · O B A D C 11、已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD，求证：EC＝DF D E · O C B A F BE =2 M 作OE⊥CD，AE=BE ∵ AC ＝ BD ∴CE=BE ∴△OCE≌△ODE. ∴OC=OD 作OM⊥CD，∵AE⊥CD，BF⊥CD ∴AE∥OM∥BF ∵OA=OB，∴EM=MF ∵CM=MD，∴EC=DF 1、垂径定理及推论： 对于一个圆和一条直线来说，如果具备 （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （ 4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论 2、垂径定理及其推论和勾股定理 相结合，方程的思想 来解决问题。 · O d r h 2 a 对于一个圆中的弦长 a 、圆心到弦的距离 d 、圆半径 r 、弓形高 h ，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有： （1） r=d+h 2 a （2） r 2 = d 2 +( ) 2 第 2 章 圆 2.4 过不共线三点作圆 问题情境 · a b c d 小明不小心将妈妈的圆形化妆镜打碎 了（如图），他想“破镜重圆”， 应该拿哪一块去维修店修复？ 过一点可作几条直线？过两点可以作几条直线？过三点呢？ A A B 1 、若 三点共线 ，则过这三点只能作一条直线 . B C A B A C 2 、若 三点不共线 ，则过这三点 不能 作直线，但过其中 任意两点 一共可作三条直线 . 直线公理: ： 两点确定一条直线 · · 对于一个圆来说 , 过 几个点 能 作一 个圆 , 并且 只能作一个圆？ 1、过一点能作几个圆？ · · · A 经过一个已知点能作 无数个 圆 B A 2、过两点能作几个圆？ · · · · 经过两个已知点能作 无数个 圆 以平面上除 A 点外的 任意一点 为 圆心，任意长 为半径作圆。 以线段 AB 的 垂直平分线 上的 任意一点 为 圆心 ，这点到 A 或 B 的 距离为半径 作圆 . 3、过三点能作几个圆？ （1）三点共线： B C A （不能作圆） 因为 DE ∥ FG ，所以没有交点， 即 没有过这三点的圆心 D E G F （ 2 ）三点不共线 B A C 已知：不在同一直线 上的三点 A 、 B 、 C 求 作：⊙ O ， 使它经过 A 、 B 、 C 如何确定圆心、半径？ O · ∵ 直线 DE 和 FG 只有一个交点 O, 并且点 O 到 A,B,C 三个点的距离相等 , ∴ 经过点 A,B,C 三点可以作一个圆 , 并且只能作一个圆 . ∴ OA=OB=OC. 证明作图的合理性： 定理： 不在同一直线上的三点确定一个圆 D E F G · O A C B 1 .由定理可知： 经过三角形三个顶点可以作一个圆 . 并且 只能作一个圆 . 2 .经过三角形各顶点的圆叫做 三角形的外接圆 。 这个 三角形叫做 这个圆的内接三角形 。 3 .三角形外接圆的圆心叫做三角形的 外心 。 圆的内接 三角形 三角形的 外接圆 三角形的外心 三角形 外心就是三边 垂 直平分线 的交点。到 三角形三 个顶点距离相等。 三角形的外心是否一定在三角形的 内部 ？ · O · O · a b c d a 1、如何解决 “破镜重圆” 的问题： O · 2、为美化校园，学校要把一块三角形空地扩建成一个圆形喷水池，在三角形三个顶点处各有一棵名贵花树 (A 、 B 、 C ） ， 若不动花树，还要建一个最大的圆形喷水池， 请设计你的实施方案。 A B C 作三角形 的外接圆 想一想 ：过不共线的 四点 能作一个圆吗？ 1 ．已知点 A 、 B 分别在∠ MON 的边 OM 、 ON 上， 则经过点 A 、 O 、 B 能作圆的个数是 ． 1 个 2 ． 下列说法正确的是（ ） A ． 经过三点一定可以作圆。 B ． 任意一个圆一定有内接三角形，且只有一个内接三角形。 C ． 任意一个三角形一定有一个外接圆，且只有一个外接圆。 D ． 三角形外心到三角形三边的距离都相等。 C 3 ．下列条件，可以确定一个圆的是（ ） A ．已知圆心。 B ．已知半径长。 C．已知直径长。D．已知不在同一直线上的三点。 D 4 . 若三角形的三边长为 3 、 3 、 3 √2 ，其外接圆的面积为 ( ) A ． B ． C ． D ．无法确定 2 9 π 12 π 9 π A 练习 5 . 如图， OA=OB=OC ，且 ∠ ACB=30° ， 则 ∠ AOB 是 ( ) A.40° B.50° C.60° D.70° 6 . 如图，在平面直角坐标系中，点 A ， B ， C 的坐标分别为 (1 ， 4) ， (5 ， 4) ， (1 ， -2) ，则 △ ABC 外接圆的圆心坐标是 ( ) A.(2 ， 3) B.(3 ， 2) C .(1 ， 3) D.(3 ， 1) C B A O 7. 求边长为 a 的等边三角形的外接圆的半径. C D · O C B A D BD OB cos 3 0 ° = 8 . 在 △ ABC 中， AB=AC=13 ， BC=10 ， 试求这个三角形的外接圆的半径 . · O C B A 9 . 如图，⊙ O 是△ ABC 的外接圆，∠ B=60° ， OP⊥AC 于点 P ， OP=2 ，求⊙ O 的直径及AC边长。 D 作AD ⊥ BC，垂足为D， 连结OB ，AD =12 设半径为R，有：R 2 =5 2 +(12-R) 2 ∵ ∠ B=60° ∴ ∠ AOC = 12 0° ， ∴ ∠ AOP = 6 0° ， OP OA cos6 0° = ∴OA = 4 ， AP=2 √3 过两点可以作无数个圆 . 圆心 在以 已知 两 点 为 端点的 线段的垂直平分线上 . 实际问题 直线 公理 过一点可以作无数个圆 过三点 过在同一直线上的三点不能作圆 过不在同一条直线上的三点 确定一个圆。 外心、三角形外接圆、 圆的内接三角形 实际问题 作圆 引入 解决 类比 我学会了什么 ？ 第 2 章 圆 2.5 直线与圆的位置关系 本节内容 2.5.1 直线与圆 的位置关系 3、点和圆的位置关系有几种？ A B C O d d 设点到圆心的距离 d ， ⊙ O 的半径为 r 点 A 在圆内 点 B 在圆上 点 C 在圆外 OA < r OB = r OC > r 三种位置关系 1 、如图， O 是直线 l 外一点， A 、 B 、 C 、 D 是直线 l 上的点，且 OD⊥ l ， 线段 的长度是点 O 到直线 l 的距离。 D C B A O OD 2 、在下图画出点 P 到直线 AB 的垂线 段 P 问题： 直线与圆有几种位置关系？ r d 回忆 抽象探究 从海上日出抽象出哪些基本的几何图形？ 直线与圆的位置关系 可以分为哪几类？ l ( 地平线 ) ● O ● O ● O 你分类的依据是什么？ 一、直线与圆的位置关系 （用公共点的个数来区分） (1) 直线和圆有 两个 公共点 , 叫做直线和圆 相交, 这条直线叫 圆的割, 这两个公共点叫 交点。 (2) 直线和圆有 唯一 个公共点 , 叫做直线和圆 相切 , 这条直线叫 圆的切线 ， 这个公共点叫 切点 。 (3) 直线和圆 没有 公共点时 , 叫做直线和圆 相离。 ● O l ● O l A ● O l B A 二、直线和圆的位置关系（用圆 O 到直线 l 的距离 d 与圆的半径 r 的关系来区分） · O l A B · O l · O l A r d r d r d 直线和圆相交 d< r 直线和圆相切 d= r 直线和圆相离 d> r 判定直线 与圆的位置关系的方法有 ____ 种： （ 1 ）根据定义，由 ________________ 的个数来判断； 直线与圆的公共点 （ 2 ）根据性质，由 ________________ _ 的关系来判断。 圆心到直线的距离 d 与半径 r 两 1 、已知圆的直径为 13cm ，设直线和圆心的距离为 d ： 3) 若 d=8cm ，则直线与圆 ____, 直线与圆有 __ 个公共点 2) 若 d=6.5cm ，则直线与圆 _____, 直线与圆有 __ 个公共点 . 1) 若 d=4.5cm ，则直线与圆   , 直线与圆有 __ 个公共点 . 2 、已知⊙ O 的半径为 5cm , 圆心 O 与直线 AB 的距离为 d, 根据条件填写 d 的范围 : 1) 若 AB 和 ⊙ O 相离 , 则 ; 2) 若 AB 和⊙ O 相切 , 则 ; 3) 若 AB 和⊙ O 相交 , 则 。 相交 相切 相离 d > 5 cm d = 5 cm 0 cm≤ d< 5 cm 2 1 0 3、直线 l 和⊙ O 有公共点，则直线 l 与⊙ O （ ） A 、 相离； B 、 相切； C 、 相交； D 、 相切或相交。 D 例1： 在 Rt△ABC 中 ，∠ C=90° ， AC=3cm ， BC=4cm ， 以 C 为圆心 ， r 为半径的圆与 AB 有怎样的位置关系？为什么？ (1)r=2cm ； (2)r=2.4cm (3)r=3cm ． B C A 4 3 D 分析： 要了解 AB 与 ⊙ C 的位置关系，只要知道圆心 C 到 AB 的距离 d 与 r 的关系．已知 r ，只需求出 C 到 AB 的距离 d 。 CD=2.4cm 当 r=2cm 时 ， ⊙ C 与 AB 相离 当 r=2 .4 cm 时 ， ⊙ C 与 AB 相切 当 r= 3 cm 时 ， ⊙ C 与 AB 相交 例 2 设 ⊙ O 的圆心 O 到直线的距离为 d , 半径为 r ， d 、 r 是方程 (m+9)x 2 - (m+6) x +1=0 的两根 , 且直线与⊙ O 相切时 , 求 m 的值 ? 分析 : 直线与⊙ O 相切 d=r b 2 - 4ac=0 解 : 由题意可得 b 2 - 4ac= [ - (m+6)] 2 - 4(m+9)=0 解得 m 1 = - 8 m 2 = 0 当 m= - 8 时原方程 为 x 2 + 2 x+ 1 = 0 x 1 =x 2 = - 1 ( 不符合题意舍去 ) 当 m=0 时原方程 为 9 x 2 - 6 x+ 1 = 0 x 1 =x 2 = 3 1 ∴ m =0 例3、 已知 ⊙ A 的直径为 6 ，点 A 的坐标为 （ -3 ， -4 ） ，则 x 轴与⊙ A 的位置关系是 _____, y 轴与⊙ A 的位置关系是 _____ 。 相离 相切 思考：若⊙ A 要与 x 轴 相切 ，则⊙ A 该向上移动多少个单位？ 向上平移1个单位。 若⊙ A 要与 x 轴相交呢？ 向上平移的距离 : 1< d< 7 。 或7个单位。 1 、已知：圆的直径为 13cm ，如果直线和圆心的距离为以下值时，直线和圆有几个公共点？为什么？ (1) 4.5cm A 0 个； B 1 个； C 2 个； C 知识巩固 ( 2 ) 6 .5cm A 0 个； B 1 个； C 2 个； ( 3 ) 8 cm A 0 个； B 1 个； C 2 个； B A 2、如图 :AB=8 是大圆⊙ O 的弦 , 大圆半径为 R=5, 则以 O 为圆心 , 半径为 3 的小圆与 A B 的位置关系是 ( ) A 相离 B 相切 C 相交 D 都有可能 4 D 3 A B 5 · O · B 3 . 已知圆 O 的直径为 18cm , 圆心 O 到直线 l 的距离为 9cm, 直线 l 与圆 O 的位置关系是 . 相切 4 、 直线 l 与半径为 r 的 ⊙ O 相交 , 且点 O 到直线 l 的距离为 8 , 则 r 的取值范围是 . r >8 5 、 如图，已知 ∠ BAC=30 ° ， M 为 AC 上一点，且 AM=5cm ，以 M 为圆心、 r 为半径的圆与直线 AB 有怎样的位置关系？ (1) r=2cm (2) r=4cm (3) r=2.5cm D A B C M 2.5cm 相交 相切 相离 6 、 已知 ⊙ O 的半径 r=7cm ， 直线 l 1 // l 2 ， 且 l 1 与 ⊙ O 相切 , 圆心 O 到 l 2 的距离为 9cm. 求 l 1 与 l 2 的距离 . l 1 l 2 · O l 2 A B C 讨论题： 在 Rt△ABC 中， ∠ C=90° ， AC=5cm ， BC=12cm ， 以 C 为圆心， r 为半径作圆。 ①当 r 满足     时 ， 直线 AB 与⊙ C 相离。 ②当 r 满足     时，直线 AB 与⊙ C 相切。 ③当 r 满足    时，直线 AB 与⊙ C 相交。 ④当 r 满足 时 , 线段AB与 ⊙C只有一个公共点。 13 60 0 13 60 r= 或5