湘教版九年级数学下册第3章投影与视图

第 3 章 投影与视图 3.1 投影（ 1 ） ※ 日晷是我国古代测定时间的仪器， 看看它是怎样工作的： 太阳起了什么作用？ ※ 如图，在物体在日光或灯光的照射 下，在地面、墙壁等处会出现什么现 象？ 影子的出现 一、观察下列图片，说说影子是怎样形 成的？ 光线照射 二、观察下列图片，说说影子是怎样形 成的？ 出现在平面上 投影的定义： 用光线照射物体，在某个平面上 得到的影子叫做物体的投影。 1 、把下列物体与它们的投影用线连接 起来： 2 、把下列物体与它们的投影用线连接 起来： 下图是一块三角板在光线的照射下 形成的投影。 投影线 投影面 三、观察下列图片，你认为太阳光线有 什么特征？ 光线平行 平行光线形成的投影 平行投影 四、观察下列图片，你认为灯泡光线有 什么特征？ 光线发散 点光源形成的投影 中心投影 由平行光线形成的投影叫做平行 投影。 平行投影的定义： 由同一点 ( 点光源 ) 发出的光线形成 的投影叫做中心投影。 中心投影的定义： 平行光线 点光源 观察一块三角尺在光线照射下形 成的投影： 投影线集中于一点 中心投影 投影线互相平行 平行投影 平行投影与中心投影的区别与联系 区别 联系 平行投影 中心投影 物体与投影面平行时的投影 投射线 平行的 投射线 从一点出 发的投射 线 全等 放大 ( 位似变换 ) 都是物体在 光线的照射 下，在某个 平面内形成 的影子。 ( 即都是投影 ) 例 1 、如图的两幅图表示两根标杆在同 一时刻的投影。请在图中画出形成投 影的光线，它们是平行投影还是中心 投影？ 图 1 图 2 3 、 楼前有两根木杆，其中一根在太阳 光下的影子如图，请画出太阳光下另 一根木杆的影子。 4 、 学校靠墙边有甲乙两根木杆。请画 出乙木杆的在地面上和墙上的投影的 示意图。 乙 甲 墙 例 2 、学习投影后，小明、小颖利用灯光 下自己的影子长度来测量一路灯的高度， 并探究影子长度的变化规律。如图，在 同一时刻，身高为 1.60m 的小明 (AB) 的影 子 BC 长是 3m ，而小颖 (EH) 刚好在路灯 灯泡的正下方 H 点，并测得 HB=6m 。 B H B 1 C A 1 E A 例 2 、 (1) 请在图中画出形成影子的光线，并确 定路灯灯泡所在的位置 G ； (2) 求路灯灯泡的垂直高度 GH ； B H B 1 C A 1 E A 4、小明在上午上学和下午放学路上都 看不到自己的影子，则小明家在学校 的( ) A. 东边 B. 南边 C. 西边 D. 北边 5、小华在不同时间于天安门前拍了几 幅照片，下面哪幅照片是小华在下午 拍摄的？(天安门是坐北朝南的建筑) 小结 1. 投影的定义 2. 投影的分类 第 3 章 投影与视图 3.1 投影（ 2 ） 复习 1 、下列投影是平行投影的是 ( ) 太阳光下窗户的影子 B. 台灯下书本的影子 C. 在手电筒照射下纸片的影子 D. 路灯下行人的影子 2 、小华在距离路灯 6m 的地方，发现自 己在地面上的影子长是 2m ，如果小华 身高为 1.6m ，求路灯离地面的高度。 A B C D E 导入 ※ 下图表示一块三角尺在光线照射下的 投影，其中图 1 、图 2 、图 3 的投影线有 什么区别？ 图 1 图 2 图 3 中心投影 平行投影 新授 观察以下两种平行投影，它们有 什么不同 吗？ 图 2 图 3 投影线与投影面 倾斜 投影线与投影面 垂直 归纳 正投影的定义： 投影线垂直于投影平面的平行投 影叫做正投影。 探究 一、把一根铁丝 ( 记为线段 AB) 放三个 不同位置： 铁丝平行 于投影面 铁丝倾斜 于投影面 铁丝垂直 于投影面 探究 铁丝平行 于投影面 铁丝倾斜 于投影面 铁丝垂直 于投影面 A B A B B A AB=A 1 B 1 AB>A 2 B 2 线段成一点 A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 (B 3 ) 探究 二、把正方形硬纸板 ( 记为 ABCD) 放 三个 不同位置： 纸板平行 于投影面 纸板倾斜 于投影面 纸板垂直 于投影面 探究 纸板平行 于投影面 纸板倾斜 于投影面 纸板垂直 于投影面 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 A B A C D A 2 B 2 C 2 D 2 B C D A 3 (B 3 ) D 3 (C 3 ) 形状大小 不变 形状大小 变化 纸板成 一线段 归纳 正投影的投影性质： (1) 实形性： 直线 ( 平面 ) 投影反映实长 ( 实形 ) 平行于 投影面 (2) 类似性： 直线 ( 平面 ) 投影长度 ( 形状 ) 改变 倾斜于 投影面 (3) 聚集性： 直线 ( 平面 ) 投影积聚一点 ( 直线 ) 垂直于 投影面 巩固 1 、一条线段的正投影 ( ) A. 一条直线 B. 一条线段 C. 一条线段或一个点 D. 一条直线或一个点 2 、一个正方形的正投影可能会是什么 样的图形？ 范例 例 1 、画出如图摆放的正方体在投影面 P 上的正投影。 (1) 正方体的一个面 ABCD 平行 于 投影面 P( 图 1) A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 图 1 范例 例 1 、画出如图摆放的正方体在投影面 P 上的正投影。 (2) 正方体的一个面 ABCD 倾斜 于 投影面 P ，上 底 面 ADEF 垂直 于投影面 P ， 并且 上 底面的对角线 AE 垂直于投影面 P( 图 2) A B C D F 1 B 1 C 1 D 1 图 2 F G E A 1 G 1 归纳 正投影的性质： (1)当物体的某个平面平行于投影面时 ，这个 面的正投影与这个面的形状、 大小完全 相同； (2) 物体的正投影的形状、大小与它 相对 于投影面的位置有关。 上述规律也是画图方法 巩固 3、投影线的方向如图所示，画出图中 圆柱体的正投影： (1) (2) 范例 例 2 、一个圆柱形的轴截面平行于投影 面，圆柱形的正投影是一个边长为 10 的正方形，求圆柱形的体积和表面积。 巩固 4、一个圆锥的轴截面平行于投影面， 圆锥的正投影是边长为3的正三角形， 求圆锥的体积和表面积。 小结 1. 投影的定义 2. 投影的分类 3. 正投影的定义 第 3 章 投影与视图 3.2 直棱柱、圆锥的侧面展开图 做一做 图中左边的图形经过折叠能围成右边的棱柱吗？ 2. 棱柱特征 : 底面 侧棱 侧面 1. 棱柱有上下两个 底面，它们 的形状大小相同 . 2. 侧面的形状都是长方形 . 3. 侧面的个数和底面图形 的边数相等 . 4. 所有侧棱长都相等 . 以下哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱 ? ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 1. 你有办法将图形（ 1 ）、（ 3 ）修改后使能折叠成棱柱 ? 2. 图形（ 2 ）、（ 4 ）是不同的平面图形，折叠出同样的棱柱 , 从中你得到了什么启示？ 想一想 如图： ⑴ 长方体有 个顶点， 条棱， 个面，这些面的形状是 . ⑵ 哪些面的形状与大小一定完全相同？ ⑶ 哪些棱的长度一定相等？ 8 12 6 长方形 A B C D B 1 C 1 D 1 A 1 随堂练习 顶点（个） 棱 （条） 面 ( 个 ) 侧棱（条） 侧面（个） 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 …… n 棱柱 6 9 5 3 3 8 12 6 4 4 10 15 7 5 5 12 18 8 6 6 2 n 3n n+2 n n 棱柱的顶点、棱、侧棱、侧面数量之间的关系 1. 冰淇淋筒 展开 想一想 2. 长方形纸 折叠 将下面四个图形折叠，你能说出这些多面体的名称吗 ? 想一想 交流归纳： 有些立体图形 展开 平面图形 有些平面图形 折叠 立体图形 如图所示六棱柱，底面边长都是 5 ，侧棱长 4 。观察并回答问题： （ 1 ）这六棱柱共多少个面？它们分别是什么形状？哪些面 的形 状和面积完全相同？ （ 2 ）这六棱柱一共有多少条棱？它们的长度分别是多少？ 练习 你能为你的邻座设计一个能折叠成棱柱的平面图形吗？ 画出草图，让邻座来验证 . 课外练习 ⒈ 棱柱的主要特征有哪些？你是通过什么方法得到的 ? ⒉ 要做一个平面图形折叠成立体图形，应 注意什么？ 小结 第 3 章 投影与视图 3.3 三视图 猜猜他们是什么关系？ 情境引入 看事物不能只看单方面 在太阳底下你只看影子能判断出是什么实物吗 ? 猜一猜 在生活中我们应从不同角度，多方面地去看待一件事物，分析一件事情。 如何 制作小零件？ 王师傅 是零件厂的工人，今天我有事情拜托他，想让他给我制作一个如图所示的小零件，我如何准确的告诉他小零件的形状和规格呢？ 立体图可以很直观地表现物体的整体形状，可是却难以表示清楚物体各个表面的形状。可见，只用立体图和透视图表达设计作品是不够的。为了把物体完全表达清楚，人们采用了三视图。 当我们从某一个角度观察一个物体时 , 所 看到的图象叫做物体的一个 视图 在 正面 得到的 由前向后 观察物体的视图，叫 主视图 （ 从前面看 ） ； 一 个物体在 三个投影面 内同时进行 正投影 ，分别： 在 侧面 内得到 由左向右 观察物体的视图，叫 左视图 （ 从左面看 ） 在 水平面 内得到的 由上向下 观察物体的视图，叫 俯视图 （ 从上面看 ） ； 主 视 图 左 视 图 俯 视 图 圆柱的三视图： 三视图：把从正面看到的图叫做正视图，从左面看到的图叫做侧视图，从上面看到的图叫做俯视图。三者统称三视图 主视图 俯视图 左视图 高 长 宽 宽 三视图位置有规定， 主视图 要在 左上边 ，它 的 下方 应是 俯视图 ， 左 视图 坐落在 右边 大小：长对正,高平齐,宽相等. 主 视 图 左 视 图 俯 视 图 想一想 , 再动手画一画： 高平齐 : 主视图和左视图共同反映了物体上下方向的尺寸 . 主 视 图 左 视 图 俯 视 图 长对正 : 主视图和俯视图共同反映了物体左右方向的尺寸 . 主 视 图 左 视 图 俯 视 图 宽相等 : 俯视图和左视图共同反映了物体前后方向的尺寸 . 圆锥体 30 15 高平齐 长对正 宽相等 点不要漏画哦！ 主视图 左视图 俯视图 球的三视图： 可见轮廓线用 粗实线 绘制 三棱柱 的三视图： 1 、画出下列立体图形的三视图。 2 、指出左面三个平面图形是右面这个物体的三视图 中的 哪个视图。 （ ） （ ） （ ） 正视图 俯视图 左视图 随堂练习 正 视 图 左 视 图 俯 视 图 3. 四棱锥 的三视图： 4.找出图中每一物品所对应的主视图。 （ A ） （ B ） （ C ） （ D ） 小 结 三视图 正视图——从正面看到的图 侧视图——从左面看到的图 俯视图——从上面看到的图 画物体的三视图时,要符合如下原则: 位置： 正视图 侧视图 俯视图 大小：长对正,高平齐,宽相等. 基本几何体的三视图： （ 1 ） 正方体 的三视图都是 正方形 。 （ 2 ） 圆柱 的三视图中有两个是 长方形 ，另一个是 圆 。 （ 3 ） 圆锥 的三视图中有两个是 三角形 ，另一个是 圆 。 （ 4 ） 棱锥 的三视图中有两个是 三角形 ，另一个是 正方形 。 （ 5 ） 球体 的三视图都是 圆形 。 A C B D 侧视图 正视图 俯视图 下面三视图是表示哪个几何体？ 主视图 左视图 俯视图 给出的三视图表示什么立体图形？ 长方体 圆柱体 主 左 俯 例4： 根据所给的三视图描述物体的形状 物体是正六棱柱 正六棱柱正视图 . 正视图 × 正视图 解：这个零件由两部分构成： 上面一个是圆柱、下面一个 是长方体圆柱体置与长方体 的中央。 例5 正 视 图 左 视 图 俯 视 图 立体图形是三棱锥 1、 立体图形是圆台 圆台 2、 3 、右 图是由几个小立方体所搭几何体的俯视图， 小 正方形中的数字表示在 该 位置 小正方体的个数 。试画出这个几何 体的正视图与侧视图。 解法一： 先摆出这个几何体，再 画出它的正视图和侧视图。 正视图： 侧视图： 1 1 2 2 思考方法  先根据俯视图确定正视图有 列， 再根据数字确定每列的方块 有 个。（取最多个数） 1 1 2 2 正视图 ： 侧视图： 不用摆出这个几何体，你能画 出这个几何体的主视图与侧视图吗？ 解法二： 主视图有 列， 第一列的方块 有 个 , 第二列的方块 有 个 . 3 1 2 第三列的方块 有 个 . 1 侧视图有 列， 第一列的方块 有 个 , 第二列的方块 有 个 。 2 2 2 画几何体的三视图时，能看得见的轮廓线 或棱用实线表示，不能看得见的轮廓线 或棱用虚线表示 。 三视图之间的投影规律： 正视图与俯视图 ------ 长对正。 正视图与侧视图 ------ 高平齐。 俯视图 与侧视图 ------ 宽相等 。 1. 2. 3 . 空间想象能力 , 逆向思维能力 知识梳理