浙教版九年级数学下册第3章三视图与表面展开图

第 3 章 三视图与表面展开图 3.1 投影 1. 能结合具体例子说 明什 么是投影， 什么是投影线和投影面 等； 学 习 目 标 2. 理解平行投影和中心投影的概念 ； ( 重点、难点 ) 3. 通过例子来解释说明投影的分类. 观察下列图片你发现了什么共同点？ 图片引入 投影的概念 一 观察与思考 思考： 你知道物体与影子有什么关系吗？ 投影面 投影 投影线 照射光线叫做 投影 线，投影所在的平面叫做投影面． 一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的 投影 . 概念归纳 把下列物体与它们的投影用线连接起来： 练一练 平行投影与中心投影 二 有时光线是一组互相平行的射线，例如探照灯光的一束光中的光线 . 平行投影 由平行光线形成的投影叫做 平行投影 ． 例如，物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影）就是平行投影．日影的方向可以反映时间 ，我国古代的计时器日晷，就是根据日影来观测时间的． 例 1 ： 某校墙边有甲、乙两根木杆.已知乙杆的高度为 1.5m. (1) 某一时刻甲木杆在阳光下的影子如下 图， 你能画出此时乙木杆的影子吗？ （甲） （乙） A D D ' B E E ' (2) 当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？ （甲） （乙） A D D ' B E E ' (3) 在 (2) 的情况下 , 如果测得甲、乙木杆的 影子长分别 为 1.24m 和 1m, 那么你能求出甲木杆的高度吗 ? （甲） （乙） A D D ' B E E ' 解： 因为△ ADD' ∽△ BEE' , 所以， 所以，甲木杆的高度为 1.86m. 皮影戏是利用灯光的照射，把影子的影态反映在银幕（投影面）上的表演艺术． 皮影 例如：物体在灯泡发出的光照射下形成影子就是中心投影． 由 同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做 中心投影 ． 中心投影 请你分别指出下面的例子属于什么投 影 . （ 1 ）平行投影 （ 2 ）中心投影 （ 3 ）平行投影 （ 4 ）中心投影 练一练 例2 ： 确定下 图灯泡 所在的位置 . 解： 过一根木杆的顶端及其影子的顶端画一条直线，再过另一根木杆的顶端及其影子的顶端画一条直线，两线相交于点 O ，点 O 就是灯泡的位置 . O 平行投影和中心投影 小组讨论： 如图，平行投影和中心投影有什么区别和联系呢 ? 区别 联系 平行投影 投影线互相平行，形成平行投影 都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子 . （即都是投影） 中心投影 投影线集中于一点，形成中心投影 1 . 上图中 物体 的 影子， 不正确的是 ( ) A B C D B 当堂练习 2 . 小玲和小芳两人身高相同，两人站在灯光下的不同位置 ，已知 小玲的影子比小芳的影子长，则可以判定小芳离灯光较 ______. （填“远”或“近”） . 3 . 将一个三角形放在太阳光下，它所形成的投影的形状是 _______________ ． 近 三角形或线段 5 . 小亮在上午 8 时、 9 时 30 分、 10 时、 12 时四次到室外的阳光下观察广场的旗杆随太阳转动的情况，无意之中，他发现这四个时刻广场的旗杆在地面上的影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为（ ） A. 上午 12 时 B . 上午 10 时 C. 上午 9 时 30 分 D . 上午 8 时 D 4 . 晚上，人在马路上走过一盏路灯的过程中，其影子长度的变化情况是 ( ) A ．先变短后变长 B ．先变长后变短 C ．逐渐变短 D ．逐渐变长 A 6 . 小华在不同时间于天安门前拍了几幅照片，下面哪幅照片是小华在下午拍摄的？（天安门是坐北向南的建筑 . ） 7 . 确定图中路灯灯泡的位置，并画出小赵在灯光下的影子． √ 平行投影与中心投影 投影的概念 课堂小结 平行投影与中心投影 投影作图 第 3 章 三视图与表面展开图 3.2 简单几何体的三视图 3.2 简单几何体的三视图（ 1 ） 想一想： 长方体 按下图摆放，在平行光线下，它分别在水平投影面、侧投影面、正投影面三个相互垂直的平面上的正投影是什么图形？ ※ 我们把物体的正投影称为 视图 . ※ 物体在正投影面、侧投影面和水平投影面上得到的视图分别称为主视图、左视图和俯视图，它们统称为 三视图 . 产生主视图的投射线方向叫做 主视方向 想一想： 三视图的大小与物体的大小有怎样的联系？ 长 宽 高 长 宽 高 长对正 . 高平齐 . 宽相等 . ※ 三视图中的 “三等规则” . ※ 三视图中的 位置 . 主视图 俯视图 左视图 从左面看 到的图形 从上面看 到的图形 从正面看 到的图形 主视图 左视图 俯视图 主视图 俯视图 左视图 例 1 ： 一个长方体的立体图如图所示 , 长为 4 ，宽为 2 ，高为 3 ，请画它的三视图 . 主视方面 4cm 2cm 3cm 主视图 俯视图 左视图 4cm 3cm 2cm 3cm 2cm 4cm 点 E KN GF 矩形 OPQR B 长方体 和立方体都是直四棱柱。 图 3-19 课内练习 3. 主视图 左视图 俯视图 线段 DG 线段 IH 线段 EF 线段 DE 矩形 DIHG 作业题 2. 小结 : 1. 我们把物体的正投影称为视图 . 2. 物体在正投影面、侧投影面和水平投影面上得到的视图分别称为主视图、左视图和俯视图，它们统称为三视图 . 3. 画三视图应遵循的法则是 : 长对正、 高平齐、宽相等 . 4. 在画 三视 图时，我们一般先选择主视方向，画主视图，再把左视图画在主视图的右边，把俯视图画在主视图的下方 在 主视图、俯视图中都体现形体的长度，且长度在竖直方向上是对正的，我们称之为 长对正 。 在 主视图、左视图上都体现形体的高度，且高度在水平方向上是平齐的，我们称之为 高平齐 。 在 左视图、俯视图上都体现形体的宽度，且是同一形体的宽度，是相等的，我们称之为 宽相等 。 3.2 简单几何体的三视图 (2) (3) 1 、 三视图 主视图 —— 从正面看到的图 左视图 —— 从左面看到的图 俯视图 —— 从上面看到的图 2 、 画物体的三视图 时 , 要符合如下 原则 : 主视图 左视图 俯视图 大小： 长对正 , 高平齐 , 宽相等 . 温故而知新 位置： 你会画圆柱的三视图吗？试一试吧！ 试一试 主 视 图 左 视 图 俯 视 图 练习 ：下面的四组图，如图所示的圆柱体的三视图是（ ） 主视图 左视图 俯视图 A 主视图 左视图 俯视图 B 主视图 左视图 俯视图 C 主视图 左视图 俯视图 D B 例 4. 一个圆锥如图 , 底面直径为 8 cm , 高 6 cm , 按 1:4 比例画出它的三视图 . 主视图 左视图 俯视图 几何体 主视图 左视图 俯视图 圆柱、圆锥和球的三种视图如下表所示： 例 2 、 如图 , 一个蒙古包上部的圆锥部分和下部的圆柱部分的高都是 2 m , 底面直径为 3 m , 请以 1:200 的比例画出它的三视图 . 例 3 、 如图 , 一个六角螺帽毛坯底面正六边形的边长为 120mm, 高为 120mm, 内孔直径为 120mm. 画出这个六角螺帽毛坯的三视图 . 画某些实物的三视图时 , 若没有特殊的比例要求 , 可根据实际情况进行合理的缩放 , 但需在解题过程中予以标注 . 练习 1. 如图，下列关于物体的主视图画法正确的是 ( ) A B C D C 2. 如图是由四个相同的小立方块搭成的几何体，画出它的三视图（按立体图尺寸） 3. 如 图是一个多功能塞子，上部是直三棱柱（三棱柱的底面是等腰三角形），下部是圆柱，画出它的三视图（按立体图尺寸） 4 、 一截钢管如 图， 其内直径为 200 mm ，外直径为 260mm ，高为 300mm ，请选取适当的比例画出它的三视图。 主视图 左视图 俯视图 5 、 如图的物体是由两个圆锥组成，选取适当的比例画出该物体的三视图（单位： mm ）。 440 200 400 6 、如图是一个“凹”字形几何体，画出它的三视图（尺寸自选） 7 、从一个边长为 2cm 的大立方体上挖去一个小立方体（边长是大立方体的一半），得到的几何体如图所示，画出它的三视图（比例为 1 ： 1 ） 8 、如 图，粗线表示嵌在玻璃正方体内的一根铁丝，请画出该正方体的三视图： 与同伴交流你的看法和具体做法 . 主视图 左视图 俯视图 小结：三视图的画法 （ 1 ）先画主视图 , 在主视图正下方画出俯视图 , 注意与主视图 “长对正” ，在主视图正右方画出左视图，注意与主视图 “高平齐” ，与俯视图 “宽相等” . （ 2 ） 看得见 部分的轮廓线画成 实线 ，因被其他部分遮挡而 看不见 部分的轮廓线画成 虚线 . 说一说 1 、说出圆柱、圆锥、球、直三棱柱的三视图吗？ 2 、有没有三视图都一样的物体？ 3 、画三视图的规则如何？ 2. 圆锥的三视图分别是 , , . 1. 直三棱柱的三视图分别是 , , ； 4. 三视图都一样的几何体是 , . 立方体 球体 三角形 三角形 圆形 矩形 矩形 三角形 3. 圆柱的三视图分别是 _______,_______,_______. 矩形 矩形 圆形 填一填 第 3 章 三视图与表面展开图 3.3 由三视图描述几何图 圆锥 · 长方体 圆柱 四棱锥 课前回顾 基本几何体的三视图 直五棱柱 三棱锥 66 基本几何体的三视图 1. 柱体 —— 有两个视图是矩形 . 2. 锥体 —— 有两个视图是三角形 . 3. 台体 圆台 —— 有两个视图是等腰梯形 棱台 —— 有两个视图是梯形 4. 球 —— 三个视图都是圆 课前回顾 正视图 侧视图 俯视图 由立体图得到三视图 课前回顾 探究 1 那么怎样由三视图得到几何体呢？ 69 根据三视图说出立体图形的名称 想一想 如果第三个图形为 圆 ， 那么是 ______ ； 如果第三个图形为 n 边 形 , 那么是 _______ ； 一般地，三视图中有两个图形是 长方形 ，考虑是 _____; 柱体 圆柱 直 n 棱柱 归纳 一般地，三视图中有两个图形是 三角形 ， 考 虑是 锥体 如果第三个图形为 圆， 则 是 圆锥 ； 如果第三个图形为 n 边形， 则是 n 棱锥 . 归纳 下 列两图分别是两个简单组合体的三视图，想象它们表示的组合体的结构特征，并作适当描述 . 正视图 侧视图 俯视图 六棱锥与六棱柱的组合体 练习 （ 1 ） 正视图 侧视图 俯视图 举重杠铃 （ 2 ） 拓展提升 同学们，三视图还原立体图是中考的必考题，这极其考验学生的识图能力、判断能力和空间想象能力。多数同学普遍感到很棘手或根本没有办法想象得出。 今天我们就来介绍一种很奇妙的方法： 借助长方体将三视图还原成立体图 。 A 正视图 俯视图 侧视图 B C 拓展提升 某四面体的三视图如图所示，能不能画出该三视图对应的立体图呢？ 首先我们先画一个长方体。 步骤分析 接下来，在长方体底面画出俯视图，得到 A,B,C三个点 步骤分析 再根据三视图之间的关系来判断，哪些点会被拉伸，哪些点保持不动。 由俯视图与左视图宽相等可知， B点 保持不动， A，C 两点至少有一点被垂直拉伸 再来观察俯视图与主视图可知， A点被 拉伸至点 D，C点被拉伸至点E。 步骤分析 这样就得到了几何体的所有顶点，将各顶点连接起来，即可得到对应的立体图。 A B C D 首先画一个长方体 根据三视图之间的关系确定哪些点被拉伸，哪些点保持不动 。 将三视图 的俯视图放入长方体的底面 最后连接各个顶点 总结 答案：两个圆台组合而成的简单组合体。 主视图 左 视图 俯视图 1 、由三视图描述出立体图 达标测试 （ 1 ） 主视图 俯视图 左视图 （ 2 ） 答案：一个四棱柱和一个圆柱体组成的简单组合体。 2. 说出下面的三视图表示的几何体的结构特征，并画出其示意图 . 正视图 左视 图 俯视图 将一个长方体挖去两个 小长方体后剩余的部分 体验收获 今天我们学习了哪些知识？ 1 、简单几何体的三视图。 3 、借助长方体将三视图还原为立体图 2 、由三视图想象立体图。 第 3 章 三视图与表面展开图 3.4 简单几何体的表面展开图 展开图 第 1 课 时 杜登尼 (Dudeney,1857-1930 年 ) 是 19 世纪英国知名的谜题创作者．“蜘蛛和苍蝇”问题最早出现在 1903 年的英国报纸上，它是杜登尼最有名的谜题之一．它对全世界难题爱好者的挑战，长达四分之三个世纪． 想挑战世纪谜题吗 ? A B 挑战世纪谜题 A B ---- “ 蜘蛛和苍蝇”问题 在一 个长 、宽、高 分别为 3 米， 2 米， 2 米的长 方体房间内，一蜘蛛在一面的 中间 , 离 天花 板 0.1 米 处 ( A 点 ) ，苍蝇在对面墙的中间 , 离地面 0.1 米处 ( B 点 ), 试问 : 蜘蛛去捉苍蝇需要爬行的最短距离是多少 ? 立体图 平面图 转化 将立方体沿某些棱剪开后铺平 , 且六个面连在一起，这样的图形叫立方体的 表面展开图 。 需要 七刀 才能剪开。 不同的剪法就会有不同的展开图。 一四一型 一三二型 二个 三型 三个 二型 二个三型 归纳规律 一四一型 一三二型 三个二型 “ 一四一” , “一三二” . “ 一”在同层可任意； “三个二”成阶梯， “二个三”，“日”字连； 异层 “日”字连 整体没 “ 凹”和“ 田” 口诀 下面的图形都是立方体的展开图吗？ (1) (2) (3) (4) 下面的图形都是立方体的展开图吗？ (1) (2) (3) (4) C D E A B   添上一个小正方形 , 使下图折叠后能围成一个立方体 , 有哪几种添法？ C D E A B   添上一个小正方形 , 使下图折叠后能围成一个立方体 , 有哪几种添法？ C D E A B   添上一个小正方形 , 使下图折叠后能围成一个立方体 , 有哪几种添法？ C D E A B   添上一个小正方形 , 使下图折叠后能围成一个立方体 , 有哪几种添法？   添上一个小正方形 , 使下图折叠后能围成一个立方体 , 有哪几种添法？ C D E A B 立方体展开图的周长是每个小正方形边长的几倍 ? 1 2 3 4 5 6 6 1 4 1 5 6 3 2 (1) 5 6 3 2 4 1 (2) 5 6 3 2 1 4 (3) 5 6 3 2 1 4 (4) 5 3 2 4 (5) 5 6 3 2 1 4 (6) 4 5 6 3 1 2 (7) 6 3 1 5 6 3 4 1 2 (8) 展开图规律之四 : 立方体表面展开图的周长是小正方形边长的 14 倍 . 想一想： 5 6 3 4 2 1 (9) 2 5 1 3 6 4 (10) 5 6 3 4 2 1 (11) 例1.如图是一个立方体的表面展开图吗? 如果是,请分别用1,2,3,4,5,6中的同一个数字表示立方体和它的展开图中各对对应的面(只要求给出一种表示法) 6 2 3 4 5 1 1 4 2 3 5 6 典型例题 （ 1 ）下图给出三种纸样，它们都正确吗？ 典型例题 例 2 ： 有一种牛奶软包装盒如图 . 为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样 . 解 ：图中，因为表示底面的两个长方形不可能在同一侧，所以图乙不正确 . 图甲和图丙都正确 . 甲 乙 丙 （ 2 ）从已知正确的纸样中选出一种，标注上尺寸； 解：若选图甲，可得表面展开图及尺寸标注如下 图 . 甲 a b b b b a a 解 : 由右图可得 , 包装盒的侧面积为 S 侧 = S 表 =S 侧 +2S 底 a b b b b a a h （ 3 ）利用你所选的一种纸样，求出包装盒的侧面积和表面积（侧面积与两个底面积的和） . 想一想： (1) 直棱柱的侧面展开图一定是什么平面图形？ 长方形 (2) 直棱柱的侧面积与底面周长及侧棱长有怎样的关系？ 直棱柱的侧面积 = 底面周长 × 侧棱长 ⑴ ⑷ ⑶ 下图中的哪些图形可以沿虚线折叠成长方体包装盒 ? 先想一想，再折一折 . ⑵ (5) 想一想 在一个长方形长、宽、高 分别为 3 米， 2 米， 2 米长方体房间内，一蜘蛛在一面的 中间离 天花 板 0.1 米 处 (A 点 ) ，苍蝇在对面墙的中间 , 离地面 0.1 米处 (B 点 ), 试问 : 蜘蛛去捉苍蝇需要爬行的最短距离是多少 ? B A 解： 1. 左→上 →右 A B 3 米 2 米 2 米 3. 左→前→右 B A 2. 左→下 →右 B A AB =5 AB =5 直四棱柱 直三棱柱 直六棱柱 2 4 2 2 C B 5. 感悟反思 通过这节课的学习活动你有哪些收获？ 你还有什么想法吗？ c 7 -1 b a 1 、如图是一个正方体纸盒的展开图，图中的 6 个正方形中分别已填入了 -1 、 7 、 、 a 、 b 、 c ，使展开图沿虚线折叠成正方体后相对面上的两个数互为相反数 , 求 a 、 b 、 c 的值 . 练一练：   2 、将前、右、上三个面做有标记的立方体盒子展开，以下各示意图中是它的展开图的是（ ） A B D C C 练一练： 3 、下面的图形是正方体的平面展开图，如果把它们叠成正方体，哪个字母与哪个字母对应（即哪个面与哪个面是对面的） A B C D E F A B C D E F 练一练： 4 、如图是立方体的表面展开图，要求折成立方体后，使得 6 在前，右面是 2 ，哪个面在上？ 5 6 2 1 3 4 练一练： 5 、 有一个正方体，在它的各个面上分别写了①、②、③、④、⑤、⑥。甲、乙、丙三位同学从三个不同的角度去观察此正方体，结果如下图，问这个正方体各个面的对面的是什么数？ ⑥ ② ④ 甲 ② ③ ① 乙 ④ ③ ⑤ 丙 练一练： 下面的图形都是立方体的展开图吗？ 第 2 课时 B C D A 问题 1 ： 矩形 ABCD ，绕 AB 边所在 直线 旋转 一周 得到的图形是什么？ B C D A 动作演示 圆柱的有关概念： 圆柱 可以看作由一个矩形 ABCD 绕一条边 ( AB ) 旋转一周 , 其余各边所成的面围成的几何体 . 直线 AB 叫做 圆柱的轴 ， AD 、 BC 旋转所成的面就是圆柱的 两个底面 , 是两个半径相同的圆． CD 旋转所成的面就是 圆柱的侧面 , CD 不论转到哪个位置 , 都是 圆柱的母线 ．圆柱两个底面之间的距离是 圆柱的高 . A B C D 母线 底面 侧面 高 问题 : 将圆柱的 侧面沿母线剪开 ，展在一个平面上 得到什么图形？你能想象出圆柱的展开图吗？ 观察 1 、这个展开图是圆柱侧面展开图 ---- 矩形的两边分别是圆柱中的什么线段？ 一边是圆柱的母线，一边是圆柱底面圆的周长 2 、矩形的面积公式是什么？请归纳圆柱的侧面面积公式？ 3 、圆柱的表面展开图怎样？ 请归纳圆柱的表面积公式？ S 圆柱侧面积 = 底面圆的周长 × 圆柱母线长 =2π r l S 圆柱全面积 = 圆柱侧面积 +2× 底面积 = 2π r l + 2π r 2 底面圆的周长 l r 例 3 如图 , 用 一张面积为 900cm 2 的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的底面直径（精确到 0.1cm ） 解：设正方形边长为 x , 则： 依题意可得： 2π r= 30 答：这个圆柱的直径约为 9.6cm 。 1. 如图 , 已知矩形 ABCD, AB ＝ 25 cm, AD ＝ 13 cm . 若以 AD 边为轴 , 将矩形旋转一周 , 则所成的圆柱的底面直径是 ________cm, 母线长是 ________cm, 侧面展开图是一组邻边长分别为 ___________ 的一个矩形 . 13 50 50πcm 和 13cm 25 cm 13 cm 变式： 若 以 AB 边为轴 , 将矩形旋转一周呢？ 2. 一个圆柱的底面直径为 20cm , 母线长为 15cm. 求这个圆柱的侧面积和全面积 ( 结果保留 π) . S 侧 = 2π r l = 2π × 10 × 15 = 300π(cm 2 ). S 全 = 2π r l + 2π r ² = 2π × 10 × 15 +2π × 10² = 500π(cm 2 ). 答 : 圆柱的侧面积为 300πcm 2 ，全面积为 500πcm 2 . 如 图 , 一只蚂蚁在圆柱的底面 A 处 , 准备沿着圆柱的侧面爬到 B 处 , 它怎样爬行路线最近？先说说你的解题思路 , 然后给出解答 , 并算出最近路线的长 ( 精确到 0.01 cm) . 探究活动 4 6 A B A 画出圆柱的侧面展开图如图 , B C BC ＝ 2π , AC ＝ 6 . 根据两点之间线段最短 , 蚂蚁在圆柱表面爬行的 最短路程长应是线段 AB 的长 , 1. 一个圆柱的底面半径为 120mm , 母线长为 280mm. 以 1:10 的比例画出它的表面展开图 , 并求出它的侧面积和全面积 ( 结果保留 π) . S 侧 = 2π r l = 2π × 120 × 280 =67200π(mm 2 ). S 全 = 2π rl + 2π r ² = 96000π(mm 2 ). 2 π× 1.2 2.8cm 4. 已知圆柱的全面积为 150πcm² , 母线长为 10 cm. 求这个圆柱的底面半径 . 设底面积半径为 r . 由题意 , 得 2π r ² + 2π r × 10 = 150π , ∴ r ²+10 r － 75 = 0 , 解得 r 1 = 5 , r 2 ＝ -15 ( 不合题意 , 舍去 ) . 答 : 圆柱的底面半径为 5cm. 5. 已知一个圆柱的侧面展开图是长为 20πcm , 宽为 10cm 的矩形 . 描述这个圆柱的形状 , 并画出它的三视图 ( 尺寸比例自选 ) . 它的三视图如图 . 解： ∵2 π r =20 π， ∴ r =10 ∴ 这个圆柱的底面半径为 10cm , 母线长为 10cm , 6. 已知一个圆柱的底面半径 r 与母线长 l 的比为 2:3 , 圆柱的全面积为 500πcm². 选取适当的比例画出这个圆柱的表面展开图 . ∴ r =10, l ＝ 15. 所求展开图如图 . 15 20π 解：设 r =2 k ， l =3 k ，由 已知可得 2π r ² + 2π rl = 500π. ∴ 8π k 2 +12π k 2 =500π ∴ 20π k 2 =500π ∴ k ＝ 5( 负值舍去） . 总结 ： 知识： 圆柱的形成 、 基本概念 （ 圆柱的底面 、侧 面和高 、 圆柱的轴、母线） 、 圆柱的侧 面展 开图及其面积 公式 : S 侧 =2π r l S 全 = S 侧 + 2 S 底 = 2π r l + 2π r 2 思想 : “ 转化思想 ” 求 圆柱的侧面积（立体问题 ） 转 化为求矩形的面积（平面问题） 运 动的观点（ 圆柱的形成） 方法：圆柱的侧面展开（化曲为直）． 如图为一个圆柱的三视图 . 根据三视图的尺寸 , 画出这个圆柱的表面展开图 . 问题 1. 圆柱体怎么形成呢？ 问题 2. 你对圆柱还有哪些了解？ 将矩形绕一边所在直线旋转 360° 所形成的几何体 第 3 课时 试一试 ：以直角三角形一条直角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周而成的面所围成的几何体是 …… ？ 圆锥可以看成是 直角三角 形 以它的一条直角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周而成的面所围成的几何体 . 侧面 斜边旋转而成的曲面叫做 圆锥的侧面 母线 无论转到什么位置，这条斜边都叫做 圆锥的母线 另一条直角边旋转而成的面叫做 圆锥的底面 圆锥的相关 概念 圆锥底面圆周上的任意一点 与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线 l 连结顶点与底面圆心的线段 叫做圆锥的高 问 题 : 圆锥的母线有几条？ 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，得到的截面是圆，在不同位置所截得的圆的半径，与底面半径均不等。 用过圆锥的高线的平面截圆锥，得到的截面（圆锥的轴截面）是等腰三角形 它的底边是圆锥底面的直径 底边上的高线就是圆锥的高线 1. 连结 顶点 与 底面圆 心 的线段叫做 圆锥的高 如图 中 l 是 圆锥的一条母线， 而 h 就是圆锥的高 2. 圆锥的底面半径 、高 线、母线长三者之 间的 关系 : O P A B r h l 填空 : 根据下列条件求值（其中 r 、 h 、 分别是圆锥的底面半径、高线、母线长） （ 1 ） l = 2 ， r =1 则 h =_______ （ 2 ） h =3, r =4 则 =_______ （ 3 ） l = 10, h = 8 则 r=_______ 5 6 l 动一动： 1 ．准备好的圆锥模型沿着母线剪开，观察圆锥的表面展开图．  问题 : 1 、沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？ 既是圆的周长 又是侧面展开图扇形的弧长 问题 : 2 、圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？ 既是圆锥的母线 又是侧面展开图扇形的半径 O P A B r h l 圆 锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的 周长 、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积 . 圆锥的全面积 = 圆锥的侧面积 + 底面积 . 圆锥的侧面积和全面积 如图 : 设圆锥的母线长为 a, 底 面半 径为 r. 则圆锥的侧面 积公 式为： 全面积公式为： = πrl ＋ πr 2 O P A B r h l 例 1 、根据圆锥的下列条件，求它的侧面积和全面积 （ 1 ） r =12cm, l =20cm （ 2 ） h =12cm ， r =5cm l O P A B r h l ) θ 若设圆锥 的表面展开图 扇形的圆心角为 ， 则由 得到圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数的计算公式： 例 2. 圆锥形烟囱帽的母线长为 80cm ，高为 38.7cm. （ 1 ）求这个烟囱帽的面积（精确到 10 c㎡) 。 r h l 解：（ 1 ）∵ l =80cm, h =38.7cm, ∴ ∴ S 侧 = = ×70×80 答：烟囱帽的面积约 r h l （ 2 ）以 1:40 的比例画出这个烟囱帽的展开图 解：烟囱帽的展开图 的扇形圆心角为 按 1:40 的比例画出这个烟囱帽的展开图如 图 . 例 3. 童 心玩具厂欲生产一种圣诞老人的帽子，其圆锥形帽身的母线长为 15cm ，底面半径为 5cm ，生产这种帽身 10000 个，你能帮玩具厂算一算至少需多少平方米的材料吗（不计接缝用料和余料， π 取 3.14 ）？ 解 :∵ l =15cm, r =5cm, 235.5×10000= 2355000 （ cm 2 ) 答：至少需 235.5 平方米的材料 . ∴ S 侧 = π rl 3.14×15×5 = 235.5 （ cm 2 ) 注意： 1. 认清直径还是半径 2. 公式中的 l 表示母线 1. 已知圆锥的底面半径为 12cm , 母线长为 20cm . 求这个圆锥的侧面积和全面积 . S 側 = 240πcm 2 ， S 全 = 384πcm 2 . 2. 如图为一个圆锥的三视图 . 以相同的大小比例画出它的表面展开图 . 解： 由 已知三视图， 得 r ＝ 120mm, l ＝ ＝ 200(mm) 练习 4. 将半径为 30cm 的圆形铁皮剪成三个全等的扇形 , 用来做三个无底的圆锥形筒 , 则圆锥形筒的高是少 ( 不计接头 ) ? 3. 一个圆锥的侧面展开图是半径为 18cm , 圆心角为 240° 的扇形 . 求这个圆锥的底面半径 . 12cm 解： 设 圆锥底面半径为 r , 则 得 r = 10(cm). 在圆锥的轴截面中 , 由勾股定理 , 知 5. 已知圆锥的轴截面 ( 过圆锥顶点和底面圆心的截面 ) 是边长为 6cm 的正三角形 . 求圆锥的高和侧面积 , 并以 1:2 的比例画出圆锥的表面展开图 ? 6. 如图为一个圆锥的侧面展开图 . 以 1:10 的比例画出它的三视图 . 解： 由 已知侧面展开图 , 得 × 360 ＝ 270 , 解得 r ＝ 225(cm). 所求三视图如图 , 比例 1:10 解： 一个圆锥形的零件 , 经过轴的剖面是一个等腰三角形 , 这个三角形就叫做圆锥的 轴截面 ；它的腰长等于圆锥的 母线 长 , 底边长等于圆锥底面的 直径 . 圆锥的轴截面 A B C O 如△ ABC 就是圆锥的轴截面 S 轴截面 = h ×2 r ÷2= rh 已知一个圆锥的轴截面△ ABC 是等边三角形，它的表面积 为 75 cm 2 , 求这个圆锥的底面半径和母线的长 . B C O A 解：∵轴截面△ ABC 是等边三角形 ∴ AC =2 OC 由题意，得 答：圆锥的底面半径为 5cm ，母线长为 10cm. 合作 探究 如 图，圆锥的底面半径为 1 ，母线长为 3 ，一只小虫要从底面圆周上一点 B 出发，沿圆锥侧面回到 B 点，问它爬行的最短路线是多少？ 若沿圆锥侧面爬到过母线 AB 的轴截面上另一母线 AC 上中点 D , 问它爬行的最短路线是多少？ D 本 节课我们认识了圆锥的侧面展开图 , 学会计算圆锥的侧面积和全面积 , 在认识圆锥的侧面积展开图时 , 应知道圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长 . 圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径 , 这样在计算侧面积和全面积时才能做到熟练、准确 . 本节课我们有什么收获 ? h 高 底面半径 r 母线 小结 1. 圆锥的高 , 底面半径 , 母线长之间的关系是 : 2 ． 圆锥的侧面积： 3 ． 圆锥的全面积： 4 ． 圆锥侧面展开图的圆心角： 转化（立体图形与平面图形之间的相互转化） 数学思想： 数学方法： 分割法