浙教版九年级数学下册第1章解直角三角形

第 1 章 解直角三角形 1.1 锐角三角函数 1.1 锐角 三角函数 （ 1 ） 锐角三角函数的定义 直角三角形 ABC 可以简记为 Rt△ ABC ，你能说出各条边的名称吗？ ┓ C 斜边 c 邻边 对边 a b C ┓ A B 某商场有一自动扶梯，其倾斜角为 30° ，高为 7m ，扶梯的长度是多少 ? B A C ┓ 30° 7m 实际问题 在上面的问题中，如果高为 10m ，扶梯的长度是多少？ 已知等腰直角三角形 ABC ，∠ C =90 ° ，计算∠ A 的对边与斜边的比 ，你能得出什么结论？ A B C ┓ 在 Rt△ ABC 中 , ∠ C ＝ 90° ． 当∠ A ＝ 30° 时 , 当 ∠ A ＝ 45° 时 , 固定值 固定值 归纳 在直角三角形中，对于锐角 A 的每一个确定的值，其对边与斜边的比值也是唯一确定的吗？ 想一想 所以   ＝ ＝ Rt△ AB 1 C 1 ∽Rt△ AB 2 C 2 ∽Rt△ AB 3 C 3 所 以，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何， ∠ A 的对边与斜边的比是一个固 定值． 观 察右图中的 Rt△ AB 1 C 1 ， Rt △ AB 2 C 2 和 Rt△ AB 3 C 3 ，∠ A 的对边与斜边有什么关系？ 在 Rt△ ABC 中， ∠ C =90 ° ，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的 正弦 （ sine ），记作 sin A ，即 一个角的正弦表示 定值 、 比值 、 正值 ． 知识要点 正弦 在直角三角形中， 对于锐角 A 的每一个确定的值，其邻边与斜边、对边与邻边的比值也是唯一确定的吗？ 想一想 在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何 ，∠ A 的对边与斜边的比 、∠ A 的邻边与斜边的比 、∠ A 的对边与邻边的比都是一个固定值． 归纳 在 Rt△ ABC 中， ∠ C =90 ° ，我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的 余弦 （ cosine ），记作 cos A ，即 一个角的余弦表示 定值 、 比值 、 正值 ． 知识要点 余弦 在 Rt△ ABC 中， ∠ C =90 ° ，我们把锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的 正切 （ tangent ），记作 tan A ，即 一个角的余切表示 定值、比值、正值． 知识要点 正切 锐角三角函数 锐角 A 的正弦、余弦、正切叫做∠ A 的 锐角三角函数 （ trigonometric function of acute angle ） 知识要点 1 ． sin A ， cos A ， tan A 是在 直角三角形 中定义的，∠ A 是 锐角 ( 注意 数形结合 ，构造直角三角形 ) ． 2 ． sin A ， cos A ， tan A 是一个 比值 （ 数值 ）． 3 ． sin A ， cos A ， tan A 的大小只与 ∠ A 的大小 有关，而与 直角三角形的边长 无关． 提示 1 、如图 1 ，在 Rt△ MNP 中，∠ N ＝ 90 ゜ .∠ P 的对边是 _________,∠ P 的邻边是 ___________;∠ M 的对边是 ________,∠ M 的邻边是 ___________; 2 、设 Rt△ ABC ， ∠ C ＝ 90 ゜ ∠ A ， ∠ B ， ∠ C 的对边分别为 a ， b ， c ， a =5， c =13，求∠ B 的三个三角函数 值. 小练习 在直角 三角形中共有 五 个元素 ：边 a , b , c , 锐角∠ A ,∠ B . 这五个元素之间有如下等量关系： A B C c a b (1)三边之间关系： a 2 + b 2 = c 2 ( 勾股定理 ) (2)锐角之间关系： ∠ A +∠ B =90° (3)边角之间关系 ： 1.1 锐角 三角函数（ 2 ） 30°,45°,60° 角 的三角函数值 在直角三角形中 , 若一个锐角确定 , 那么这个角的对边 , 邻边和斜边之间的比值也随之确定 . 锐角三角函数的定义 直角三角形中边与角的关系 : 锐角三角函数 . b A B C a ┌ c 锐角 A 的正弦、余弦、和正切统称∠ A 的 三角函数 如图 , 观察一副三角板 : 它们其中有几个锐角 ? 分别是多少度 ? (1)sin30 0 等于多少 ? ┌ ┌ 30 0 60 0 45 0 45 0 (2)cos30 0 等于多少 ? (3)tan30 0 等于多少 ? 请与同伴交流你是怎么想的 ? 又是怎么做的 ? 做一做 A B C 30 ° 1 2 sin 30 °= cos 30 °= tan 30 °= 2 3  (4)sin45 0 ,sin60 0 等于多少 ? (5)cos45 0 ,cos60 0 等于多少 ? (6)tan45 0 ,tan60 0 等于多少 ? ┌ ┌ 30 0 60 0 45 0 45 0 根据上面的计算 , 完 成 < 特殊角的三角函数值表 > 老师期望 : 你能对伴随九个学年的这副三角尺所具有的功能来个重新认识和评价 . A B C 45° 1 1 sin45 ° = cos45°= tan45°= 2 2 1 做一做 A C B 60° 1 2 sin60°= cos60°= tan60°= 2 做一做 特殊角的三角函数值表 要能记住有多好 三角函数 锐角 α 正弦 sinα 余弦 cosα 正切 tanα 30° 45° 60° 这张表还可以看出许多知识之间的内在联系 ? 例 1 计算 : ( 1)sin30°+cos45°; (2) sin 2 60°+cos 2 60°-tan45° . 老师提示 : sin 2 60° 表 示 ( sin60°) 2 , cos 2 60° 表 示 ( cos60 ° ) 2 , 其余类推 . (1)sin 60 0 -cos 45 0 ; ( 2)cos 60 0 +tan 60 0 ; 计算 : 练习 例 2 如 图 , 一 个小孩荡秋千 , 秋千链子的长度为 2.5m, 当秋千向两边摆动时 , 摆角恰好为 60 0 , 且两边摆动的角度相同 , 求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差 ( 结果精确到 0.01m). 老师提示 : 将 实际问题数学化 . A C O B D ┌ 2.5 例 3 一位同学的手臂长 65 cm ，当他高举双臂时，指尖高出头顶 35 cm 。问当他的手臂与水平成角时，指尖高出头顶 多少厘米（ 精确到 0.1 cm ）？ 老师期望 : sin 2 A +cos 2 A =1 它反映了同角之间的三角函数的关系 , 且它更具有灵活变换的特点 , 若能予以掌握 , 则将有益于智力开发 . 1. 某商场有一自动扶梯 , 其倾斜角为 30 0 , 高为 7m, 扶梯的长度是多少 ? 2. 如图 , 在 Rt△ ABC 中 , ∠ C =90 °, ∠ A ,∠ B ,∠ C 的对边分别是 a , b , c . 求证 : sin 2 A +cos 2 A =1. b A B C a ┌ c 练习 做一做 已 知∠ A 为锐角，且 cos A = ， 你能求出∠ A 的度数 吗 ? 2 看图说话 : 直角三角形三边的关系 . 直角三角形两锐角的关系 . 直角三角形 边与角 之间的关系 . 特殊角 30 0 ,45 0 ,60 0 角的三角函数值 . 互余两角 之间的三角函数关系 . 同角 之间的三角函数关系 b A B C a ┌ c ┌ ┌ 30 0 60 0 45 0 45 0 作业 1 . 计 算： ( 1)tan45 0 -sin30 0 ; (2)cos60 0 +sin45 0 -tan30 0 ; 2. 如图 , 河岸 AD , BC 互相平行 , 桥 AB 垂直于两岸 . 桥长 12m, 在 C 处看桥两端 A , B , 夹角∠ BCA =60 0 . 求 B , C 间的距离 ( 结果精确到 1m). B C A ┐ D 作业 3. 如图 , 身高 1.5m 的小丽用一个两锐角分别是 30 0 和 60 0 的三角尺测量一棵树的高度 . 已知她与树之间的距离为 5m, 那么这棵树大约有多高 ? 第 1 章 解直角三角形 1.2 锐角三角函数的计算 1.2 锐角三角函数的计算 (1) 特殊角的三角函数值 ∠ A 30° 45° 60° sin A cos A tan A 如图，将一个 Rt △ ABC 形状的楔子从木桩的底端点 P 沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动，如果楔子斜面的倾斜角为 10° ，楔子沿水平方向前进 5 cm （如箭头所示），那么木桩上升多少厘米？ 四个键 : sin cos tan °′ ″ 锐角三角函数的计算 ∠ A sin A cos A tan A 当 角度为 锐角 时，随着角度的变化三角函数值的变化 探究 比大小 (A)0 ＜ cos A ＜ (B) ＜ cos A ＜ ( C) ＜ cos A ＜ (D) ＜ cos A ＜ 1 ° 时， cos A 的值（ ） ☆ 试试你身手 ( 估算） 当锐角 A =49 混合计算 例 . 如图，在 Rt△ ABC 中 ， ∠ C =90 ° , 已知 AB =12 cm ， ∠ A =35 ° . 求 △ ABC 的 另两边长，周长和面积（周长精确到 0.1cm ，面积精确到 0.1 cm 2 ） . B C A 12 cm 1.2 锐角三角函数的计算 (2) ∠ A 的对边 sin A= 斜边 A B C ∠ A 的 对边 ∠ A 的 邻边 斜边 回顾锐角三角函 数 cos A= ∠ A 的邻边 斜边 tan A= ∠ A 的对边 ∠ A 的邻边 b A B C a ┌ c 互余两角 之间的三角函数关系 : sin A =cos B ， tan A ·tan B =1. 同角 之间的三角函数关系 : sin 2 A +cos 2 A =1. tan A = a b 特殊角 30° ， 45° ， 60° 角的三角函数值 . 我们可以列表记忆： α 0° 30° 45° 60° 90° sinα cosα tanα 0 1 1 0 0 不存在 1 ☆ 应用练习 1. 已知角，求值 确定值的范围 2. 已知值，求角 3. 确定值的范围 1. 当 锐角 A >45° 时， sin A 的值（ ） (A) 小于 (B) 大于 (C) 小于 (D) 大于 B (A) 小于 (B) 大于 (C) 小于 (D) 大于 2. 当锐角 A >30° 时， cos A 的值（ ） C ☆ 应用练习 1. 已知角，求值 确定角的范围 2. 已知值，求角 3. 确定值的范围 (A) 小于 30° (B) 大于 30° (C) 小于 60° (D) 大于 60° 3. 当∠ A 为锐角，且 tan A 的值大于 时，∠ A （ ） B 4. 确定角的范围 4. 当∠ A 为锐角，且 tan A 的值小于 时，∠ A （ ） (A) 小于 30° (B) 大于 30° (C) 小于 60° (D) 大于 60° C ☆ 应用练习 1. 已知角，求值 2. 已知值，求角 3. 确定值的范围 5. 当∠ A 为锐角，且 cos A = ，那么（ ） 4. 确定角的范围 (A)0° ＜∠ A ≤ 30 ° (B) 30° ＜∠ A ≤45° (C)45° ＜∠ A ≤ 60 ° (D) 60° ＜∠ A ≤ 90 ° 确定角的范围 6. 当∠ A 为锐角，且 sin A = ，那 么（ ） (A)0° ＜∠ A ≤ 30 ° (B) 30° ＜∠ A ≤45° (C)45° ＜∠ A ≤ 60 ° (D) 60° ＜∠ A ≤ 90 ° D A 按键的顺序 显示结果 SHIFT 2 0 9 17.30150783 4 sin · 7 = 已知三角函数值求角度，要用到 sin ， cos ， tan 的第二功 能键“ sin -1 cos -1 ， tan -1 ” 键例 如：已知 sin α =0.2974, 求锐角 α ． 按键顺 序为： 如果再按“度分 秒键” 就换算成度分秒， °′″ 即 ∠ α =17°18′5.43″ 按键的顺序 显示结果 1 7 ° 18′5.43 ″ 已知三角函数值求角度，要用到 sin ， cos ， tan 的第二功 能键“ sin -1 , cos -1 ， tan -1 ” 键，例 如：已知 sin α =0.2974, 求锐角 α ． 按键顺 序为： 即 ∠ α =17°18′5.43″ 2ndf 2 0 9 4 sin · 7 2ndf DMS 例如 , 根据下面的条件，求锐角 β 的大小（精确到 1 ″) (1)sin β =0.4511 ； (2)cos β =0.7857 ； (3) tan β =1.4036 （ 1 ）按 键盘顺序如下 : 按键的顺序 显示结果 DMS 2ndf sin 0 . 4 5 1 1 2ndf 26°48′51″ 即 ∠ β =26°48′51 ″ （其余自己算一算） 例 如图 , 工件上有一 V 型槽，测得它的上口宽 20mm ，深 19.2mm. 求 V 型角 (∠ ACB ) 的大小 ( 结果精确到 1° ). ∴∠ ACD ≈27.5 ° . ∴∠ ACB =2∠ ACD ≈2×27.5 °=55°. ∴ V 型角的大小约 55°. 第 1 章 解直角三角形 1.3 解直角三角形 本节课研究的问题是： 如 何将实际问题转化为解直角三角形的问 题？ 如何将实 际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系解直角三角 形？ 解直角三角形的依据是什么？ （ 1 ）三边之间关系：勾股定理 （ 2 ）锐角之间关系：两个锐角互余 （ 3 ）边角之间关系：三角函数 引入 什 么是仰角、俯角 ？ 如 何将实际问题转化为解直角三角形的问题？ 什 么是坡度、坡比？ 如 何将实际问题转化为解直角三角形的问题？ 在 进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从 上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角 . 在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度． 如图，坡面的铅垂高度 ( h ) 和水平长度 ( l ) 的比叫做坡面的坡度 ( 或坡比 ) ，记作 i ，即 坡度通常写成1:m的形式，如 i ＝1:6．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有 显然，坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡． ＝ tan α ． 1 、学生探究：在 Rt △ ABC 中，若 ∠ C =90° ， 问题 1 ：两锐角 ∠ A 、 ∠ B 的有什么关系？ 问题 2 ：三边 a 、 b 、 c 的关系如何？ 问题 3 ： ∠ A 与边的关系是什么？ 2 、数学知识、数学运用 解直角三角形有下面两种情况： （ 1 ）已知两条边求直角三角形中的其它元素； （ 2 ）已知一边及一角求直角三角形中的 其他元素 . 例 1 如 图， 一 棵大树在一次强烈的地震中于离地面 5 米处折断倒下，树顶落在离树根 12 米处，大树在折断之前高多少？ 解：利用勾股定理可以求出折断后倒下部分的长度为 13+5=18 （米 ） . 答：大树在折断之前 高 18 米 . 5m 12m 例2 如图，在相距2000米的 东、西两座炮台 A 、 B 处 同时发现入侵敌舰 C ，炮台 A 测得敌舰 C 在它的南偏东 40 ° 的 方向，炮台 B 测得敌舰 C 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米） A D C B 40 0 2000 例 3 如图，为了测量旗杆的高度 BC ，在离旗杆底部 10 米的 A 处，用高 1.50 米的测角仪 DA 测得 旗杆顶端 C 的仰角 α =52 ° . 求旗杆 BC 的高 . 解：在 Rt△ CDE 中， CE = DE ×tan α = AB ×tan α =10 × tan 52 °≈12.80. BC = BE + CE = DA + CE ≈1.50+12.80=14.3. 答：旗杆 BC 的高度约为14.3米. 1.(1 ) 如图，一辆消防车的梯子长为 18m ，与水平面 间的 夹角为 60° ， 如果这辆消防车的高度为 2m ，求梯子可达到的高度． AC=100 米 (2) 我军某 部队在 一次野外训练中，有一辆坦克准备通过一座小山，已知山脚和山顶的水平距离为 100 米，山高为 100 米，如果这辆坦克能够爬 30° 的斜坡，试问：它能不能通过这座小山？ A C 100 米 100 米 B 2. （ 1 ）某货船沿正北方向航行，在点 A 处测得灯塔 C 在北偏西 30° ，船以每小时 20 海里的速度航行 2 小时，到达点 B 后，测得灯塔 C 在北偏西 60° ，请问当这艘货船到达 C 的 正东方向时，船距灯塔 C 有多远？ （ 2 ）如图，某电信部门计划修建一条连结 B 、 C 两地的电缆，测量人 员在 山脚 A 点测得 B 、 C 两地的仰角分别为 30° 、 45° ，在 B 地测得 C 地的仰角为 60° ． 已 知 C 地比 A 地高 200 米，电缆 BC 至少长多少米？ 3.(1) 植树节，某班同学决定去坡度为 1 ︰ 2 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是 6m ，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为 . （ 2 ）某人沿着坡角为 45 ° 的斜坡走了 310 m ，则此人的垂直高度增加了 ________m . 小结 本节课学到的： (1) 已知两条边求直角三角形中的其它元素； (2) 已知一边及一角求直角三角形中的其它元素。 (3) 理解仰角、俯角的定义，能将实际问题转化为解直角三角形问题。 (4) 知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、坡角有关的实际问题。