浙教版九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系

第 2 章 直线与圆的位置关系 2.1 直线与圆的位置关系 第 1 课时 直线与圆的位置关系 点和圆的位置关系有几种？ 点到圆心的距离为 d ，圆的半径为 r ，则： A B C 点在圆外 d > r ; 点在圆上 d = r ； 点在圆内 d < r . 位置关系 数形结合： 数量关系 同 学们，在我们的生活中到处都蕴含着数学知识，下面老师请同学们欣赏美丽 的图片。 从 海上日出这种自然现象中可以抽象出哪些基本的几何图形呢？ 请 同学们利用手中的工具再现海上日出的整个情景。 在 再现 过程中，你认为直线与圆的位置关系可以 分为 哪几类？ 你 分类的依据是什么？ ( 地平线 ) a ( 地平线 ) ● O ● O ● O (2) 直线和圆有 唯 一一个 公共点 , 叫做直线和圆 相切 , 这条直线叫 圆的切线， 这个公共点叫 切点。 (1) 直线和圆有 两个 公共点 , 叫做直线和圆 相交， 这条直线叫 圆的割线， 这两个公共点叫 交点。 (3) 直线和圆 没有 公共点时 , 叫做直线和圆 相离。 一、直线与圆的位置关系（用公共点的个数来区分） 相交 相切 相离 上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化，还有什么量在改变？你能否用数量关系来判别直线与圆的位置关系？ 2 . 连 结直线外一点与直线 所有 点的线段中,最短的 是 。 1 . 直线外一点到这条直 线的 垂线段的长度叫 点到直 线的 距离 。 垂线段 相关知识点回忆 直线和圆相切 d = r 直线和圆相离 d > r r d ∟ r d ∟ r d 直线和圆相交 d < r 二、直线和圆的位置关系（用圆心到直线 l 的距离 d 与圆的半径 r 的关系来区分） 观 察太阳落山的照片 , 在太阳落山的过程中 , 太阳与地平线 ( 直线 a ) 经历了哪些位置关系的变化？ a ( 地平线 ) 1 、已知圆的直径为 13cm ，设直线和圆心的距离为 d ： 3) 若 d = 8 cm , 则直线与圆 ______ , 直线与圆有 ____ 个公共点 . 2) 若 d =6.5cm , 则直线与圆 ______ , 直线与圆有 ____ 个公共点 . 1) 若 d =4.5cm , 则直线与圆     , 直线与圆有 ____ 个公共点 . 3) 若 AB 和⊙ O 相交 , 则 . 2 、已知⊙ O 的半径为 5cm, 圆心 O 与直线 AB 的距离为 d , 根据 条件填写 d 的范围 : 1) 若 AB 和⊙ O 相离 , 则 ; 2) 若 AB 和⊙ O 相切 , 则 ; 相交 相切 相离 d > 5cm d = 5cm 0cm ≤d < 5cm 2 1 0 例： 在Rt△ ABC 中，∠ C =90°， AC= 3cm ，BC= 4cm，以 C 为圆心， r 为半径的圆与 AB 有怎样的位置关系？为什么？ ( 1 ) r =2cm ； ( 2 ) r =2.4cm ；( 3) r =3cm． 分析：要了解 AB 与⊙ C 的位置关系，只要知道圆心 C 到 AB 的距离 d 与 r 的关系．已知 r ，只需求出 C 到 AB 的距离 d 。 B C A 4 3 D d 解： 过 C 作 CD ⊥ AB ，垂足为 D 在△ ABC 中， AB = 5 根据三角形的面积公式有 ∴ 即圆心 C 到 AB 的距离 d =2.4cm 所以 (1) 当 r =2cm 时 , 有 d > r , 因此⊙ C 和 AB 相离。 B C A 4 3 D d （2）当 r =2.4cm时, 有 d = r , 因此⊙ C 和 AB 相切。 （3）当 r =3cm时， 有 d < r ， 因此，⊙ C 和 AB 相交。 B C A 4 3 D B C A 4 3 D d d 已知⊙ O 的半径 r =7cm, 直线 l 1 // l 2 , 且 l 1 与⊙ O 相切 , 圆心 O 到 l 2 的距离为 9cm. 求 l 1 与 l 2 的距离 m . O 。 l 1 l 2 A B C l 2 判定直线 与圆的位置关系的方法有 ____ 种： （ 1 ）根据定义，由 __________________ 的个数来判断； （ 2 ）根据性质，由 _____________________ ______________ 的关系来判断。 在实际应用中，常采用第二种方法判定。 两 直线 与圆的公共点 圆心到直线的距离 d 与半径 r 第 2 课时 切线的判定和性质 回顾旧知 直线与圆的位置关系量化 直线和圆 相交 d r d r 直线和圆 相切 直线和圆 相离 d r < = > 相离 相切 相交 情境引入 动手操作： 在⊙ O 中任取一点 A ，连结 OA ，过点 A 作 直线 l ⊥ OA . 思 考： （可与同伴交流） （ 1 ）圆心 O 到直线 l 的距离和圆的半径由什么关系？ （ 2 ）直线 l 与⊙ O 的位置有什么关系？根据什么？ （ 3 ）由此你发现了什么？ 直 线与圆相切的判定定理 ：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。 如图所示，半径 OA ⊥ 直线 l ，直线 l 为⊙ O 的切线． 特征①： 直 线 l 经 过半径 OA 的外端点 A 特征②： 直 线 l 垂 直于半径 OA d = r 相切 感悟新知 圆的切线的判定方法： (1) 概念： 与圆有唯一公共点的直线是圆的切线； (2) 数量关系： 到圆心的距离等于半径的直线是圆 的切 线； (3) 判定定理： 经过半径的外端并且垂直这条半径 的直 线是圆的切线． 总结归纳 例 1 已知 : 如图， A 是⊙ O 外一点， AO 的延长线交⊙ O 于点 C ，点 B 在圆上，且 AB=BC ,∠ A = 30°. 求证 : 直线 AB 是⊙ O 的切线 . 连结 OB . ∵ OB = OC , AB = BC ,∠ A= 30° ， ∴∠ OBC =∠ C =∠ A =30° ， ∴∠ AOB =∠ C +∠ OBC =60°. ∵∠ ABO =180°-(∠ AOB +∠ A ) =180°-(60°+30°)=90° ， ∴ AB ⊥ OB ， ∴ AB 为⊙ O 的切线 ( 经过半径的外端并且垂直这条 半径 的直线是圆的切线 ). 证明： ∵ OA = OB =5 ， AB =8 ∴ AC = BC =4 ∴ 在 Rt△ AOC 中， OC =3 ， 又∵⊙ O 的直径长为 6 ， ∴ OC = 半径 r ∴ 直线 AB 是⊙ O 的切线 . 证明： 过点 O 作 OC ⊥ AB C 无交点，作垂直，证 d = r 如图，已知 OA = OB =5 ， AB =8 ，⊙ O 的直径为 6. 求证： AB 与⊙ O 相切 . B Ｏ A 有交点，连半径，证垂直 练习 实际应用 例 2 如图，台风中心 P （ 100 ， 200 ）沿北偏东 30° 方 向移动，受台风影响区域的半径为 200km ，那么下列城市 A （ 200 ， 380 ）， B （ 600 ， 480 ）， C （ 550 ， 300 ）， D （ 370 ， 540 ）中，哪些受到这次台风影响，哪些不受到这次台风影响？ 合作学习 ① OA 与 AT 垂直吗？ 问： 已知直线 AT 切⊙ O 于点 A （切点） , 连结 OA ，则 OA 是半径 . 经过切点的半径垂直于圆的切线 A O T ② 过点 A 作 AT 的垂线，垂线过点 O 吗？ 经过切点垂直于切线的直线必经过圆心 圆的切线的性质： 经过切点的半径垂直于圆的切线． 拓展： (1) 切线和圆只有一个公共点． (2) 圆心到切线的距离等于半径． (3) 经过圆心垂直于切线的直线必经过切点． ( 4) 经过切点垂直于切线的直线必经过圆心． 总结归纳 （判定垂直） （判定半径或直径） 例 3 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径 . 如 图 , 用角尺的较短边紧靠⊙ O 于点 A , 并使较长 边与 ⊙ O 相切 于点 C , 记角尺的 直角顶点为 B , 量 得 AB =8cm , BC =16cm . 求⊙ O 的 半径 . 连 结过切点的半径 是常用的 辅助线 O A B C D 解 ：连结 OA , OC , 过点 A 作 AD ⊥ OC 于 D . ∵ AB ⊥ BC , AD ⊥ OC ∴ 四边形 ABCD 是矩形 ∴ AD = BC , OD = OC - CD = OC - AB 在 Rt△ ADO 中 , 解得 : r =20 答 : ⊙ O 的半径为 20cm ∵⊙ O 与 BC 相切于点 C . ∴ OC ⊥ BC 例 4 已知 : 如图 , 直线 AB 与⊙ O 相切于点 C ， AO 交⊙ O 于点 D ， 连结 CD,OC . 求证：∠ ACD = ∠ COD. 如图 , 作 OE 丄 CD 于点 E ， 则∠ COE + ∠ OCE =90°. ∵ ⊙ O 与 AB 相切于点 C ， ∴ OC 丄 AB ( 经过切点的半径垂直于圆的切线 ）， 即∠ ACD + ∠ OCE= 90°. ∴∠ ACD =∠ COE . ∵△ ODC 是等腰三角形， OE ⊥ CD , ∴ ∠ COE = ∠ COD ∴∠ ACD = ∠ COD 证明： 1. 切线的判定定理。 2. 判定一条直线是圆的切线的方法。 （ 1 ） 定义： 直线和圆有唯一公共点。 （ 2 ） 数量关系： 直线到圆心的距离等于半径。 （ 3 ） 判定定理： 经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线。 3. 辅助线作法： （ 1 ）有公共点：作半径证垂直。 （ 2 ）无公共点：作垂直证半径。 课堂小结 4. 切线的性质： 经过切点的半径垂直于圆的切线 经过切点垂直于切线的直线必经过圆心 5. 切线性质的应用： 常用的辅助线是连接半径． 综合性较强，要联系许多其它图形的性质． 1 . 如图，在等腰直角三角形 ABC 中， AB ＝ AC ＝ 4 ，点 O 为 BC 的中点，以 O 为圆心作半圆 O 交 BC 于点 M ， N ，半圆 O 与 AB ， AC 相切，切点分别为 D ， E ，则半圆 O 的半径和∠ MND 的度数分别为 (    ) A ． 2 ； 22.5° B ． 3 ； 30° C ． 3 ； 22.5° D ． 2 ； 30° 课堂测试 2. 如图，由正方形 ABCD 的顶点 A 引一直线分别交 BD 、 CD 及 BC 的延长线于 E 、 F 、 G ， ⊙ O 是△ CGF 的外接圆； 求证： CE 是⊙ O 的切线。 3. 如图 , 直线 AB 与⊙ O 相切于点 C , 射线 AO 交⊙ O 于点 D ， E , 连结 CD ， CE . 找出图中的一对相似三角形，并说明理由。 C B A O D E 若已知 AC =4cm ，⊙ O 的半径为 3cm ，能否求出图中其它线段的长度？ F 第 2 章 直线与圆的位置关系 2.2 切线长定理 1 、如何过⊙ O 外一点 P 画出⊙ O 的切线？ 2 、这样的切线能画出几条？ 如下左图，借助三角板，我们可以画出 PA 是⊙ O 的切线。 3 、如果∠ P =50°, 求∠ AOB 的度数 画一画 50° 130° P O 课外补充 O A B P 思考 ： 已画出切线 PA 、 PB ， A 、 B 为切点，则∠ OAP = 90 °, 连接 OP ，可知 A 、 B 除了在⊙ O 上，还在怎样的圆上 ? 如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？ 尺规作图：过⊙ O 外一点作⊙ O 的切线 · O P A B 在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做 这点到圆的切线长 切线与切线长是一回事吗？ 它们有什么区别与联系呢？ 切线 长的概 念 · O P A B · · 切线和切线长是两个不同的概念： 1 、切线是一条与圆相切的 直线 ，不能度量； 2 、切线长是 线段 的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。 切线和切线长 O P A B 思考 : 已知 ⊙ O 切线 PA 、 PB ， A 、 B 为 切 点 ，把圆沿着直线 OP 对折 , 你能发现什么 ? O A B P 1 2 请证明你所发现的结论。 PA = PB ∠ OPA =∠ OPB 证明： ∵ PA ， PB 与⊙ O 相切 ， A ， B 是切点 ∴ OA ⊥ PA ， OB ⊥ PB ， 即∠ OAP =∠ OBP =90° ∵ OA = OB ， OP = OP ∴ Rt△ AOP ≌Rt△ BOP (HL) ∴ PA = PB ∠ OPA =∠ OPB 试用文字语言叙述你所发现的结论 B P O A PA 、 PB 分别切⊙ O 于 A 、 B PA = PB ∠ OPA =∠ OPB 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 几何语言 : 反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法 O P A B 若连结两切点 A 、 B ， A B 交 OP 于点 M . 你又能得出什么新的结论 ? 并给出证明 . 结论： OP 垂直平分 AB 证明：∵ PA ， PB 是⊙ O 的切线 , 点 A ， B 是切 点， ∴ PA = PB ， ∠ OPA =∠ OPB ∴△ PAB 是等腰三角形， PM 为顶角的平分 线， ∴ OP 垂直平分 AB B P O A M 若延长 PO 交⊙ O 于点 C ，连结 CA 、 CB ，你又能得出什么新的结论 ? 并给出证明 . 结论： CA = CB 证明：∵ PA ， PB 是⊙ O 的切线 , 点 A ， B 是切点 ∴ PA = PB ∠ OPA =∠ OPB ∴ PC = PC ∴ △ PCA ≌ △ PCB ∴ AC = BC B P O A C （ 3 ）连结圆心和圆外一点 （ 2 ）连结两切点 （ 1 ）分别连结圆心和切点 P B A O 反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。 例 1 、已知： P 为⊙ O 外一点， PA 、 PB 为⊙ O 的切线， A 、 B 为切点， BC 是直径。 求证： AC ∥ OP P A C B D O 例题讲解 练习 1. （口答）如 图 PA 、 PB 分别切圆 O 于 A 、 B ，并与圆 O 的切线分别相交于 C 、 D ，已知 PA =7cm ， (1) 求△ PCD 的周长． (2) 如果∠ P =46°, 求∠ COD 的度数 C · O P B D A E 例 2 、如图，四边形 ABCD 的边 AB 、 BC 、 CD 、 DA 和圆⊙ O 分别相切于点 L 、 M 、 N 、 P ， 求证： AD + BC = AB + CD D L M N A B C O P 证明：由切线长定理得 ∴ AL=AP ， LB=MB,NC=MC ， DN=DP ∴ AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP 即 AB+CD=AD+BC 补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等． 例 3. 如图，△ ABC 中 ,∠ C =90º , 它的内切圆 O 分别与边 AB 、 BC 、 CA 相切于点 D 、 E 、 F ，且 BD =12, AD =8 ， 求⊙ O 的半径 r . O E B D C A F 练习 2. 如图， AB 是⊙ O 的直径， AD 、 DC 、 BC 是切线，点 A 、 E 、 B 为切点， (1) 求证： OD ⊥ OC (2) 若 BC =9 ， AD =4 ，求 OB 的长 . O A B C D E 4 、 OP 交⊙ O 于 M , 则 ， AB OP 牛刀小试 P A B C O M 3 、若 ∠ P =70° ，则∠ AOB = ° 2 、已 知 OA =3cm, OP =6cm ，则∠ APB = 。 60° AM ＝ BM ⌒ ⌒ 110 1 、若 PA =4 、 PM =2 ，求圆 O 的半径 OA 。 OA =3 ⊥ 5 、已 知：如图 , PA 、 PB 是⊙ O 的切线，切点分别是 A 、 B ， Q 为 AB 上一点，过 Q 点作⊙ O 的切线，交 PA 、 PB 于 E 、 F 点，已知 PA =12CM ，求 △ PEF 的周长。 E A Q P F B O 易证 EQ = EA , FQ = FB ， PA=PB ∴ PE+EQ=PA=12cm PF+FQ=PB=PA=12cm ∴周长为 24cm 1. 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 , 它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 B P O 。 A E C D ∵ PA 、 PB 分别切⊙ O 于 A 、 B ∴ PA = PB ,∠OPA=∠OPB OP 垂直平分 AB 切线长定理为证明 线段相等，角相等，弧相等，垂直关系 提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。 课堂小结 2 . 我们学过的切线，常有 性质： (1) 切线 和圆只有一个公共点； (2) 切线 和圆心的距离等于圆的半径； (3) 切线 垂直于过切点的半径； (4) 经过 圆心垂直于切线的直线必过切点； (5) 经过 切点垂直于切线的直线必过圆心。 (6) 从 圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 六个 第 2 章 直线与圆的位置关系 2.3 三角形的内切圆 学习目标： 1 、了解三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外 切三角形的概念。 2 、会利用基本作图作三角形的内切圆。 3 、了解三角形内心的性质，并会进行有关的计算。 1 ．任意作一个∠ ABC ，如果在∠ ABC 内作圆，使其与两边 OA 、 OB 相切，满足上述条件的圆是否可以作出？如果可以作，能作多少个？所作出的圆的圆心 O 的位置有什么特征？为什么？ 圆心 O 在 ∠ ABC 的平分线上。 能作无数个 2．任意作一个△ ABC ，在△ ABC 内作圆，使其与各边都相切，满足上述条件的圆是否可以作出？如果可以作，能作多少个？所作出的圆的圆心 O 的位置有什么特征？为什么？ 圆心 O 在 ∠ ABC 与∠ ACB 的两个角的角平分线的交点上。 O 图 2 A B C 作出三个内角的平分线，三条内角平分线相交于一点，这点就是圆心， 过圆心作一边的垂线，垂线段的长就是半径。 O C A B D 3．如何确定与三角形三边都相切的圆的圆心位置与半径的长？ 三角形与圆的位置关系 与三角形各边都相切的圆叫做 三角形的内切圆 . 这个三角形叫做 圆的外切三角形 . 内切圆的圆心叫做 三角形的内心 . 三角形的内心是三角形三条角平 分线的交点。 老师提示: 三角形的边与圆的位置关系称为切. A B C ● I A B C 下列各图，是三角形的内切圆的是（ ） 名称 图形 确定方法 性质 外心： 三角形外接圆的圆心 三角形三 边 垂 直平分线 的交点 1. OA = OB = OC 2. 外心不一定在三角形的外部． 内心： 三角形内切圆的圆心 三角形三条 角平分线的 交点 1.到三边的距离相等； 2. OA 、 OB 、 OC 分别平分∠ BAC 、∠ ABC 、∠ ACB 3.内心在三角形内部． 1. 已知△ ABC 的三边长分别为 a ， b ， c ，它的内切圆 半径为 r ，你会求△ ABC 的面积吗？ 2. 已知 Rt△ ABC 的两直角边分别为 a ， b ，你会求它的 内切圆半径吗？ A B C O ┓ ● C A B ┐ ┓ ┓ = + + . A B C a b c r r = a+b-c 2 r O 已知：如图，在Rt△ ABC 中， ∠ C =90°，边 BC 、 AC 、 AB 的长分别为 a 、 b 、 c ，求其内切圆 O 的半径长. E D r r a-r a-r b-r+a-r=c b-r F b-r 1 . 本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作法 . 2. 通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出三角形的内切圆、圆的外切三角形概念 . 3. 学习时要明确“接”和“切”的含义、弄清“内心”与“外心”的区别 . 4. 利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想和化整为零思想的运用 . 课堂小结：