1
江苏省七市 2021 届高三第二次调研考试
数学试题
2021．3
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．设集合 M，N，P 均为 R 的非空真子集，且 M N＝R，M N＝P，则 M ( Rð P)＝
A．M B．N C． Rð M D． Rð N
2．已知 xR，则“﹣3≤x≤4”是“lg(x2﹣x﹣2)≤1”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．欧拉恒等式： ie 1 0 被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重
要的数：自然对数的底数 e、圆周率π、虛数单位 i、自然数 1 和 0 完美地结合在一起，
它是在欧拉公式： ie cos isin ( R)中，令 得到的，根据欧拉公式， 2ie 在复
平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”．右图是一种幄帐
的示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条
正脊平行于底面．若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为 1
2
，
底面矩形的长与宽之比为 5：3，则正脊与斜脊长度的比值为
A． 3
5
B． 8
9
C． 9
10
D．1
5．已知 a
， b
， c
均为单位向量，且 2 2a b c ，则 a c ＝
A． 1
2
B． 1
4
C． 1
4
D． 1
2
6．函数 2( ) sin cos 3cosf x x x x 的图象的一条对称轴为
A．
12x B．
6x C．
3x D．
2x
7．某班 45 名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草、植树两项劳动．依据
劳动表现，评定为“优秀”、“合格”2 个等级，结果如下表：
若在两个项目中都“合格”的学生最多有 10 人，则在两个项目中都“优秀”的人数
最多为
A．5 B．10 C．15 D．20
2
8．若 ln ln ln 1a a b b c c ，则
A． e ln e ln e lnb c c a a ba b c B． e ln e ln e lnc a b c a bb a c
C． e ln e ln e lna b c a b cc b a D． e ln e ln e lna b b c c ac a b
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．在每小题给出的四个选项中，
至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．已知数列 na 是等比数列，下列结论正确的为
A．若 1 2 0a a ，则 2 3 0a a B．若 1 3 0a a ，则 1 2 0a a
C．若 2 1 0a a ，则 1 3 22a a a D．若 1 2 0a a ，则 2 1 2 3( )( ) 0a a a a
10．已知函数 2( )f x x a (aR)，则 ( )y f x 的大致图象可能为
11．“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示，由杨辉三角的左腰上的
各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，
则
A．在第 9 条斜线上，各数之和为 55
B．在第 n(n≥5)条斜线上，各数自左往右先增大后减小
C．在第 n 条斜线上，共有 2 1 ( 1)
4
nn 个数
D．在第 11 条斜线上，最大的数是 3
7C
12．如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔 AB（A 为塔顶，B 为塔底）的高度，选取
与 B 在同一水平面内的两点 C 与 D（B，C，D 不在同一直线上），测得 CD＝s，测绘
兴趣小组利用测角仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠
BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔 AB 的高度的是
A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC
B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD
C．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC
D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC
三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置
上）
13．已知随机变量 X~N(2， 2 )，P(X＞0)＝0.9，则 P(2＜X≤4)＝ ．
14．能使“函数 ( ) 1f x x x 在区间 I 上不是单调函数，且在区间 I 上的函数值的集合为[0，
2]．”是真命题的一个区间 I 为 ．
3
15．已知椭圆 C1：
2 2
2 2 1x y
a b
(a＞b＞0)的右顶点为 P，右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合，
C2 的顶点与 C1 的中心 O 重合，若 C1 与 C2 相交于点 A，B，且四边形 OAPB 为菱形，
则 C1 的离心率为 ．
16．在三棱锥 P—ABC 中，AB⊥BC，AC＝8，点 P 到底面 ABC 的距离为 7，若点 P，A，
B，C 均在一个半径为 5 的球面上，则 PA2＋PB2＋PC2 的最小值为 ．
四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10 分）
在△ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，b＝ 5 c，csinA＝1．点 D 是 AC
的中点，BD⊥AB，求 c 和∠ABC．
18．（本小题满分 12 分）
已知数列 na 的前 n 项和为 nS ， 1 4n nS a ，n N ，且 1a ＝4．
（1）证明： 1 2n na a 是等比数列，并求 na 的通项公式；
（2）在① 1n n nb a a ；② 2log n
n
ab n
；③ 2
1
n
n
n n
ab a a
这三个条件中任选一个补充在下
面横线上，并加以解答．
已知数列 nb 满足 ，求 nb 的前 n 项和 nT ．
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．
19．（本小题满分 12 分）
如图，在三棱台 ABC—A1B1C1 中，AC⊥A1B，O 是 BC 的中点，A1O⊥平面 ABC．
（1）求证：AC⊥BC；
（2）若 A1O＝1，AC＝ 2 3 ，BC＝A1B1＝2，求二面角 B1—BC—A 的大小．
4
20．（本小题满分 12 分）
甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5 局 3 胜制”（即有一支球队先胜 3 局即获
胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以 3：0 或 3：1 取胜的球
队积 3 分，负队积 0 分：以 3：2 取胜的球队积 2 分，负队积 1 分．已知甲、乙两队比赛，
甲每局获胜的概率为 2
3
．
（1）甲、乙两队比赛 1 场后，求甲队的积分 X 的概率分布列和数学期望；
（2）甲、乙两队比赛 2 场后，求两队积分相等的概率．
21．（本小题满分 12 分）
已知双曲线 C：
2 2
2 2 1x y
a b
(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P(3，1)在 C
上，且 1 2PF PF ＝10．
（1）求 C 的方程；
（2）斜率为﹣3 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 B 关于原点的对称点为 D，若直线
PA，PD 的斜率存在且分别为 1k ， 2k ，证明： 1 2k k 为定值．
22．（本小题满分 12 分）
已知函数 ( ) e (ln 1)axf x x (aR)， ( )f x 为 ( )f x 的导数．
（1）设函数 ( )( ) eax
f xg x ，求 ( )g x 的单调区间；
（2）若 ( )f x 有两个极值点 1x ， 2x ( 1x ＜ 2x )，①求实数 a 的取值范围；②证明：当
3
22ea
时， 1 2
1 2
( ) ( )f x f x
x x
．
5
江苏省七市 2021 届高三第二次调研考试
数学试题
2021．3
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．设集合 M，N，P 均为 R 的非空真子集，且 M N＝R，M N＝P，则 M ( Rð P)＝
A．M B．N C． Rð M D． Rð N
答案：D
解析：利用画韦恩图的方法即可判断 D 符合题意．
2．已知 xR，则“﹣3≤x≤4”是“lg(x2﹣x﹣2)≤1”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案：B
解析： 20 2 10 3 1x x x 或 2 4x ．
3．欧拉恒等式： ie 1 0 被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重
要的数：自然对数的底数 e、圆周率π、虛数单位 i、自然数 1 和 0 完美地结合在一起，
它是在欧拉公式： ie cos isin ( R)中，令 得到的，根据欧拉公式， 2ie 在复
平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案：B
解析： 2ie cos2 isin 2 ， cos2 0 ， sin2 0 ，选 B．
4．“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”．右图是一种幄帐
的示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条
正脊平行于底面．若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为 1
2
，
底面矩形的长与宽之比为 5：3，则正脊与斜脊长度的比值为
A． 3
5
B． 8
9
C． 9
10
D．1
答案：B
解析：过正左高得 3
4h ，正＝ 35 2 22
，斜＝ 2 2 23 3 3 9( ) ( ) ( )2 2 4 4
，故正脊与斜脊长
度的比值为 8
9
．
5．已知 a
， b
， c
均为单位向量，且 2 2a b c ，则 a c ＝
A． 1
2
B． 1
4
C． 1
4
D． 1
2
答案：C
解析： 1
2b c a ， 2 2 21 1 11 14 4 4b c a c a a c a c ．
6
6．函数 2( ) sin cos 3cosf x x x x 的图象的一条对称轴为
A．
12x B．
6x C．
3x D．
2x
答案：A
解析： 1 3(1 cos2 ) 3( ) sin 2 sin(2 )2 2 3 2
xf x x x ，
2 3 2 12 2
kx k x ，选 A．
7．某班 45 名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草、植树两项劳动．依据
劳动表现，评定为“优秀”、“合格”2 个等级，结果如下表：
若在两个项目中都“合格”的学生最多有 10 人，则在两个项目中都“优秀”的人数
最多为
A．5 B．10 C．15 D．20
答案：C
解析：设都合格的人为 a，除草合格植树优秀的人为 b，除草优秀和指数合格的人为 c，都
优秀的人为 d，
．
8．若 ln ln ln 1a a b b c c ，则
A． e ln e ln e lnb c c a a ba b c B． e ln e ln e lnc a b c a bb a c
C． e ln e ln e lna b c a b cc b a D． e ln e ln e lna b b c c ac a b
答案：C
解析： ，
令 故 AD 错，对于 B，
，B 错误，故选 C．
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．在每小题给出的四个选项中，
至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．已知数列 na 是等比数列，下列结论正确的为
A．若 1 2 0a a ，则 2 3 0a a B．若 1 3 0a a ，则 1 2 0a a
7
C．若 2 1 0a a ，则 1 3 22a a a D．若 1 2 0a a ，则 2 1 2 3( )( ) 0a a a a
答案：AC
解析：对于 B，取 ，则 ，即 B 错误；
对于 D，若 ，则 ，所以 ，所以 ，即 D
错误．故选 AC．
10．已知函数 2( )f x x a (aR)，则 ( )y f x 的大致图象可能为
答案：ABD
解析：当 a＜0 时， ，即 ，所以该曲线是焦点在 y 轴上的双曲线的
上半支，即为 D ；
当 a＝0 时， ，即为 A；
当 a＞0 时，若 ，则 ，该曲线在区间 上是圆心在
原点的上半圆；若 ，则 ，则该曲线是焦点在 x 轴
上的双曲线位于 x 轴上方的部分，即为 B．
11．“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示，由杨辉三角的左腰上的
各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，
则
A．在第 9 条斜线上，各数之和为 55
B．在第 n(n≥5)条斜线上，各数自左往右先增大后减小
C．在第 n 条斜线上，共有 2 1 ( 1)
4
nn 个数
D．在第 11 条斜线上，最大的数是 3
7C
答案：BCD
解析：由题意，第 2n 条斜线上的数依次为 ，
第 2n＋1 条斜线上的数依次为 ，
对于 A，第九条斜线的各数之和为 ，即 A 错
8
误；
对于 B，由图中数据特点可知，B 正确；
对于 C，当 n＝2k 时，数据个数为 k 个，即为 ，
当 n＝2k＋1 时，数据个数为 k＋1 个，即为 ，又 n＝1 也符合，即
C 正确；
对于 D，第 11 条斜线上的个数为 ，即为 1，9，28，35，15，1，所
以 3
7C 最大，即 D 正确．
12．如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔 AB（A 为塔顶，B 为塔底）的高度，选取
与 B 在同一水平面内的两点 C 与 D（B，C，D 不在同一直线上），测得 CD＝s，测绘
兴趣小组利用测角仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠
BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔 AB 的高度的是
A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC
B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD
C．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC
D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC
答案：ACD
解析：对于 A，已知∠BCD，∠BDC，CD，即可解△BCD，可得 BC，又由 AB＝BC·tan
∠ACB，可求得塔高，即 A 正确；
对于 B，若确定∠ACB，∠BCD，则∠ACD 即确定，故此组数据存在多余条件∠ACD，
而由∠ACB，∠BCD 与 CD 无法求的塔高，即 B 错误；
对于 C，已知∠ACD，∠ADC，CD，即可解△ACD，可得 AC，又由 AB＝AC·sin
∠ACB，可求得塔高，即 C 正确；
对于 D，若确定∠ACB，∠BCD，则∠ACD 即确定，又由 C 可知，可求得塔高，即
D 正确．
三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置
上）
13．已知随机变量 X~N(2， 2 )，P(X＞0)＝0.9，则 P(2＜X≤4)＝ ．
答案：0.4
解析：因为 ，且 ，所以 ，
又 ，所以 P(2＜X≤4)＝0.4．
14．能使“函数 ( ) 1f x x x 在区间 I 上不是单调函数，且在区间 I 上的函数值的集合为[0，
2]．”是真命题的一个区间 I 为 ．
答案：[0，2]答案不唯一
解析：已知 ，所以 在 和 上单调递增，在 上单调递
9
减，又 ，则符合题意的一个区间 I 可为[0，2]．
15．已知椭圆 C1：
2 2
2 2 1x y
a b
(a＞b＞0)的右顶点为 P，右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合，
C2 的顶点与 C1 的中心 O 重合，若 C1 与 C2 相交于点 A，B，且四边形 OAPB 为菱形，
则 C1 的离心率为 ．
答案： 1
3
解析：设抛物线方程为 y2＝2px(p＞0)，椭圆焦距为 2c(c＞0)，则由题意可知，
2
pc ，即抛
物线方程可写为 y2＝4cx，代入椭圆方程，可得 ，又由题意可知，
2
ax 为
上述方程的解，则 ，所以 ，所以 ，解得 e＝ 1
3
．
16．在三棱锥 P—ABC 中，AB⊥BC，AC＝8，点 P 到底面 ABC 的距离为 7，若点 P，A，
B，C 均在一个半径为 5 的球面上，则 PA2＋PB2＋PC2 的最小值为 ．
答案：198
解析：如图，因为 AB⊥BC，AC＝8，所以平面 ABC 是直径为 8 的球的截面圆，设圆心为
O2，又球的半径为 5，则球心 O 到面 ABC 的距离为 3，因为 P 到面 ABC 的距离为 7，
则点 P 位于到圆心的距离为 4 的截面圆上，且圆半径为 3，过 P 作 PH⊥平面 ABC，
则 PA2＋PB2＋PC2＝3PH2＋HA2＋HB2＋HC2，
因为 ，
且 ，
所以(PA2＋PB2＋PC2)min＝147＋1＋50＝198．
四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10 分）
在△ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，b＝ 5 c，csinA＝1．点 D 是 AC
的中点，BD⊥AB，求 c 和∠ABC．
解：在直角三角形 ABD 中， ，所以 ，
10
所以 ，
又因为 ，所以 ，
由 得， ，因为 ， ，则 ，
在△ABC 中，由余弦定理，得 ，
由正弦定理，得 ，即 ，所以 ，
又因为 ，所以 ．
18．（本小题满分 12 分）
已知数列 na 的前 n 项和为 nS ， 1 4n nS a ，n N ，且 1a ＝4．
（1）证明： 1 2n na a 是等比数列，并求 na 的通项公式；
（2）在① 1n n nb a a ；② 2log n
n
ab n
；③ 2
1
n
n
n n
ab a a
这三个条件中任选一个补充在下
面横线上，并加以解答．
已知数列 nb 满足 ，求 nb 的前 n 项和 nT ．
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．
解：（1）当 时，因为 ，所以 ，两式相减得， ，
所以 ，
当 时，因为 ，所以 ，又 ，故 ，于是 ，
所以 ，两边除以 得， ，
又 ，所以 是以 2 为首项 1 为公差的等差数列，
所以 ，即 ，
（2）若选①： ，即 ，
因为 ，
所以 ，
11
两式相减得，
所以 ，
若选②： ，即 ，
所以
若选③： ，即 ，
所以
．
19．（本小题满分 12 分）
如图，在三棱台 ABC—A1B1C1 中，AC⊥A1B，O 是 BC 的中点，A1O⊥平面 ABC．
（1）求证：AC⊥BC；
（2）若 A1O＝1，AC＝ 2 3 ，BC＝A1B1＝2，求二面角 B1—BC—A 的大小．
解：（1）因为 平面 ABC，AC 平面 ABC，所以 A1O⊥AC，
又因为 平面 平面 ，
所以 AC⊥平面
又因为 平面 ，所以 AC⊥BC；
（2）以 O 为坐标原点，与 CA 平行的直线为 x 轴，OB 所在直线为 y 轴，OA1 所在直线
为 z 轴，
建立如所示的空间直角坐标系 O—xyz，
则 O(0，0，0)，A( ，﹣1，0)，B(0，1，0)，A1(0，0，1)，
12
所以 ，
于是 AB＝4，由 ABC—A1B1C1 是三棱台，所以 AB∥A1B1
又因为 ，所以 ，
所以 ，
设平面 的法向量 ，由
得 ，取 x＝1，则 ，即
因为 平面 ABC，所以平面 ABC 的法向量为
所以 ，
因为二面角 为钝二面角，所以二面角 的大小是
20．（本小题满分 12 分）
甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5 局 3 胜制”（即有一支球队先胜 3 局即获
胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以 3：0 或 3：1 取胜的球
队积 3 分，负队积 0 分：以 3：2 取胜的球队积 2 分，负队积 1 分．已知甲、乙两队比赛，
甲每局获胜的概率为 2
3
．
（1）甲、乙两队比赛 1 场后，求甲队的积分 X 的概率分布列和数学期望；
（2）甲、乙两队比赛 2 场后，求两队积分相等的概率．
解：（1）依题意，X 的所有可能取值为 0，1，2，3，且
所以 X 的概率分布列为
所以 ；
（2）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件 A，设第 i 场甲、乙两队积分分别
为 Xi，Yi，则 ，因两队积分相等，则 ，即
13
，则
所以
答：甲、乙比赛两场后，两队积分相等的概率为 ．
21．（本小题满分 12 分）
已知双曲线 C：
2 2
2 2 1x y
a b
(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P(3，1)在 C
上，且 1 2PF PF ＝10．
（1）求 C 的方程；
（2）斜率为﹣3 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 B 关于原点的对称点为 D，若直线
PA，PD 的斜率存在且分别为 1k ， 2k ，证明： 1 2k k 为定值．
解：（1）设 ，其中 ，
因为 ，所以 ，
解得 或 ，又 ，故 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 C 的方程为 ；
（2）设 ，则 ，
设直线 l 方程为 y＝﹣3x＋m，与双曲线 C 方程联立，消去 y 得，
，
由 ，得
所以 ，
所以 ，
14
所以 1 2k k 为定值．
22．（本小题满分 12 分）
已知函数 ( ) e (ln 1)axf x x (aR)， ( )f x 为 ( )f x 的导数．
（1）设函数 ( )( ) eax
f xg x ，求 ( )g x 的单调区间；
（2）若 ( )f x 有两个极值点 1x ， 2x ( 1x ＜ 2x )，①求实数 a 的取值范围；②证明：当
3
22ea
时， 1 2
1 2
( ) ( )f x f x
x x
．
解：（1） ( )f x 的定义域为 ，则 ，
①当 时， 在 上恒成立， 单调递减；
②当 时，令 得， ，所以，当 时， ， 递减；
当 时， 递增，
综上，当 时， 的减区间为 ，无增区间；当 时， 的减区
间为 ，增区间为 ；
（2）①由题意可知， 有两个零点，又由（1）知 不合题意；
当 ，极小值
1>当 不合题意；
2>当 仅一个零点，不合题意；
3>当 ，故 和 上各一个零点，符
合题意
综上， ；
②因为 故
又因为 是 的两个零点，所以 ，
所以
15
记 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
又因为 ，所以 ，即 1 2
1 2
( ) ( )f x f x
x x
．
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