甘肃省2021年中考数学模拟试题含答案（2）

2021 年甘肃省初中毕业与升学考试数学 模拟卷(二) (考试时间：120 分钟 满分：120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分) 1．(2020·郴州)如图表示互为相反数的两个点是 ( B ) A．点 A 与点 B B．点 A 与点 D C．点 C 与点 B D．点 C 与点 D 2．(2020·陕西)若∠A＝23°，则∠A 余角的大小是 ( B ) A．57° B．67° C．77° D．157° 3．(2020·荆州)若 x 为实数，在“( 3 ＋1)□x”的“□”中添上 一种运算符号(在“＋，－，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有 理数，则 x 不可能是 ( C ) A． 3 ＋1 B． 3 －1 C．2 3 D．1－ 3 4．(2020·眉山)如图所示的几何体的主视图为 ( D ) A B C D 5．(2020·云南)下列运算中正确的是 ( D ) A． 4 ＝±2 B． 1 2 －1 ＝－2 C．(－3a)3＝－9a3 D．a6÷a3＝a3(a≠0) 6．(2020·毕节)已知a b ＝2 5 ，则a＋b b 的值为 ( C ) A．2 5 B．3 5 C．7 5 D．2 3 7．(2020·潍坊)如果关于 x 的一元二次方程 kx2－3x＋1＝0 有两个 实数根，那么 k 的取值范围是 ( C ) A．k≥9 4 B．k≥－9 4 且 k≠0 C．k≤9 4 且 k≠0 D．k≤－9 4 8．(2020·锦州)如图，在菱形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上一动点， 过点 P 作 PE⊥BC 于点 E.PF⊥AB 于点 F.若菱形 ABCD 的周长为 20，面 积为 24，则 PE＋PF 的值为 ( B ) A．4 B．24 5 C．6 D．48 5 第 8 题图 第 9 题图 9．(2019·陕西)如图，AB 是⊙O 的直径，EF，EB 是⊙O 的弦，且 EF ＝EB，EF 与 AB 交于点 C，连接 OF.若∠AOF＝40°，则∠F 的度数是 （ B ） A．20° B．35° C．40° D．55° 10．★(2020·镇江)如图①，AB＝5，射线 AM∥BN，点 C 在射线 BN 上，将△ABC 沿 AC 所在直线翻折，点 B 的对应点 D 落在射线 BN 上， 点 P，Q 分别在射线 AM，BN 上，PQ∥AB.设 AP＝x，QD＝y.若 y 关于 x 的函数图象(如图②)经过点 E(9，2)，则 cos B 的值等于 ( D ) 图① 图② A．2 5 B．1 2 C．3 5 D． 7 10 二、填空题(本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分) 11．(2020·潍坊)若|a－2|＋ b－3 ＝0，则 a＋b＝__5__． 12．(2020·常德)分解因式：xy2－4x＝__x(y＋2)·(y－2)__． 13．(2020·无锡)我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多 四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用 绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余 绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是__8__尺． 14．(2020·黄冈)计算： y x2－y2 ÷ 1－ x x＋y 的结果是__ 1 x－y __． 15．(2020·张掖模拟)在一个不透明的小盒中装有 m 张除颜色外其他 完全相同的卡片，这 m 张卡片中两面均为红色的只有 3 张．搅匀后， 从小盒中任意抽出一张卡片记下颜色，再放回小盒中．通过大量重复 抽取卡片实验，发现抽到两面均为红色卡片的频率稳定在 0.3 附近， 可推算出 m 的值约为__10__． 16．(2020·广州)如图，点 A 的坐标为(1，3)，点 B 在 x 轴上，把△ OAB 沿 x 轴向右平移到△ECD，若四边形 ABDC 的面积为 9，则点 C 的 坐标为__(4，3)__． 第 16 题图 第 17 题图 17．(2020·宁波)如图，折扇的骨柄长为 27 cm，折扇张开的角度为 120°，图中 AB 的长为__18π__cm(结果保留π). 18．(2020·滨州)观察下列各式：a1＝2 3 ，a2＝3 5 ，a3＝10 7 ，a4＝15 9 ， a5＝26 11 ，…，根据其中的规律可得 an＝n2＋（－1）n＋1 2n＋1 (用含 n 的式 子表示). 三、解答题(一)(本大题共 5 小题，共 26 分) 19．(4 分)(2020·毕节)计算：|－2|＋(π＋3)0＋2cos30°－ 1 3 －1 － 12 . 解：原式＝2＋1＋2× 3 2 －3－2 3 ＝2＋1＋ 3 －3－2 3 ＝－ 3 . 20．(4 分)(2020·嘉峪关模拟)解不等式组 1－x＜－2， 2（x＋1）＞4， 并求出 它的最小整数解． 解： 1－x＜－2①， 2（x＋1）＞4②， 解不等式①得：x＞3， 解不等式②得：x＞1， ∴不等式组的解集是 x＞3， ∴最小整数解是 4. 21．(6 分)如图，D 是△ABC 的 BC 边上一点，连接 AD，作△ABD 的外 接圆，将△ADC 沿直线 AD 折叠，点 C 的对应点 E 落在⊙O 上． (1)求证：AE＝AB； (2)若∠CAB＝90°，cos ∠ADB＝1 3 ，BE＝2，求 BC 的长． 证明：(1)由折叠可知， △ACD≌△AED， ∴AC＝AE，CD＝ED， ∠C＝∠DEA. ∵∠DEA＝∠DBA， ∴∠C＝∠DBA. ∴AC＝AB.∴AE＝AB. (2)过点 A 作 AH⊥BE 于点 H. ∵AB＝AE，BE＝2， ∴BH＝EH＝1 2 BE＝1 2 ×2＝1. ∵∠ABE＝∠AEB＝∠ADB，cos ∠ADB＝1 3 ， ∴cos ∠ABE＝cos ∠ADB＝1 3 . ∴BH AB ＝1 3 .∴AC＝AB＝3. ∵∠BAC＝90°，AC＝AB， ∴BC＝ 32＋32 ＝3 2 . 22．(6 分)(2020·菏泽)某兴趣小组为了测量大楼 CD 的高度，先沿 着斜坡 AB 走了 52 米到达坡顶点 B 处，然后在点 B 处测得大楼顶点 C 的仰角为 53°，已知斜坡 AB 的坡度为 i＝1 ∶2.4，点 A 到大楼的距 离 AD 为 72 米，求大楼的高度 CD. 参考数据：sin 53°≈4 5，cos 53°≈3 5，tan 53°≈4 3 解：如图，过点 B 作 BE⊥AD 于点 E，BF⊥CD 于点 F， ∵CD⊥AD， ∴四边形 BEDF 是矩形， ∴FD＝BE，FB＝DE， 在 Rt△ABE 中，BE ∶AE＝1 ∶2.4＝5 ∶12， 设 BE＝5x，AE＝12x， 根据勾股定理，得 AB＝13x， ∴13x＝52，解得 x＝4， ∴BE＝FD＝5x＝20(米)，AE＝12x＝48(米)， ∴DE＝FB＝AD－AE＝72－48＝24(米)， ∴在 Rt△CBF 中，CF＝FB×tan ∠CBF≈24×4 3 ＝32(米)， ∴CD＝FD＋CF＝20＋32＝52(米). 答：大楼的高度 CD 约为 52 米． 23．(6 分)(2020·鞍山)甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌 的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A.纯牛奶， B.核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C.纯牛奶，D.酸奶，E. 核桃奶. (1)甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率 是______； (2)若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙 两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列 表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率． 解：(1)答案为：2 5 ； (2)根据题意画树状图如下： 可知共有 6 种等可能的情况数，其中两人选购到同一种类奶制品的有 2 种， 则两人选购到同一种类奶制品的概率是2 6 ＝1 3 . 四、解答题(二)(本大题共 5 小题，共 40 分) 24．(7 分)(2020·长春)5 月 20 日九年级复学啦！为了解学生的体温 情况，班主任张老师根据全班学生某天上午的《体温监测记载表》， 绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)频数分布表中 a＝________，该班学生体温的众数是________， 中位数是________； (2)扇形统计图中 m＝________，丁组对应的扇形的圆心角是________ 度； (3)求该班学生的平均体温(结果保留小数点后一位). 解：(1)10，36.5，36.5； (2)15，36； (3)该班学生的平均体温为： 36.3×6＋36.4×10＋36.5×20＋36.6×4 40 ＝36.455≈36.5(℃). 25．(7 分)(2020·酒泉模拟)小泽根据学习函数的经验，对函数 y＝ x－1 的图象与性质进行了探究．下面是小泽的探究过程，请补充 完成： (1)函数 y＝ x－1 的自变量 x 的取值范围是________，函数值 y 的 取值范围是________； (2)下表为 y 与 x 的几组对应值： x 1 2 3 4 5 … y 0 1 1.41 1.73 2 … 在所给的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点， 并画出该函数的图象； (3)当 x＝6 时，对应的函数值 y 约为________； (4)结合图象写出该函数的一条性质：________． 解：(1)x≥，y≥0.(2)如图所示： (3)当 x＝6 时，对应的函数值 y 约为 2.23； (4)y 随 x 的增大而增大． 26．(8 分)(2020·葫芦岛)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AC 是直径， AB＝BC，连接 BD，过点 D 的直线与 CA 的延长线相交于点 E，且∠EDA ＝∠ACD. (1)求证：直线 DE 是⊙O 的切线； (2)若 AD＝6，CD＝8，求 BD 的长． (1)证明：连接 OD， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC， ∵AC 是直径，∴∠ADC＝90°， ∵∠EDA＝∠ACD， ∴∠ADO＋∠ODC＝ ∠EDA＋∠ADO， ∴∠EDO＝∠EDA＋∠ADO＝90°，∴OD⊥DE， ∵OD 是半径，∴直线 DE 是⊙O 的切线． (2)解：过点 A 作 AF⊥BD 于点 F，则∠AFB＝∠AFD＝90°， ∵AC 是直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°， ∵在 Rt△ACD 中，AD＝6，CD＝8， ∴AC2＝AD2＋CD2＝62＋82＝100，∴AC＝10， ∵在 Rt△ABC 中，AB＝BC， ∴∠BAC＝∠ACB＝45°， ∵sin ∠ACB＝AB AC ，∴AB＝sin 45°·AC＝5 2 ， ∵∠ADB＝∠ACB＝45°， ∵在 Rt△ADF 中，AD＝6，sin ∠ADF＝AF AD ， ∴AF＝sin 45°·AD＝3 2 ，∴DF＝AF＝3 2 ， ∵在 Rt△ABF 中， ∴BF2＝AB2－AF2＝(5 2 )2－(3 2 )2＝32， ∴BF＝4 2 ，∴BD＝BF＋DF＝7 2 . 27．(8 分)(2020·锦州)已知△AOB 和△MON 都是等腰直角三角形 2 2 OA＜OM＝ON ，∠AOB＝∠MON＝90°. 图① 图② 备用图 (1)如图①：连接 AM，BN，求证：△AOM≌△BON； (2)若将△MON 绕点 O 顺时针旋转， ①如图②，当点 N 恰好在 AB 边上时，求证：BN2＋AN2＝2ON2； ②当点 A，M，N 在同一条直线上时，若 OB＝4，ON＝3，请直接写出 线段 BN 的长． (1)证明：如图①中， ∵∠AOB＝∠MON＝90°，∴∠AOM＝∠BON， ∵AO＝BO，OM＝ON，∴△AOM≌△BON(SAS). (2)①证明：如图②中，连接 AM. 同法可证△AOM≌△BON， ∴AM＝BN，∠OAM＝∠OBN， ∵∠OAB＝∠B＝45°， ∴∠MAN＝∠OAM＋∠OAB＝90°，∴MN2＝AN2＋AM2， ∵△MON 是等腰直角三角形， ∴MN2＝2ON2，∴BN2＋AN2＝2ON2. ②如图③－1 中，设 OA 交 BN 于 J，过点 O 作 OH⊥MN 于 H. ∵△AOM≌△BON，∴AM＝BN， ∴∠ANJ＝∠JOB＝90°， ∵OM＝ON＝3，∠MON＝90°，OH⊥MN， ∴MN＝3 2 ，MH＝HN＝OH＝3 2 2 ， ∴AH＝ OA2－OH2 ＝ 42－ 3 2 2 2 ＝ 46 2 ， ∴BN＝AM＝MH＋AH＝ 46＋3 2 2 . 图③－1 图③－2 如图③－2 中，同法可证 AM＝BN＝ 46－3 2 2 . 28．(10 分)(2020·乐山)已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交于 A(－ 1，0)，B(5，0)两点，C 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交 x 轴于 点 D，连接 BC，且 tan ∠CBD＝4 3 ，如图所示． (1)求抛物线的解析式； (2)设 P 是抛物线的对称轴上的一个动点． ①过点 P 作 x 轴的平行线交线段 BC 于点 E，过点 E 作 EF⊥PE 交抛物 线于点 F，连接 FB，FC，求△BCF 的面积的最大值； ②连接 PB，求 3 5 PC＋PB 的最小值． 解：(1)根据题意，可设抛物线的解析式为 y＝a(x＋1)(x－5)， 且抛物线的对称轴为直线 x＝2， ∴D(2，0)， 又∵tan ∠CBD＝4 3 ＝CD DB ， ∴CD＝BD·tan ∠CBD＝4， 即 C(2，4)，代入抛物线的解析式，得 4＝a(2＋1)(2－5)， 解得 a＝－4 9 ， ∴二次函数的解析式为 y＝－4 9 (x＋1)(x－5)＝－4 9 x2＋16 9 x＋20 9 . (2)①设 P(2，t)，其中 0＜t＜4， 设直线 BC 的解析式为 y＝kx＋b， ∴ 0＝5k＋b， 4＝2k＋b. 解得 k＝－4 3， b＝20 3 ． 即直线 BC 的解析式为 y＝－4 3 x＋20 3 ， 令 y＝t，得 x＝5－3 4 t，∴点 E 5－3 4t，t ， 把 x＝5－3 4 t 代入 y＝－4 9 (x＋1)(x－5)，得 y＝t 2－t 4 ， 即 F 5－3 4t，2t－1 4t2 ，∴EF＝ 2t－1 4t2 －t＝t－t2 4 ， ∴△BCF 的面积＝1 2 ×EF×BD＝3 2 t－t2 4 ＝－3 8 (t2－4t)＝－3 8 (t －2)2＋3 2 ， ∴当 t＝2 时，△BCF 的面积最大，且最大值为3 2 ； ②如图，连接 AC，根据图形的对称性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5， ∴sin ∠ACD＝AD AC ＝3 5 ， 过点 P 作 PG⊥AC 于 G，则在 Rt△PCG 中，PG＝PC·sin ∠ACD＝3 5 PC， ∴3 5 PC＋PB＝PG＋PB， 过点 B 作 BH⊥AC 于点 H，则 PG＋PB≥BH， ∴线段 BH 的长就是 3 5 PC＋PB 的最小值， ∵S△ABC＝1 2 ×AB×CD＝1 2 ×6×4＝12， 又∵S△ABC＝1 2 ×AC×BH＝5 2 BH， ∴5 2 BH＝12，即 BH＝24 5 ， ∴3 5 PC＋PB 的最小值为24 5 .