甘肃省2021年中考数学模拟试题含答案（4）

2021 年甘肃省初中毕业与升学考试数学 模拟卷(四) (考试时间：120 分钟 满分：120 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．－2 的倒数是 （ D ） A．2 B．1 2 C．－2 D．－1 2 2．如图所示几何体的左视图是 （ B ） A B C D 3．科学家在实验室检测出新型冠状病毒的直径为 0.000 000 125 m， 用科学记数法表示为 （ B ） A．1.25×10－6 m B．1.25×10－7 m C．125×10－8 m D．125×10－9 m 4．如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2＝ 25°，则∠1 的度数为 （ C ） A．45° B．55° C．65° D．75° 第 4 题图 5．下列计算正确的是 （ D ） A．a2＋a3＝a5 B．a6÷a3＝a2 C．5x－3x＝2 D．(－2a2b)3＝－8a6b3 6．方程 x(x＋3)＝x 的解是 （ D ） A．x1＝x2＝－3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝0，x2＝－3 D．x1＝0，x2＝－2 7．已知，点 A(m－1，3)与点 B(2，n－1)关于 x 轴对称，则(m＋n)2 020 的值为 （ B ） A．0 B．1 C．－1 D．32 020 8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100 匹马恰好拉了 100 片瓦，已知 3 匹小马能拉 1 片瓦，1 匹大马能拉 3 片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有 x 匹，大马有 y 匹，则 下列方程组中正确的是 （ C ） A． x＋y＝100 y＝3x B． x＋y＝100 x＝3y C． x＋y＝100 1 3x＋3y＝100 D． x＋y＝100 1 3y＋3x＝100 9．如图，△ABC 中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F 为 AB 延长线上一点， 点 E 在 BC 上，且 AE＝CF，若∠BAE＝25°，则∠ACF＝ （ A ） A．70° B．75° C．60° D．65° 第 9 题图 10．如图，A，B，C 三点在⊙O 上，D 是 CB 延长线上的一点，∠ABD ＝40°，那么∠AOC 的度数为 （ A ） A．80° B．70° C．50° D．40° 第 10 题图 11．如果反比例函数 y＝1－2m x 的图象在每个象限内，y 随着 x 的增 大而增大，则 m 的最小整数值为 （ C ） A．－1 B．0 C．1 D．2 12．★如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝8，BC＝6， 分别以 A，C 为圆心，大于 1 2 AC 的长为半径作弧，两弧交于点 E，作 射线 BE 交 AD 于点 F，交 AC 于点 O，若点 O 是 AC 的中点，则 CD 的长 为 （ A ） A．4 2 B．2 10 C．6 D．8 第 12 题图 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分) 13．分解因式：－2a2＋8ab－8b2＝－2(a－2b)2． 14．若二次函数 y＝mx2＋(m－2)x＋m 的顶点在 x 轴上， 则 m＝－2 或2 3 ． 15．如果两个相似三角形的面积之比为 4∶9，那么周长之比为 2∶3． 16．(2020·毕节)如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是边 AB 的中点，点 P 是对角线 BD 上的动点，则 AP＋PE 的最小值是 2 5 ． 三、解答题(本大题共 12 小题，共 72 分，解答时应写出必要文字说 明，证明过程或者演算步骤) 17．(4 分)计算： 3 12－2 1 3 ÷2 3 . 解：原式＝ 6 3－2 3 3 ÷2 3 ＝16 3 3 × 1 2 3 ＝8 3 . 18．(4 分)解不等式组 x－3 2（2x－1）≤4， 2（x＋2）>3x， 并求出不等式组的整数 解； 解： x－3 2（2x－1）≤4 ① 2（x＋2）>3x ② ， 由不等式①，得 x≥－5 4 ， 由不等式②，得 x＜4， 故原不等式组的解集是－5 4 ≤x＜4， ∴该不等式组的整数解是－1，0，1，2，3. 19．(4 分)先化简，再求值： a＋3 a－1－ 1 a－1 ÷a2＋4a＋4 a2－a ， 其中 a＝2. 解：原式＝a＋2 a－1 ÷（a＋2）2 a（a－1） ＝a＋2 a－1 ·a（a－1） （a＋2）2 ＝ a a＋2 . 当 a＝2 时，原式＝2 4 ＝1 2 . 20．(5 分)在△ABC 中，AB＝AC，BD＝CE，CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于 点 E. (1)如图①，求证：△ABE≌△ACD； (2)如图②，BE 与 CD 交于点 O，连接 AO，直接写出图中所有的全等 三角形(△ABE≌△ACD 除外). (1)证明：∵AB＝AC，BD＝CE， ∴AB－BD＝AC－CE，∴AD＝AE， ∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠ADC＝90°， 在 Rt△ABE 和 Rt△ACD 中 AB＝AC AE＝AD ，∴Rt△ABE≌Rt△ACD(HL)； (2)解：∵Rt△ABE≌Rt△ACD， ∴∠ABE＝∠ACD，在△DOB 和△EOC 中 ∠DOB＝∠EOC， ∠DBO＝∠ECO， DB＝CE， ∴△DOB≌△EOC(AAS)， ∴OB＝OC，DO＝EO， ∴∠EBC＝∠DCB，OD＋OC＝OE＋OB， ∴DC＝BE，在△BEC 和△CDB 中 BE＝CD ∠EBC＝∠DCB BC＝CB ，∴△BEC≌△CDB(SAS)， 在△ABO 和△ACO 中， AB＝AC， AO＝AO， BO＝CO， ∴△ABO≌△ACO(SSS)， 在△ADO 和△AEO 中， AO＝AO， AD＝AE， DO＝EO， ∴△ADO≌△AEO(SSS)， 即全等三角形有：△DOB≌△EOC，△BEC≌△CDB，△ABO≌△ACO，△ ADO≌△AEO. 21．(5 分)酒令是中国民间风俗之一．白居易曾诗曰：“花时同醉破 春愁，醉折花枝当酒筹”饮酒行令，是中国人在饮酒时助兴的一种特 有方式，不仅要以酒助兴，往往还伴之以赋诗填词、猜迷形拳之举， 最早诞生于西周，完备于隋唐，“虎棒鸡虫令”是其中一种：“二人相 对，以筷子相声，同时或喊虎、喊棒、喊鸡、喊虫，以棒打虎、虎吃 鸡、鸡吃虫、虫嗑棒论胜负，负者饮．若棒兴鸡、或虫兴虎同时出现 (解释：若棒与鸡，虎与虫同时喊出)或两人喊出同一物，则不分胜负， 继续喊”．依据上述规则，张三和李四同时随机地喊出其中一物，两 人只喊一次． (1)求张三喊出“虎”取胜的概率； (2)用列表法或画树状图法，求李四取胜的概率； (3)直接写出两人能分出胜负的概率． 解：(1)张三喊出“虎”取胜的概率为1 4 ； (2)分别用 1，2，3，4 表示老虎，棒子，鸡，虫，列表得： 张三 李四 1 2 3 4 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) 由表可知，共有 16 种等可能的结果，其中李四取胜的结果共有 4 种， ∴P(李四取胜)＝ 4 16 ＝1 4 ； (3)从上表可知，张三取胜的结果共有 4 种， ∴P(张三取胜)＝ 4 16 ＝1 4 ， ∵P(李四取胜)＝1 4 ， ∴两人能分出胜负的概率为1 2 . 22．(6 分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝kx＋b 的图象 分别交 x 轴、y 轴于 A，B 两点，与反比例函数 y＝m x 的图象交于 C， D 两点，DE⊥x 轴于点 E，已知 C 点的坐标是(6，－1)，DE＝3. (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)连接 OC，OD，求 S△OCD； (3)直接写出不等式 kx＋b＞m x 的解集． 解：(1)设反比例函数为 y＝m x ， ∵点 C(6，－1)在反比例函数的图象上， ∴m＝6×(－1)＝－6， ∴反比例函数的解析式为 y＝－6 x ， ∵点 D 在反比例函数 y＝－6 x 上，且 DE＝3， ∴y＝3，代入求得 x＝－2， ∴点 D 的坐标为(－2，3). ∵C，D 两点在直线 y＝kx＋b 上， 则 6k＋b＝－1， －2k＋b＝3， 解得 k＝－1 2， b＝2， ∴一次函数的解析式为 y＝－1 2 x＋2. (2)把 y＝0 代入 y＝－1 2 x＋2，解得 x＝4， 即 A(4，0)，则 OA＝4， S△OCD＝S△OAD＋S△OAC＝1 2 ×OA×(yD－yC)＝1 2 ×4×(3＋1)＝8； (3)由图象可知：当 x＜－2 或 0＜x＜6 时，一次函数的值大于反比例 函数的值． 23．(6 分)如图，直线 l 与⊙O 相离，OA⊥l 于点 A，与⊙O 相交于点 P，OA＝10.C 是直线 l 上一点，连接 CP 并延长交⊙O 于另一点 B，且 AB＝AC. (1)求证：AB 是⊙O 的切线； (2)若⊙O 的半径为 6，求线段 BP 的长． (1)证明：如图，连接 OB，则 OP＝OB， ∴∠OBP＝∠OPB＝∠CPA，AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC， 而 OA⊥l，即∠OAC＝90°， ∴∠ACB＋∠CPA＝90°， 即∠ABP＋∠OBP＝90°，∴∠ABO＝90°， OB⊥AB，故 AB 是⊙O 的切线． (2)解：由(1)知∠ABO＝90°， 而 OA＝10，OB＝OP＝6，由勾股定理，得 AB＝8， 过 O 作 OD⊥PB 于点 D，则 PD＝DB， ∵∠OPD＝∠CPA，∠ODP＝∠CAP＝90°， ∴△ODP∽△CAP，∴DP AP ＝OP CP ， 又∵AC＝AB＝8，AP＝OA－OP＝4， ∴PC＝ AC2＋AP2 ＝4 5 ， ∴PD＝OP·PA CP ＝6 5 5 ，∴BP＝2PD＝12 5 5 . 24．(6 分)“重整行装再出发，驰而不息再争创”，2018 年 5 月 8 日 兰州市召开了新一轮全国文明城市创建启动大会．某校为了更好地贯 彻落实创建全国文明城市目标，举办了“我是创城小主人”的知识竞 赛．该校七年级、八年级分别有 300 人，现从中各随机抽取 10 名同 学的测试成绩进行调查分析，成绩如下： 七年级 85 65 84 78 100 78 85 85 98 83 八年级 96 60 87 78 87 87 89 100 83 96 整理、描述数据： 分数段 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100 七年级人数 1 2 5 2 八年级人数 1 1 5 3 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 七 84.1 85 八 86.3 87 得出结论： (1)根据上述数据，将表格补充完整； (2)估计该校七、八两个年级学生在本次测试成绩中可以取得优秀的 人数(90≤x≤100)共有多少人？ (3)你认为哪个年级知识掌握的总体水平较好，说明理由． 解：(1)84.5，87； (2)七年级优秀人数是 300× 2 10 ＝60(人)， 八年级优秀人数是 300× 3 10 ＝90(人) 则该校七、八两个年级学生在本次测试成绩中可以取得优秀的人数 (90≤x≤100)共有 60＋90＝150(人)； (3)八年级知识掌握的总体水平较好： ∵八年级的平均数比七年级的高，说明八年级平均水平高，且八年级 成绩的中位数比七年级的大，说明八年级的得高分人数多于七年级， 八年级的众数也比七年级的众数大， ∴八年级掌握知识的总体水平较好． 25．(6 分)酒泉钟鼓楼耸峙于上翔待之南端，为肃州现存唯完整的古 建筑物钟鼓楼工艺精湛，建造坚固，雄伟壮现．钟鼓楼由基座 BC 和 鼓楼 CD 两大部分组成如图，在 Rt△ABD 中，∠DAB＝57°，在 Rt△ ABC 中，∠CAB＝24°，且 CB＝8 米，求钟鼓楼的拔地高度 BD.(最后 的结果精确到 0.1 米，参考数据 sin 24°≈0.41，cos 24°≈0.91， tan 24°≈0.45) 解：在 Rt△ACB 中，sin 24°＝BC AC ＝0.41，BC＝8 米， ∴AC≈19.5(米)， ∵∠B＝90°，∠CAB＝24°，∴∠ACB＝66°， ∵∠DAC＝∠DAB－∠CAB＝57°－24°＝33°， ∵∠ACB＝∠CAD＋∠D， ∴∠CAD＝∠D＝33°，∴AC＝CD＝19.5， ∴BD＝DC＋BC＝19.5＋8＝27.5(米). 26．(8 分)小明学习了函数的有关知识后，自己试着探究函数 y＝x ＋1 x (x＞0)的图象与性质．列表： x … 1 5 1 3 1 2 2 3 1 3 2 2 3 5 … y … 26 5 10 3 5 2 13 6 2 13 6 5 2 10 3 26 5 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量 x 的取值为横坐标，以相应的 函数值 y 为纵坐标，描出相应的点，如图所示． (1)如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函 数图象； (2)结合图象与表格，回答下列问题： ①函数图象上有两个不同的点(x1，y1)，(x2，y2)，若 x1·x2＝1，则 y1＝y2；(选填“＞”“＝”或“＜”) ②由图象知，当 x＝1 时，该函数有最小值，最小值是 2；由此可得： 当 x＞0 时，x＋1 x ≥2． ③对于②中的结论，小明想换个角度说明它的正确性，请你帮他完成 证明过程． ∵x＞0，∴y＝x＋1 x ＝( x )2＋ 1 x 2 ＝ x－ 1 x 2 ＋2． ∵ x－ 1 x 2 ≥0，∴y＝x＋1 x ≥2，且当 x＝1 时，y＝2. 27．(8 分)如图，在▱ ABCD 中，AD＝4，AB＝5，延长 AD 到点 E，连 接 EC.过点 B 作 BF∥CE 交 AD 于点 F，交 CD 的延长线于点 G. (1)求证：四边形 BCEF 是平行四边形； (2)当四边形 BCEF 是正方形时，DF＝1，说明理由； (3)当GF GD ＝4 5 时，四边形 BCEF 是菱形，说明理由． (1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴EF∥BC. ∵BF∥CE， ∴四边形 BCEF 是平行四边形． 28．(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y＝－ 3 6 x2＋ 2 3 3 x＋2 3 与 x 轴交于 A，B 两点(点 B 在点 A 的右侧)，与 y 轴交 于点 C，它的对称轴与 x 轴交于点 D，直线 l 经过 C，D 两点，连接 AC. (1)求 A，B 两点的坐标及直线 l 的函数解析式； (2)★探索直线 l 上是否存在点 E，使△ACE 为直角三角形，若存在， 求出点 E 的坐标；若不存在，说明理由； (3)★若点 P 是直线 l 上的一个动点，试探究在抛物线上是否存在点 Q， ①使以点 A，C，P，Q 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出 点 Q 的坐标；若不存在，说明理由； ②使以点 A，C，P，Q 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出 点 Q 的坐标；若不存在，说明理由． 解：(1)当 y＝0 时，－ 3 6 x2＋2 3 3 x＋2 3 ＝0. 解得：x1＝－2，x2＝6， ∴点 A 的坐标为(－2，0)，点 B 的坐标为(6，0)； ∵抛物线的对称轴为直线 x＝2， ∴点 D 的坐标为(2，0). 当 x＝0 时，y＝2 3 ，∴点 C 的坐标为(0，2 3 ). 设直线 l 的解析式为 y＝kx＋b， 则 2k＋b＝0， b＝2， 3 解得 k＝－ 3， b＝2 3， ∴直线 l 的解析式为 y＝－ 3 x＋2 3 . (2)直线 l 上存在点 E，使△ACE 为直角三角形，点 E 的坐标为(1， 3 ) 或(4，－2 3 )； (3)①Q(4，2 3 )；②Q(6.0).