甘肃省2021年中考数学模拟试题含答案（1）

2021 年甘肃省初中毕业与升学考试数学 模拟卷(一) (考试时间：120 分钟 满分：120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分) 1．(2020·十堰)1 4 的倒数是 ( A ) A．4 B．－4 C．1 4 D．－1 4 2．(2020·通辽)如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠ β互余的摆放方式是 ( A ) A B C D 3．若一个圆的面积是 16π，则它的直径是 （ C ） A．2 B．4 C．8 D．16 4．(2020·桂林)下面四个几何体中，左视图为圆的是 ( D ) A B C D 5．(2020·临夏州模拟)下列计算正确的是 ( C ) A．a2·a3＝a6 B．(x＋y)2＝x2＋y2 C．(a5÷a2)2＝a6 D．(－3xy)2＝9xy2 6．(2020·泸州)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时， 提出了分线段的“中末比”问题：点 G 将一线段 MN 分为两线段 MG， GN，使得其中较长的一段 MG 是全长 MN 与较短的一段 GN 的比例中项， 即满足MG MN ＝GN MG ＝ 5－1 2 ，后人把 5－1 2 这个数称为“黄金分割” 数，把点 G 称为线段 MN 的“黄金分割”点．如图，在△ABC 中，已 知 AB＝AC＝3，BC＝4，若 D，E 是边 BC 的两个“黄金分割”点，则 △ADE 的面积为 ( A ) A．10－4 5 B．3 5 －5 C．5－2 5 2 D．20－8 5 第 6 题图 第 8 题图 7．(2020·遵义)已知 x1，x2 是方程 x2－3x－2＝0 的两根，则 x 2 1 ＋ x 2 2 的值为 ( D ) A．5 B．10 C．11 D．13 8．如图，在平面直角坐标系中，O 是菱形 ABCD 对角线 BD 的中点， AD∥x 轴且 AD＝4，∠A＝60°，将菱形 ABCD 绕点 O 旋转，使点 D 落 在 x 轴上，则旋转后点 C 的对应点的坐标是 ( D ) A．(0，2 3 ) B．(2，－4) C．(2 3 ，0) D．(0，2 3 )或(0，－2 3 ) 9．如图，⊙A 经过平面直角坐标系的原点 O，交 x 轴于点 B(－4，0)， 交 y 轴于点 C(0，3)，点 D 为第二象限内圆上一点．则∠CDO 的正弦 值是 ( A ) A.3 5 B．－3 4 C．3 4 D．4 5 10．★(2020·南通)如图①，E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点，点 P 从 点 B 出发沿折线 B－E－D 运动到点 D 停止，点 Q 从点 B 出发沿 BC 运 动到点 C 停止，它们的运动速度都是 1 cm/s.现 P，Q 两点同时出发， 设运动时间为 x(s)，△BPQ 的面积为 y(cm2)，若 y 与 x 的对应关系如 图②所示，则矩形 ABCD 的面积是 ( C ) 图① 图② A．96 cm2 B．84 cm2 C．72 cm2 D．56 cm2 二、填空题(本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分) 11．(2020·鞍山)据《光明日报》报道：截至 2020 年 5 月 31 日，全 国参与新冠肺炎疫情防控的志愿者约为 8 810 000，将数据 8 810 000 用科学记数法表示为__8.81×106__． 12．(2020·酒泉模拟)把 ax2－4a 分解因式的结果是 __a(x＋2)(x－2)__． 13．(2020·吉林)我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个数学 问题，其大意是：跑得快的马每天走 240 里，跑得慢的马每天走 150 里，慢马先走 12 天，快马几天可以追上慢马？设快马 x 天可以追上 慢马，根据题意，可列方程为__(240－150)x＝150×12__． 14．(2020·南京)若式子 1－ 1 x－1 在实数范围内有意义，则 x 的取 值范围是__x≠1__． 15．(2020·安顺)在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面 分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，在试验次数很大时，与数 字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是__1 6 __． 16．(2020·广西)以原点为中心，把点 M(3，4)逆时针旋转 90°得到 点 N，则点 N 的坐标为__(－4，3)__． 17．(2020·凉山州)如图，点 C，D 分别是半圆 AOB 上的三等分点， 若阴影部分的面积是3 2 π，则半圆的半径 OA 的长为__3__． 18．(2020·孝感)有一列数，按一定的规律排列成1 3 ，－1，3，－9， 27，－81，….若其中某三个相邻数的和是－567，则这三个数中第一 个数是－81． 三、解答题(一)(本大题共 5 小题，共 26 分) 19．(4 分)(2020·张掖)计算：(－2)－2－| 3 －2|＋ － 3 2 0 － 3 8 －2cos 30°. 解：(－2)－2－| 3 －2|＋ － 3 2 0 － 3 8 －2cos 30° ＝1 4 －2＋ 3 ＋1－2－2× 3 2 ＝－23 4 . 20．(4 分)(2020·上海)解不等式组： 10x＞7x＋6， x－1＜x＋7 3 ． 解： 10x＞7x＋6①， x－1＜x＋7 3 ②. 解不等式①得 x＞2， 解不等式②得 x＜5. 故原不等式组的解集是 2＜x＜5. 21．(6 分)(2020·南通)(1)如图①，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上， AD＝AE，∠B＝∠C.求证：AB＝AC； (2)如图②，A 为⊙O 上一点，按以下步骤作图： ①连接 OA； ②以点 A 为圆心，AO 长为半径作弧，交⊙O 于点 B； ③在射线 OB 上截取 BC＝OA； ④连接 AC. 若 AC＝3，求⊙O 的半径． 图① 图② (1)证明：在△ABE 和△ACD 中， ∠B＝∠C ∠A＝∠A AE＝AD ，∴△ABE≌△ACD(AAS)， ∴AB＝AC； (2)解：连接 AB，如图②， 由作法得 OA＝OB＝AB＝BC， ∴△OAB 为等边三角形， ∴∠OAB＝∠OBA＝60°， ∵AB＝BC，∴∠C＝∠BAC， ∵∠OBA＝∠C＋∠BAC， ∴∠C＝∠BAC＝30°，∴∠OAC＝90°， 在 Rt△OAC 中，OA＝ 3 3 AC＝ 3 3 ×3＝ 3 . 即⊙O 的半径为 3 . 22．(6 分)(2020·遵义)某校为检测师生体温，在校门安装了某型号 测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门 AD 的顶部 A 处距 地面高为 2.2 m，为了解自己的有效测温区间．身高 1.6 m 的小聪做 了如下实验：当他在地面 N 处时测温门开始显示额头温度，此时在额 头 B 处测得 A 的仰角为 18°；在地面 M 处时，测温门停止显示额头 温度，此时在额头 C 处测得 A 的仰角为 60°.求小聪在地面的有效测 温区间 MN 的长度．(额头到地面的距离以身高计，计算精确到 0.1 m， sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32， 3 ≈1.73) 解：延长 BC 交 AD 于点 E， 则 AE＝AD－DE＝0.6(m).BE＝ AE tan 18° ≈1.875(m)， CE＝ AE tan 60° ≈0.347(m). ∴BC＝BE－CE＝1.528(m). ∴MN＝BC≈1.5(m). 答：小聪在地面的有效测温区间 MN 的长度约为 1.5 m． 23．(6 分)(2020·呼伦贝尔)一个不透明的口袋中装有三个完全相同 的小球，上面分别标有数字 2 ， 3 ，5. (1)从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是无理数的概 率(直接写出结果)； (2)先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为 x，把小球 放回口袋中并搅匀，再从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字 记为 y.请用列表法或画树状图法求出 x 与 y 的乘积是有理数的概率． 解：(1)摸出小球上的数字是无理数的概率＝2 3 ； (2)画树状图如下： 可知：共有 9 种等可能的结果，其中两个数字的乘积为有理数的有 3 种， ∴两次摸出的小球所标数字乘积是有理数的概率为3 9 ＝1 3 . 四、解答题(二)(本大题共 5 小题，共 40 分) 24．(7 分)(2020·大连)某校根据《教育部基础教育课程教材发展中 心中小学生阅读指导目录(2020 版)》公布的初中段阅读书目，开展 了读书活动．六月末，学校对八年级学生在此次活动中的读书量进行 了抽样调查，如图是根据调查结果绘制的统计图表的一部分． 读书量 频数(人) 频率 1 本 4 2 本 0.3 3 本 4 本及以上 10 根据以上信息，解答下列问题： (1)被调查学生中，读书量为 1 本的学生数为______人，读书量达到 4 本及以上的学生数占被调查学生总人数的百分比为______%； (2)被调查学生的总人数为________人，其中读书量为 2 本的学生数 为________人； (3)若该校八年级共有 550 名学生，根据调查结果，估计该校八年级 学生读书量为 3 本的学生人数． 解：(1)4；20； (2)50；15； (3)(50－4－10－15)÷50×550＝231(人)， 答：该校八年级学生读书量为 3 本的学生有 231 人． 25．(7 分)(2020·嘉兴)经过实验获得两个变量 x(x＞0)，y(y＞0) 的一组对应值如下表． x 1 2 3 4 5 6 y 6 2.9 2 1.5 1.2 1 (1)请画出相应函数的图象，并求出函数表达式； (2)点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上．若 x1＜x2，则 y1，y2 有 怎样的大小关系？请说明理由． 解：(1)函数图象如图所示，设函数表达式为 y＝k x (k≠0)， 把 x＝1，y＝6 代入，得 k＝6， ∴函数表达式为 y＝6 x (x＞0)； (2)∵k＝6＞0， ∴在第一象限，y 随 x 的增大而减小， ∴0＜x1＜x2 时，则 y1＞y2. 26．(8 分)(2020·赤峰)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的一条弦， 点 P 是⊙O 上一点，且 PA＝PC，PD∥AC，与 BA 的延长线交于点 D. (1)求证：PD 是⊙O 的切线； (2)若 tan ∠PAC＝2 3 ，AC＝12，求直径 AB 的长． 解：(1)连接 PO，交 AC 于 H， ∵PA＝PC， ∴∠PAC＝∠PCA， ∵∠PCA＝∠PBA， ∴∠PAC＝∠PCA＝∠PBA， ∵DP∥AC，∴∠DPA＝∠PAC＝∠PCA＝∠PBA， ∵OA＝OP，∴∠PAO＝∠OPA， ∵AB 是直径，∴∠APB＝90°， ∴∠PAB＋∠ABP＝90°， ∴∠OPA＋∠DPA＝90°，∴∠DPO＝90°， 又∵OP 是半径，∴DP 是⊙O 的切线； (2)∵DP∥AC，∠DPO＝90°， ∴∠DPO＝∠AHO＝90°， 又∵PA＝PC，∴AH＝HC＝1 2 AC＝6， ∵tan ∠PAC＝PH AH ＝2 3 ，∴PH＝2 3 ×AH＝4， ∵AO2＝AH2＋OH2，∴AO2＝36＋(OA－4)2， ∴OA＝13 2 ，∴AB＝2OA＝13. 27．(8 分)(2020·玉林)如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交 于点 O，且 OA＝OB＝OC＝OD＝ 2 2 AB. (1)求证：四边形 ABCD 是正方形； (2)若 H 是边 AB 上一点(H 与 A，B 不重合)，连接 DH，将线段 DH 绕点 H 顺时针旋转 90°，得到线段 HE，过点 E 分别作 BC 及 AB 延长线的 垂线，垂足分别为 F，G.设四边形 BGEF 的面积为 S1，以 HB，BC 为邻 边的矩形的面积为 S2，且 S1＝S2.当 AB＝2 时，求 AH 的长． (1)证明：∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AC＝BD， ∴平行四边形 ABCD 是矩形， ∵OA＝OB＝OC＝OD＝ 2 2 AB， ∴OA2＋OB2＝AB2， ∴∠AOB＝90°，即 AC⊥BD， ∴四边形 ABCD 是正方形； (2)解：∵EF⊥BC，EG⊥AG， ∴∠G＝∠EFB＝∠FBG＝90°， ∴四边形 BGEF 是矩形， ∵将线段 DH 绕点 H 顺时针旋转 90°，得到线段 HE， ∴∠DHE＝90°，DH＝HE， ∴∠ADH＋∠AHD＝∠AHD＋∠EHG＝90°， ∴∠ADH＝∠EHG， ∵∠DAH＝∠G＝90°，∴△ADH≌△GHE(AAS)， ∴AD＝HG，AH＝EG， ∵AB＝AD，∴AB＝HG，∴AH＝BG，∴BG＝EG， ∴矩形 BGEF 是正方形， 设 AH＝x，则 BG＝EG＝x， ∵S1＝S2.∴x2＝2(2－x)， 解得：x＝ 5 －1(负值已舍去)，∴AH＝ 5 －1. 28．(10 分)(2020·呼伦贝尔)如图，抛物线 y＝－1 2 x2＋bx＋c 与 x 轴交于点 A(－1，0)和点 B(4，0)，与 y 轴交于点 C，连接 BC，点 P 是线段 BC 上的动点(与点 B，C 不重合)，连接 AP 并延长 AP 交抛物线 于点 Q，连接 CQ，BQ，设点 Q 的横坐标为 m. (1)求抛物线的解析式和点 C 的坐标； (2)当△BCQ 的面积等于 2 时，求 m 的值； (3)在点 P 运动过程中，PQ AP 是否存在最大值？若存在，求出最大值； 若不存在，请说明理由． 解：(1)∵抛物线经过 A(－1，0)，B(4，0)，可得： 0＝－1 2－b＋c， 0＝－1 2×16＋4b＋c， 解得： b＝3 2， c＝2， ∴抛物线的解析式为：y＝－1 2 x2＋3 2 x＋2， 令 x＝0，则 y＝2， ∴点 C 的坐标为(0，2)； (2)如图，连接 OQ， ∵点 Q 的横坐标为 m，∴Q m，－1 2m2＋3 2m＋2 ， ∴S＝S△OCQ＋S△OBQ－S△OBC＝1 2 ×2×m＋1 2 ×4× －1 2m2＋3 2m＋2 －1 2 ×2 ×4＝－m2＋4m， 令 S＝2，解得：m＝2＋ 2 或 2－ 2 . (3)如图，过点 Q 作 QH⊥BC 于 H， ∵AC＝ 12＋22 ＝ 5 ，BC＝ 42＋22 ＝ 20 ，AB＝5， 满足 AC2＋BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°，又∠QHP＝90°，∠APC＝∠QPH， ∴△APC∽△QPH，∴PQ AP ＝QH AC ＝QH 5 ， ∵S△BCQ＝1 2 BC·QH＝ 5 QH， ∴QH＝ S△BCQ 5 ， ∴PQ AP ＝QH 5 ＝S 5 ＝1 5 (－m2＋4m)＝－1 5 (m－2)2＋4 5 ，∴当 m＝2 时， PQ AP 存在最大值4 5 .