北师大版九年级数学下册第1章检测题

九年级数学下册第一章检测题(BSD)‎ ‎(考试时间：120分钟　　　满分：120分)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)‎ ‎1．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，∠ACD的正弦值是，则的值是(　B　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AC＝6 cm，则BC的长度为(　C　)‎ A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm ‎3．在△ABC中，sin B＝cos(90°－∠C)＝，那么△ABC是(　A　)‎ A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎4．如图，过点C(－2，5)的直线AB分别交坐标轴于A(0，2)，B两点，则tan∠OAB＝( B )‎ A. B. C. D. ‎5．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，点C在BD上，有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出A，B间距离的有( C )‎ A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 ‎6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为线段AB上一点，且AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于(　C　)‎ A. B. C. D．5 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)‎ ‎7．在Rt△ABC中 ，∠C＝90°，BC＝5，AB＝12，则tan A＝ .‎ ‎8．(2019·赤峰)如图，一根竖直的木杆在离地面3.1 m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为__8.1__m__．‎ ‎(参考数据：sin 38°≈0.62，cos 38°≈0.79，tan 38°≈0.78)‎ ‎9．(2019·咸宁) 如图，某校九(1)班数学课外活动小组在河边测量河宽AB(这段河流的两岸平行)，他们在点C测得∠ACB＝30°，点D处测得∠ADB＝60°，CD＝80 m，则河宽AB约为 __69__ m．(结果保留整数，≈1.73)‎ ‎10．(2019·柳州)在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝3，则AC的长为 ．‎ ‎11．如图，小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若AB∶BC＝4∶5，则sin∠DCF的值为 .‎ ‎12．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则tan∠AOD＝ 2 .‎ 三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)‎ ‎13．计算：sin 30°－(cos 45°－1)0＋tan2 30°.‎ 解：原式＝－1＋×＝－1＋＝0.‎ ‎14．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，a＝4，解这个直角三角形．‎ 解：∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.由tan B＝，得b＝atan B＝4tan 60°＝4.由cos B＝，得c＝＝＝8.所以∠A＝30°，b＝4，c＝8.‎ ‎15.已知α为锐角，且tan α是方程x2＋2x－3＝0的一个根，求2sin2α＋cos2α－ tan(α＋15°)的值．‎ 解：解方程x2＋2x－3＝0，‎ 得x1＝1，x2＝－3.‎ ‎∵tan α>0，∴tan α＝1，∴α＝45°，‎ ‎∴2sin2α＋cos2α－tan(α＋15°)＝2sin245°＋cos245°－tan 60°＝2×＋－×＝1＋－3＝－.‎ ‎16．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边相等．于是，小路同学提出一个问题：如图，‎ 将一副三角板直角顶点重合后拼放在一起，点B，C，E在同一直线上．若BC＝2，求AF的长．(请你运用所学的数学知识解决这个问题)‎ 解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，‎ ‎∴AC＝＝＝2.‎ 由题意，得EF＝AC＝2.‎ 在Rt△EFC中，∠E＝45°，‎ ‎∴CF＝EF·sin 45°＝2×＝，‎ ‎∴AF＝AC－CF＝2－.‎ ‎17．(2019·通辽)两栋居民楼之间的距离CD＝30 m，楼AC和BD均为10层，每层楼高为3 m．上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻楼BD的影子会遮挡到AC的第几层？(参考数据：≈1.7，≈1.4)‎ 解：设太阳光线GB交AC于点F，过F作FH⊥BD于H，AC＝BD＝3×10＝30 m，FH＝CD＝30 m，∠BFH＝∠α＝30°，在RtBFH中，‎ tan∠BFH＝＝＝，∴BH＝30×＝10≈10×1.7＝17，∴FC＝HD＝BD－BH≈30－17＝13，∵≈4.3，所以在四层的上面，即第五层．‎ 答：此刻楼BD的影子会遮挡到楼AC的5层．‎ 四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)‎ ‎18．(2019·深圳)如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD＝600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得仰角为45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，ED＝500米，测得仰角为53°，求隧道BC的长．(sin 53°≈，cos 53°≈ ，tan 53°≈)‎ 解：在RtABD中，AB＝AD＝600(米)，作EM⊥AC于M，则AM＝DE＝500(米)，∴BM＝100米，在Rt△CEM中，tan 53°＝＝＝，∴CM＝800(米)，∴BC＝CM－BM＝800－100＝700(米)．‎ 答：隧道BC长为700米．‎ ‎19．(2019·广元)如图，某海监船以60海里/小时的速度从A处出发沿正西方向巡逻，一可疑船只在A的西北方向的C处，海监船航行1.5小时到达B处时接到报警，需巡查此可疑船只，此时可疑船只仍在B的北偏西30°方向的C处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向逃离，海监船立刻加速以90海里/小时的速度追击，在D处海监船追到可疑船只，D在B的北偏西60°方向．(以下结果保留根号)‎ ‎(1)求B，C两处之间的距离；‎ ‎(2)求海监船追到可疑船只所用的时间．‎ 解：(1)过点C作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中，∵∠BCE＝30°，∴BE＝BC×sin∠BCE＝BC，CE＝BC×‎ cos∠BCE＝BC，在Rt△ACE中，‎ ‎∵∠A＝45°.∴AE＝CE＝BC，∵AB＝60×1.5＝90，∴AE－BE＝BC－BC＝90，解得BC＝90(＋1)．故B，C相距(90＋90)海里．‎ ‎(2)过点D作DF⊥AB于F，由(1)，得DF＝CE＝BC，∴DF＝135＋45，在Rt△BDF中，∠DBF＝30°，∴BD＝2DF＝270＋90，∴海监船追到可疑船只所用的时间为(270＋90)÷90＝(3＋)h.‎ ‎20.已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，DE⊥BC于E，连接BD.若tan C＝2，BE＝3，CE＝2，求点B到CD的距离．‎ 解：过点B作BF⊥CD，垂足为F，则∠BFC＝90°.∵DE⊥BC，∴∠DEC＝∠DEB＝90°，在Rt△DEC中，∵tan C＝2，EC＝2，∴DE＝4.在Rt△BFC中，∵tan C＝2，∴BF＝2FC，设BF＝x，则FC＝x，∵BF2＋FC2＝BC2，∴x2＋(x)2＝(3＋2)2，‎ 解得x＝2，即BF＝2.‎ 答：点B到CD的距离是2.‎ 五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)‎ ‎21．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．‎ ‎(1)求证：△ABF∽△DFE；‎ ‎(2)若sin∠DFE＝，求tan∠EBC的值．‎ ‎(1)证明：∵∠A＝∠D＝90°，∠ABF与∠DFE都与∠AFB互余，∴∠ABF＝∠DFE，∴△ABF∽△DFE；‎ ‎(2)解：∵sin∠DFE＝＝，∴设DE＝k.则EF＝CE＝3k，AB＝CD＝4k，∴DF＝＝2k，由△ABF∽△DFE，得＝，即＝，∴AF＝k，∴BC＝AD＝k＋2k＝3k，∴tan∠EBC＝＝＝.‎ ‎22．小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC长米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离．‎ 解：如图，延长OA交直线BC于点D，∵AO的倾斜角是60°，∴∠ODB＝60°.∵∠ACD＝30°，∴∠CAD＝180°－∠ODB－∠ACD＝90°.‎ 在Rt△ACD中，AD＝AC·tan∠ACD＝·＝(米)．∴CD＝2AD＝3(米)．‎ 又∵∠O＝60°，∴△BOD为等边三角形．‎ ‎∴BD＝OD＝OA＋AD＝3＋＝4.5(米)．‎ ‎∴BC＝BD－CD＝4.5－3＝1.5米．‎ 答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米．‎ 六、(本大题共12分)‎ ‎23．在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验．表盘是△ABC，其中AB＝AC，∠BAC＝120°，在点A处有一束红外光线AP，从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转，每秒钟旋转15°，到达AC后立即以相同旋转速度返回AB，到达后立即重复上述旋转过程．小明通过实验发现，光线从AB处旋转开始计时，旋转1秒，此时光线AP交BC边于点M，BM的长为(20－20) cm.‎ ‎(1)求AB的长；‎ ‎(2)从AB处旋转开始计时，若旋转6秒，此时光线AP与BC边的交点在什么位置？若旋转2 030秒，交点又在什么位置？请说明理由．‎ 解：(1)如图 ①，过A点作AD⊥BC，垂足为D.‎ ‎∵∠BAC＝120°，AB＝AC，‎ ‎∴∠ABC＝∠C＝30°.令AB＝2t cm.在Rt△ABD中，AD＝‎ AB＝t，BD＝AB＝t.在RtAMD中，‎ ‎∵∠AMD＝∠ABC＋∠BAM＝45°，∴MD＝AD＝t.∵BM＝BD－MD.即t－t＝‎ ‎20－20.解得t＝20.∴AB＝2×20＝40 cm.答：AB的长为40 cm.‎ ‎(2)如图②，当光线旋转6秒，设AP交BC于点N，此时∠BAN＝15°×6＝90°.在Rt△ABN中，BN＝＝＝ cm.∴光线AP旋转6秒，与BC的交点N距点B cm处．如图③，设光线AP旋转2 030秒后光线与BC的交点为Q.由题意可知，光线从边AB开始到第一次回到AB处需8×2＝16秒，而2 030＝126×16＋14，即AP旋转2 030秒与旋转14秒时和BC的交点是同一个点Q.旋转14s的过程是B→C：8s，C→Q：6s，因此CQ＝BN＝ cm，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴BC＝2ABcos 30°＝2×40×＝40 cm，∴BQ＝BC－CQ＝40－＝ cm.‎ 答：光线AP旋转2 030秒后，与BC的交点Q在距点B的 cm处．‎