贵州省遵义市2021届高三数学（理）第一次模拟试卷（Word版附答案）

遵义市 2021 届高三第一次模拟试题 理科数学 注意事项： 1.本试卷共分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分；考试时间 120 分钟。 2.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，准考证号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码。 3.客观题答题时，请用 2B 铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后在选涂其它选项；主观题答题时， 请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给得分；在试卷上作答无效．．．．．．．．。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1．已知集合  2 2( , ) 1A x y x y   ，  ( , )B x y y x   ，则 A B 中元素的个数为 A．3 B．2 C．1 D．0 2．设复数 z 满足  1 2i z i  ，则复数 z 的虚部是 A． 1 B． 1 C． i D． i 3．下列 4 个图分别是四位同学甲、乙、丙、丁的五能评价雷达图： 在他们四人中选一位发展全面的学生，则应该选择 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．已知向量 ba , 为相互垂直的单位向量，若 bac   3 ，则向量 a 与向量c 的夹角为 A． 3  B． 6  C． 6  D． 3  5．若正数 yx, 满足 022  xyyx ，则 yx 2 的最小值为 A．9 B．8 C．5 D． 4 6.下列选项中，为“数列 na 是等差数列”的一个充分不必要条件的是 A． )2(2 11   naaa nnn B． 11 2   nnn aaa C．通项公式 32  nan D． )(112    Nnaaaa nnnn 7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A． 28 3  B． 24 3  C． 88 3  D．8 2 8.将函数 xxxf 2cos32sin)(  的图象向右平移12  个单位后得到函数 )(xgy  的图象， 则下列说法错误．．的是 A．  y g x 的图象的一条对称轴为 12 x B．  y g x 在 0,12      上单调递增 C．  y g x 在 0 6,     上的最大值为 2 D．  y g x 的一个零点为  12 5 9．已知函数      2),2(2 20,2)( 2 xxf xxxxf ，则 )9(f A．16 B．8 C． 8 D． 16 10.数列 na 的前 n 项和 )0(),13(  AAS n n ，若 k 为3 和l 的等差中项 ),( Nlk ，则  l k a a2 A．3 B．9 C．27 D．与 A 的取值有关 11．双曲线 1279 22  yx 上一点 P 到右焦点 2F 距离为 6 ， 1F 为左焦点，则 21PFF 的角平分线 与 x 轴交点坐标为 A．  0,1 B．  0,0 C．  0,1 D．  0,2 12． ),0( x ，不等式 axxxe x  ln3 恒成立，则 a 的最大值为 A． 2 B． 0 C． 12 e D． 3ln 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知 *n N ， 13 n x x     的展开式中只有第 7 项的二项式系数最大，则该二项式展开式 中各项系数和为 . 14.设变量 ,x y 满足约束条件       052 04 02 yx yx yx ，则目标函数 2x yz x  的取值范围为_____. 15.直线 1 kkxy 与圆 422  yx 交于 BA, 两点,则 AB 最小值为______. 16.如图，正方形 ABCD 中， 2 2AB  ，点 E 为 AD 中点，现将 DEC 沿 EC 折起形成四棱锥 P ABCE ，则下列命题中为真命题的是 . ①设点 O 为 AC 中点，若 PMMC 2 ，则在折起过程中， P M B O、 、 、 四 点可能共面； ②设OD 与 EC 交于点 F ，则在折起过程中 AC 与 PF 可能垂直； ③四棱锥 P ABCE 体积的最大值为 4 10 5 . 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（12 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 3A  ． （1）若 ,2 cb 且 ,3a 求△ABC 的面积； （2）若 ,2cb  求 Csin . 18.（12 分） 2020 年遵义市高中生诗词大赛如期举行，甲、乙两校进入最后决赛的第一环节．现从全市高 中老师中聘请专家设计了第一环节的比赛方案：甲、乙两校从 6 道不同的题目中随机抽取 3 道分别作答，已知这 6 个问题中，甲校选手只能正确作答其中的 4 道，乙校选手正确作答每 道题目的概率均为 2 3 ，甲、乙两校对每道题的作答都是相互独立，互不影响的． （1）求甲、乙两校总共正确作答 2 道题目的概率； （2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两校哪所学校获得第一环节胜利的可能性更大？ 19.（12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 为菱形， 2PA PB  ， AB PD . （1）证明： AD BD ； （2）若 2AD PD  ，求二面角 A PD C  的正弦值. 20.（12 分） 已知函数 )(,ln)1(2 1)( 2 Rmxmxmxexf x  ， )(xg 是 )(xf 的导函数. （1）若 )(xg 在 ，0 上单调递增，求 m 的取值范围； （2）证明：存在 0m ，使得 )(xf 在  e,1 上有唯一零点. 21.（12 分） 已知直线 )2(4 3),2( 21  xkylxkyl ：： ， 1l 与 2l 交点轨迹为 C . （1）求C 的方程； （2）点 ),1( mP 是曲线 C 上的点， FE, 是曲线 C 上的动点，且满足直线 PE 斜率与直线 PF 斜率和为 0 ，求直线 EF 的斜率. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题 计分. 22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 如图是美丽的三叶草图案，在以O 为极点，Ox 轴为极轴的极坐标系中，它由弧 HM ,弧 M N , 弧 NH 组成.已知它们分别是方程为 )3sin(4   ， )3sin(4   ，  sin4 的圆 上的一部分. （1）分别写出点 NMH ,, 的极坐标； （2）设点 P 是由点 NMH ,, 所确定的圆C 上的动点，直线  RL   4 ： ，求点 P 到 L 的距离的最大值. 23.[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 ||12)( 2 mxxxxf  的最大值为 4（其中 0m  ）. （1）求 m 的值； （2）若 2 2 2a b c m   ，求 222 411 cba  的最小值. 遵义市 2021 届高三第一次模拟试题 理科数学答案 1．命题意图：本题考查考生集合基本概念的考查，核心素养考查：数学建模，数学运算。 答案：B 2．命题意图：本题考查考生复数基本概念的考查，核心素养考查：数学运算。 答案：A 3．命题意图：本题考查统计基本概念，核心素养考查：直观想象，数据分析。 答案：B 4．命题意图：本题考查平面向量的概念、向量夹角的计算，考查数学运算 答案： C 解析： 2 3 323 3 31 3 ,cos 22 2 2                           bbaa baa ba baa ca caca 所以： 6,   ca ，选 C. 5．命题意图：本题考查基本不等式的应用，考查数学运算 答案：D 解析：由 022  xyyx ，有 xyyx 22  ， 11 2 1  xy ，     42 2222 22)1 2y 1212  x y y x x y y x xyxyx （ ，选 D. 6.命题意图：通过本题对于等差数列的判断作回顾，同时考查对充分条件，必要条件基本概 念的理解，引导学生关注教材，注重知识本质。 答案：C 解析:A 选项为“数列 na 是等差数列”的一个充分必要条件 B 选项为“数列 na 是等差数列”的一个既不充分也不必要条件 C 选项通项公式 32  nan 可以推出数列 na 是等差数列，是一个充分不必要条件 D 选项 )(112    Nnaaaa nnnn 推不出数列 na 是等差数列，是必要不充分条件 7．命题意图：本题考查空间几何体的三视图，考查数学运算、直观想象等核心素养 答案：A 解析：有三视图可知，该几何体为棱长为 2 的正方体中挖去一个三棱锥，故其体积为： 3 21 22 1 2 83 3V        ，故选：A. 8.命题意图:考察三角函数性质应用基本知识点，重在考查基本方法和基本能力。 答案：A 解析： )32sin(2)(  xxf 则 )62sin(2)(  xxg ， 对选项 A，因为 23sin2)6122sin(2)12(  g ，故 A 错误； 对选项 B，因为 .,226222- Zkkxk   解得 .,63 Zkkxk   所以  y g x 在 0,12      上单调递增，故 B 正确； 对选项 C，因为 60  x ，所以 2626   x ， 所以 1)62sin(2 1  x ， 2)(1  xg ，  max 2g x  ，故 C 正确； 对选项 D， 0sin2)612 52sin(2)12 5(  g ，故 D 正确. 9．命题意图：本题以分段函数为载体，考查学生对函数概念的理解，以及学生数学抽象的基 本素养. 答案：D 解析： 16)1(16)3(8)5(4)7(2)9(  fffff .故选 D. 10.命题意图：利用等比数列前 n 项和的一般形式 AAqS n n  ，融合等差中项知识，考查学 生利用 nS 公式求数列通项的方法。 答案：C 解析: ASan 2,1 11    11 1 3213)13(,2    nnn nnn AAASSan ，且 1n 也符合，所以 na 是公比 为 3 的等比数列，由 k 为 3 和l 的等差中项知 32  lk ,所以  l k a a2 3q =27，故选择 C 11．命题意图：本题考查圆锥曲线的定义及综合知识、学生综合处理问题的能力。考查的核 心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算。 答案：D 解析：记交点坐标为 D,用面积法 1 2 1 2 1 2 1 2 PDF PDF FD hS S F D h      ，化简可得角平分线定理： 1 2 1 2 DF DF PF PF  ,由双 曲线定义知 1 22 6 6 12PF a PF     ,所以交点到左焦点距离是右焦点距离 2 倍，由 于左焦点( 6,0) ，右焦点(6,0) ，D 坐标 ( , 0)x ， 6 2(6 )x x   ，可得答案为(2,0) 12．命题意图：本题考查利用导数研究函数单调性，考查指对运算的转化，考查学生对基本 初等函数指数函数 xe 与幂函数 x 的内在联系的认识.难点在于对代数结构的观察，变形转化， 进而考查学生观察，分析以及灵活应用所学知识解决问题的能力. 答案：A 解析：原不等式可化为 21)3ln(3ln  axxe xx ，构造 1)(  tetH t ，则易得 0)( tH ，当且仅当 0t 时等号成立， 3ln  xxt 有零点，所以 02 a .故选 A. 13.命题意图：本题考查二项展开式的公式，考查数学运算 答案： 122 解析：由题意 12n  ，从而令 1x  ，则该二项式展开式中各项系数和为 122 . 14.命题意图：本题主要考查简单的线性规划，直线斜率的表示，考查 的核心素养是直观想象、数学运算。 答案：     5,3 7 解析:作出不等式组表示的平面区域，如图所示。 x y x yxz  22 ， 设 x yk  ，则 k 的几何意义是可行域内的点到定点 D（0,0）的斜率， 由图像可知 CD 的斜率最小，AD 的斜率最大。 由      4 52 xy xy 得 3 1 x y    ，即 C（3,1）此时 3 1k 由 2 4 y x y x       得      3 1 y x ，即 A（1,3）此时 3k ，即 33 1  k ，则 523 7  k ，即 53 7  z 故答案为：     5,3 7 15.命题意图：本题考查直线与圆的综合知识、学生综合处理问题的能力。考查的核心素养是 直观想象、数学运算。 答案： 2 2 解析：过(1,1)的直线 1y kx k   ,所以 = 1+1= 2OA ，由圆中弦的性质知当直线与 OA 垂直时，弦长最短，此时结合垂径定理可得 =2 1+1=2 2AB 16.命题意图：本题考查点、线、面位置关系，考查直观想象、数学运算等核心素养 答案：③ 解析：已知当平面 PEC ABCE 平面 时，四棱锥 P ABCD 体积取得最大，故在三角形中 DCE ，由 5 102 hhECDCDE ，  1 1 2 10 4 102 2 2 2 23 2 5 5V         ； 平面 PMO 即为平面 PAC ，又 B AC ，从而 P M B O、 、 、 不可能在同一平面内；沿 EC 折 起过程中，若 PF AC ，因为 AC OD ，则 PBAC  ，而这显然是不可能的，故真命题 为③. 17.（12 分） 命题意图：意在考察解三角形中必备的正弦定理，余弦定理，面积公式，内角和定理，这也 是近三年全国卷的热点。 解析：（1）由余弦定理知 Abccba cos2222  )cos1(2)( 22 Abccba  …………………………2 分 )3cos1(223 22  bc …………………………3 分 解得 3 1bc ，- …………………………4 分 12 3 2 3 3 1 2 1sin2 1  AbcS ABC 故△ABC 的面积为 12 3 …………………………6 分 （2） ,2cb  则由正弦定理 CB sin2sin  ， 3 2 CB , …………………………8 分 CC sin2)3 2sin(   ，即 CCC sin2sin2 1cos2 3  …………………………9 分 CC sin2 3cos2 3  , …………………………10 分 ),3 2,0(,3 3tan  CC …………………………11 分 .2 1sin,6  CC  …………………………12 分 18.（12 分） 命题意图：本题考查考生超几何分布、二项分布、独立事件基本知识基础知识，同时考查运 用数学知识分析、解决实际问题的能力、实际问题中的决策思想，转化能力。核心素养考查： 数学抽象，数学建模，数据分析，数学运算。 解析：（1）由题意可知，甲、乙共答对两道题的可能有， 甲校 1 道乙校 1 道；甲校 2 道乙校 0 道，所求概率 1 2 0 31 2 2 1 1 04 2 4 2 3 33 3 6 6 2 2 2 2 11 13 3 3 3 15 C C C CP C CC C                              ……………………5 分 （2）设甲校正确作答的题数为 X，则 X 的取值分别为 1，2，3. ， ， ．……………………7 分 则 X 的分布列为： X 1 2 3 P ∴ ， ． 设乙校正确作答的题数为 Y，则 Y 取值分别为 0，1，2，3. ， ， ， 则 Y 的分布列为： Y 0 1 2 3 P ∴ ．（或∵ ，∴ ） （ 或 ） 由 E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y）可得，甲校获得第一环节胜利可能性更大．…………………… 12 分 19.（12 分） 命题意图：本题考查空间几何体的垂直、空间角的运算，考查直观想象、数学运算等核心素 养 解析：（1）证明：取 AB 的中点为点O ，连接 PO ， DO ， PA PB PO AB   ，又 PD AB ， PD PO P AB    平面 POD 又 OD  平面 POD ， AB OD  ，而点O 为 AB 的中点， AD BD  .…………………… 5 分 （2） 2AD  ，四边形 ABCD 为菱形， 1AO  ， 又 2PA  ，故由（I）可知： 1PO  ， 3DO  ， 2 2 2PO DO PD   ， PO OD  故可如图建立空间直角坐标系O xyz ，故    1,0,0 0,0,1A P    0, 3,0 2, 3,0D C          1, 3,0 1,0,1 2,0,0 0, 3,1 AD AP CD DP             …………………………………………7 分 设平面 APD 与平面CPD 的法向量分别为    1 1 1 2 2 2, , , ,m x y z n x y z  、 ， 则由  1 1 1 1 0 3 0 3,1, 3 00 m AD x y m x zm AP                    由  2 2 2 2 00 0,1, 3 3 00 xn CD n y zn DP                 …………………………………………9 分 1 3 2cos , 3 1 3 0 1 3 7 21sin , 7 m nm n m n m n                     即二面角 A PD C  的正弦值为 21 7 .…………………………………………12 分 20.（12 分） 命题意图：本题考查导数的应用，零点存在性定理，利用导数研究函数的单调性，进而解决 函数零点问题。第二问以学生熟悉的函数零点作为的设问方式，不至于完全阻学生于压轴题 门外。第一问主要考查学生对具体函数的单调性与导函数符号内在联系的准确理解，指导学 生养成严谨思考的数学思维习惯；第二问需要准确把握题意，在参数变化的情况下理清原函 数图像与导函数图像的内在联系，可以结合草图分析，直观想象，进而得到破题方法，对学 生综合能力要求高，需要一定的创新意识。 解析：(1)首先 ),0( x , )1()()(  mx mxexfxg x , 1)( 2  x mexg x , 由题意， 0)(  xg 在  ，0 上恒成立，即有 012  x mex ，即 0)1(2  mex x ，令 0)1()( 2  xmexxG x ， ，易证 )(xG 在  ，0 上单调递增，所以 mGxG  )0()( ， 所以 0m ………………………………………………………………5 分 (2)由(1), 0m 时， )(xg 在  ，0 上单调递增，令 0)( xg 得 x xem x 11 1   记 x x xex x xexexF xx x ln11 1 11 112 1)( 2                         ，则 02 1 2)1(  eF ， 0)2 1(2 1)1(2 1)( 22221        eeeeeeeeeF eee ，所以 ),1(0 ex  ，使 0)( 0 xF ，令 0 0 0 11 10 x xem x   ， 1)(  xext x ，则 1)(  xext ，所以 )(xt 在 ),1( e 上 单 调 递 增 ， 所 以 02)1()(  etxt ， 所 以 00 m ， 取 0mm  ， 则 0)(0)( 00  xfxg ， ， ),1( 0xx 时， 0)( xg ； ),( 0 exx 时， 0)( xg ；所以 )(xf 在 ),1( 0x 递 减 ， 在 ),( 0 ex 递 增 ， 又 0)( 0 xf ， 命 题 得 证。……………………………………………………………………………………12 分 21.（12 分） 命题意图：本题主要考查圆锥曲线中轨迹方程的计算，直线与椭圆位置关系等知识，考查的 核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算。 解析：（1） 1 2 3: ( 2), : ( 2)4l y k x l y xk      左右相乘得 2 23 ( 4)4y x   ，化简得 2 2 1( 2)4 3 x y x    ……………………5 分 （2）带入点 P 横坐标入椭圆可得纵坐标为 3 2 设直线 PE 斜率为 k ,则直线 PE 方程为 3( 1) 2y k x   联立椭圆 2 2 1( 2)4 3 x y x    2 2 233 4 4 3 2 4 12 02( ) ( ) ( )k x k k x k       …………………………………………………7 分 设 1 1 2 2( , ), ( , )E x y F x y 由于 P 在椭圆上，所以结合韦达定理可得： 2 1 2 4 1 5 12 3 4 ( . )kx k    1 1 1 5.y kx k   由于两直线斜率和为 0，所以可设另一条直线斜率为-k,同样方式联立椭圆，只需将上述结论 K 变为-K 即可： 2 2 2 4 1 5 12 3 4 ( . )kx k    1 1 1 5.y kx k    所以 2 1 1 2 2 2 1 2 1 ( ) EF y y k x x kK x x x x       又 2 2 2 8 6 241 2 2 1 4 3 4 3,k kx x x x k k       所以 2 1 1 2 2 2 1 2 1 ( ) EF y y k x x kK x x x x       2 28 6 24 4 3 12 1 24 24 2 ( ) ( )k k k k       ……………………………………………… ……12 分 22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 命题意图：本题意在考查极坐标的概念、极坐标方程、极坐标的运算，考查数学运算、逻辑 推理等核心素养 解析：(1)       3sin4  ①，      3-sin4  ②，  sin4 ③. 联立①③：  -sin3sin       ，  -3  ， 6   ， 2 ，所以       6,2 H ； 同理      2,2 M ,      6 7,2 N .…………………………………………5 分 (2)易知圆 C 是以 O 为圆心，2 为半径的圆，直线 L 过圆心 O，所以点 P 到直线 L 的距离最大 值是半径 2. ……………………………………………………………………………………10 分 23.[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 命题意图：本题意在考查不等式应用，绝对值不等式的性质，考查数学运算、逻辑推理等核 心素养 解析：(1). 4|1|)()1(1||)1()( 2  mmxxmxxmxxxf 所以 m=3.………………………………………………………………5 分 （2）.由（1）知 3222  cba ，由柯西不等式有：   16211411 2 222 222            ccbbaacbacba 所以 163411 222       cba ， 3 16411 222  cba ，所以最小值为 3 16 .……………………10 分