百校联盟（新高考辽宁卷）2021届高三数学3月检测试题（Word版附答案）

百校联盟 2021 届普通高中教育教学质量监测考试 新高考(辽宁卷) 数学 注意事项： 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。 3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.本试卷满分 150 分，测试时间 120 分钟。 5.考试范围：高考全部内容。 第 I 卷 一、单顶选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1. 1 i 2 3i   ＝ A. 1 5 13 13 i B. 1 5 13 13i C. 1 5 13 13i  D. 1 5 13 13i  2.已知集合 A＝{－1，0，2}，B＝{0，1，2}，则 A∪B＝ A.{－1，0，1，2} B.{－1，0，1} C.{0，1，2} D.{0，2} 3.函数 f(x)＝ 2xe x  的图象在点(1，f(1))处的切线方程为 A.2x＋y＋e－4＝0 B.2x＋y－e＋4＝0 C.2x－y＋e－4＝0 D.2x－y－e＋4＝0 4.《算法统宗》中有一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝 才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，意思是有一个人要走 378 里路，第一天健 步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，问第 三天和第四天共走了 A.36 里 B.70 里 C.72 里 D.124 里 5.已知直线 l：x－2y＋6＝0 与圆 C：x2＋y2－4y＝0 相交于 A，B 两点，则 CA CB  ＝ A.16 5 B.－16 5 C. 12 5 D.－12 5 6.设双曲线 C： 2 2 2 2 1x y a b   (a>0，b>0)的右焦点为 F2，过 F2 且垂直于 x 轴的直线与 C 相交所 得的弦长为 2 2 2 4b a b ，则 C 的离心率为 A. 2 B.2 C. 3 D.3 7.如图，无人机在离地面高 300m 的 M 处，观测到山顶 A 处的俯角为 15°、山脚 C 处的俯角 为 60°，已知 AB＝BC，则山的高度 AB 为 A.150 2 m B.200m C.200 2 m D.300m 8.已知定义域为 R 的函数 f(x)的导函数为 f'(x)，且 xf'(x)－4f(x)＝x5ex，若 f(1)＝e＋2，则方程 f(x)＝4 的实根个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9.下列函数中，在(2，4)上是减函数的是 A.y＝( 1 3 )x B.y＝log2(x2＋3x) C.y＝ 1 2x  D.y＝cosx 10.已知数列{an}满足 a2＝4，n(n－1)an＋1＝(n－1)an－nan－1(n>1 且 n∈N*)，数列{an}的前 n 项和 为 Sn，则 A.a1＋a3＝2 B.a1＋a3＝4 C.2020S2021－a2020＝8080 D.2021S2021－a2020＝4040 11.甲箱中有 3 个白球和 3 个黑球，乙箱中有 2 个白球和 4 个黑球。先从甲箱中随机取出一球 放人乙箱中，分别以 A1，A2 表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出 一球，以 B 表示从乙箱中取出的 球是黑球的事件，则下列结论正确的是 A.A1，A2 两两互斥 B.P(B|A2)＝ 2 3 C.事件 B 与事件 A2 相互独立 D.P(B)＝ 9 14 12.如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝2，E，F 分别为边 AB，BC 的中点，将该矩形沿对 角线 BD 折起，使平面 ABD⊥平面 BCD，则以下结论正确的是 A.EF//平面 ACD B.AC＝ 2 85 5 C.BD⊥AC D.三棱锥 A－BCD 的体积为16 5 15 第 II 卷 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知函数 f(x)＝   2x ,x 0x 1 f x 2 ,x 0       ，则 f(－4)＝ 。 14.若抛物线 y2＝8x 上有两点 A，B，且直线 AB 垂直于 x 轴，O 为坐标原点，若△OAB 的面 积为 8，则点 A，B 到拋物线的准线的距离之和为 。 15.将函数 f(x)图象向左平移 3  个单位，再把所得的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来 的 4 倍得到 y＝sin( 2 4 x  )，则 f(x)的解析式是 ；函数 f(x)在区间[ ,8 12   ]上的值 域是 。 16.已知三棱锥 S－ABC 外接球的球心 O 在线段 SA 上，若△ABC 与△SBC 均为面积是 3 的 等边三角形，则三棱锥 S－ABC 的体积为 。 四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分) 在①sin2A＋sin2B－sin2C＝sinAsinB，②2a＝ 3 csinA＋acosC，③(2sinA－sinB)a＝2csinC＋ (sinA－2sinB)b 这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答。 已知△ABC 的角 A，B，C 对边分别为 a，b，c，且 c＝6， 。 (1)求 C； (2)求△ABC 面积的最大值。 18.(本小题满分 12 分) 已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知 a1＋a2＝－20，S2＋S3＝－47。 (1)求数列{an}的通项公式； (2)求 Sn，并求 Sn 的最小值。 19.(本小题满分 12 分) 如图，在三棱锥 P－ABC 中，AB，AC，AP 两两互相垂直，AB＝2AC＝2AP，CD⊥PB。 (1)证明：AD⊥PB 且 BD＝4PD； (2)求直线 AD 与平面 PBC 所成角的正弦值。 20.(本小题满分 12 分) 2020 年 11 月 22 日，第 29 届全国中学生数学奥林匹克决赛举行，若将本次成绩转化为百分制， 现从中随机抽取了 100 名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部在[60，100]之内，将数 据按照[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图，如图所示。已 知 a，b，c 成等差数列且 a－c＝0.008。 (1)求频率分布直方图中 a，b，c 的值； (2)并估计这 100 名学生成绩的众数； (3)若按照分层抽样从成绩在[70，80)，[80，90)的两组中抽取了 6 人，再从这 6 人中随机抽取 3 人，记 X 为 3 人中成绩在[80，90)的人数，求 X 的分布列和数学期望。 21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率等于 1 2 ，椭圆 C 与抛物线 C'：y2＝ 9 2 x 交于 P， Q 两点(P 在 x 轴上方)，且 PQ 经过 C 的右焦点。 (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知点 A，B 是椭圆上不同的两个动点，且满足直线 AP 与直线 BP 关于直线 PQ 对称，试 问直线 AB 的斜率是否为定值，请说明理由。 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)＝  a lnx 1 x  。 (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)若 f(x) 5 4 。)