陕西省西安市八校2021届高三文科数学下学期第二次联考试题（Word版附答案）

西安地区陕师大附中 西安高级中学 西安 交大附中 西安市 83 中 西安市 85 中 西安市一中 西安 铁一中 西工大附中八校联考 2021 届高三年级数学（文科）试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分．考试时间 120 分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形 码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上． 2．选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案 标号非选择题答案用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔 迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案 无效． 4．保持纸面清洁，不折叠，不破损． 5．若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题纸上对应的题号后填写． 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合 { 3 1 2}A x x    ∣ ，  2 1B x x ∣ ，则 A B  （ ） A. ( 2, 1) (1,3)   B.  2, 1 [1,3)   C. [ 1,1] D. [1,3) 2. 已知复数 4 1 iz i   ，则| | z i （ ） A. 13 B. 2 3 C. 15 D. 26 3. 已知函数 ( )f x 的定义域为实数集 R ，对 x R ，有 ( 2) ( )f x f x   成立，且 (2) 5f  ， 则 (100)f  （ ） A. 10 B. 5 C. 0 D. -5 4. 已知数列 na 满足点 , nn a 在直线 4 2 0x y   上，则数列 na 的前 n 项和 nS （ ） A.  2 4 1n  B. 6 4n C. 24 8n n D. 22 4n n 5. 已知双曲线 2 2 : 1( 0)8 x yM mm m    的焦点 F 到其渐近线的距离为 4，则双曲线 M 的渐 近线方程是（ ） A. 1 3y x  B. 1 2y x  C. 2y x  D. 3y x  6. 给出如图所示的算法框图，若输出的 6n  时，a 的取值范围是（ ） A. (65,665) B. [65,665) C. [65,211) D. [65,665] 7. 已知向量 (1,2)a  ， ( 2,1)b   ， (5,4)c  ，则以向量 a 与 b 为基底表示向量 c 的结果是 （ ） A. 13 6 5 5a b  B. 13 14 3 3a b  C. 7 9 2 2a b   D. 14 13 3 3a b  8. 已知数列 2n na  是等比数列，且 1 0a  ， 2 4a  ，则数列 6a  （ ） A. 1984 B. 1920 C. 992 D. 960 9. 函数 2 1( ) 1 2 xf x x   的零点的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知 3( ) x xf x e  ，则 ( )f x （ ） A. 在 ( , )  上单调递增 B. 在 ( ,1) 上单调递减 C. 有极大值 3 e ，无极小值 D. 有极小值 3 e ，无极大值 11. 一个几何体的三视图如图，三个视图的外边框都是边长为 6 的正方形，各边上的交点为边 的中点．则该几何体的体积是（ ） A. 240 B. 216 C. 206 D. 180 12. 已知在线段 AB 上有C 、D 两点，满足 40cmAC  ， 120cmCD  ， 20cmDB  ，点 P 在线段 CD 上运动，设 M 为 AP 的中点， N 为 CD 的中点（如下图），则 AD CP MN  的值 （ ） A. 等于1 B. 等于 2 C. 等于3 D. 与 P 的位 置有关 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卷中相应 的横线上） 13. 已知 log 5 4x  ，则 x ________． 14. 已知角 的顶点是直角坐标系 xOy 的原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，若 ( 4,3)P  是 的终边上一点，则 sin 2  ________． 15. 已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     左、右焦点分别为 1F 、 2F ，过 1F 且倾斜角为30 的 直线 1l 与过 2F 的直线 2l 交于 P 点，点 P 在椭圆上，且 1 2 90F PF   ．则椭圆 C 的离心率 e ________． 16. 已知可导函数 ( )f x 的定义域为 (0, ) ，满足 ( ) 2 ( ) 0xf x f x   ，且 (2) 4f  ，则不等 式  2 4x xf  的解集是________． 三、解答题（共 7 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共 60 分． 17. 已知函数    sin cos 0f x x m x     的最大值为 2 ，且  f x 的最小正周期为  ． （1）若 0, 2x     ，求  f x 的最小值和最大值； （2）设 ABC 的内角 A 、 B 、C 的对应边分别为 a 、b 、c ， D 为 AC 的中点，若 a m ， 37 2BD  ， 02 Bf      ，求 ABC 的面积 ABCS ． 18. 已知抛物线 2: E y x 的焦点为 F ，过 y 轴正半轴上一点 M 的直线l 与抛物线 E 交于 A 、 B 两点，O 为坐标原点，且 2OA OB  uur uuur （Ⅰ）求证：直线l 过定点； （Ⅱ）设点 F 关于直线 OB 的对称点为 C ，求四边形OABC 面积的最小值． 19. 如图，在三棱锥 D ABC 中，侧面 ABD△ 是边长为 6 的等边三角形，底面 ABC 是角 C 为120 的等腰三角形， 30CD  ． （Ⅰ）求证：平面 ABD  平面 ABC ； （Ⅱ）若 M 在 CD 上，且 1 2CM MD ，求三棱锥 A BDM 的体积． 20. 某学校高一年级组，在本学期期中考试之后，为了制定更好、更切合实际的教学计划，需 对该年级学生本次考试成绩作详尽分析．故按频率组距男女比例，使用分层抽样的方法随机 抽取了该年级总人数的 1 3 学生数 n 作样本，将他们的总分换算为百分制后，最低分 20 分，最 高分 90 分，现在以 10 分为组距分组，并整理绘制成了频率分布直方图（如图）．已知该年级 学生男女比例为13:12 ，样本中人数最多的分数一组有 200 人． （1）①从抽取的 n 人中随机抽取一人，估计其分数低于 50 分的概率； ②求 n 的值和估计该年级的男生、女生人数； （2）若前三组学生人数比例为5:9:11，由样本估计总体，用各组的中间值代替该组的平均 值，试估计该高一年级本次期中考试的平均成绩（换算后的百分制成绩）（精确到个位）． 21. 已知函数    2 ln 2 1f x x x   ． （1）求  f x 在 1x  处的切线方程； （2）求证：     2 12 1 xf x x e   （ e 为自然对数的底数）． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则 按所做的第一题计分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写． [选修 4-4：极坐标与参数方程] 22. 已知极坐标系与直角坐标系的极点与原点重合，极轴与 x 轴的非负半轴重合，有相同的单 位长度．曲线S 的极坐标方程为 4cos 2sin    ，直线l 的参数方程为 2 8 1 x at y a t     （t 为参数， 1a  ）． （Ⅰ）求曲线S 的长度； （Ⅱ）若直线l 被曲线S 截得的线段长为 4，求实数 a 的集合． [选修 4-5：不等式选讲] 23. 已知 ( ) | 3| 2 | 1|f x x x x     ． （Ⅰ）解不等式 ( ) 1f x  ； （Ⅱ）求证： x  R ，对 , (0, )a b   ， 2a b  ，不等式 6 ( )ab f xa b  成立． 西安地区陕师大附中 西安高级中学 西安 交大附中 西安市 83 中 西安市 85 中 西安市一中 西安 铁一中 西工大附中八校联考 2021 届高三年级数学（文科）试题（答案版） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分．考试时间 120 分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形 码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上． 2．选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案 标号非选择题答案用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔 迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案 无效． 4．保持纸面清洁，不折叠，不破损． 5．若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题纸上对应的题号后填写． 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合 { 3 1 2}A x x    ∣ ，  2 1B x x ∣ ，则 A B  （ ） A. ( 2, 1) (1,3)   B.  2, 1 [1,3)   C. [ 1,1] D. [1,3) 【答案】B 2. 已知复数 4 1 iz i   ，则| | z i （ ） A. 13 B. 2 3 C. 15 D. 26 【答案】A 3. 已知函数 ( )f x 的定义域为实数集 R ，对 x R ，有 ( 2) ( )f x f x   成立，且 (2) 5f  ， 则 (100)f  （ ） A. 10 B. 5 C. 0 D. -5 【答案】D 4. 已知数列 na 满足点 , nn a 在直线 4 2 0x y   上，则数列 na 的前 n 项和 nS （ ） A.  2 4 1n  B. 6 4n C. 24 8n n D. 22 4n n 【答案】D 5. 已知双曲线 2 2 : 1( 0)8 x yM mm m    的焦点 F 到其渐近线的距离为 4，则双曲线 M 的渐 近线方程是（ ） A. 1 3y x  B. 1 2y x  C. 2y x  D. 3y x  【答案】C 6. 给出如图所示的算法框图，若输出的 6n  时，a 的取值范围是（ ） A. (65,665) B. [65,665) C. [65,211) D. [65,665] 【答案】B 7. 已知向量 (1,2)a  ， ( 2,1)b   ， (5,4)c  ，则以向量 a 与 b 为基底表示向量 c 的结果是 （ ） A. 13 6 5 5a b  B. 13 14 3 3a b  C. 7 9 2 2a b   D. 14 13 3 3a b  【答案】A 8. 已知数列 2n na  是等比数列，且 1 0a  ， 2 4a  ，则数列 6a  （ ） A. 1984 B. 1920 C. 992 D. 960 【答案】A 9. 函数 2 1( ) 1 2 xf x x   的零点的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 10. 已知 3( ) x xf x e  ，则 ( )f x （ ） A. 在 ( , )  上单调递增 B. 在 ( ,1) 上单调递减 C. 有极大值 3 e ，无极小值 D. 有极小值 3 e ，无极大值 【答案】C 11. 一个几何体的三视图如图，三个视图的外边框都是边长为 6 的正方形，各边上的交点为边 的中点．则该几何体的体积是（ ） A. 240 B. 216 C. 206 D. 180 【答案】D 12. 已知在线段 AB 上有C 、D 两点，满足 40cmAC  ， 120cmCD  ， 20cmDB  ，点 P 在线段 CD 上运动，设 M 为 AP 的中点， N 为 CD 的中点（如下图），则 AD CP MN  的值 （ ） A. 等于1 B. 等于 2 C. 等于3 D. 与 P 的位 置有关 【答案】B 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卷中相应 的横线上） 13. 已知 log 5 4x  ，则 x ________． 【答案】 5 14. 已知角 的顶点是直角坐标系 xOy 的原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，若 ( 4,3)P  是 的终边上一点，则 sin 2  ________． 【答案】 24 25  15. 已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     左、右焦点分别为 1F 、 2F ，过 1F 且倾斜角为30 的 直线 1l 与过 2F 的直线 2l 交于 P 点，点 P 在椭圆上，且 1 2 90F PF   ．则椭圆 C 的离心率 e ________． 【答案】 3 1 16. 已知可导函数 ( )f x 的定义域为 (0, ) ，满足 ( ) 2 ( ) 0xf x f x   ，且 (2) 4f  ，则不等 式  2 4x xf  的解集是________． 【答案】 (1, ) 三、解答题（共 7 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共 60 分． 17. 已知函数    sin cos 0f x x m x     的最大值为 2 ，且  f x 的最小正周期为  ． （1）若 0, 2x     ，求  f x 的最小值和最大值； （2）设 ABC 的内角 A 、 B 、C 的对应边分别为 a 、b 、c ， D 为 AC 的中点，若 a m ， 37 2BD  ， 02 Bf      ，求 ABC 的面积 ABCS ． 【答案】（1）  min 3f x   ，  max 2f x  ；（2） 3 3ABCS  . 18. 已知抛物线 2: E y x 的焦点为 F ，过 y 轴正半轴上一点 M 的直线l 与抛物线 E 交于 A 、 B 两点，O 为坐标原点，且 2OA OB  uur uuur （Ⅰ）求证：直线l 过定点； （Ⅱ）设点 F 关于直线 OB 的对称点为 C ，求四边形OABC 面积的最小值． 【答案】（Ⅰ） 0,2 ；（Ⅱ）3 19. 如图，在三棱锥 D ABC 中，侧面 ABD△ 是边长为 6 的等边三角形，底面 ABC 是角 C 为120 的等腰三角形， 30CD  ． （Ⅰ）求证：平面 ABD  平面 ABC ； （Ⅱ）若 M 在 CD 上，且 1 2CM MD ，求三棱锥 A BDM 的体积． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）6 20. 某学校高一年级组，在本学期期中考试之后，为了制定更好、更切合实际的教学计划，需 对该年级学生本次考试成绩作详尽分析．故按频率组距男女比例，使用分层抽样的方法随机 抽取了该年级总人数的 1 3 学生数 n 作样本，将他们的总分换算为百分制后，最低分 20 分，最 高分 90 分，现在以 10 分为组距分组，并整理绘制成了频率分布直方图（如图）．已知该年级 学生男女比例为13:12 ，样本中人数最多的分数一组有 200 人． （1）①从抽取的 n 人中随机抽取一人，估计其分数低于 50 分的概率； ②求 n 的值和估计该年级的男生、女生人数； （2）若前三组学生人数比例为5:9:11，由样本估计总体，用各组的中间值代替该组的平均 值，试估计该高一年级本次期中考试的平均成绩（换算后的百分制成绩）（精确到个位）． 【答案】（1）①0.1；②500；（2）69． 21. 已知函数    2 ln 2 1f x x x   ． （1）求  f x 在 1x  处的切线方程； （2）求证：     2 12 1 xf x x e   （ e 为自然对数的底数）． 【答案】（1） 4 2 0x y   ；（2）证明见解析. （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则 按所做的第一题计分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写． [选修 4-4：极坐标与参数方程] 22. 已知极坐标系与直角坐标系的极点与原点重合，极轴与 x 轴的非负半轴重合，有相同的单 位长度．曲线S 的极坐标方程为 4cos 2sin    ，直线l 的参数方程为 2 8 1 x at y a t     （t 为参数， 1a  ）． （Ⅰ）求曲线S 的长度； （Ⅱ）若直线l 被曲线S 截得的线段长为 4，求实数 a 的集合． 【答案】（Ⅰ） 2 5 ；（Ⅱ） 35 35, , 1,137 37      [选修 4-5：不等式选讲] 23. 已知 ( ) | 3| 2 | 1|f x x x x     ． （Ⅰ）解不等式 ( ) 1f x  ； （Ⅱ）求证： x  R ，对 , (0, )a b   ， 2a b  ，不等式 6 ( )ab f xa b  成立． 【答案】（Ⅰ） 2,0 ；（Ⅱ）证明见详解.