保密★启用前
2021 年普通高等学校招生全国统一模拟考试
数学
2021.3（1）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写
在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知 A，B 都是 R 的子集，且 A B ，则 RB A ð （ ）
A ．A B．B C． D．R
2．
6
1 3i
（ ）
A．
3 10
5 B．
9
10 C．
3 10
10 D．2
3．小明同学从 9 种有氧运动和 3 种无氧运动中选 4 种运动进行体育锻炼，则他至少选中 1 种
无氧运动的选法有（ ）
A．261 种 B．360 种 C．369 种 D．372 种
4．溶液酸碱度是通过 pH 计算的，pH 的计算公式为 pH lg H ，其中 H 表示溶液中
氢离子的浓度，单位是摩尔/升，人体血液的氢离子的浓度通常在 7.45 7.351 10 ~ 1 10 之间，
如果发生波动，就是病理现象，那么，正常人体血液的 pH 值的范围是（ ）
A．[7.25,7.55] B．[7.25,7.45] C．[7.25,7.35] D．[7.35,7.45]
5．已知两条不同的直线 l，m 和不重合的两个平面 , ，且 l ，有下面四个命题：①若
m ，则 / /l m ；②若 / / ，则 l ；③若 ，则 / /l ；④若 l m ，则 / /m ．
其中真命题的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．②③④ D．①④
6．某大学进行“羽毛球”“美术”、“音乐”三个社团选拔．某同学经过考核选拔通过该校的
“羽毛球”“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为 a，b，
1
2 ，已知三个社团中他恰好能进入
两个的概率为
1
5 ．假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相互独立，则该同学一
个社团都不能进入的概率为（ ）
A．
1
2 B．
3
5 C．
3
4 D．
3
10
7．已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的左焦点为 F，上顶点为 A，右顶点为 B，若 OAB ，
OAF 的平分线分别交 x 轴于点 D，E，且
2 2 2| | | | | | 2 | | | |AD AE DE AD AE ，则
椭圆 C 的离心率为（ ）
A．
2
2 B．
3 1
2
C．
5 1
2
D．
3
2
8．设 ( )f x 是 R 上的奇函数，且 ( )f x 在 ( ,0) 上是减函数，又 ( 4) 0f ，则不等式
( 4) ( 4) 0f x f x
x
的解集是（ ）
A． (0,4) B． ( 8, 4) C．( 4,0) (0,4) D． ( 8, 4) (0,4)
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．如果平面向量 (2, 4), ( 6,12)a b
，那么下列结论中正确的是（ ）
A．| | 3| |b a
B． / /a b
C． a
与 b
的夹角为 30 D． a
在 b
方向上的投影为 2 5
10．袋子中有 2 个黑球，1 个白球，现从袋子中有放回地随机取球 4 次，取到白球记 0 分，黑
球记 1 分，记 4 次取球的总分数为 X，则（ ）
A．
2~ 4, 3X B B．
8( 2) 81P X
C．X 的期望
8( ) 3E X
D．X 的方差
8( ) 9D X
11．已知 0, 0a b ，且 2 8 1a b ，则（ ）
A．
4 33 3
a b
B． 2 1a b C． 2 2log log 6a b D．
2 2 116 8a b
12．已知函数 ( ) 2tanf x x x ，其导函数为 ( )f x ，设 ( ) ( )cosg x f x x ，则（ ）
A． ( )f x 的图象关于原点对称 B． ( )f x 在 R 上单调递增
C． 2 是 ( )g x 的一个周期 D． ( )g x 在
0, 2
上的最小值为 2 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．若 (4,1)P 为抛物线
2: 2 ( 0)C x py p 上一点，抛物线 C 的焦点为 F，则| |PF _______．
14．写出一个公差为 2 且“前 3 项之和小于第 3 项”的等差数列 na __________．
15．已知函数 ( ) sin cosf x x a x 图象的一条对称轴为
1
6x
，则 a ___________，函
数 ( )f x 在区间
1 1,6 3
上的值域为___________．
16．早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立
体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如
图，正二十面体是由 20 个等边三角形组成的正多面体，共有 12 个顶点，30 条棱，20 个面，
是五个柏拉图多面体之一．如果把sin 36 按
3
5 计算，则该正二十面体的表面积与该正二十面
体的外接球表面积之比等于___________．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）
已知公比小于 1 的等比数列 na 中，其前 n 项和为 nS ， 2
1
4a
， 3
7
8S
．
（1）求 na ；
（2）求证：
1 12 nS ．
18．（12 分）
在 ABC 中， cos ( 3 sin ) sin cosB a b C b B C ．
（1）求 B；
（2）若 2 ,c a ABC 的面积为
2 3
3 ，求 ABC 的周长．
19．（12 分）
如图，四边形 ABCD 是正方形， PA 平面 , / /ABCD PA EB ，且 3PA AB ．
（1）求证： / /CE 平面 PAD ；
（2）若
1
3BE PA
，求直线 PD 与平面 PCE 所成角的正弦值．
20．（12 分）某电器企业统计了近 10 年的年利润额 y（千万元）与投入的年广告费用 x（十万
元）的相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令 ln , lni i i iu x v y ，得到相关数据
如表所示：
10
1
i i
i
u v
10
1
i
i
u
10
1
i
i
v
10
2
1
i
i
u
30.5 15 15 46.5
（1）从① y bx a ；② ( 0, 0)ky m x m k ；③
2y cx dx e 三个函数中选择一个
作为年广告费用 x 和年利润额 y 的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；
（2）根据（1）中选择的回归类型，求出 y 与 x 的回归方程；
（3）预计要使年利润额突破 1 亿，下一年应至少投入多少广告费用？（结果保留到万元）
参考数据：
310 3.6788,3.6788 49.787e
参 考 公 式 ： 回 归 方 程 y a bt 中 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为
1
2
1
ˆ ˆˆ,
n
i i
i
n
i
i
t t y y
b a y bt
t t
21．（12 分）
已知双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
上一动点 P，左，有焦点分别为 1 2,F F ，且 2 (2,0)F ，
定直线
3: ,2l x PM l
，点 M 在直线 l 上，且满足 2
| | 3
2
PM
PF
∣ ．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线 0l 的斜率 1k ，且 0l 过双曲线右焦点与双曲线右支交于 A，B 两点，求 1ABF 的
外接圆方程．
22．（12 分）
已知函数
1( ) ln ( )f x a x ax
R
．
（1）讨论函数 ( )f x 在区间[1,2]上的最小值；
（2）当 1a 时，求证：对任意 (0, )x ，恒有
cos( )
xe xf x x
成立．
2021 年普通高等学校招生全国统一模拟考试
数学参考答案及评分标准
2021.3（1）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．D 【解析】由 Venn 图，易知 kB A R ð ．故选 D．
2．A 【解析】
2 2
6 6 6 3 10
1 3 |1 3 | 51 ( 3)i i
．故选 A．
3．C 【解析】从 9 种有氧运动和 3 种无氧运动中选 4 种运动进行体育锻炼，则他至少选中 1
种无氧运动的选法有
1 3 2 2 3 1
3 9 3 9 3 9 369C C C C C C （种）．故选 C．
4．D 【解析】依题意，
7.45 7,35
1 2pH lg 1 10 7.45,pH lg 1 10 7.35 ，因
此，正常人体血液的 pH 值的范围是[7.35,7.45]．故选 D．
5．A 【解析】对于①，由 ,l m ，可得 / /l m ，故①正确；
对于②，若 , / /l ，可得 l ，故②正确；
对于③，若 ,l ，则有可能l ，故③错误；
对于④，当 ,l l m 时，则有可能 m ，故④错误．
综上，真命题的序号是①②．故选 A．
6 ． D 【 解 析 】 由 题 知 ， 三 个 社 团 中 他 恰 好 能 进 入 两 个 的 概 率 为
1
5 ， 则
1 1 1 11 (1 ) (1 )2 2 2 5ab a b b a ，所以
1 1 1( )2 2 5a b ab
，所以
2
5a b ab
，
所 以 该 同 学 一 个 社 团 都 不 进 入 的 概 率
1 1 1 1 2 3(1 )(1 ) 1 [1 ( ) ] {1 [( ) ]} 12 2 2 2 5 10P a b a b ab a b ab
．故选 D．
7．C 【解析】如下图所示：
因 为
2 2 2| | | | | | 2 | | | |AD AE DE AD AE ， 所 以 由 余 弦 定 理 得
2 2 2| | | | | | 2 | | | | 2cos 2 | | | | 2 | | | | 2
AD AE DE AD AEDAE AD AE AD AE
，又
0, 2DAE ，所
以 45DAE ． 因 为 ,AD AE 分 别 为 ,OAB OAF 的 平 分 线 ， 所 以
2 90BAF DAE ，所以 AB AF ．
由题意可知，点 ( ,0), (0, ), ( ,0)F c A b B a ，则 ( , ), ( , )AF c b AB a b
．
由 2 0AF AB ac b
， 可 得 2 2 0a c ac ， 即 2 2 0c ac a ， 在 等 式
2 2 0c ac a 的两边同时除以 2a ，可得 2 1 0e e ，因为 0 1e ，解得
5 1
2e
．故
选 C．
8．B 【解析】因为 ( )f x 是 R 上的奇函数，且在( ,0) 上是减函数，所以 ( )f x 在 (0, )
上是减函数，又因为 ( 4) 0f ，所以 (4) 0f ，则函数 ( )f x 的大致图象如下图所示：
由
( 4) ( 4) 0f x f x
x
，得
( 4) [ ( 4)] 0f x f x
x
，即
2 ( 4) 0f x
x
，
则
( 4) 0,
0,
f x
x
或
( 4) 0,
0,
f x
x
则
4 4 0,
0,
x
x
或
0 4 4,
0,
x
x
解得 8 4x 或 x ．
故
( 4) ( 4) 0f x f x
x
的解集是 ( 8, 4) ．故选 B．
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．AB 【解析】因为 (2, 4), ( 6,12)a b
，所以 3b a
．
在 A 中，因为 3b a
，所以| | 3| |b a
，故 A 正确；
在 B 中，因为 3b a
，所以 / /a b
，故 B 正确；
在 C 中，因为 3b a
，所以 a
与 b
的夹角为180 ，故 C 错误；
在 D 中， a
在 b
方向上的投影为
2 2
(2, 4) ( 6,12) 2 5
| | ( 6) 12
a b
b
，故 D 错误．故选 AB．
10．ACD 【解析】由于每次取球互不影响，故所有结果有 4 类：
①4 次全是白球， 0X ，记其概率为
41 1( 0) 3 81P X ；
②4 次只有 1 次是黑球， 1X ，记其概率为
3
1
4
2 1 8( 1) 3 3 81P X C ；
③4 次只有 2 次是黑球， 2X ，记其概率为
2 2
2
4
2 1 24( 2) 3 3 81P X C ；
④次只有 3 次是黑球， 3X ，记其概率为
3
3
4
2 1 32( 3) 3 3 81P X C ；
⑤4 次全是黑球， 4X ，记其概率为
42 16( 4) 3 81P X ．
故
2~ 4, 3X B ，故 A 正确，B 错误；
因为
2~ 4, 3X B ，所以 X 的期望
2 8( ) 4 3 3E X
，故 C 正确；
因为
2~ 4, 3X B ，所以 X 的方差
2 1 8( ) 4 3 3 9D X
，故 D 正确．故选 ACD．
11 ． ABC 【 解 析 】 对 于 A ， 因 为 0, 0a b ， 且 2 8 1a b ， 所 以
2 8 2 (1 2 ) 4 1 1a b a a a ，所以
2 8 1 13 3 3
a b
，所以
4 33 3
a b
，故 A 正确；
对 于 B ，
2( 2 8 ) 2 8 2 2 8 1 2 2 8 1 (2 8 ) 2a b a b a b a b a b ， 所 以
2 8 2a b ，当且仅当 2 8a b ，即
1 1,4 16a b
时取等号，故 2 1a b ，故 B
正确；
对 于 C ，
2
2 2 2 2
2 8log 2 log 8 log 16 log 22
a ba b ab
， 当 且 仅 当 2 8a b ， 即
1 1,4 16a b
时 取 等 号 ， 故 2 2 2 2log 2 log 8 1 log 3 log 2a b a b ， 得
2 2log log 6a b ，故 C 正确；
对 于 D ， 已 知 0, 0a b ， 且 2 8 1a b ， 所 以
2 2 2(2 8 ) 2(2 ) 2(8 )a b a b ， 即
2 21 8 128a b ，
则
2 2 116 8a b
，当且仅当 2 8a b ，即
1 1,4 16a b
时取等号，故 D 错误．故选 ABC ．
12．AC 【解析】 ( ) 2tanf x x x 的定义域是
| ,2x x k k Z
，其关于坐标原点
对称，且 ( ) 2 tan( ) 2 tan ( 2 tan ) ( )f x x x x x x x f x ，所以 ( )f x 是奇
函数，所以 ( )f x 的图象关于原点对称，故 A 项正确；
由 ( ) 2tanf x x x ，得 2
2( ) 1 cosf x x
，则
2( ) ( )cos cos cosg x f x x x x
．
2
2( ) 1 0cosf x x
恒成立，所以 ( )f x 在
, ( )2 2k k k Z
上单调递增，并不
是在 R 上单调递增，故 B 项错误；
由
2( ) cos cosg x x x
， 得 函 数 ( )g x 的 定 义 域 是
| ,2x x k k Z
，
2 2( 2 ) cos( 2 ) cos ( )cos( 2 ) cosg x x x g xx x
，故 C 项正确；
设 cost x ，当
0, 2x 时， (0,1)t ，此时 ( ) 3g x ，故 D 项错误，故选 AC．
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．5
【解析】由 (4,1)P 为抛物线
2: 2 ( 0)C x py p 上一点，得
24 2 1p ，可得 8p ，则
8| | 1 52PF
．
14． 2 6n （答案不唯一）
【解析】要满足“前 3 项之和小于第 3 项”，则 1 2 0a a ，则不妨设 1 24, 2a a ，则
4 ( 1) 2 2 6na n n ．
15． 3 [1,2]（第一空 2 分，第二空 3 分）
【解析】因为函数 ( )f x 的对称轴为
1
6x
，
由辅助角公式可得
2( ) 1 sin( )(tan )f x a x a ，
所以
21 16f a ，即
2sin cos 16 6a a
，即
21 3 12 2 a a
，两端平方，
可 得 3a ． 所 以
( ) sin 3cos 2sin 3f x x x x ． 由
1 1,6 3x ， 得
2,3 6 3x ，所以
1sin ,13 2x ，所以
2sin [1,2]3x ，故函数 ( )f x
在区间
1 1,6 3
上的值域为[1,2]．
16．
55 3
36
【解析】由图，知正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设其半径为 R，正五边形
的外接圆半径为 r，正二十面体的棱长为 l，则
32 sin36 5
l
r
，得
5
6
lr
，所以正五棱锥的
顶点到底面的距离是
2
2 2 2 5 11
6 6
lh l r l l ，所以
2 2 2( )R r R h ，即
22
2 5 11
6 6
lR R l
，解得
3 11
11R l
．所以该正二十面体的外接球表面积为
2
2 23 11 364 4 11 11S R l l
球
， 而 该 正 二 十 面 体 的 表 面 积 是
2120 sin60 5 32S l l l 正二十面体
，所以该正二十面体的表面积与该正二十面体的外
接球表面积之比等于
55 3
36 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）
（1）解：设等比数列 na 的公比为 q．
由
2
3
1 ,4
7 ,8
a
S
得
2
1 ,4
1 1 1 7 ,4 4 4 8
a
qq
2 分
解得
2
1 ,4
1 ,2
a
q
或
2
1 ,4
2
a
q
（舍去）， 4 分
所以
21 1 1
4 2 2
n n
na
． 6 分
（2）证明：由（1）得
1
2
n
na ，
所以
1 112 2 111 21 2
n
n
nS
． 8 分
因为
1
2
x
y 在 R 上为减函数，且
1 02
x
y 恒成立，
所以当 *nN ，即 1n
时，
1 10 2 2
n
， 9 分
所以
1 11 12 2
n
nS
． 10 分
18．（12 分）
解：（1）由 cos ( 3 sin ) sin cosB a b C b B C ，得 3 cos cos sin sin cosa B b B C b B C ，
即 3 cos sin cos cos sina B b B C b B C ，
3 cos sin( )a B b B C ， 2 分
3 cos sina B b A ． 3 分
由正弦定理，得 3sin cos sin sinA B B A ， 4 分
因为sin 0A ，
所以 3cos sinB B ，所以 tan 3B ． 5 分
因为 0 B ，所以 3B
． 6 分
（2）因为 2 ,c a ABC 的面积为
2 3
3 ，
所以
1 1 3 2 3sin 22 2 2 3ABCS ac B a a ，
解得
2 3
3a
， 8 分
所以
4 32 3c a
． 9 分
由 余 弦 定 理 2 2 2 2 cosb a c ac B ， 可 得
2 2
2 2 3 4 3 2 3 4 3 12 43 3 3 3 2b
，
解得 2b ． 11 分
所以 ABC 的周长为
2 3 4 32 2 2 33 3a b c
． 12 分
19．（12 分）
（1）证明：因为四边形 ABCD 是正方形，所以 / /BC AD ． 1 分
又 AD 平面 ,PAD BC 平面 PAD ，
所以 / /BC 平面 PAD ． 2 分
因为 / /PA EB ， 3 分
同理，可证 / /EB 平面 PAD ， 4 分
又 BC EB B ，所以平面 / /EBC 平面 PAD ， 5 分
又因为CE 平面 EBC ，所以 / /CE 平面 PAD ． 6 分
（2）解：分别以 , ,AD AB AP 为 x，y，z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系．
因为 3PA AB ，所以
1 13BE PA
，
则 (0,0,3), (3,0,0), (3,3,0), (0,3,1)P D C E ， 7 分
则 (3,0, 3), (3,3, 3), (0,3, 2)PD PC PE
． 8 分
设平面 PCE 的法向量为 ( , , )m x y z
，则由
( , , ) (3,3, 3) 3 3 3 0,
( , , ) (0,3, 2) 3 2 0,
m PC x y z x y z
m PE x y z y z
得
,3
2 ,3
zx
zy
令 3z ，得平面 PCE 的一个法向量为 (1,2,3)m
． 10 分
设直线 PD 与平面 PCE 所成角为 ，则
(3,0, 3) (1,2,3) 7sin 7| || | 3 2 14
PD m
PD m
．
所以直线 PD 与平面 PCE 所成角的正弦值为
7
7 ． 12 分
20．（12 分）
解：（1）由散点图知，年广告费用 x 和年利润额 y 的回归类型并不是直线型的，而是曲线型
的，所以选择回归类型
ky m x 更好． 3 分
（2）对
ky m x 两边取对数，得 ln ln lny m k x ，即 lnv m ku , 4 分
由表中数据得，
10
1
10
2 2
1
10 30.5 10 1.5 1.5 1ˆ
46.5 10 1.5 1.5 310
i i
i
i
i
u v uv
k
u u
， 6 分
所以
1ˆln 1.5 1.5 13m v ku
，所以 m e ， 7 分
所以年广告费用 x 和年利润额 y 的回归方程为
1
3y e x ． 8 分
（3）由（2），知
1
3y e x ，
令
1
3 10y e x ，得
1
3 10x e
，得
1
3 3.6788x ， 10 分
所以 33.6788 49.787x ， 11 分
所以 49.8x （十万元） 498 （万元）．
故下一年应至少投入 498 万元广告费用． 12 分
21．（12 分）
解（1）由题意，可知
2 2 3
| | 3
PF
PM
，设点 ( , )P x y ，
则
2 2( 2) 2 3
3 3
2
x y
x
， 2 分
得
2
2 2 4 3( 2) 3 2x y x ，
得
2 2 244 4 4 33x x y x x
，
得
2 211 3y x
， 4 分
即双曲线的标准方程为
2
2 13
x y
． 5 分
（2）由题意，可知直线 0 : 2l y x ，设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，
则
2
2
2,
1.3
y x
x y
可得 22 12 15 0x x ， 6 分
则 AB 中点为 2(3,1),M ABF 外接圆圆心在 AB 的垂直平分线上，设为 1l ，
故 1l 方程为 4y x ，
又由焦点弦长公式，可知| | 2 3AB ． 8 分
设圆心 0 0,x y 满足
0 0
2 2 2 2
0 0 0 0
4,
3 1 3 2 ,
y x
x y x y
故
0
0
1,8
31.8
x
y
10 分
所以半径
2 21 31 62528 8 32R ，
所以外接圆方程为
2 21 31 625
8 8 32x y ． 12 分
22．（12 分）
（1）解：函数
1( ) lnf x a x x
的定义域是 (0, ) ，
2 2
1 1( ) a axf x x x x
． 1 分
①当 0a 时， 2
11 0, 0axax x
，则 ( ) 0f x ，
则函数 ( )f x 在 (0, ) 上单调递减，即函数 ( )f x 在区间[1,2]上单调递减，
故函数 ( )f x 在区间[1,2]上的最小值为
1(2) ln2 2f a
． 3 分
②当 0a 时，令 ( ) 0f x ，得
10 x a
；令 ( ) 0f x ，得
1x a
；
故函数 ( )f x 在
10, a
上单调递减，在
1 ,a
上单调递增．
（ⅰ）当
1 1a ，即 1a
时，函数 ( )f x 在区间[1,2]上单调递增，故函数 ( )f x 在区间[1,2]上
的最小值为 (1) 1f ； 4 分
（ⅱ）当
1 2a
，即
10 2a 时，函数 ( )f x 在区间[1,2]上单调递减，故函数 ( )f x 在区间[1,2]
上的最小值为
1(2) ln2 2f a
； 5 分
（ⅲ）当
11 2a
，即
1 12 a
时，函数 ( )f x 在
11, a
上单调递减，在
1 ,2a
上单调递增，
此时函数 ( )f x 在区间[1,2]上的最小值为
1 1lnf a aa a
． 6 分
综上，当
1
2a 时，函数 ( )f x 在区间[1,2]上的最小值为
1(2) ln2 2f a
；当
1 12 a
时，
函数 ( )f x 在区间[1,2]上的最小值为
1 1lnf a aa a
；当 1a
时，函数 ( )f x 在区间[1,2]
上的最小值为 (1) 1f ． 7 分
（2）证明：当 1a 时，
1( ) lnf x x x
，
要证
cos( )
xe xf x x
，即证
1 cosln
xe xx x x
，
因为 0x ，所以两边同时乘 x，得 ln 1 cosxx x e x ，
即证 ln cos 1xx x e x ． 8 分
当0 1x 时， ln 0x x ，而 cos 1 1 cos1 1 cos1 0xe x ，
所以 ln cos 1xx x e x 成立，即
cos( )
xe xf x x
成立．
当 1x 时，令 ( ) cos ln 1( 1)xh x e x x x x ，
则 ( ) sin ln 1xh x e x x ． 9 分
设 ( ) sin ln 1( 1)xg x e x x x ，则
1( ) cosxg x e x x
．
因为 1x ，所以
1( ) cos 1 1 0xg x e x ex
，
所以当 1x 时， ( )g x 单调递增， 10 分
所以 ( ) sin1 1 0g x e ，即 ( ) 0h x ，
所以 ( )h x 在 (1, ) 上单调递增，
所以 ( ) cos1 1 0h x e ，即
cos( )
xe xf x x
成立． 11 分
综上，对任意 (0, )x ，恒有
cos( )
xe xf x x
成立． 12 分
微信/支付宝扫码支付