陕西省榆林市2021届高三文科数学下学期第二次高考模拟试题（Word版附答案）

绝密★启用前 榆林市 2021 届高考模拟第二次测试 文科数学试题 一､选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.  2{ 0} 9x x x x   ∣ ∣ （ ） A.{ 3 0}x x  ∣ B.{ 3}x x  ∣ C.{ 3}x x ∣ D.{ 0 3}x x ∣ 2.  4 4 4i i i   （ ） A.8-15i B.15i C.8 15i D. 15i 3.2020 年广东 12 月份天气预报历史记录中 1 号至 8 号的数据如表所示，则（ ） 日期 最高气温 / C 最低气温 / C 12 月 1 日 23 14 12 月 2 日 23 13 12 月 3 日 20 11 12 月 4 日 19 10 12 月 5 日 21 9 12 月 6 日 21 15 12 月 7 日 23 12 12 月 8 日 23 11 A.这 8 天的最高气温的极差为 5 C B.这 8 天的最高气温的中位数为 23 C C.这 8 天的最低气温的极差为 5 C D.这 8 天的最低气温的中位数为 11.5 C 4.已知函数   lnf x x 的图像在   ,a f a 处的切线斜率为  ,k a 则" 2"a  是"   1 2k a  " 的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.若抛物线 2 2 ( 0)x py p  上的点  ,1A m 到焦点的距离为 4, 则| |m  （ ） A. 1 12 B.2 6 C.6 D. 2 3 6.已知函数   2 2 ,x xf x   则不等式    2 8 0xf f   的解集为（ ） A.(-3，0) B. ,3 C.(0，3) D.  3,  7.若   3 3sin cos sin cosf x x x x x  的最大值为（ ） A. 1 2 B. 1 4 C. 2 2 D.1 8.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体某条棱 上的一个端点 P 在正视图中对应的点为 M，在俯视图中对应的点为 N，则 P 在侧视图中对应 的点为（ ） A.点 D B.点 C C.点 B D.点 A 9.已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的虚轴的一个顶点为 D ，且C 的左､右焦点分别为 1 2, ,F F 若 1 2 30 ,F F D   则C 的离心率为（ ） A. 3 3 B. 6 2 C. 2 3 3 D. 15 3 10，我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有 沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几 何.”题意是有一个三角形的沙田，其三边长分别为 13 里､14 里､15 里，1 里为 300 步，设 6 尺 为 1 步，1 尺=0.231 米，则该沙田的面积约为(结果精确到 0.1，参考数据： 2415.8 172889.64 ) （ ） A.15.6 平方千米 B.15.2 平方千米 C.14.8 平方千米 D.14.5 平方千米 11.已知三棱锥 B PAC 的侧棱都相等，侧棱的中点分别为 , , ,D E F 棱 AC 的中点为 ,G PB  平面 .ABC 且 4, 120 .AB ABC   若四面体 DEFG 的每个顶点都在球 O 的球面上，则该 球面与三棱雉 B PAC 侧面的交线总长为（ ） A. 7 3  B. 8 3  C.10 3  D. 11 3  12.已知 3 25 9 1log 7, log 343, 4log 22a b c    ，则（ ） A.b a c  B. c a b  C. a b c  D.b c a  二､填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.若    2,3 , 10,a b m   ，且b a  ，则   _________. 14.甲､乙约定晚上七点在某校门口见面，甲晚上七点准时到了门口，此时，乙打电话告知甲路 上出现堵车状况，至少要过 20 分钟才能到.甲决定等乙半个小时，超过半个小时乙还未到就离 开，若乙在晚上七点五十之前一定能到，则两人能见面的概率为_________. 15.设 ,x y 满足约束条件 1 3 1 3 x y    „ „ „ „ ，且 ( 0, 0)z ax by a b    的最大值为3, 则 ab 的最大值为 _________. 16.关于函数   4sin 6f x x      有如下四个命题： ①  f x 的最小正周期为 2 ； ②  f x 的图像关于点( 7 6 ，0)对称； ③若    ,f a x f a x   则|∣的最小值为 2 3 ； ④  f x 的图像与曲线 1 250 6y xx       共有 4 个交点. 其中所有真命题的序号是_________. 三､解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17 题-第 21 题为必考题，每个考题考生必须作答.第 22､23 题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共 60 分. 17.(12 分)已知 nS 为数列 na 的前 n 项和，数列 nS 是等差数列，且 5 99, 17.S S  （1）求 na 的通项公式； （2）求数列 2n n na S  的前 n 项和 nT . 18.(12 分)某机构为了解某大学中男生的体重单位： kg )与身高 x(单位： cm )是否存在较好的 线性关系，该机构搜集了 7 位该校男生的数据，得到如下表格： 序号 1 2 3 4 5 6 7 身高( cm ) 161 175 169 178 173 168 180 体重( kg ) 52 62 54 70 66 57 73 根据表中数据计算得到 y 关于 x 的线性同归方程为 ˆ ˆ1.15y x a  （1）求 ˆa （2）已知     2 2 1 2 1 ˆ 1 n i i i n i i y y R y y         且当 2 0.9R … 时，回归方程的拟合效果非常好；当 20.8 0.9R  时，回归方程的拟合效果良好.试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良 好？说明你的理由. 参考数据：  6 2 1 ˆ 49.12i i i y y    19.(12 分)如图所示的几何体由等高的等圆柱和个圆柱拼接而成，点G 为弧 CD 的中点，且 , , ,C E D G 四点共面 （1）证明： BF  平面 .BCG （2）若四边形 ADEF 为正方形，且四面体 ABDF 的体积为 4 3 ，求线段 FG 的长. 20.(12 分)已知函数    2 3 .xf x x e m   （1）讨论  f x 的单调性； （2）若     2 2 1 2 10, , , 4 8x xx x R f x       ，求 m 的取值范围. 21.(12 分)已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)y xC a ba b     的焦距与椭圆 2 2 13 x y  的焦距相等，且C 经 过抛物线 2( 1) 2y x   的顶点. （1）求C 的方程； （2）若直线 y kx m  与C 相交于 ,A B 两点，且 ,A B 关于直线 : 1 0l x ty   对称，O 为C 的对称中心，且 AOB 的面积为 10 3 ，求 k 的值. (二)选考题：共 10 分，请考生在第 22､23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将所选 题号涂黑，多涂､错涂､漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修 4-4：坐标系与参数方程(10 分) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 3 3cos 3sin x y       ( 为参数)，点 P 的坐标为 ( ,0).m （1）以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； （2）若直线 1 2 3 2 x m t y t      (t 为参数)与曲线C 交于 ,A B 两点，若 2,PA PB … 求 2 6m m 的 取值范围. 23.[选修 4-5：不等式选讲](10 分)已知函数   3 5 3 3 .f x x x    （1）求不等式   40f x  的解集； （2）若不等式   22logf x m m  对任意 x R 恒成立，求 m 的取值范围. 榆林市 2021 届高考模拟第二次测试 文科数学逐题解析 一､选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.  2{ 0} 9x x x x   ∣ ∣ （ ） A.{ 3 0}x x  ∣ B.{ 3}x x  ∣ C.{ 3}x x ∣ D.{ 0 3}x x ∣ 解析：  2{ 0} 9 { 0} { 3 3} { 3 0}x x x x x x x x x x            ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ，故选 A. 2.  4 4 4i i i   （ ） A.8-15i B.15i C.8 15i D. 15i 解析： 4 24 (4 ) (1 4 )(4 ) (4 ) 8 15i i i i i i i i          ，故选 A. 3.2020 年广东 12 月份天气预报历史记录中 1 号至 8 号的数据如表所示，则（ ） 日期 最高气温 / C 最低气温 / C 12 月 1 日 23 14 12 月 2 日 23 13 12 月 3 日 20 11 12 月 4 日 19 10 12 月 5 日 21 9 12 月 6 日 21 15 12 月 7 日 23 12 12 月 8 日 23 11 A.这 8 天的最高气温的极差为 5 C B.这 8 天的最高气温的中位数为 23 C C.这 8 天的最低气温的极差为 5 C D.这 8 天的最低气温的中位数为 11.5 C 解析：这 8 天的最高气温的极差为 23 19 4 C   .这 8 天的最高气温的中位数的 21 23 222   C . 这 8 天的最低气温的极差为15 9 6 C   ，这 8 天的最低气温的中位数为 11 12 11.52 C   ， 故选 D. 4.已知函数   lnf x x 的图像在   ,a f a 处的切线斜率为  ,k a 则" 2"a  是"   1 2k a  " 的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析：，因为 1 1( ) 2k a a   ， 0a  所以以 2a  ，因" 2a  "是" 1( ) 2k a  "的充要条件，故选 A. 5.若抛物线 2 2 ( 0)x py p  上的点  ,1A m 到焦点的距离为 4, 则| |m  （ ） A. 1 12 B.2 6 C.6 D. 2 3 解析：因为抛物线 2 2 ( 0)x py p  上的点 ( ,1)A m 列焦点的距离为 4，所以1 42 P  ，即： 6P  ， 2 12x y ，所以 2 12,| | 2 3m m  ，故选 D. 6.已知函数   2 2 ,x xf x   则不等式    2 8 0xf f   的解集为（ ） A.(-3，0) B. ,3 C.(0，3) D.  3,  解析：因为 ( ) 2 2x xf x   为 R 上的增函数，奇函数，所以  2 ( 8) 0xf f   等价于  2 (8)xf f ，因此 2 8x  ，即： 3x  ，故选 B. 7.若   3 3sin cos sin cosf x x x x x  的最大值为（ ） A. 1 2 B. 1 4 C. 2 2 D.1 解析：因为  3 3 2 2 1 1( ) sin cos sin cos sin sin sin cos sin 2 cos sin 42 4f x x x x x x x x x x x x        所以 3 3( ) sin cos sin cosf x x x x x  的最大值 1 4 ，故选 B 8.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体某条棱 上的一个端点 P 在正视图中对应的点为 M，在俯视图中对应的点为 N，则 P 在侧视图中对应 的点为（ ） A.点 D B.点 C C.点 B D.点 A 解析：根据三视图可知，该几何件的直观图如图所示，由图可知，P 在侧视图中时应的点为点 B，故选 C. 9.已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的虚轴的一个顶点为 D ，且C 的左､右焦点分别为 1 2, ,F F 若 1 2 30 ,F F D   则C 的离心率为（ ） A. 3 3 B. 6 2 C. 2 3 3 D. 15 3 解析：因为 1 2 30F F D   ，所以 36c  ，即 2 2 2 2 36 3 636, ,26 2 2c e e    故选 B 10，我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有 沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几 何.”题意是有一个三角形的沙田，其三边长分别为 13 里､14 里､15 里，1 里为 300 步，设 6 尺 为 1 步，1 尺=0.231 米，则该沙田的面积约为(结果精确到 0.1，参考数据： 2415.8 172889.64 ) （ ） A.15.6 平方千米 B.15.2 平方千米 C.14.8 平方千米 D.14.5 平方千米 解析：由海伦公式可得：该沙田的面和 2 221 8 7 6 (300 6 0.231) 84 415.8 84 172889.64           14522729.76 平方米  14.5平方千米，故选 D 11.已知三棱锥 B PAC 的侧棱都相等，侧棱的中点分别为 , , ,D E F 棱 AC 的中点为 ,G PB  平面 .ABC 且 4, 120 .AB ABC   若四面体 DEFG 的每个顶点都在球 O 的球面上，则该 球面与三棱雉 B PAC 侧面的交线总长为（ ） A. 7 3  B. 8 3  C.10 3  D. 11 3  解析：连结 BG， 4AB BC BP   ，侧棱的中点 D，E，F，G 分别为各核的中点， 120ABC   . 2BD BE BF BG     ，点 B 即为球O 的球心， PB  平面 ABC，：球面与三棱 锥 B PAC 侧面的交线总长为 2120 90 90 102360 3      ，故选 C 12.已知 3 25 9 1log 7, log 343, 4log 22a b c    ，则（ ） A.b a c  B. c a b  C. a b c  D.b c a  解析： 3 23 3 2 3 3 9 9 3log 7 1log 343 log 7 , 4log log 48 log 49 log 7log 25 2b a c a          所以b a c  故选 A. 二､填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.若 6    2,3 , 10,a b m   ，且b a  ，则   _________. 答案： 5 解析：因为 ( 2,3), (10, )a b m   ，且b a  ，所以 2 10, 5     14.甲､乙约定晚上七点在某校门口见面，甲晚上七点准时到了门口，此时，乙打电话告知甲路 上出现堵车状况，至少要过 20 分钟才能到.甲决定等乙半个小时，超过半个小时乙还未到就离 开，若乙在晚上七点五十之前一定能到，则两人能见面的概率为_________. 答案： 1 3 解析： 30 20 1 50 20 3P   15.设 ,x y 满足约束条件 1 3 1 3 x y    „ „ „ „ ，且 ( 0, 0)z ax by a b    的最大值为3, 则 ab 的最大值为 _________. 答案： 1 4 解析：：因为 z，y 满足约束条件 1 3 1 3 x y    „ „ „ „ ，且 log( 0, 0)z ax a b    的最大值为 3，所以 3 36 3a   ，即 6 1a   ， 2( 6) 1 4 4 aab  „ 16.关于函数   4sin 6f x x      有如下四个命题： ①  f x 的最小正周期为 2 ； ②  f x 的图像关于点( 7 6 ，0)对称； ③若    ,f a x f a x   则|∣的最小值为 2 3 ； ④  f x 的图像与曲线 1 250 6y xx       共有 4 个交点. 其中所有真命题的序号是_________. 答案：①②④ 解析：由下图可得： ( )f x 的最小正周期为 2，①正确； ( )f x 的图像关于点 7 ,05      对称，② 正确； 离 y 轴最近的对称轴为 1 3x   ，所以若 ( ) ( )f a x f a x   ，则| |a 的最小值为 1 3 ，③错误； ( )f x 的图像与曲线 1 250 6y xx       只有 4 个交点，④正确；故其中所有有真命题的序号是 ①②④ 三､解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17 题-第 21 题为必考题，每个考题考生必须作答.第 22､23 题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共 60 分. 17.(12 分)已知 nS 为数列 na 的前 n 项和，数列 nS 是等差数列，且 5 99, 17.S S  （1）求 na 的通项公式； （2）求数列 2n n na S  的前 n 项和 nT . 解析：（1）因为数列 nS 是等差数列，且 5 99, 17s s  ，设数列 nS 的公差为 d，则 17 9 2, 2 19 5 nd S n    .当 2n… 时， 1 2n n na S S    ，当 1n  时， 1 1 1a s  ， 所以 2, 1, 1n na n    … （1）当 2n… 时， 3 4 1 3 12 1 2 3 2 5 2 (2 1) 2 2 2 2 (1 3n k n nT n                   3 2 2 22 2 (1 2 1)5 2 1) 2 2 61 2 2 n nn nn n              ， 当 1n  时， 1 1T  ，也满足上式 所以 2 22 6.n nT n   18.(12 分)某机构为了解某大学中男生的体重单位： kg )与身高 x(单位： cm )是否存在较好的 线性关系，该机构搜集了 7 位该校男生的数据，得到如下表格： 序号 1 2 3 4 5 6 7 身高( cm ) 161 175 169 178 173 168 180 体重( kg ) 52 62 54 70 66 57 73 根据表中数据计算得到 y 关于 x 的线性同归方程为 ˆ ˆ1.15y x a  （1）求 ˆa （2）已知     2 2 1 2 1 ˆ 1 n i i i n i i y y R y y         且当 2 0.9R … 时，回归方程的拟合效果非常好；当 20.8 0.9R  时，回归方程的拟合效果良好.试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良 好？说明你的理由. 参考数据：  6 2 1 ˆ 49.12i i i y y    解析：（1） 161 175 169 178 173 168 180 62 54 70 66 57 73172, 62,7 7x y                ˆ 1.15 62 1.15 172 135.8a y x       （2）  7 2 1 100 0 64 64 761 25 121 390i i y y           y 关于 x 的线性同归方程为  2 7 7 2ˆ ˆ1.15 135.8, (73 1.15 180 135.8) 3.24y x y y                2 62 2 2 1 21 1 1 7 ˆ 5236ˆ ˆ 3.24 5236, 1 1 0.87 (0.8,0.9),390 n i i i i i i i n i i i i y y y y y y R y y                      故该线性回归方程的拟合效果是良好. 19.(12 分)如图所示的几何体由等高的 1 2 个圆柱和 1 4 个圆柱拼接而成，点G 为弧 CD 的中点， 且 , , ,C E D G 四点共面 （1）证明： BF  平面 .BCG （2）若四边形 ADEF 为正方形，且四面体 ABDF 的体积为 4 3 ，求线段 FG 的长. 解析：（1）取弧 AB 的中点 H ，连结 BH ，GH ，则 45ABF ABH     ，所以 BF BH ， 因为 / /BC GH ，所以四边形 BCGH 为平行四边形， BF GC ，又因为 BC  平面 ABF ， 所以 BC BF ，所以 BF  平面 BCG . （2）设 AB x ，因为四边形 ADEF 为正方形， 则 21 1 4 3 2 3D ABFV x x    ，解得： 2x  ， 2 2 2 2 14FG HG HF HG HB BF      . 20.(12 分)已知函数    2 3 .xf x x e m   （1）讨论  f x 的单调性； （2）若     2 2 1 2 10, , , 4 8x xx x R f x       ，求 m 的取值范围. 解析：（1）  2 2( ) 2 3 ( 3)( 1)xf x x x e x x e      ，当 3x   或 1x  ， ( ) 0f x  ，当 3 1x   时， ( ) 0f x  ，所以 ( )f x ，在 ( , 3)  和 (1, ) 上递增，在 ( 3,1) 上递减； （2）因为 ( )f x 在 (0,1) 上递减，在 (1, ) 上递增，所以 ( ) (1) 2f x f m e … ， 因为   2 2 1 2 1(0, ), , 4 8x xx x R f x       所以 2 22 4 8x xm e   恒成，令 22xt  ，则 0t  ，即： 2 3 2m t t e   在 (0, ) 上恒成立，令 2 3( ) 2g t t t e   ，则 2( ) 2 3 (2 3 )g t t t t t    ， 所以 ( )g t 在 2, 3     上递增，在 2 3     上递减，所以 2 4( ) 23 27m g e   ， 故 m 的取随范围的 4 2 ,27 e      21.(12 分)已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)y xC a ba b     的焦距与椭圆 2 2 13 x y  的焦距相等，且C 经 过抛物线 2( 1) 2y x   的顶点. （1）求C 的方程； （2）若直线 y kx m  与C 相交于 ,A B 两点，且 ,A B 关于直线 : 1 0l x ty   对称，O 为C 的对称中心，且 AOB 的面积为 10 3 ，求 k 的值. 解析：解析：（1）由题意： 2 2 2 2 2 1 1 2 a b a b       ，解得： 2 4a  ， 2 2b  ，所以C 的方程为： 2 2 14 2 y x  ； （2）因为直线 y kx m  与C 相交于 A ，B 两点，且 A ，B 关于直线l ： 1 0x ty   对称， 所以 k t ，联立 2 2 14 2 y kx m y x     可得 2 2 22 2 4 0k x kmx m     ，设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， AB 的中点为  0 0,P x y ，则  2 28 2 4 0k m     ， 0 2 2 kmx k    ， 0 0 2 2 2 my kx m k     ，因为  0 0,P x y 在直线l ： 1 0x ky   上，所以 2 2 2 1 02 2 km km k k      ，即 2m k k       ，所以 2 2 48 0k k        ，即： 2 2k  ，      2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 k k AB k k k k      ，O 到直线 AB 的距离   2 2 2 2 2 1 1 m kd k k k     ，  2 2 2 41 10 2 3AOB k S AB d k    △ ，解得： 2 3k  ， 3k   . (二)选考题：共 10 分，请考生在第 22､23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将所选 题号涂黑，多涂､错涂､漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修 4-4：坐标系与参数方程(10 分) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 3 3cos 3sin x y       ( 为参数)，点 P 的坐标为 ( ,0).m （1）以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； （2）若直线 1 2 3 2 x m t y t      (t 为参数)与曲线C 交于 ,A B 两点，若 2,PA PB … 求 2 6m m 的 取值范围. 解析：：（1）因为C 的参数方程为 3 3cos 3sin x y       ( 为参数)，所以C 的直角坐标方程为 2 2 6x y x  ，故 C 的极坐标方程为 6cos  ； （2）将直线l ： 1 2 3 2 x m t y t      (t 为参数)代入 2 2 6x y x  ，可得：  2 23 6 0t m t m m     ， 则    2 23 4 6 0m m m      ，即： 2 6 3m m  ，因为 2 1 2 6 2PA PB t t m m     ， 所以 2 6 2m m   或 22 6 3m m   ，故 2 6m m 的取值范围为    , 2 2,3   . 23.[选修 4-5：不等式选讲](10 分)已知函数   3 5 3 3 .f x x x    （1）求不等式   40f x  的解集； （2）若不等式   22logf x m m  对任意 x R 恒成立，求 m 的取值范围. 解析：（1） ( ) 3 5 3 3 40f x x x     ，由绝对值的几何意义可得： 19 3 21x   ， 即： 19 73 x   ，不等式 ( ) 40f x  的解集为 19 ,73     ； （2）因为    ( ) 3 5 3 3 3 5 3 3 8f x x x x x         ， 1x   时可取到等号，所以 22log 8m m  ，令   22logg m m m  ，则  g m 为 0, 上的增函数，且  4 8g  ， 所以 0 4m  ，故 m 的取值范围为 0,4 .