陕西省汉中市2021届高三数学（理）3月第一次模拟试题（Word版附答案）

陕西省汉中市 2021 届高三年级下学期 3 月第一次模拟 理科数学 本试卷共 23 小题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工 整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿 纸、试卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A＝{x|x2＋x－2>0}，B＝{－1，0，2}，则(∁RA)∩B＝ A.{2} B.{－1，0} C.{0，2} D.{－1，0，2} 2.设复数 5 4 3 i i ，则复数 z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.设 x＝θ是函数 f(x)＝3cosx＋sinx 的一个极值点，则 tanθ＝ A.－3 B.－ 1 3 C. 1 3 D.3 4.埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国。古埃及人的分数运算特别奇葩而且复杂，采 用的思路可以说是世界上独一无二的。古埃及人在进行分数运算时，只使用分子是 1 的分数， 因此这种分数叫做埃及分数，或者叫单分子分数。埃及分数求和是一个古老而饶有兴趣的数 学问题，下面的几个埃及分数求和不正确．．．的是 A. 1 1 1 1 1 1 63 2 4 8 16 32 64 64       B. 2 2 2 2 1 1 1 1 50 2 1 4 1 6 1 50 1 51        C. 1 1 1 11 2 4 6 12    D. 1 1 1 49 1 2 1 2 3 1 2 3 50 51         5.已知直线 l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0(a∈R)，则“ea＝ 1 e ”是“l1//l2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.过三点 A(3，1)，B(－7，1)，C(2，4)的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|＝ A.8 B.10 C.46 D.221 7.五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为： 宫、商、角、徵、羽。如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这 个音序中宫和羽至少有一个的概率为 A. 1 2 B. 7 10 C. 9 20 D. 11 20 8.设 l，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是 A.若 l⊥m，m  α，则 l⊥α B.若 l⊥α，l⊥m，则 m//α C.若 l⊥α，l//m，则 m⊥α D.若 l//α，m//α，则 l//m 9.设 F1、F2 分别为双曲线 2 2 2 2 1( , 0)x y a ba b     的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点 P， 满足|PF2|＝|F1F2|且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为 A.1 7 3  B. 1 7 3   C. 5 4 D. 5 3 10.三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AA1⊥平面 ABC，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝ 3 ，AA1＝2， 则三棱柱 ABC－A1B1C1 的外接球的表面积为 A.32π B.16π C.12π D.8π 11.若 1 1ln ln ln lnx y x y    (x>1，y>1)，则 A.ey－x>1 B.ey－x1 D.ey－x－10。给出下列命题： ①f(4)＝0； ②函数 y＝f(x)在[－12，－8]上是递增的； ③函数 y＝f(x)的图像关于直线 x＝－8 对称； ④函数 y＝f(x)在[－12，12]上有四个零点。 其中所有真命题的序号是 。 三、解答题：共 70 分。解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤。第 17～21 题是必考题， 每个考生都必须作答。第 22、23 题是选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共 60 分。 17.(本小题满分 12 分) △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 2c＝a＋2bcosA。 (1)求角 B； (2)若△ABC 的面积为 3 ，b＝ 13 ，求△ABC 的周长。 18.(本小题满分 12 分) 为了响应政府“节能减排”的号召，某知名品牌汽车厂家决定生产一款纯电动汽车。生 产前，厂家进行了人们对纯电动汽车接受程度的调查。在 20～60 岁的人群中随机抽取了 100 人，调查数据的频率分布直方图和接受纯电动汽车的人数与年龄的统计结果如图所示： (1)由以上统计数据填 2×2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为以 44 岁为分界点的不同年龄人群对纯电动汽车的接受程度有差异？ (2)若以 44 岁为分界点，从不接受“纯电动汽车”的人群中，按分层抽样的方法抽取 8 人调查 不接受“纯电动汽车”的原因，现从这 8 人中随机抽取 2 人。记抽到 44 岁以下的人数为 X， 求随机变量 X 的分布列及数学期望。 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      19.(本小题满分 12 分) 如图，四棱锥 P－ABCD 的底面是正方形，PD⊥底面 ABCD，点 E 在棱 PB 上。 (1)求证：平面 AEC⊥平面 PDB； (2)当 PD＝ 2 AB，E 为 PB 的中点时，求直线 AE 与平面 PBC 所成角的正弦值。 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率为 3 2 ，椭圆的中心 O 到直线 x＋y－2b＝0 的 距离为 5 2 。 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设过椭圆 C 的右焦点 F 且倾斜角为 45°的直线 l 和椭圆交于 A，B 两点，对于椭圆 C 上任意 一点 M，若 OM OA OB     ，求λµ的最大值。 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)＝xex－2ax＋a(a∈R)。 (1)当 a＝0 时，求 f(x)在[－2，2]上的最值； (2)设 g(x)＝2ex－ax2，若 h(x)＝f(x)－g(x)有两个零点，求 a 的取值范围。 (二)选考题：共 10 分。考生从 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 作答时用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 21 2 22 2 x t y t         (t 为参数)，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρsin2θ＝2acosθ(a>0)，直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点。 (1)写出直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程； (2)设点 M 的直角坐标为(－1，－2)，若点 M 到 A，B 两点的距离之积是 16，求 a 的值。 23.(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲 已知函数 f(x)＝|2x－4|＋|x＋1|。 (1)求不等式 f(x)≥6 的解集； (2)若不等式 f(x)≥a2＋2a 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围。