江苏省百师联盟2021届高三数学3月摸底联考试题（Word版附答案）

2021 届高三百师联盟 3 月摸底联考数学试卷 2021．3 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合  22x y xM x  ，  2 2log ( 1)x y xN   ，则集合 M N  A． 0 2x x  B． 0 1 1 2x x x   或 C． 1 2x x  D． 0 2x x  2．复数 z 满足： 1 22 iz   ， z  A． 2 1 i5 15  B． 2 1 i15 5  C． 2 1 i5 15  D． 2 1 i15 5  3．人口普查是世界各国所广泛采用的搜集人口资料的一种科学方法，是提供全国基本人口数 据的主要来源．根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发 展政策，是国家科学决策的重要基础工作，人口普查资料是制定人口政策的依据和前提．截 止 2020 年 10 月 10 日，我国共进行了六次人口普查，右图是这次人口普查的人数和增幅情况， 下列说法正确的是 A．人口数逐次增加，第二次增幅最大 B．第六次普查人数最多，第四次增幅最小 C．第六次普查人数最多，第三次增幅最大 D．人口数逐次增加，从第二次开始增幅减小 4．已知圆 2 2: 4 2 3 0C x y x y   ，过原点的直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，则当 ABC△ 的面积最大时，直线 l 的方程为 A． 0y  或 4 3y x B． 2y x 或 3 2y x C． 0x  或 1 3y x D． 3 4y x 5．将 3 名男生 1 名女生分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至少一名同学， 则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是 A． 1 12 B． 1 3 C． 1 2 D． 1 6 6．函数    ln 1 sin2x xf x   的部分图象大致是 A． B． C． D． 7．雪花曲线因其形状类似雪花而得名，它的产生与雪花类似，由等边三角形开始，把三角形 的第一条边三等分，并以每一条边三等分后的中段为边，向外作新的等边三角形，但要去掉 与原三角形叠合的边，接着对每一个等边三角形“尖出”的部分继续上述过程，即以每条边三等 分后的中段为边向外作新的等边三角形（如图：（2），（3），（4）是等边三角形（1）经过第一 次，第二次，第三次，变化所得雪花曲线）．若按照上述规律，一个边长为 3 的等边三角形， 经过四次变化得到的雪花曲线的周长是 A． 143 3 B． 204 9 C． 256 9 D． 64 3 8．如图，直角三角形 ABC△ 中， 90ABC   ， 3AB  ， 4BC  ，M 点是线段 AC 一动 点，若以 M 为圆心半径为 5 的圆与线段 AC 交于 P，Q 两点，则 BP BQ  的最小值为 A． 12 15 B． 19 25 C． 9 13 D． 19 15 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．对任意实数 a，b，c，有以下命题中，正确的是 A．若 2 2ac bc ，则 a b B．若 a b ，则 1a b  C．若 2 2 1 1 a b  ，则 a b D．若 1 0a b   ，则  log 0a a b  10．设 M，N 是函数      2 sin 0, 0f x x         的图象与直线 2y  的交点， 若 M，N 两点距离的最小值为 6， 1 ,22P     是该函数图象上的一个点，则下列说法正确的是 A．该函数图象的一个对称中心是  7, 0 B．该函数图象的对称轴方程是 1 32x k   ， Zk  C．  f x 在 7 1,2 3      上单调递增 D．   2cos 3 6xf x       11．如图所示，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1—ABCD A B C D 中，M，N 分别为棱 1 1A D ， 1DD 的 中点，则以下四个结论正确的是 A． 1 //B C MN B． 1B C  平面 1MNC C．A 到直线 MN 的距离为 3 2 4 D．过 MN 作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为 3 8  12．已知函数   lnm x mxf x    在区间 1,e 内有唯一零点，则 m 的可能取值为 A． 2 e e 1   B． 1 e 1 C． e 1 e 1   D． 21 e  三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．若 3sin 2 5   ，则 tan  =__________． 14．若 6 2 ax x     的展开式中 3x 的系数为 160，则 a __________ ． 15．函数  f x 是定义在 R 上的函数，且  1 0f  ，  f x 为  f x 的导函数，且   0f x  ， 则不等式   2 0x f x  的解集是__________． 16．过抛物线 2: 2C x py 上点 M 作抛物线 2: 4D y x＝ 的两条切线 1l ， 2l ，切点分别为 P， Q，若 MPQ△ 的重心为 21, 3G     ，则 p  __________． 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤） 17 ． 在 ① 1 1a  ， 1 2 1 n n n aa a   ； ②  1 2 33 5 2 1 na a a n a n      ； ③ 2 1 2 1 1 1 n na a a     这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答： （1）求 na 的通项公式； （2）求     2 1 1 nn a n n       的前 n 项和 nT ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18 ． 已 知 a ， b ， c 是 ABC△ 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 ， 且 5 cos cos 2 5 sin sin cos 2B C B C A   ． （1）求角 A 的大小； （2）若 ABC△ 的面积 3 3 2S  ， 3c  ，求 sin sinB C 的值． 19．如图，在直角 ABC△ 中，直角边 2AC  ， 60A   ，M 为 AB 的中点，Q 为 BC 的 中点，将三角形 AMC△ 沿着 MC 折起，使 1A M MB ，（ 1A 为 A 翻折后所在的点），连接 MQ． （1）求证： MQ AB ； （2）求直线 MB 与面 1A MC 所成角的正弦值． 20．近年来，我国的电子商务行业发展迅速，与此同时，相关管理部门建立了针对电商的商 品和服务评价系统．现从评价系统中选出 200 次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品 的好评率为 3 5 ，对服务的好评率为 7 10 ，其中对商品和服务均为好评的有 80 次． （1）是否可以在犯错误概率不超过 0.1 的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ （2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 4 次购物中，设对商品和服务全好评的 次数为随机变量 X，求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列及其期望． 参考公式：独立性检验统计量        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    ． 临界值表：  2 0P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21．已知椭圆 C：   2 2 2 2 1 0bx y a b a   的上、下顶点分别为 A，B，P 为直线 2y  上的动 点，当点 P 位于点  1, 2 时， ABP△ 的面积 1ABPS △ ，椭圆 C 上任意一点到椭圆的左焦点 F 的最短距离为 2 1 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）连接 PA，PB，直线 PA，PB 分别交椭圆于 M、N（异于点 A，B）两点，证明：直线 MN 过定点． 22．已知函数   e sinx xf a xx    ，  0,x  ． （1）证明：当 1a   时，函数  f x 有唯一的极大值点； （2）当 2 0a   时，证明：  f x  ． 参考答案 1．B 2．A 3．C 4．A 5．D 6．B 7．C 8．B 9．AC 10．ABD 11．ACD 12．BC 13． 1 3 或 3 14．2 15．   ,1 2,   16． 3 16 解析：若选①，（l） 1 2 1 n n n aa a   ，两边取倒数得 1 2 11 12n n n n a a a a    ，又因为 1 1 1a  ， 所以 1 na       是首项为 1，公差为 2 的等差数列，所以 1 2 1 n na   ，故 1 2 1na n   .（2）由（1） 得 ：       2 1 1 1 1 1 1 1 nn a n n n n n n       ， 所 以 1 1 1 1 1 1 1 11 12 2 3 3 4 1 1 1n nT n n n n               . 若 选 ② ， （ 1 ）  1 2 33 5 2 1 na a a n a n      .当 2n  时，  1 2 3 13 5 2 3 1na a a n a n       ， 两式相减得  2 1 1nn a  ，所以 1 2 1na n   ，  2n  ，当 1n  时， 1 1a  ，满足上式，则 1 2 1na n   . （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 ：       2 1 1 1 1 1 1 1 nn a n n n n n n       ， 所 以 1 1 1 1 1 1 1 11 12 2 3 3 4 1 1 1n nT n n n n               . 若 选 ③ ， （ 1 ） 2 1 2 1 1 1 n na a a     ， 2n  时 ，  2 1 2 1 1 1 1 1 n na a a       ， 两 式 相 减 得  221 1 2 1 n n n na      ， 2n  ，当 1n  时， 1 1a  ，所以 1 2 1na n   ，（2）由（1） 得 ：       2 1 1 1 1 1 1 1 nn a n n n n n n       ， 所 以 1 1 1 1 1 1 1 11 12 2 3 3 4 1 1 1n nT n n n n               . 18. 解 析 ：   25 cos 2 2 cos 1B C A    ， 22cos 5cos 3 0A A   ， 1cos 2A  或 cos 3A   （舍去）.0 A   ，所以 3A  .（2） 3 13 sin2 2 3S bc   ， 6bc  ， 3c  ， 2 3b  ，由余弦定理得 2 2 2 12 3 6 9a b c bc       ， 3a  ，由正弦定理得 ABC△ 外接圆直径， 32 2 3sin 3 2 R A    ， 22 sin sin 6R B C  ，所以 1sin sin 2B C  . 19.解析：（1）取 1A B 的中点为 N，连接 MN，NQ，因为 1A M MB ，所以 1 2 2A B  ， 2 3BC  ， 1 2A C  ，所以 1 1AC A B ，又 1 1 2NQ A C∥ ，所以 1A B QN .又 1A MB△ 为 等腰三角形，所以 1A B NM ， MN QN N  ，所以 1A B  面 MNQ，QM 面 MNQ， 所以 1MQ BA .（2） 1MQ BA ， MQ BC ， 1BC BA B  ，所以 QM  面 1A CB ， 取QB所在直线为 x 轴，QM 所在直线为 y 轴，过 Q 点作面 MCB 的垂线为 z 轴，建立空间直 角坐标系.则  3,0,0B ，  3,0,0C  ，  0,1, 0M ， 1 3 2 6,0,3 3A      .设面 1A MC 一 个法向量为  , ,n x y z ，  3,1,0CM  ， 1 2 3 2 6,0,3 3CA        ，得 3 0, 2 0 x y x x      取 1z   ， 2x  ， 6y   ，  2, 6, 1n    ， 又  3, 1,0MB   ， 2 6 6sin cos , 6 3n MB     ，直线 MB 与面 1A MC 所成角的正弦值为 6 3 . 解析：（1）由题意可得关于商品和服务评价的 2×2 列联表如下： 对服务好评 对服务不满意 总计 对商品好评 80 40 120 对商品不满意 60 20 80 总计 140 60 200  2 2 200 1600 2400 1.587140 60 120 80K     ，1.587 2.706 ，所以，不可以在犯错误概率不超过 0.1 的前提下，认为商品好评与服务好评有关.（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为 2 5 ， 且 X 的 取 值 可 以 是 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4. 其 中   4 4 3 810 5 5P X       ；   3 1 4 4 2 3 2161 5 5 5P X C          ；   2 2 2 4 4 2 3 2162 5 5 5P X C             ；   3 3 4 4 2 3 963 5 5 5P X C             ；   4 4 2 164 5 5P X       .X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 4 81 5 4 216 5 4 216 5 4 96 5 4 16 5 由于 2~ 4, 5X B     ，则   8 5E X  . 解析：（1） 1 2 12ABPS b  △ ， 1b  ， 2 2 1a c  ，设  ,M x y 是椭圆上任意一点，  , 0F c ，   2 22 2 2 2 2 2cMF x c y x cx aa       ，对称轴 2ax ac     ，区间  ,x a a  为增区间， x a  时， minMF a c  ，即 2 1a c   ， 2 1a c   ， 2a  ，所以椭圆方程， 2 2 12 x y  . （ 2 ） 设  , 2P t ，  1 1,M x y ，  2 2,N x y ， 则 1 1 2 2 1 1, 1 3 AP BP yk x t yk x t       所 以 有    2 1 1 23 1 1x y x y   ， 因 为    2 21 1 1 11 1 12 x y y y     ， 代 入 上 式 得 ，   1 2 1 2 3 1 12 x x y y    ，  1 2 1 2 1 2 3 12 x x y y y y     .① 设 直 线 :MN y kx m  ， 代 入 2 22 2x y  ，  2 2 2 21 2 2 2 0k y my m k     . 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 , 2 1 2 my y k m ky y k        ②  2 2 21 2 4 2 2 0k x kmx m     ， 2 1 2 2 2 2 1 2 mx x k   ③ 将②③代入①得 22 1 0m m   ， 1 2m  或 1 （舍去）.直线 M N 过定点 10, 2      . 22.解析：（1）证明：   e cos 1xf x a x    ，因为  0,x  ，所以1 cos 0x  ，当 1a   时，   e cos 1xf x x     ，令   e cos 1xg x x    ，   e sin 0xg x x     ，  g x 在 区 间  0, 上 单 调 递 减 ；  0 1 2 1g     ，   e 0xg     存 在  0 0,x  ， 使 得  0 0f x  ，所以函数  f x 递增区间是 00, x ，递减区间是 0 ,x  ，所以函数  f x 存在 唯一的极大值点 0x .（2）当 2 0a  时，令   e sinxh x a x x     ， e cos 1xhx a x    ，   e sin 0xh x a x    ，  h x 在 区 间  0, 上 单 调 递 减 ，  0 2 0h a    ，   e 0xh a   ，存在  0 0,x  ，使得  0 0h x  ，即 0e cos 1 0xa x   ，所以函数  h x 在 区 间  00, x 上 是 递 增 函 数 ， 在 区 间  0 ,x  上 是 递 减 函 数.    0 0 0max e sinxh x h x a x x      ，  0 0,x  ，因为 0e cos 1 0xa x   ，只需证  0 0 0 0sin cos 1 0h x x x x       即可.  0 0 0cos sin 1h x x x    ，  0 0h x  ，  0h x 在区间 0, 上是增函数，    0 0h x h   ，即  f x  .