安徽省马鞍山市2021届高三数学（理）下学期一模试题（Word版附答案）

马鞍山市 2021 年高三第一次教学质量监测 理科数学试题 本试卷 4 页，满分 150 分．考试时间 120 分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上．将条形码横贴在答 题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不 按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．已知集合  2| 6A x x x   ，  | 2 4 2xB x  ，则 A B  A． 5( 3, )2  B． 5( 2, )2  C． ( 3,2) D． ( 2,2) 2．若复数 i 2 i a   为纯虚数（ i 为虚数单位），则实数 a  A． 2 B． 2 C． 1 2  D． 1 2 3．执行如图所示的程序框图，则输出 S 的结果为 A．16 B． 25 C． 36 D． 49 结束 0, 0n S  2 1a n  S S a  1n n  4?n  S输出 是 否 （第 3 题图） O /时间 分钟 频率 组距 0.004 0.008 0.012 0.016 10 35 60 85 110 （第 4 题图） 4．为了解学生参加“阳光体育”活动的情况，某学校随机统计了学生的“阳光体育”活动时 间(单位：分钟)，已知所得样本数据都在区间 10,110 内，样本频率分布直方图如图所示， 则该样本数据的中位数的估计值为 A．60 B． 65 C．66.25 D．72.25 5．已知 m ， n 是两条不同的直线， ，  是两个不同的平面，则 A．若 //m  ， n  ，则 //m n B．若 m   ，n  ，n m ，则 n  C．若 //m  ， //n  ， //m n ，则 //  D．若 m  ， n  ， n m ，则  6．在“学宪法、讲宪法”活动中，将甲、乙、丙、丁四位法律老师分配到 A、B、C、D 四个 班级进行宣讲，每个班级分配一位老师．若甲不分配到 A 班，丁不分配到 D 班，则分配方案的 种数为 A．12 B．14 C．16 D．24 7．已知函数   3sin( )f x x   （ 0  ，  0,  ）π，0（ ）的最小正周期为 2 π ，若将  f x 的图 象向右平移 6 π 个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则  A． 6 π B． 3 π C． 2 π D． 3 2π 8．已知 1 32 3a      ， 1 54 9b      ， 9log 3c  ，则 A． a b c  B． c b a  C． b c a  D． b a c  9．已知点 M 为抛物线 2 8x y 准线上一点，点 F 为焦点， O 为坐标原点， A 在抛物线上，且 10AF  ，则 MA MO 的最小值为 A．16 B．8 2 2 C． 4 13 D．8 2 10．已知函数   1 , 0, ln , 0. x xf x x x x       则方程    3 0f f x   的解的个数为 A．3 B．4 C．5 D．6 11．在等差数列 na 中， 1 7 8  a a ，且它的前 n 项和 nS 有最小值，则当 0nS  时，n 的最大值 为 A．7 B．8 C．13 D．14 12．已知函数   2 1e e 2 x xf x x    ，则不等式    2020 2021 2 1f x f x    的解集是 A． ,4039 B． 4039, C．  ,4042 D． 4042, 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知向量 a (1, 3)a   ，b (4,3)b  ，则|a-b|= ▲ ． 14．在平面直角坐标系 xOy 中，点  0 0,P x y 是单位圆 O 上第一象限内的点， xOP   ,若 14 11)3 πcos(  ，则 0x 的值为 ▲ ． 15．已知双曲线 184 22  yx 的左右焦点分别为 1 2,F F ，过 2F 的直线与双曲线右支交于 ,A B 两点， 且 1 3F AB   3 π ，则 1ABF△ 的面积为 ▲ ． 16．已知正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 BC 的中点，沿 DE 把 DCE△ 折起，使点 C 到达点 F 的位置，且 BE FE ，则三棱锥 F ABE 的外接球的表面积为 ▲ ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须做答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共 60 分． 17．（12 分） 已知 ABC△ 的内角 A ， B ， C 的对边分别是 a ，b ， c ，满足 2 2 22sin sin 2sinB C A  ． （1）若 3B  3 π ， 2c  ，求 ABC△ 的面积； （2）求 tan tan A B 的值． 18．（12 分） 智慧课堂是指一种打破传统教育课堂模式，以信息化科学技术为媒介实现师生之间、生生 之间的多维度互动，能有效提升教师教学效果、学生学习成果的新型教学模式．为了进一步推 动智慧课堂的普及和应用，A 市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据 如下： 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村 40 城市 60 总计 100 60 160 从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是 1 4 ． （1）补全 2 2 列联表，判断能否有 99.5%的把握认为智慧课堂的应用与区域有关，并说 明理由； （2）在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取 6 个学校进 行分析，然后再从这 6 个学校中随机抽取 2 个学校所在的地域进行核实，记其中农 村学校有 X 个，求 X 的分布列和数学期望． 附：        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ， n a b c d    ．  2 0P K k 0.1 0.050 0.010 0.005 0.001 0k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19．（12 分） 如图，已知三棱锥 S ABC 中， ABC△ 是边长为 2 的等边三角形， 4SB SC  ，点 D 为 SC 的中点， 2DA  ． （1）求证：平面 SAB 平面 ABC ； （2）求二面角 S AB D  的正弦值． 20．（12 分） 已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x yC a ba b    ： ，右焦点为 (4,0)F ，短轴长为 4 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）若过点 (0,1)T 的直线l 与椭圆 C 交于 ,A B 两点，线段 AT 中点为 P ，线段 BT 中点为 Q ,且 OP OQ （ O 为坐标原点），求所有满足条件的直线l 方程． A B C D S 21．（12 分） 已知函数   exf x ax  （其中 e 2.718 为自然对数的底数）． （1）讨论函数  f x 的单调性； （2）当 0 1a  时，证明：   21 7 02 32f x x   ． 参考数据： ln 2 0.693 ． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计 分． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 2 4 x t y t       （ t 为参数），以坐标原点 O 为 极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2 2 cos2 ) 3  ( ． （1）求曲线 1C 的普通方程与 2C 的直角坐标方程； （2）求 2C 上的动点到 1C 距离的取值范围． 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知函数   2 | 1| | 2 |f x x x    ． （1）求不等式   6f x  的解集； （2）若   2f x m m   对任意 Rx 恒成立，求实数 m 的取值范围． 2021 年高中毕业班第一次教学质量监测 理科数学参考答案 一、选择题：本大题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D B C D B A B C C C A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13． 3 5 14． 1 7 15． 20 16． 24 3 5 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须做答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共 60 分． 17．（1）因为 2 2 22sin sin 2sinB C A  ，由正弦定理， 2 2 22b 2c a  ，即 2 2 21 2a b c  ，若 3B  ， 由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B   ，得 2 2 2b a c ac   ，又 2 2 21 2a b c  ，所以 23 2ac c ，而 2c  ，所以 6ac  ，所以 1 3 3sin2 2ABCS ac B   ． （6 分） （2）由 2 2 21 2a b c  ，知 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 tan sin cos 2 2 31tan sin cos 22 a c b cA A B a a c bac b c aB B A b b c a c bc            ． （12 分） 18．（1） 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村 40 40 80 城市 60 20 80 总计 100 60 160 （2 分）  2 2 160 20 40 40 60 32 10.667 7.879100 60 80 80 3K         ． （4 分） 所以有 99.5%的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关． （6 分） （2）在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是 2：1，所以抽取的 6 个样本有 4 个是农村学校，2 个是城市学校，从中抽取 2 个，则 X 的可能取值为 0，1，2．（7 分）   0 2 4 2 2 6 10 15 C CP X C    ，，   1 1 4 2 2 6 81 15 C CP X C    ，   2 0 4 2 2 6 22 5 C CP X C    ． 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 P 1 15 15 8 2 5 （10 分） X 的数学期望   1 8 2 40 1 215 15 5 3E X        ． （12 分） 19．（1）因为 SC=4，点 D 为 SC 的中点，所以 2SD DC  ，又 2AC DA  ，所以 ADC△ 是 等边三角形，所以DCA= 3  ，所以 SA= 2 3 ，所以 SC2=SA2+AC2， SAAC． （3 分） 又 =SAB SAC∽△ △ ，得 SAAB，又 AB AC A ，所以 SA平面 ABC，又 SA平面 SAB， 所以平面 SAB平面 ABC． （5 分） （2）以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，在平面 ABC 内过点 A 垂直于 AB 的直线为 y 轴，AS 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系． 则 (0,0,0)A ， (2,0,0)B ， (1, 3,0)C ， (0,0,2 3S )，所以 1 3( , 3)2 2D ， ，所以 (2,0,0)AB  ， 1 3 , 32 2AD =( ， )． （7 分） 设 ( , , )m x y z 为平面 ABD 的法向量，由 0, 0. m AB m AD          得 2 0, 1 3 3 0.2 2 x yx z     令 =1z ,得  0, 2,1m   ． （9 分） 而平面 SAB 的一个法向量 (0,1,0)n  ，所以 2 5cos , 5 m nm n m n         ． （11 分） 设二面角 S AB D  的平面角为 ，则 5sin 5   ． （12 分） 方法 2：取 AC 中点 E，连接 DE，则 DE平面 ABC，过点 E 作 EFAB 于 F，连接 DF， DFE 为二面角 D-AB-C 的平面角． （8 分） 在 RT DEF△ 中， 3DE  ， 3 2EF  ， 15 2DF  ，所以 5cos 5 EFDEF DF    ．（10 分） 因为二面角 S-AB-D 的平面角与二面角 D-AB-C 的平面角互余， 所以二面角 S-AB-D 的正弦值为 5 5 ． （12 分） 20．（1）由已知得 2b  ， 4c  ， 2 2 2 20a b c   ，所以椭圆 C 的方程为 2 2 120 4 x y  ．（5 分） （2）易知直线 l 斜率存在，设直线 l 方程为： +1y kx ． A B C D S x y z 联立 2 2 120 4 1 x y y kx       ，消去 y 得 2 2(1 5 ) 10 15 0k x kx    ，则 2400 60 0k    ． 设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，则 1 2 2 10 1 5 kx x k     ， 1 2 2 15 1 5x x k    ． （ 7 分） ∵ OP OQ ，∴ 2 2 2 2 1 1 2 21 1 2 2 2 2 x y x y                         ， 即：  1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( ) ( ) 4x x x x k x x k x x       ． （ 9 分） ∵ 1 2x x ，∴ 2 1 2 1 2( ) ( ) 4 0x x k x x k     ， ∴ 3 2 2 10 10 4 01 5 1 5 k k kk k      ，解得 1 0k  ， 2 15 5k  ， 3 15 5k   ， （ 11 分） 所以满足条件的直线 l 方程为： 1y  、 15 15y x  和 15 15y x   ． （12 分） 注：①若考生从图形特征仅分析出 1y  的结果，得 1 分； ②第（2）小题中取 PQ 的中点 R ，由 OP OQ 转化为OR PQ 解决，请酌情给分． 21．（1）解：函数  f x 的定义域为 R ，   exf x a   ． （1 分） ①当 0a  时，   0f x  ，则  f x 在 R 上单调递增； ②当 0a  时，由   0f x  得  lnx a  ，且  lnx a  时   0f x  ，  f x 单调递减；  lnx a  时   0f x  ，  f x 单调递增． 综上， 0a  时，  f x 在 R 上单调递增； 0a  时，  f x 在   ,ln a  单调递减，在   ln ,a  单调递增． （ 5 分） （2）证明：①当 0x  时，显然有   21 7 02 32f x x   ； ②当 0x  时，令     2 21 7 1 7e2 32 2 32 xg a f x x xa x       在 0 1a  时单调递减，所以 只需证明  1 0g  ，即 21 7e 02 32 x x x    ． （6 分） 令   21 7e 2 32 xh x x x    （ 0x  ），则     e 1xx h x x     ，显然  x 单调递增，  2 0   ，  1 0   ，所以存在唯一  0 2, 1x    ，使  0 0x  ，且  0,x x  时   0x  ，  h x 单调递减；  0 ,x x  时   0x  ，  h x 单调递增，所以    0h x h x ． （8 分） 因为  0 0x  ，所以 0 0e 1 0x x   ，即  0 0e 1x x   ， 所以      0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 1 7 1 7 1 25e 12 32 2 32 2 32 xh x h x x x x x x x             ． （10 分） 又 因 为 5ln 4 2ln 2 2 0.693 4     ， 所 以 5 4e 4 ， 所 以 5 4 5 1 1 04 4e         ， 从 而 0 52, 4x       ，所以 2 2 0 1 25 1 5 25 02 32 2 4 32x          ． （11 分） 所以   0h x  ，故待证不等式成立． （ 12 分） （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第 一题计分． 22．（1）∵直线 1C 的参数方程为 2 4 x t y t       （ t 为参数）， ∴消去参数 t ，得 1C 的普通方程为 6 0x y   ． （2 分） ∵曲线 2C 的极坐标方程为 2 2 cos2 ) 3  ( ， ∴ 2 2 2 22 cos sin ) 3     （ ， ∴ 2C 的直角坐标方程为 2 2 2 22 ) ( ) 3x y x y   （ ，即 2 2+ 13 x y  ． （5 分） （2）曲线 2C 的参数方程为 3cos sin x y      （ 为参数），设 2C 上的动点为 3cos ,sinM  （ ）， 则 2C 上的动点到 1C 距离 | 2sin( ) 6|| 3cos sin 6| 3 2 2 d       ． （8 分） ∵  2sin( ) 2,23     ，则 2C 上的动点到 1C 距离的最大值是 4 2 ，最小值是 2 2 ， ∴ 2C 上的动点到 1C 距离的取值范围是 2 4 2  2 ， ． （10 分） 23．（1）由不等式   6f x  可得：   2 | 1| | 2 | 6f x x x     ， 可化为： 2 2 2 2 6 x x x        或 2 1 2 2 2 6 x x x         或 1 2 2 2 6 x x x       （3 分） 解得： 2x   或 2x  ，所以原不等式的解集为    , 2 2,   ． （5 分） （2）因为   3 , 2 2 | 1| | 2 | = 4, 2 1 3 , 1 x x f x x x x x x x               ， 所以 )(xf 在  1, 上单调递减，在 ，1 上单调递增， 所以 3)1()( min  fxf ． （7 分） 要   2f x m m   对任意 Rx 恒成立，只需 23 m m   ，即： 2 3 2 0m m m    ， 所以   1 2 0 0 m m m       或   1 2 0 0 m m m       ，解得：1 2m  或 0m  ， 所以，实数 m 的取值范围为    ,0 1,2  ． （10 分）