绝密★启用前
试卷类型：A
晋中市 2021 年 3 月高三适应性调研考试
数学（文科）
（本试卷考试时间 120 分钟，满分 150 分）
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，
将答案用 0.5 毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
锥体的体积公式： 1
3V Sh （其中 S 为锥体的底面积，h 为锥体的高）．
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合 2{ |1 4}, | 2 3 0A x x B x x x
，则 A B 等于（ ）
A．( 1,1] B． ( , 1] (1, ) C．[3,4) D． ( , 1] [3, )
2．已知复数 z 满足 6
1z i
，则| |z （ ）
A． 2 B． 2 2 C．3 D．3 2
3．已知向量 (1,3), ( ,4)a b m ，且 / /(2 )b a b ，则 m 的值为（ ）
A． 4
3 B．2 C．4 D． 2 或 4
4．已知圆锥的表面积为 3 ，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A． 3
6
B． 3
3
C． 3
2
D． 3
5．魔方又叫鲁比克方块（Rubk's Cube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克·艾尔内于
1974 年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界
的三大不可思议．三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后
沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中 1 面有色的小正方体称为中心方块，2 面有色的
小正方体称为边缘方块，3 面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，
恰好抽到边缘方块的概率为（ ）
A． 2
9 B． 8
27 C． 4
9 D． 1
2
6．已知 2
1 sin2 22cos sin2
，则 tan 2 （ ）
A． 3
4
B． 4
3
C． 3
4 D． 4
3
7．已知点 F 是抛物线 2: 2 ( 0)E y px p 的焦点，O 为坐标原点，A，B 是抛物线 E 上的两
点，满足| | | | 10, 0FA FB FA FB FO 则 p （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．定义在 ( 1,1) 上的函数 ( )f x 满足 ( ) ( ) ( ) 2f x g x g x ，对任意的
1 2 1 2, ( 1,1),x x x x ，恒有 1 2 1 2 0f x f x x x ，则关于 x 的不等式
(3 1) ( ) 4f x f x 的解集为（ ）
A． 1 ,4
B． 1 ,04
C． 1, 4
D． 2 ,03
9．已知函数 ( ) 2sin ( 0)6f x x
的部分图象如图所示，则使
( ) ( ) 0f a x f a x 成立的 a 的最小正值为（ ）
A．
6
B．
5
C．
4
D．
3
10．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥 P ABC 为鳖臑，
PA 平面 , 2, 4ABC PA AB AC ，三棱锥 P ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，
则球 O 的表面积为（ ）
A．12 B． 20 C． 24 D． 32
11．已知 1 2,F F 是双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的左、右焦点，过点 1F 且斜率为 3
3
的
直线交 y 轴于点 N，交双曲线右支于点 M，若 2| |MN F N ，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A． 2 B． 3 C．2 D． 5
12．若存在实数 x，y 满足 ln 3 y yx x e e
，则 x y （ ）
A． 1 B．0 C．1 D． e
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．设 x，y 满足
0,
2 1,
2 2,
x y
x y
x y
则 x y 的最小值是_______，最大值是_________．
14．曲线 lny x x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为________．
15．过点 (2, 3)P 作圆 2 2: 2 0C x y x 的两条切线，切点分别为 A，B，则
PA PB
_______．
16．如图所示，在平面四边形 ABCD 中， , , , 2AB BD AB BD BC CD AD ，在 ABC
中，角 A，B，C 的对应边分别为 a，b，c，若 2 2 cosc ab C ，则 ACD 的面积为__________．
三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题
为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题（共 60 分）
17．（12 分）设 na 是各项都为正的单调递增数列，已知 1 4a ，且 na 满足关系式：
1 14 2n n n na a a a ， *nN ．
（1）求 na 的通项公式；
（2）若 1
1n
n
b a
，求数列 nb 的前 n 项和 nS ．
18．（12 分）现有两个全等的等腰直角三角板，直角边长为 2，将它们的一直角边重合，若将
其中一个三角板沿直角边折起形成三棱锥 A BCD ，如图所示，其中 60ABD ，点 E，
F，G 分别是 , ,AC BC AB 的中点．
（1）求证： EF 平面 CDG ；
（2）求三棱锥G ACD 的体积．
19．（12 分）为了促进电影市场快速回暖，各地纷纷出台各种优惠措施．某影院为回馈顾客，
拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满 200 元的顾客进行减免，规定每人在装有 4 个白球、2
个红球的抽奖箱中一次抽取两个球．已知抽出 1 个白球减 20 元，抽出 1 个红球减 40 元．
（1）求某顾客所获得的减免金额为 40 元的概率；
（2）若某顾客去影院充值并参与抽奖，求其减免金额低于 80 元的概率．
20．（2 分）设椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
，O 为原点，点 (4,0)A 是 x 轴上一定点，已知
椭圆的长轴长等于| |OA ，离心率为 3
2
．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 :l y kx t 与椭圆 C 交于两个不同点 M，N，已知 M 关于 y 轴的对称点为 M ，N
关于原点 O 的对称点为 N ，若点 , ,A M N 三点共线，求证：直线 l 经过定点．
21．（12 分）已知函数 2( ) 2ln 4 3 ( )f x x ax ax a a R ．
（1）讨论函数 ( )f x 的单调性；
（2）对 (1, )x ，都有 ( ) 0f x 成立，求实数 a 的取值范围．
（二）选考题（共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则
按所做的第一题计分）
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
已知在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2 2cos ,
2sin
x
y
（ 为参数）．以原点
O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
(sin cos ) 1 ．
（1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；
（2）点 P 的极坐标为 1, 2
，设直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，且 AB 的中点为 Q，求线
段 PQ 的长．
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 ( ) | | | |( 0)f x b x x a a ．
（1）当 1, 2b a 时，解不等式 ( ) 5f x ；
（2）当 2b 时，若不等式 ( ) 3f x
对任意的 x R 恒成立，求实数 a 的取值范围．
2021 年 3 月高三适应性调研考试
数学（文科）答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D A B C A D B A B B C
1．解析：由题意得集合 2| 2 3 0 { 1B x x x x x |
或 3}x
，又因为
{ |1 4}A x x ，所以 { |3 4}A B x x ，故选 C．
答案：C
2．解析：因为 6 6(1 ) 6 (1 ) 3 31 (1 )(1 ) 2
iz i ii i i
，所以| | 3 2z ．故选 D．
答案：D
3．解析：根据题意，得 2 (2 ,2)a b m ，由 / /(2 )b a b ，得 2 4(2 )m m ，解得 4
3m ．故
选 A．
答案：A
4．解析：如图，设圆锥底面半径为 r，母线长为 l，高为 h，则 2 3rl r 且 2l r ，解
得 2, 1l r ，∴ 3h ，∴ 21 3
3 3V r h ，故选 B．
答案：B
5．解析：沿等分线把正方体切开得到同样大小的小正方体共有 27 个，其中有 3 个面涂色的
小正方体共有 8 个，只有 2 个面涂色的小正方体共有 12 个，只有 1 个面涂色的小正方体共有
6 个，所以恰好抽到只有 2 个面有色的小正方体的概率为 12 4
27 9
．故选 C．
答案：C
6．解析：因为
2
2 2
1 sin2 1 2sin cos (sin cos ) sin cos 1 1tan 22cos sin2 2cos 2sin cos 2cos (sin cos ) 2cos 2 2
，所以 tan 3 ，从而可得 2
2tan 6 3tan2 1 tan 1 9 4
，故选 A．
答案：A
7．解析：设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则 1 2 1 2| | | | 102 2
p pFA FB x x x x p ，①
由 0FA FB FO ，知 1 2 1 2
3 , 02
pFA FB FO x x y y
，所以 1 2
3
2
px x ，
②
联立①②解得 4p ，故选 D．
答案：D
8．解析：设 ( ) ( ) 2 ( ) ( )h x f x g x g x ，则 ( )h x 为奇函数，且在 ( 1,1) 上为增函数，
所以不等式 (3 1) ( ) 4f x f x 等价于 (3 1) 2 ( ) 2 0f x f x ，即
(3 1) ( ) 0h x h x ，亦即 (3 1) ( ) ( )h x h x h x ，可得
1 3 1 1,
1 1,
3 1 ,
x
x
x x
，解得
1 04 x ，故选 B．
答案：B
9．解析：由图象可知 11 012f
，即 11sin 012 6
，由五点作图可知
11 2 2 ,12 6 k k Z ，
解得 24 22 ,11
k k Z ，，又由图象可知 11 24
12 11T ，又 0 ，所以 0, 2k ．
所以 ( ) 2sin 2 6f x x
．
因为 ( ) ( ) 0f a x f a x ，所以函数 ( )f x 关于直线 x a 对称，
即有 2 ,6 2a k k Z ，解得 ,2 6
ka k Z ，
所以 a 的最小正值为
6
，故选 A．
答案：A
10．解析：将三棱锥 P ABC 放入长方体中，如图，三棱锥 P ABC 的外接球就是长方体的
外接球．因为 2, 4,PA AB AC ABC 为直角三角形，所以 2 3BC ．设外接球的半
径为 R，依题意可得 2(2 ) 4 4 12 20R ，故 2 5R ，则球 O 的表面积为
24 20S R ．故选 B．
答案：B
11．解析：因为 N 在 y 轴上，所以 1 2 | |NF F N MN ，所以 1 2MF F 为直角三角形，即
2 1 2MF F F 且 N 是 1MF 的中点，所以
2
2
bMF a
，又
1
2
1 2
1 2
32 , 3MF
MFF F c k F F
，所以
有 22 3ac b ，解得 3ce a
，故选 B．
答案：B
12．解析：令 ( ) ln 3f x x x ，则 1 1( ) 1 xf x x x
，所以 ( )f x 在 (0,1) 上单调递增，
在(1, ) 上单调递减，所以 max( ) (1) ln1 1 3 2f x f ．
令 ( ) y yg y e e ，则 2y ye e
，当且仅当 0y 时取等号，
又ln 3 y yx x e e
，所以 ln 3 2y yx x e e ，所以 1, 0, 1x y x y ．
答案：C
13．解析：如图所示，不等式组满足的平面区域为阴影部分所示区域，设 z x y ，当 y x z
经过点 2 2,3 3A
时， z x y 取到最小值 4
3
；当 y x z 经过点 1 1,3 3B
时，
z x y 取到最大值 2
3
．
答案： 4 2
3 3
14．解析：由题意可得 1( ) 1f x x
，则切线的斜率 (1) 2, (1) ln1 1 1k f f ．所以
切线方程为 1 2( 1)y x ，即 2 1y x ，即 2 1 0x y ．
答案： 2 1 0x y [或 1 2( 1)y x ，或 2 1y x ]（多种形式均得分）
15．解析：由 2 2 2 0x y x 得 2 2( 1) 1x y ，所以圆心 (1,0)C ，半径为 1，所以
| | 2,| | | | 3, 60PC PA PB APB ，所以 3| || |cos60 2PA PB PA PB ．
答案： 3
2
16．解析：∵ ,AB BD AB BD ，∴在等腰直角 ABD 中 2 2AD AB c ，在 ABC
中，由余弦定理得 2 2 22 cosa b ab C c ，又已知 2 2 cosc ab C ，∴ 2 2 22a b c ，又
∵ , , 2a BC CD b AC AD c ，∴ 2 2 2AC CD AD ，∴ AC CD ，作CF BD
分别交 ,BD AD 于点 F，E（图略），∵ BC CD ，E，F 分别为线段 ,AD BD 的中点，∴
45 , 1CED CE ED ，
∴ 1 22 2 sin452 2ACD ECDS S EC ED ．
答案： 2
2
17．解：（1）因为 *
1 14 2 ,n n n na a a a n N ，所以 1 12 4n n n na a a a ，
即 2
1 4n na a ，
又 na 是各项为正的单调递增数列，所以 1 2n na a ， 3 分
所以 na 是首项为 2，公差为 2 的等差数列，
所以 2 2( 1) 2na n n ，所以 24na n ． 6 分
（2） 2
1 1 1 1 1 1
1 4 1 (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n
n
b a n n n n n
， 8 分
所以 1 2n nS b b b
1 1 1 1 1 1 1 112 3 2 3 5 2 2 1 2 1n n
10 分
1 112 2 1 2 1
n
n n
． 12 分
18．解：（1）证明：根据已知得 AD BD ，又 G 为 AB 的中点，所以 DG AB ， 2
分
因为 AC BC ，G 为 AB 的中点，所以CG AB ， 4 分
又 ,DG CG G DG 平面 ,CDG CG 平面CDG ，所以 AB 平面CDG ， 5
分
又因为 / /AB EF ，所以 EF 平面CDG ． 6 分
（2）因为 ,CD AD CD BD ，所以CD 平面 ABD ，
取 BD 中点 H，连接 ,AH FH ，则 AH 平面 BDC ， 8 分
所以对于三棱锥 A BCD 的体积，以三角形 BCD 为底， AH 为高，
所以 1 1 2 32 33 3 3A BCD BCDV S AH ， 10 分
所以 1 1 3
2 2 3G ACD B ACD A BCDV V V ． 12 分
19．解：（1）设 4 个白球为 a，b，c，d，2 个红球为 e，f，事件 A 为顾客所获得的减免金额
为 40 元，
则 { , , , , , , , , , , , , , , }ab ac ad ae af bc bd be bf cd ce cf de df ef ，共 15 种情况， 3
分
{ , , , , , }A ab ac ad bc bd cd ，共 6 种情况， 5 分
所以顾客所获得的减免金额为 40 元的概率为 6 2
15 5P ． 6 分
（2）设事件 B 为顾客所获得的减免金额为 80 元，则 { }B ef ，共 1 种情况， 8
分
所以顾客所获得的减免金额为 80 元的概率为 1( ) 15P B ，
故减免金额低于 80 元的概率 141 ( ) 15P P B ． 12 分
20．解：（1）由题意得， 2, 3a c ，所以 2 2 2 1b a c ． 3 分
所以椭圆 C 的方程为
2
2 14
x y ． 4 分
（2）证明：设 1 1 2 2, , ,M x y N x y ，则 1 1 2 2, , ,M x y N x y ，
1 2
1 2
,4 4AM AN
y yk kx x
．
因为点 , ,A M N 三点共线，
所以 AM ANk k ，即 1 2
1 24 4
y y
x x
， 6 分
所以
1 2 2 11 2
1 2 1 2
4 4 04 4 4 4
y x y xy y
x x x x
，
整理得 1 2 1 22 ( 4 ) 8 0kx x t k x x t ．① 7 分
由 2
2
,
1,4
y kx t
x y
得 2 2 21 4 8 4 4 0k x ktx t ， 8 分
则
2
1 2 1 22 2
8 4 4,1 4 1 4
kt tx x x xk k
， 9 分
代入①整理得 t k ， 11 分
所以直线 l 的方程为 y kx k ，即直线 l 恒过定点 ( 1,0) ． 12 分
21．解：（1） 22 2 12( ) 2 4 ( 0)
ax ax
f x ax a xx x
， 1 分
令 2( ) 2 1( 0)g x ax ax x ，
①当 0a 时， ( ) 1 0g x ，
在(0, ) 上， ( ) 0f x ，所以 ( )f x 单调递增． 2 分
②当 0a 时， 24 4 4 ( 1) 0a a a a ，令 ( ) 0g x ，
得
2 2
1 2,a a a a a ax xa a
，且 1 20x x ，
所以当 10,x x 时， ( ) 0f x ，所以 ( )f x 单调递增；
当 1,x x 时， ( ) 0f x ，所以 ( )f x 单调递减． 3 分
③当 0a 时， 4 ( 1)a a ，
当0 1a 时， 4 ( 1) 0a a ，
在(0, ) 上， ( ) 0f x ，所以 ( )f x 单调递增． 4 分
当 1a 时， 24 4 4 ( 1) 0a a a a ，令 ( ) 0g x ，
得
2 2
1 2,a a a a a ax xa a
，且 1 20 x x ，
所以当 10,x x 或 2,x x 时， ( ) 0f x ，所以 ( )f x 单调递增；
当 1 2,x x x 时， ( ) 0f x ，所以 ( )f x 单调递减． 5 分
综上可得：当 0a 时， ( )f x 在 10, x 上单调递增，在 1,x 上单调递减；
当0 1a 时， ( )f x 在 (0, ) 上单调递增；
当 1a 时， ( )f x 在 1 20, , ,x x 上单调递增，在 1 2,x x 上单调递减． 6 分
（2）因为 (1) 0f ，根据（1）的讨论可知，当0 1a 时， ( )f x 在(0, ) 上单调递增，所
以 ( )f x 在 (1, ) 上单调递增，所以 ( ) (1) 0f x f 成立． 8 分
当 0a 时， ( )f x 在 1,x 上单调递减， x 时， ( )f x ，
所以存在 1,x x 使得 ( ) 0f x ，故此时不成立． 9 分
当 1a 时， ( )f x 在 1 20, , ,x x 上单调递增；在 1 2,x x 上单调递减，而
2 2
1 21a a a a a ax xa a
，所以当 21,x x 时， ( )f x 单调递减，此时
( ) (1) 0f x f ，不合题意． 11 分
综上可得：0 1a ． 12 分
22．解：（1）由题意可知在曲线 C 中， 2 2cos , 2sinx y ，则
2 2 2 2( 2) 4cos 4sin 4x y ，得曲线 C 的直角坐标方程为 2 2( 2) 4x y ；
2 分
因为 cos , sinx y ，可得直线 l 的直角坐标方程为 1 0x y ． 4 分
（2）已知点 P 的直角坐标为 (0,1) ，设直线 l 的参数方程为
2 ,2
21 ,2
x t
y t
代入曲线 C 的普通
方程得 2 3 2 1 0t t ， 6 分
设 A，B 对应参数为 1 2,t t ，则 Q 对应的参数为 1 2
2
t t ， 8 分
故 1 2 3 2| | 2 2
t tPQ ∣ ． 10 分
23．解：（1）当 1, 2b a 时，不等式 ( ) 5f x 即为| | | 2 | 5x x ， 1 分
法一：当 x 2x
时，可得 ( 2) 5x x ，解得 7
2x ，则 72 2x ； 2 分
当0 2x 时，可得 ( 2) 5x x ，即 2 5 ，所以 0 2x ； 3 分
当 0x 时，可得 ( 2) 5x x ，解得 3
2x
，则 3 02 x ． 4 分
综上可得，原不等式的解集为 3 7,2 2
． 5 分
法二：根据绝对值的几何意义可得不等式的解集为 3 7,2 2
． 5 分
（2）当 2b 时，若不等式 ( ) 3f x
对任意的 x R 恒成立，即为 min( ) 3f x
，
又
3 , ,
( ) ,0 ,
3 , 0,
x a x a
f x x a x a
a x x
6 分
当 x a
时， ( ) ( ) 2f x f a a
； 7 分
当0 x a 时， ( ) 2a f x a ； 8 分
当 0x 时， ( )f x a
． 9 分
故 min( )f x a ，则 3a
，即 a 的取值范围是[3, ) ． 10 分
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