江西省六校2021届高三数学（文）3月联考试题（Word版附答案）

江西省六校 2021 届高三联考文科数学试卷 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知 ,x y  R ，i 为虚数单位，且 2 i 1 ix y     ，则  1 i x y 的值为（ ） A.4 B. 4 4i C. 4 D. 2i 2.已知集合为  1,2A  ，  1 0B x mx   ， A B B ，则符合条件的实数 m 的值组成的 集合为（ ） A. 11,2     B. 11, 2     C. 11,0, 2     D. 11, 2     3 设 1 18x  ， 2 19x  ， 3 20x  ， 4 21x  ， 5 22x  将这 5 个数依次输入下面的程序框图运行， 则输出 S 的值及其统计意义分别是（ ） A. 2S  ，这 5 个数据的方差 B. 2S  ，这 5 个数据的平均数 C. 10S  ，这 5 个数据的方差 D. 10S  ，这 5 个数据的平均数 4.函数   2 2 cos x x f x x x   的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5.直线 5y  与 1y   在区间 40,        被曲线 sin 2y m x n  （ 0m  ， 0n  ）所截得的 弦长相等且不为零，则（ ） A. 3 2m  ， 5 2n  B. 3m ， 2n  C. 3m  ， 5 2n  D. 3m  ， 2n  6.一种电子小型娱乐游戏的主界面是半径为 r 的一个圆，点击圆周上点 A 后该点在圆周上随机 转动，最终落点为 B，当线段 AB 的长不小于 3r时自动播放音乐，则一次转动能播放出音 乐的概率为（ ） A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 5 6 7.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是如 果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等. 设 A，B 为两个等高的几何体，p：A，B 的体积不相等，q：A，B 在同高处的截面面积不恒相 等，根据祖暅原理可知，p 是 q 的（ ） A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.必要条件 D 既不充分也不必要条件 8.已知三棱锥 P ABC ，在底面 ABC△ 中， 60A  ， 3BC  ，PA面 ABC ， 2PA ， 则此三棱锥的外接球的体积为（ ） A. 8 2 3  B. 4 3 C. 4 2 3  D.8 9.已知函数  f x 对任意 xR 都有      6 2 3f x f x f   ，且  1y f x  的图象关于点  1,0 对称，则  2016f  （ ） A.0 B. 1 C.1 D.6 10.若 a，b 是函数   2f x x px q   （ 0p  ， 0q  ）的两个不同的零点，且 a，b， 2 这 三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p q 的值等于（ ） A.17B.18C.19D.20 11.过平面区域 2 0 2 0 2 0 x y y x y           内一点 P 作圆 O： 2 2 1x y  的两条切线，切点分别为 A，B，记 APB   ，则当α最大时 cos的值为（ ） A. 1 2 B. 9 10 C.0 D. 1 2  12.已知 1F ， 2F 为双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的左、右焦点，以 1 2FF 为直径的圆与双曲 线右支的一个交点为 P， 1PF 与双曲线相交于点 Q，且 13PQ QF ，则该双曲线的离心率 为（ ） A. 87 3 B. 29 3 C. 3 2 D. 5 2 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.已知向量  1,2a  ，  , 2b x  ，且  a a b    ，则实数 x 等于________. 14.在 ABC△ 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 1a  ， 4B   ， ABC△ 的面积 2S  ， 则 ABC△ 的外接圆的面积为________. 15.已知 m  R ，动直线 1 2: 0x myl    过定点 A，动直线 2 2 3 0:mx yl m    过定点 B， 若 1l 与 2l 交于点 P（异于点 A，B），则 PA PB 的最大值为________. 16.设函数   2ln 3f x x mx x   ，若存在唯一的整数 0x 使得  0 0f x  ，则实数 m 的取值范 围是________. 三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共 60 分. 17.已知数列 na 满足 1 3a  ，且 1 2 1n na a   . （1）证明：数列 1na  为等比数列； （2）记 1 2n n n n b a a    ， nS 是数列 nb 前 n 项的和，求证： 1 3nS  . 18.在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读 与表达”两个科目的考试，成绩分为 A，B，C，D，E 五个等级，某考场考生的两科考试成绩 的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人. （1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数； （2）若等级 A，B，C，D，E 分别对应 5 分，4 分，3 分，2 分，1 分，求该考场考生“数学 与逻辑”科目的平均分； （3）已知参加本考查测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为 A，在至少一科成绩为 A 的考 生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为 A 的概率. 19.如图，三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 1AA BC ， 1 1AB BB . （1）求证： 1 1AC CC . （2）若 1AB  ， 2A C  ， 3BC  ，问 1AA 为何值时，三棱柱 1 1 1ABC ABC 体积最 大，并求此最大值. 20.设椭圆 1C 的中心和抛物线 2C 的顶点均为原点 O， 1C ， 2C 的焦点均在 x 轴上，在 1C ， 2C 上 各取两个点，将其坐标记录于表格中： x 3 2 4 3 y 2 3 0 4 3 2  （1）求 1C ， 2C 的标准方程； （2）过 2C 的焦点F 作斜率为 k 的直线l，与 2C 交于 A，B两点，与 1C 交于 C，D 两点，若 7 3 AB CD  ， 求直线 l 的方程. 21.已知函数   e lnxf x a x  . （1）曲线  y f x 在点   1, 1f 处的切线方程为  e 1 1y x   ，求 a 的值. （2）当 21 ea  时，证明：   0f x  （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答.如果多选，则按所做的第一题 计分. 22.选修 4-5：不等式选讲 曲线 1C 的参数方程为 1 cos sin x y       （ 为参数），在以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极 轴的极坐标系中，曲线 2C 的极坐标方程为 2cos sin   . （1）求曲线 1C 的极坐标方程和曲线 2C 的直角坐标方程； （2）过原点且倾斜角为 6 4        的射线 l 与曲线 1C ， 2C 分别相交于 A，B 两点（A， B 异于原点）.求 OA OB 的取值范围. 23.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知函数   1 2f x x x a    （1）当 3a  时，求不等式   2f x  的解集； （2）若   1 0f x x   的解集为 A，且 2, 1 A   ，求 a 的取值范围. 江西省六校 2021 届高三联考文科数学答案 选择题 1~4 CCAD 5~8 DABA 9~12 ADCB 填空题 13.9 14. 25 2  15.3 2 16. ln 2 3 ,34 2m      解答题 17：（1）由 1 2 1n na a   可得，  1 1 2 1n na a    ，又 1 1 2a   ， 故 1na  是首项为 2，公比为 2 的等比数列. （2）由上问知： 1 2n na   ，可得 2 1n na   ， 则     11 2 1 1 2 1 2 12 1 2 1 n n n nn nb       ， 可得 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n nS                             1 1 1 1 3 2 1 3n   18：（1）∵“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人， ∴该考场有10 0.25 40  （人）. ∴该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为  40 1 0.375 0.375 0.15 0.025 40 0.075 3        . （2）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为 1 [1 (40 0.2) 2 (40 0.1) 3 (40 0.375) 4 (40 0.25) 5 (40 0.075)] 2.940                 （3）∵两科考试中，共有 6 个 A，又恰有 2 人的两科成绩等级均为 A， ∴还有 2 人只有一个科目成绩等级为 A. 设这 4 人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙是两科成绩等级都是 A 的同学， 则在至少一科成绩等级为 A 的考生中，随机抽取 2 人进行访谈， 基本事件空间为             , , , , , , , , , , ,  甲 乙 甲 丙 甲 丁 乙 丙 乙 丁 丙 丁 ，一共有 6 个基本 事件. 设“随机抽取 2 人进行访谈，这 2 人的两科成续等级均为 A”为事件 M， ∴事件 M 中包含的基本事件有 1 个，为 ,甲乙 ，则   1 6P M  . 19：（1）证明：由 1AA BC 知 1BB BC . 又 1 1BB AB .故 1BB 平面 1BCA .即 1 1BB AC . 又 1 1//BB CC ，所以 1 1CA CC . （2）设 1AA x ，过 A 作 BC 的垂线，垂足为 D，连结 1AD ∵ 1BC AA ， 1BC AD ∴ BC 平面 1AAD，∴ 1BC AD ∵ 1 2 2 33 AD   ，∴ 2 1 2 3AD x  则 1 21 232 3A BCS x   △ . 1 1 1 21 3 2 3 2 3ABC A B CV x x      2 2 2 3 2 3 33 6 3 6 2 18x x          ∴当 1 3 3AA  时，此棱柱体积最大为 3 18 . 20：（1）由题意知  2,0 ， 33, 2      在椭圆上，  3, 2 3 ， 4, 4 在抛物线上， 设   2 2 1 2 2: 1 0x yC a ba b     ，则  2 2 2 1a   ， 2 2 3 3 14a b   ，解得 2a  ， 3b . ∴ 1C 的标准方程为 2 2 14 3 x y  . 设抛物线 2C 的方程为  2 2 0y px p  ，则 24 2 4p   ，解得 2p  . ∴ 2C 的标准方程为 2 4y x . （2）由（1）知  1,0F 是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点， 设  : 1l y k x  ，  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，  3 3,C x y ，  4 4,D x y ， 将  : 1l y k x  代入抛物线方程 2 4y x ， 整理得  2 2 2 22 4 0k x k x k    . 当 0k  时，   22 2 22 4 4 0k k k         恒成立， ∴ 2 1 2 2 2 4kx x k   ， 1 2 1x x  . ∴  2 22 2 2 2 4 12 41 4 kkAB k k k        ， 将  : 1l y k x  代入椭圆方程 2 2 14 3 x y  ， 整理得 2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k     .     22 2 28 4 3 4 4 12 0k k k       恒成立， ∴ 2 3 4 2 8 3 4 kx x k    ， 2 3 4 2 4 12 3 4 kx x k    . ∴  2 22 2 2 2 2 2 12 18 4 121 43 4 3 4 3 4 kk kCD k k k k            ∴ | | 7 | | 3 AB CD  ，∴   2 2 2 22 2 3 4 1 4 7 3 3 312 1 3 4 k k k kk k       ， ∴ 2 1k  ，即 1k   ， ∴直线 l 的方程为：  1y x  . 21：（1）  f x 的定义域为 0, ，   e x af x x    . 由题设知  1 e 1f    ，解得 1a  . （2）   e lnxf x a x  ，   ee x x a x af x x x     令    e 0xx x a x    ，显然  x 是增函数，  e 0,xx   ， 21 ea  所以  x 存在唯一零点 0x ， 当  00,x x 时，   0x  ，即   0f x  ； 当  0,x x  时，   0x  ，即   0f x  ； 从而  f x 在 0x x 处取得最小值   0 0 0e lnxf x a x  ， 又 0 0 ex a x  ，∴ 0 0ln lnx a x  ， 0 0ln lnx a x       2 0 0 0 0 0 0 ln 1ln x a xaf x a a x ax x      2 2 0 0 ln ln12 4 a ax a x       . ∵ 21 ea  ，∴ 0 ln 2a  ， 2ln1 04 a  从而  0 0f x  ，故   0f x  . 22.（1）  2 2 1 : 1 1C x y   ， 2 2 :C x y ∴ 1C 的极坐标方程为： 2 cos  （2）依题意： 2cosOA  ， 2 sin cosOB   则： 2 sin2cos 2 tancosOA OB      ∵ ,6 4       ， ∴ OA OB 的取值范围是 2 3 ,23      . 23：（1） 3a  时，   2 1 2 3 2f x x x      3 7 2 x x      或 3 1 3 5 2 x x       或 1 7 2 x x     解得： 75 3x    （2）   2, 1 1 2 1 0A x x a x          在  2, 1x   恒成立 1x a   在  2, 1x   恒成立 1a x   或 1a x   在  2, 1x   恒成立 ∴ 3a  或 0a  .